第6章圓軸扭轉時的強度與剛度計算6.1外力偶矩、扭矩與扭矩圖6.2橫截面上的切應力分析與強度計算6.3變形與剛度條件在工程中常遇到扭轉變形的構件，例如機器中的傳動軸(圖6.1(a))、攪拌機軸(圖6.1(b))和方向盤的操縱桿(圖6.1(c))等，都屬于這類構件。圖6.1這類構件的共同特點是：在垂直于桿軸線的平面內有外力偶作用，桿件的各橫截面發生繞軸線的相對轉動，這就是扭轉變形。扭轉變形的力學模型如圖6.2所示。其中實線ab為變形前的母線，虛線ab′為其變形后的位置(假設A截面不動)。端截面B相對于端截面A轉過的角度為φAB，稱為B截面相對于A截面的扭轉角。工程中一般把主要發生扭轉變形的桿件稱為軸。實際中受扭桿件的截面形狀多為圓形或圓環形，稱此類扭桿為圓軸。本章討論圓軸扭轉時的強度和剛度問題。圖6.26.1外力偶矩、扭矩與扭矩圖

1.外力偶矩的計算為了計算桿在扭轉時的內力，首先需知桿上作用的外力偶矩。作用在軸上的外力偶矩，一般可由桿件整體的平衡條件確定。但是，對于傳動軸等轉動構件，通常只知道它們的轉速和所傳遞的功率，這就有必要將這些已知量換算為外力偶矩。力偶在單位時間內所作的功，即為功率P，它等于外力偶矩Me與轉動角速度ω的乘積，其表達式為P=Meω(6.1(a))則(6.1(b))

在工程實際中，功率的常用單位為kW(千瓦)和PS(馬力)，轉速的常用單位為r/min(轉/分)。與這些常用單位相對應，外力偶矩有如下計算公式：(6.2(a))(6.2(b))

2.扭矩與扭矩圖前文確定了作用在軸上的外力偶矩，現在研究軸的內力。考慮圖6.3(a)所示圓軸，在其兩端垂直于桿件軸線的平面內，作用一對方向相反、力偶矩均為Me的力偶。為了分析軸的內力，仍然采用截面法，在軸的任一截面n—n處將其假想地切成兩段(圖6.3(b)、(c))。由任一段的平衡條件均可看出，在橫截面n—n上的分布內力系必合成一力偶，且其矢量的方向垂直于截面n—n。矢量方向垂直于橫截面的內力偶矩稱為扭矩，用T表示。軸受扭時，橫截面上的內力為扭矩。圖6.3根據左段的平衡條件，由∑mi=0，T－Me=0得截面n—n上的扭矩為

T=Me

同樣，如果以右段為研究對象(圖6.3(c))，也可以求出截面n—n上的扭矩T，其數值仍等于Me，但其轉向則與圖6.3(b)中所示相反。為了使上述兩種算法所得同一橫截面處的扭矩的正負號相同，對扭矩的正負號作如下規定：按右手螺旋法則將扭矩用矢量表示，若矢量的指向離開截面，則該扭矩為正，反之為負。按此規定，圖6.3中所示扭矩為正。在一般情況下，各橫截面的扭矩不盡相同。為了形象地表示扭矩沿軸線的變化情況，可仿照作軸力圖的方法，繪制扭矩圖。作圖時，沿軸線方向取坐標表示橫截面的位置，以垂直于軸線的另一坐標表示扭矩。例如，上述圓軸的扭矩圖如圖6.3(d)所示。

【例6.1】圖6.4(a)所示傳動軸，轉速n=500r/min，B輪為主動輪，輸入功率PB=10kW，A、C輪為從動輪，輸出功率分別為PA=4kW，PC=6kW。試計算軸的扭矩，并作扭矩圖。圖6.4

解

(1)外力偶矩計算。由公式(6.2(a))可知，作用在A、B、C輪上的外力偶矩分別為：

(2)扭矩計算。將軸分為AB和BC兩段，逐段計算扭矩。設AB和BC段的扭矩均為正，并分別用T1和T2表示，則由圖6.4(b)可知：T1=MeA=0.076kN·mT2=－MeC=－0.115kN·m

(3)作扭矩圖。根據上述分析，作扭矩圖如圖6.4(c)所示。可見，|T|max=0.115kN·m請讀者思考：如果將主動輪B與從動輪C位置對調，最大扭矩將變為多少？哪一種軸的布置合理？6.2橫截面上的切應力分析與強度計算

