(1)集合與常用邏輯用語

2024年高考數學真題模擬試題專項匯編

一、選擇題

1.[2024年新課標n卷高考真題]已知命題：+命題4：玉>0,丁=%.則()

A.p和q都是真命題B.-p和q都是真命題

C.p和都是真命題D.-和一都是真命題

2.[2024年新課標I卷高考真題]已知集合4=卜|—5</<5},B={-3,-1,0,2,3}?則AB=

()

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-l,0}D.{—1,0,2}

3.[2024屆?河北?模擬考試聯考]設全集為。定義集合A與B的運算：

A*B={X|XGAB^x^A耳，則(A*5)*A=()

A.AB.BC.AAB

4.[2024屆嘿龍江齊齊哈爾?一模]已知集合A={%|9一4x+3<0},3={-1,1,2,4},則AB=

()

A.{1,2,3}B.{1,2}C.{2,3}D.{—1,1,2}

5.[2024屆.長沙市第一中學.模擬考試]若全集。={—1,0,1,2},P={xeZ|x2<2},則丹P=()

A.{2}B.{0,2}C.{-1,2}D.{—1,0,2}

6.[2024屆.山東臨沂.二模]若A=—<0^B={x|log5%<1},則3的元素個數為

8—尤

()

A.OB.lC.2D.3

7.[2024屆.湖南師大附中.模擬考試]已知集合4=口-1<%<2},B={x\-2<x<l],則集合

6AB(A8)=()

A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-2,-l)(1,2)D.(-2,-l][1,2)

8.[2024屆.長治二中.一模]已知集合4=1卜2+2尸8<0},B={x||x|<2},U=R,則圖中陰

影部分表示的集合為()

A.(T—2)B.(-2,2)C.[-2,2)D.[-2,2]

9.[2024屆.吉林吉林.模擬考試校考]設集合A={小-l<0},3=卜,-x-6<0卜則AB=

()

A.(-1,2)B.(-2,l]C.[l,2)D.[-2,3)

10.[2024屆.河北.模擬考試]德國數學家康托爾在其著作《集合論》中給出正交集合的定義：

若集合A和3是全集。的子集，且無公共元素，則稱集合A,3互為正交集合，規定空集是

任何集合的正交集合.若全集。={x|l<log2(x+l)W3,xeN},A={x|爐-7龍+10<0,xeN},則

集合A關于集合。的正交集合3的個數為()

A.8B.16C.32D.64

11.[2024屆.湖北.模擬考試]已知集合A={y|y=|尤-l|+|x+2|},B=<xy=,6>,則

[A/10-X2

AB=()

A.(V10,+oo)B.[3,V10)C.[3,+OO)D.(->/10,3]

二、多項選擇題

12.[2024屆.吉林吉林.模擬考試校考]下列命題正確的有().

22

A.若命題%+%+1<0,則「。：VxeR,%+%+1>0

B.不等式4》+5>0的解集為R

C.x>1是(%—1乂%+2)>0的充分不必要條件

D.X/xeR,=x

三、填空題

13.[2024屆?合肥一六八中學?模擬考試]已知集合A={x\x<k},B=卜|1<x<2},且A「B=B，

則實數k的取值范圍是.

14.[2024屆?福建福州?模擬考試聯考]已知集合A=卜|<0,%eR1與集合

5={X|X>0,XGZ},求集合AB=.

15.[2024屆?福建寧德?模擬考試校考]已知集合A二{x[y=ln(l-2%)},B={x\x2<x},則

參考答案

1.答案：B

解析：方法一：因為X/XGR,|X+1|>0,所以命題“為假命題，所以"為真命題.因為d=x,

所以一x=0,所以為12-])=0,即+=0,

解得％=-1或％=0或x=l,所以Hx>0,使得x'=x,所以命題q為真命題，所以F為假命

題，所以和q都是真命題，故選B.

方法二：在命題p中，當％=-1時，|x+l|=0,所以命題p為假命題，-y?為真命題.在命題q

中，因為立方根等于本身的實數有-1,0,1,所以三%>0,使得V=x,所以命題q為真命題，

F為假命題，所以和q都是真命題，故選B.

2.答案：A

解析：方法一：因為A={x|-5</<5}={x|-為<》<狗},B={-3,-1,0,2,3),所以

A3={—1,0},故選A.

方法二：因為(-3)3=-27<-5,(―Ip=—le(—5,5),03=0e(-5,5),23=8>5,33=27>5,

所以—leA,OeA,—3eA,2gA,3^A,所以AB={-l,0},故選A.

3.答案：B

解析.A*B=^X\X&ABMXA5}=(5%A)(ACVB^

.?.(A*3)*A=[A]瘠(A*3)][(A*B)VA]^(AB)(B=B

故選：B

4.答案：B

解析：由f-4x+3=(x-l)(x-3)W0,解得

所以A={疝WxW3},所以AB={1,2}.

故選：B.

5.答案：A

解析：因為P={xeZ|f<2}={—1,0,1},U={—l,0,l,2},

所以令「={2}.

故選：A.

6.答案：C

解析：

7.答案：D

解析：由題意，A5=(—1』)，Al5=(—2,2),所以》B(A5)=(—2,—1][1,2),選D.

8.答案：A

解析：因為A=?+2x-8<0}=卜卜4<x<2},5=3忖<2}={x卜2Kx<2},

圖中陰影部分表示的集合為：

A&3)={無卜4c尤<2}i{x|x>2或尤<-2}=卜|-4<%<-2},

故選：A.

9.答案：B

解析：由得xWl,

所以A={x|x<l},

由光2_尢_6<0,得(％+2)(%-3)vO,解得一2<%<3,

所以5={x|—2<x<3},

所以AB={x\-2<x<]],

故選：B

10.答案：B

解析：結合題意：因為l<log2(x+l)<3,IUlog22<log2(x+1)<log28,

解得2<x+l<8，即1<XW7，

所以全集U={疝<log2(x+1)W3,xeN}={2,3,4,5,6,7}，

由尤2_7%+10<0可得2(尤<5，所以A={削X2-7X+10<0,XGN}={3,4},

則集合A關于集合U的正交集合B的個數為24=16?

故選：B.

11.答案：B

解析：由|x—l|+|x+2以(x—1)—(x+2)|=3,

當且僅當(x-l)(x+2)<0,即—時，等號成立，得a；

由10—/>0得一如<x<M，即a.

所以AB=[3,V10).

故選：B.

12.答案：ABC

22

解析：對A,若命題。：mxeR,x+x+l<0,則x+x+l>0,故A正確;

對B,尤2一4%+5>0,

令y=f_4%+5,

則△=(—4f一4義5=—4<0,

又丁=f-4》+5的圖象開口向上，

不等式必―4x+5>0的解集為R；故B正確；

對C,由(％-1乂％+2)>0,

解得：％<—2或%>1,

設A=6=(f-2)

則故x>l是(％-。(％+2)>0的充分不必要條件，故C正確；

對D,當x=—1時，J(一I>=1。一1,故D錯誤.

故選：ABC.

13.答案：k>2

解析：因為AB=B，所以BgA，又4={%|尤<左},3=卜]<%<2},所以左之2.

故答案為：k>2

14.答案：{1}(沒寫集合形式不得分)

解析：由可得，(3+2x)(x—2),,0,且X—2/0，解得一

x-22

又集合B={%|尤>0,xeZ}，

集合AB={1}.

故答案為：{1}.

15.答案：[-,1

_2_

解析：A={x|y=ln(l—2x)}={x|x<g},5={x|爐<x}={x[0<x<1},

所以("A)B=1,1.

故答案為：[-,1.

_2_

(2)函數與導數

——2024年高考數學真題模擬試題專項匯編

一、選擇題

〉

1.[2024屆.黑龍江齊齊哈爾.一模]已知/"(xhx：'+2x：2x0為奇函數，貝’「。=()

x+cue,x<0

A.-2B.2C.lD.-1

2.[2024屆.長沙市第一中學.模擬考試]若函數/(x)=4|x-a|+3在區間工+00)上不單調，則a

的取值范圍是()

A.[l,+oo)B.(l,^o)C.(f1)D.(-oo,l]

3.[2024屆?山西長治?一模校考]研究人員用Gompertz數學模型表示治療時長x(月)與腫瘤細胞

含量/(%)的關系，其函數解析式為其中左>0,b>0,a為參數.經過測算，發

現a=e(e為自然對數的底數).記x=1表示第一個月，若第二個月的腫瘤細胞含量是第一個月的

那么6的值為()

e

A.V5+1B.75-1C.亙^D.叵^

22

4.[2024屆.天津寶城區.模擬考試校考]已知函數/（x）的部分圖象如圖所示，則函數/⑴的解

析式可能為（）

2%22x2

A./(x)=B./(x)=-——-

|x|-l|.x|+l

C./(x)=--D./W=-^-

|x|-lx2-l

5.[2024年新課標II卷高考真題]設函數/(%)=〃(％+1)2-1,g(x)=cosx+2or,當時，

曲線y=f(x)和y=g(x)恰有一個交點.則。=()