1.純剪切

1)薄壁圓筒扭轉時的應力取一等厚度薄壁圓筒，平均半徑為r，壁厚為t。在其表面畫上一系列圓周線和縱向線，它們交織成一個個微小的矩形網格(圖6.5(a))。然后，在圓筒兩端施加扭轉力偶矩，使之發生扭轉變形(圖6.5(b))。試驗可見：各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作相對轉動；各縱向線偏轉過同一角度γ，且變形很小時仍近似為直線，矩形變成了平行四邊形。矩形網格的兩對邊發生相對錯動，使直角改變了一角度γ，這種直角的改變稱為切應變。圖6.5以上觀察結果表明，圓筒橫截面和含軸線的縱向截面上均沒有正應力，橫截面上只有切于截面的切應力τ。由圓筒變形情況可知，沿圓周上各點處的切應變相等，且發生在垂直于半徑的平面內。又因筒壁很薄，可近似認為沿壁厚的各點處切應變也相等。據此可推知：圓筒橫截面上各點處的切應力相等,其方向垂直于半徑(圖6.5(c))。橫截面上的分布內力系將合成為截面上的扭矩T，由此可得：即

2)切應力互等定理用相鄰的兩個橫截面和兩個縱截面，從圓筒中取出邊長為dx、dy和t的微小六面體，稱為單元體(圖6.5(d))(一般情況下，單元體的三個邊長均為無窮小量)。單元體的左、右兩側面為圓筒橫截面的一部分，其上有切應力。根據單元體的平衡要求，不僅左、右一對面上有大小相等、方向相反的切應力τ，在上、下一對面上也必然有切應力τ′，而且由力矩平衡條件有(τ·t·dy)·dx=(τ′·t·dx)dy由此得到τ=τ′(6.4)這表明，在相互垂直的兩個微面上，切應力總是成對出現的，它們的數值相等，而方向均垂直于兩微面的交線，或同指向或同背離這一交線。這就是切應力互等定理。單元體各對面上只作用有切應力的情形，稱為純剪切狀態。

3)剪切胡克定律利用薄壁圓筒的扭轉試驗，可以得出材料在純剪切下的應力與應變的關系。實驗結果表明，對于大多數工程材料，當純剪切狀態處于彈性范圍內，即切應力τ不超過材料的剪切比例極限τp時，切應力和切應變存在下列線性關系(圖6.6)：τ=G·γ(6.5)圖6.6上述關系稱為剪切胡克定律。其中，G稱為材料的切變模量，其量綱與τ相同。鋼材的G=80~84GPa。研究表明，材料的三個彈性常數——彈性模量E、切變模量G以及泊松比μ中，只有兩個是獨立的。它們之間滿足如下關系：(6.6)上式只適用于各向同性材料。

2.圓軸扭轉時的應力工程中最常見的軸是圓截面軸，它們或為實心的，或為空心的。本小節研究圓軸扭轉時橫截面上的應力。與薄壁圓筒扭轉時的情況類似，等直圓軸扭轉時，橫截面上將有扭矩，且只有切應力而無正應力。但對于實心圓軸，不能再像對薄壁圓筒那樣，認為沿半徑上各點處的切應力相等，而應綜合考察幾何、物理和靜力學三方面的關系來分析其應力。

1)幾何關系取一等直圓軸，在其表面畫上一系列圓周線和縱向線，在扭轉力偶矩作用下，將得到與薄壁圓筒扭轉時相似的現象(圖6.7)。即：各圓周線的形狀、大小和間距保持不變，只是繞軸線作相對轉動；小變形情況下，各縱向線仍近似為直線，只是偏轉了同一微小的角度；變形前軸表面上的矩形網格，變形后錯動成平行四邊形。圖6.7根據圓軸表面變形特點，可以作出如下假設，以推知圓軸內部的變形情形。假設：圓軸扭轉變形后，橫截面仍保持為平面，且形狀、大小及兩相鄰橫截面間的距離保持不變；半徑仍保持為直線。這就是圓軸扭轉時的平面假設。按照這一假設，圓軸扭轉變形時，其橫截面像剛性平面一樣繞軸線作相對轉動。在圓軸上用p—p和q—q兩相鄰橫截面截取相距為dx的微段，如圖6.8所示。設截面q—q對p—p的相對扭轉角為dφ，半徑為R(表面)和半徑為ρ(任意同軸圓柱面)處的切應變分別為γ和γρ。在小變形的條件下，圖6.8中的da′、cb′、fe′曲線均可近似地視為直線，于是有圖6.8(6.7b)即(6.7a)其中，為扭轉角沿軸線的變化率，稱為單位長度扭轉角。對于某一確定的截面，為常數。式(6.7b)表明，任意同軸圓柱面上的單元體的切應變與該圓柱面到軸線的距離ρ成正比，最大切應變發生在圓軸表面處，中心處的切應變為零。