A.-lB.-C.lD.2

2

6.[2024年新課標n卷高考真題]設函數/(x)=(x+a)ln(x+b),若/(x)20,則/+y的最小

值為()

A.-B.-C.-D.1

842

7.[2024年新課標I卷高考真題]已知函數/(幻的定義域為R,f(x)>f(x-l)+f(x-2),且

當x<3時，/(x)=x,則下列結論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000C./(10)<1000D./(20)<10000

8.[2024年新課標I卷高考真題]已知函數7■⑴二；；：〉；'：；；在R上單調遞增，則a

的取值范圍是（）

A.(-oo,0]B.[-l,0]C.[-l,l]D.[0,+oo)

二、多項選擇題

9.[2024年新課標I卷高考真題]設函數/(x)=(x-l)2(x-4),則()

A.x=3是/(幻的極小值點B.當0<%<1時，/(%)</(x2)

C.當1<%<2時，-4</(2x-l)<0D.當一1<%<0時，/(2-x)>/(x)

10.[2024年新課標n卷高考真題]設函數/(x)=2/_3o?+1,貝lj()

A.當a>1時，/(x)有三個零點

B.當a<0時，x=0是/(x)的極大值點

C.存在a,b,使得x=b為曲線y=/(x)的對稱軸

D.存在a,使得點(1,/(1))為曲線y=f(x)的對稱中心

三、填空題

11.[2024年新課標I卷高考真題]若曲線+x在點(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+l)+a

的切線，則。=.

12.[2024屆?南寧三中二模]若直線丁=依+1與曲線丁=6+111%相切，則仍的取值范圍為.

四、解答題

13.[2024年新課標I卷高考真題]已知函數/(x)=In—^―+ax+b(x-1)3.

2-x

(1)若5=0,且尸(x)20,求。的最小值；

(2)證明：曲線y=/(x)是中心對稱圖形；

(3)若/(x)>-2當且僅當l<x<2,求6的取值范圍.

14.[2024年新課標H卷高考真題]已知函數f(x)^ex-ax-a3.

(1)當a=l時，求曲線y=/(x)在點(1,/⑴)處的切線方程；

(2)若/(》)有極小值，且極小值小于0,求a的取值范圍.

15.[2024屆.山東臨沂.二模]已知函數〃x)=ln(G；)+(a-l)x-el

⑴當。=1時，求證：〃尤)存在唯一的極大值點％,且/優)<-2；

⑵若/(%)存在兩個零點，記較小的零點為X"是關于x的方程111(1+%)+3=2%+cosx的根,

證明：e'+l>2e'i.

參考答案

1.答案：A

解析：當X<0時，一X>0,所以/(X)=-〃一同=一[(一%)3+2(-%)2]=%3-2尤2,

通過對比系數得。=-2.

故選：A.

2.答案：B

解析：因為函數/(%)=4|%-々|+3在(-00,4)上單調遞減，在(a,+Q0)上單調遞增.

又函數在區間工+oo)上不單調，所以a>l，

故選：B.

3.答案：D

".-1

解析：依題意，")=如'，而〃2)=。⑴，則e-尸+尸」，即,_尸-1=0,

〃2)=依jee

又>>0,解得人|=^±1,所以6=2^.

22

故選：D.

4.答案：A

解析：由圖可知，函數圖象對應的函數為偶函數，排除C,

由圖可知，函數的定義城不是實數集.故排除B；

5.答案：D

解析：由題意知/(x)=g(x),則a(x+iy-l=cosx+2ax,即cosx=a(尤?+1)—1.令

必尤)=cosx—a(尤2+1)+1.易知丸(刈為偶函數，由題意知/i(x)在(—1/)上有唯一零點，所以

/?(0)=0,即cosO—a(0+l)+l=0,得a=2,故選D.

6.答案：C

解析：由/(%)20及丁=兀+。，y=ln(x+b)單調遞增，可得x+a與ln(x+Z?)同正、同負或同為

零，所以當ln(x+Z?)=0時，x+a=0,即(，所以6=。+1,貝!J

x+a-Q

a2+b2=a+(a+l)2=++g2g，故選C.

7.答案：B

解析：因為當x<3時，/(x)=x,所以/⑴=1,/(2)=2.對于/(x)>/(x—l)+/(x—2),令％=3,

得/(3)>/(2)+/(l)=2+l=3；令尤=4,得/(4)>/(3)+/(2)>3+2=5；依次類推，得

/(5)>/(4)+/⑶>5+3=8；/(6)>/(5)+/(4)>8+5=13；/(7)>/(6)+/(5)>13+8=21；

/(8)>/(7)+/⑹>21+13=34；/(9)>/(8)+/(7)>34+21=55；

/(10)>/(9)+/(8)>55+34=89；/(11)>/(10)+/(9)>89+55=144；

/(12)>/(II)+/(10)>144+89=233；/(13)>/(12)+/(II)>233+144=377；

/(14)>/(13)+fill)>377+233=610；/(15)>/(14)+/(13)>610+377=987；.…顯然

/(16)>1000,所以/(20)>1000,故選B.

8.答案：B

解析：因為函數/(x)在R上單調遞增，且當％<0時，f(x)=-x2-2ax-a,所以

f(x)=-爐一2ax一a在(_oo,0)上單調遞增,所以一aNO,MPa<0；當xN0時,/(x)=ex+ln(x+l),

所以函數/(x)在［0,+oo)上單調遞增.若函數/(x)在R上單調遞增，則-a</(0)=l,BP?>-1.

綜上，實數a的取值范圍是［-1,0］.故選B.

9.答案：ACD

解析：因為/(x)=(x-1)2(x-4),所以f\x)=2(x-l)(x_4)+(x-1)2=3(x-l)(x-3),令廣⑺=0,

解得x=l或x=3,當x<l或x>3時，/'(x)>0,當l<x<3時，f'(x)<0,所以函數/(x)的

單調遞增區間為(—』)，(3,+oo),單調遞減區間為(1,3),故x=l是函數/(x)的極大值點，x=3

是函數/(x)的極小值點，所以A正確.

當0<x<l時，x-x2=x(l-x)>0,即0</<X<1,又函數/(X)在(0,1)上單調遞增，所以

f(x2)</(x),所以B錯誤.

當1<%<2時，l<2x—1<3,函數/(x)在(1,3)上單調遞減，所以-4=/(3)</(2x-l)</(I)=0,

所以C正確.

當T<x<0時，/(2-%)-/(%)=(2-x-1)2(2-x-4)-(x-1)2(%-4)

=(x—1)2(—x—2)—(x—l)2(x—4)=(x—1)2(—2x+2)=—2(x—Ip>0,所以/(2-x)>/(幻，所以D

正確.

綜上，選ACD.

10.答案：AD

解析：由題可知，f'(x)^6x(x-a).

對于A,當a>l時，由尸(x)<0得0<x<a,由尸(x)>0得x<0或x〉。，貝|在(―oo,0)上

單調遞增，在(0,。)上單調遞減，在(a,+8)上單調遞增，且當xf-%時，/(%)--8,/(0)=1,

/(a)=-a3+1<0,當xf-Ko時，/(x)f+8,故/(x)有三個零點，A正確；對于B,當a<0

時，由/'(x)<0得a(尤<0,由/'(x)>0得x>0或x<a,則/(x)在(—8,a)上單調遞增，在(a,0)

上單調遞減，在(0,+oo)上單調遞增，故％=0是/(x)的極小值點，B錯誤；

對于C,當xf”時，f(x)+00,當Xf—00時，f(x)-00,故曲線y=/(x)必不存在對

稱軸，C錯誤；

對于D,解法一：/(x)=2x3—3加+1=2(x—--1a2+?令/'=x—會則/(x)可

轉化為g⑺=2/一|。2/+1—［，由y=2/—|//為奇函數，且其圖象關于原點對稱，可知g⑺

/3\(3、

的圖象關于點0,1-—對稱，則/(X)的圖象關于點-,1--對稱，故存在a=2,使得點

、2J122)

(1,7(1))為曲線y=/(%)的對稱中心，D正確.故選AD.

解法二:任意三次函數/(乃=以3+法2+5+</(。/0)的圖象均關于點一~—成中心對

、3a13a),

稱，D正確.故選AD.