2)物理關系設圓軸各點的應力均處于彈性范圍內，以τρ表示橫截面上距圓心為ρ處的切應力，則根據剪切胡克定律，有τρ=Gγρ

將式(6.7b)代入上式，得(6.8)式(6.8)表明，橫截面上任意點的切應力與該點到圓心的距離ρ成正比，即切應力沿半徑呈線性分布。因為γρ發生在垂直于半徑的平面內，所以τρ也與半徑垂直，并與扭矩轉向一致。再考慮到切應力互等定理，則橫截面和縱截面上沿半徑切應力的分布如圖6.9所示。圖6.9然而，公式(6.8)尚未確定橫截面上任一點的切應力值，因為式中的dφ/dx未知，這就要利用切應力與扭矩之間的靜力學關系來解決。

3)靜力關系如圖6.9(a)所示,在橫截面上距圓心ρ處取微面積dA,則作用在該微面積上的力τρdA

對圓心O之矩為τρdA·ρ，而截面上的分布內力系合成為該截面上的扭矩T，于是有將式(6.8)代入上式，并注意到G(dφ/dx)為常量，最后得到:(6.9)式中，(6.10)稱為橫截面對圓心O的極慣性矩，它只與截面的形狀和尺寸有關。式(6.9)為圓軸扭轉變形的基本公式。最后將式(6.9)代回到式(6.8)中，得此即圓軸扭轉時橫截面上任意點的切應力計算公式。(6.11)(6.12)在橫截面上外沿各點，ρ為最大值R，此處有最大的切應力，為式中，(6.13)稱為抗扭截面系數，它取決于截面的形狀和尺寸。根據式(6.10)和式(6.13)的定義，可以求得圓形和圓環形截面的Ip和Wt值。如圖6.10所示，取圓環形微面積作為積分微元dA，即dA=2πρdρ圖6.10于是，對于直徑為D的圓截面有：(6.14)(6.15)對于外徑為D、內徑為d的圓環形截面，則有:(6.16)(6.17)其中，需要指出的是，公式(6.9)、(6.11)和(6.12)是在平面假設的基礎上導出的，因此只有當平面假設成立時，上述結果才是正確的。實驗研究表明，只有對于等截面直圓軸，平面假設才成立。所以，這些公式只適用于等截面直圓軸。而對于圓截面沿軸線緩慢變化的小錐度錐形桿，平面假設則近似成立，故可近似地用這些公式計算。此外，在推導上述公式的過程中，應用了剪切胡克定律，所以，公式(6.9)、(6.11)和(6.12)只適用于最大切應力τmax不超過材料的剪切比例極限τp的情況。

3.強度計算為了保證圓軸扭轉時具有足夠的強度，必須限制軸內橫截面上的最大切應力不超過軸的許用切應力，即滿足下列強度條件：(6.18)等截面直圓軸的強度條件為(6.19)式中，[τ]為軸的許用切應力。在靜載作用下,許用切應力[τ]與許用拉應力[σ]之間存在下列關系：對于塑性材料，[τ]=(0.5~0.6)[σ]；對于脆性材料，[τ]=(0.8~1.0)[σ]。利用強度條件式(6.18)、(6.19)，可解決強度校核、截面設計和確定許可載荷等三類扭轉強度問題。在進行強度計算時,應當首先根據扭矩圖、截面尺寸以及材料性能判斷出可能的危險截面，再確定危險點。若能保證危險截面上的危險點滿足強度條件,則整個桿件便是安全的。

【例6.2】汽車發動機將動力通過主傳動軸AB傳給后橋,驅動車輪行駛，如圖6.11所示。設主傳動軸所承受的最大外力偶矩為1.5kN·m，軸由45號鋼無縫鋼管制成，外徑D=90mm,壁厚t=2.5mm，[τ]=60MPa。試校核其強度。若改用實心軸，在τmax具有同樣數值的條件下，試確定實心圓軸的直徑D，并確定空心軸與實心軸的重量比。圖6.11

解(1)校核空心軸強度。根據所給數據可知,傳動軸橫截面上的扭矩T=1.5×103N·m，軸的內、外徑之比

。由于該軸各橫截面的危險程度相同，因而最大切應力為所以空心軸強度安全。

(2)計算實心軸直徑。根據空心軸與實心軸最大切應力相等的要求，有據此，可得實心軸的直徑為

(3)確定空心軸與實心軸的重量比。由于二者長度相等、材料相同，因此重量比即為橫截面的面積比：這一結果表明，空心軸遠比實心軸輕，即采用空心軸比采用實心軸合理。這是由于圓軸扭轉時橫截面上的切應力沿半徑呈線性分布，截面中心附近區域的切應力比截面邊緣諸點的切應力小得多。當τmax達到許用應力值時，中心附近的切應力遠小于該值。將受扭桿件做成空心圓軸，可使得截面上的所有材料基本都得到充分利用。當然，在工藝上，制造空心軸要比制造實心軸困難些。