11.答案：In2

解析：由題，令/(x)=e'+x,則八x)=e'+l,所以八0)=2,所以曲線y=e，+x在點(0,1)處

的切線方程為y=2x+l.令g(x)=ln(x+l)+a,則g'(x)=」一，設直線y=2x+l與曲線y=g(x)

x+1

相切于點(九0,%),則一-—=2,得/=-工,則%=2/+1=0,所以0=ln[—g+l]+a,所以

XQ+12

〃=ln2.

12.答案：-+oo^

解析：函數y=b+ln尤的導數為了=!，

X

設切點為(%0,冰o+l),所以，=Q,則依0=1,即工=%,

又因為(%0，質+1)在丁=/?+111%上，所以+l=Z?+ln%o,

所以b+ln%o=2,即Z?-ln1=2,所以Z?=2+lna,

所以QZ?=Q(2+lnQ)=2Q+alna(〃>0),

令g(a)=2a+alnQ,g<a)=2+lna+a—=lna+3,

令g'(〃)>。，可得令/(〃)<。，可得

ee

所以g上單調遞增,

1

當a趨近正無窮時，g(a)趨近正無窮.

所以質的取值范圍為：1-3,+8、故答案為：［-二,+00

Le3)Le3

13.答案：(1)-2

(2)證明見解析

(3)-1''+00)

解析：(1)/(x)的定義域為(0,2),

若〃=0,貝>J/(x)=ln=^-+奴，f\x)=—~工)：^+a=——-----\-a,

2-xx(2-x)2x(2—x)

當xe(0,2)時，x(2-x)e(0,l],=2+a>0,則a?—2,

故a的最小值為-2.

2-r

(2)/(2-x)=ln--+a(2-x)+Z?(l-x)3

X

Xa

——In--------ux—Z?(x—1)+2a——f(x)+2〃,

2-x

故曲線y=/(x)關于點(1,a)中心對稱.

(3)由題知f(l)=a=—2,

止匕時/(x)=ln----2%+儀%—1)3,

2-x

/'(X)==?-2+3b(x-1)2

x(2-x)

2「2

=------------2+3b(x—1)2=(%—1)2----------+3/?.

x(2—%)\_x(2-x)

2

記g(x)=—；——+3。，xe(0,2),易知g(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,2)上單調遞增,

x(2-x)

g⑴=2+3小

7

當62-§時，g(x)>0,f(x)>Q,/(x)在(0,2)上單調遞增,

又/⑴=-2,故符合題意.

%八2./、2-3bx"+6bx+2

當/?<——時fH，g(l)<0,g(x)=---------+3Z?=-------------------,

3x(2—x)x(2-x)

令g(x)=。,得X=1±J1+三'

7

因為"一院所以

所以當xel」+Jl+￡,寸，g(x)＜。，/'(x)＜。，/(x)在(1,1+上單調遞減，故

/

中+產5/(I)=-2,不符合題意.

2

綜上，6的取值范圍為—,+oo

3

14.答案：(1)(e-l)x-y-l=0

(2)(1收)

解析：(1)當a=l時，/(x)=e=x—1,則0(x)=e=1,

則(⑴=e—1.

/⑴=e-2,所以切點坐標為(l,e-2),

所以切線方程為y—(e—2)=(e—l)(x—1),即(e—l)x—y—1=0.

(2)易知函數/(x)的定義域為R,r(x)=e-a.

當aWO時，f'(x)＞0,函數/(x)在R上單調遞增，無極值;

當a>0時，由f'(x)>0,得x>lna,由f'(x)<0,得％<Ina,

所以函數在區間(-8,Ina)上單調遞減，在區間(lna,+s)上單調遞增,

所以/(x)的極小值為f()na)^a-aina-a3.

由題意知a-alna-/<0(。>0),等價于l-lna-a?<0(?>0).

解法一：令g(a)=1-1114一儲(。〉o),

畫119~2a2+a-l2^-4^+8

貝IJg(a)=1----2a=----------=——-----------<0,

aaa

所以函數g(a)在(0,+oo)上單調遞減，

又g(l)=0,故當0<QVl時，g(Q)>0；當時，g(Q)vO.

故實數a的取值范圍為(1,位).

解法—.：由1—Ina—/<0(<2〉0),得Ina〉—ci~+l(a>0).

如圖為函數y=lna與y=-/+i在區間（o,+oo）上的大致圖象,

由圖易知當a>l時，InaA-M+i,gp1-In?-<0.

所以實數a的取值范圍為

15.答案：（1）證明見解析

⑵證明見解析

解析：（1）當a=l時，/（%）=lnx-ex,xe（0,-H?）,

所以/（力=工_仁

X

所以r（x）在（0,+8）上單調遞減，且/[￡|=2-1〉0,/⑴=1—e<0,

則現使得當XG（O,%O）時，

當％e（%o，+co）時，（無）<0,且/''（/）=0,即工=e~,

玉）

所以“力在（O,x0）上單調遞增，在Go，”）上單調遞減，

所以“可存在唯一的極大值點%,

M/（x0）+2=Inx0-+2=-x0--+2=-—~~—<0,

所以v-2.

(2)令ln(詞+(a-l)x-e*=0,得In(何+ox=x+e*,

設g(x)=x+e，，顯然g(x)在定義域上單調遞增，

而at+ln(at)=e111^+ln(at),則有gln(ov)=g(x),

所以x=ln(ov).

依題意，方程x=ln(ox)有兩個不等的實根，

即函數h(x)=x-ln(ax)在定義域上有兩個零點，

顯然a/0,當a<0時,網司的定義域為(-8,0),

在(YO,0)上單調遞增，網對最多一個零點，不合題意,

所以a>0,可尤)的定義域為(0,+oo),

所以求導，得=工，

X

當0<xvl時，li(%)<0,當％>1時，”(九)〉0,

所以力⑴在(0,1)上單調遞減，在(1,+00)上單調遞增，

M%)min=硝)=]_姑〃，

要使妝工)有兩個零點，必有1-lna<。，即a>e,

止匕時%[口=->0,即h(x)在(0,1)有一個零點，

kajci

M〃2)--31nQ,

令=d_31n%,x>e,

求導得/⑴=2%-3x,顯然d(x)在(e,+8)上單調遞增，

3

所以/(%)>u(e]=2e——>0,

e

所以在(e,+GO)上單調遞增，M(X)>w(e)=e2-3>0,

所以無(/)>(),則函數/z(x)在(1,+8)上存在唯一零點.

由再為x=ln(以)的兩個根中較小的根，

X1

得e=axx,Xj>0,

又由已知得23=111(1+0-cos1+3,

從而29=ln(l+。-cos/+3,

因為%>0,

所以29>2,

所以ln(l+f)-cos/+l>0.

設0⑺=ln(l+%)-cos%+l(1>-1),

當1>0時，InQ+z)>。，-1<COS^<1,則0⑺>0符合題意，

當一1<??0時，"'(%)=+sinr>0,則0⑺在(-1,0］上單調遞增,

所以v0(。)=0不合題意,

所以%>0

所以設zn(x)=e*-ln(l+x)+cos%-2,x>0.

求導，得病(x)=e，---------sin%,當%>0時，

1+%

令"(x)=e，-x-l,^(x)=x-sinx,

則(x)=ex-l>0,^(x)=l-cosx>0,

所以p(x),q(x)在(0,+oo)上單調遞增，

從而夕(x)>0,q(x)>0,即e">x+l,x>sinx9

從而m(%)>x+1x=l-=^—>0,

1+x1+x1+x

即加(x)在(0,+GO)單調遞增，則m(x)>m(0)=0,

于是e"+l>ln(l+x)-cosx+3,

即ez+l>ln(I+%)-cos%+3=2e'i,

即e'+l>2e再.

(3)三角函數與解三角形

——2024年高考數學真題模擬試題專項匯編

一、選擇題

1.［2024年新課標I卷高考真題］已知cos(a+/?)=zn,tanortan/?=2,則cos(a-/?)=()

A.-3mB.----C.一D.3m

33

2.[2024年新課標II卷高考真題]設函數f(x)^a(x+l)2-l,g(x)=cot^x+2ax,當時，

曲線y=/(x)和y=g(x)恰有一個交點.則。=()

A.-lB.-C.lD.2

2

3.[2024年新課標I卷高考真題]當xe[0,2兀]時，曲線y=sinx與牛=2sin(3x-令的交點個數

為()

A.3B.4C.6D.8

4.[2024屆嘿龍江齊齊哈爾.一模]已知cos[e+)：,則sin,-/)

7733

A.-B.--C.-D.--

8888

5.[2024屆.山西長治.一模校考]已知函數/(尤)=Asin(<yx+o)(A>0,口>0,101<1)的部分圖

象如圖所示，若方程/(%)=二機在［-］,()］上有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是()