【例6.3】一鋼制階梯狀圓軸如圖6.12(a)所示。若材料的許用切應力［τ］=60MPa，試校核軸的強度。圖6.12

解

(1)作扭矩圖。由截面法可求得AB和BC段軸橫截面上的扭矩分別為：TAB=－10kN·mTBC=－3kN·m由此可作出軸的扭矩圖(圖6.12(b))。

(2)求最大切應力。該軸為階梯狀，且AB和BC段橫截面上的扭矩不相等，故先分別求出兩段軸橫截面上的最大切應力，進而確定整個軸橫截面上的最大切應力。對AB段：直徑DAB=100mm，則于是得AB段橫截面上的最大切應力為對BC段：直徑DBC=60mm，則于是得BC段橫截面上的最大切應力為由此可知，整個軸的最大切應力發生在BC段的橫截面上，其值為τmax=70.7MPa。因此，BC段橫截面為危險截面，BC段橫截面上外沿各點為危險點。

(3)強度校核。由于τmax=70.7MPa>［τ］，故軸AC不能滿足強度條件。6.3變形與剛度條件軸在扭轉力偶作用下，即使具有足夠的強度，如果其變形過大，則也可能影響軸的正常工作。例如：車床絲杠的扭轉變形過大，會降低加工精度；磨床傳動軸的扭轉變形過大，會引起扭轉振動，等等。因此，對軸的扭轉變形有時需要加以限制，使它滿足剛度要求。為了解決這個問題，就需要研究軸在扭轉時的變形。此外，在求解扭轉超靜定問題時，也必須考慮變形方面的問題。由單位長度扭轉角公式(6.9)可以求出相距為L的兩橫截面間的相對扭轉角φ為(6.20)對于扭矩沿桿長不變的等直圓軸，從上式可得：(6.21)此即等直圓軸扭轉角的計算公式。其中，GIp稱為圓軸的抗扭剛度，它反映軸抵抗扭轉變形的能力。φ的單位為弧度，用rad表示。在工程中設計圓軸時，往往是通過單位長度扭轉角來分析其剛度的。若用φ′表示此扭轉角，則可將式(6.9)改寫成常用的形式：(6.22)這里φ′的單位是弧度每米或弧度每毫米,用rad/m或rad/mm表示。需要指出的是，以上三個公式只有當軸內最大切應力不超過材料的剪切比例極限時才適用，因為它們所依據的公式(6.9)是在此條件下導出的。前面指出，為了保證軸在扭轉時能正常工作，除了應使其滿足強度要求外，有時還必須使它滿足剛度要求。這就要求對軸的扭轉變形加以限制。通常是限制軸的最大單位長度扭轉角φmax′，使其不超過規定的許用單位長度扭轉角[φ′]，即(6.23)此即圓軸扭轉時的剛度條件。對于等直圓軸，其最大單位長度扭轉角發生在扭矩為最大處，可由公式(6.22)來計算。但由于工程中[φ′]的常用單位是度每米(°/m)，故必須考慮單位的統一，于是,由公式(6.23)可建立等直圓軸的扭轉剛度條件為(6.24)式中，Tmax、G和Ip的單位可分別用N·m、N/m2和m4表示。常用的[φ′]值一般可從有關的設計規范中查到。在要求精密、傳動穩定的情況下，[φ′]常規定在0.25～0.5°/m范圍內；對于一般的傳動軸，則可放寬到2°/m左右。剛度條件可用于軸的剛度校核、截面設計及許可載荷的確定。對于要求精密的軸，其［φ′］值較小，故其截面尺寸常由剛度條件決定。

【例6.4】一等直鋼制傳動軸如圖6.13(a)所示，材料的切變模量G＝80GPa。試計算扭轉角φBC、φBA和φAC，并將其相對轉向用圖表示。圖6.13

解在計算φBC和φBA時，可直接應用公式(6.21)，因為在BC段和BA段分別有常量的扭矩。但計算φAC時，就必須利用φBC和φBA來求得。為了應用公式計算扭轉角，必須先求出軸各橫截面上的扭矩。

(1)作扭矩圖。由已知的外力偶矩，用截面法并按扭矩正、負號的規定，可算得AB段和BC段任一橫截面上的扭矩分別為：TAB＝＋1000N·mTBC＝－500N·m由此可作軸的扭矩圖(圖6.13(b))。

(2)計算C輪相對于B輪的扭轉角φBC。由公式(6.21)及下列各量：TBC＝－500N·m，LBC＝800×10－3m，G=80GPa=8×1010Pa可得φBC為(a)其相對轉向如圖6.13(c)所示。

(3)計算A輪相對于B輪的扭轉角φBA。由公式(6.21)和有關數據可得(b)其相對轉向如圖6.13(d)所示。

(4)計算C