A.[-2,-A5]B.(-2,-A/3]C.(-2,-l]D.[-2,-l]

6.[2024屆?江西?模擬考試]在△ABC中，若sinA=2cosBcosC,則cosz5+cos2c的取值范圍

為()

A」!A/2+1

B.c2D.,2

-?2

m.itanCtanC/、

7.[2024屆.湖北.模擬考試聯考]在△ABC中，AC2+BC2=5AB2,則）

ArJ-6---

-t2

8.[2024屆?湖南師大附中?模擬考試]若銳角a,13滿足3cos(a+0=cos(zcos〃，則tan(e+0

的最小值為()

A.272B.20C.2舊D.2后

二、多項選擇題

9.[2024年新課標II卷高考真題]對于函數/(x)=sin2x和g(x)=sin12x-￡|,下列說法中正確

的有()

A.f(x)與g(x)有相同的零點B.f(x)與g(x)有相同的最大值

C./(%)與g(x)有相同的最小正周期D.f(x)與g(x)的圖像有相同的對稱軸

10.[2024屆.河北衡水.二模聯考]如圖，點A,B,C是函數〃x)=sin(ox+0)(o>O)的圖象與

直線y=且相鄰的三個交點，且忸C|-|A3|=工，ff--1=0,則()

23I12J

A.①二4

C.函數“力在［看］上單調遞減

D.若將函數””的圖象沿x軸平移。個單位，得到一個偶函數的圖像，則冏的最小值為最

三、填空題

11.［2024年新課標n卷高考真題］已知a為第一象限角，0為第三象限角，tana+tan，=4,

tanatanp=^2+1,貝!Jsin(tz+/7)=.

12.［2024屆.山東威海.二模］在△ABC中，角A，B,C所對的邊分別為a,b,c,已知

b+c—A?cosC=.則sinA=---------

6

13.［2024屆.長沙市第一中學.模擬考試］已知函數

/(X)=sinCOS+A/3COS￡9X(0<|(y|<1)的圖象的一條對稱軸為直線x=~,

貝1JCD=.

四、解答題

14.［2024年新課標I卷高考真題］記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

sinC=A/2COSB,a2+b2-c2=41ab.

(1)求&

(2)若△ABC的面積為3+百，求c.

15.［2024年新課標H卷高考真題］記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

sinA+V3COSA=2.

(1)求A；

(2)若a=2,y/2bsmC=csin2B,求△ABC的周長.

參考答案

1.答案：A

sinasinD

解析：由cos(df+J3)=相得cosecos/?-sinasin/3=根①.由tanatan/?=2得---------=2②，

cosacos0

,［cosacos3=-m_

由①②得《，所以cos(e-7?)=cosacos/?+sinasin乃=一3根，故選A.

sinasm/3--2m

2.答案：D

解析：由題意知/(X)=g(x),貝！J6Z(X+1)2-1=COSX+2^X,即COSX=+1)一1,令

h(x)=cosx-a(^x2+1)+1.易知h(x)為偶函數，由題意知力(九)在(一1,1)上有唯一零點，所以

/z(0)=0,即cosO—Q(0+1)+1=0,得a=2,故選D.

3.答案：C

解析：因為函數y=2sin13x-F)的最小正周期T=§,所以函數y=2sin［3x-t］在。2河上

的圖象恰好是三個周期的圖象，所以作出函數〉=25由［3%-看］與丁=5足工在。2兀］上的圖象如

圖所示，

由圖可知，這兩個圖象共有6個交點，故選C.

4.答案：A

解析：設tz+'=f,則&=/■一巴，cost=-,sin(2tz—工］=sin2。一工］一工=sinfIt--

664I6［66I2

=_cos2?=_(2COS2,_1)=_-]=—?

故選：A.

5.答案：B

解析：觀察圖象知，A=2,函數/(x)的周期T=g*-(-g)]=7i,。=與=2,

由/(!1■)=2，得2*5+夕='1+24兀，左eZ,而l9l<],則°=

于是/(x)=2sin(2x+m),當時，2%+三e[―g,]],

當2x+^e[-勺，即xe[-±-型],函數單調遞減，函數值從-逝減小到-2,

332212

當2x+^e[-二,當，即xe[-2,0]時，函數/⑶單調遞增，函數值從-2增大到石，

32312

顯然函數“X)的[-工-馬上的圖象關于直線x=-型對稱，

2312

方程/(%)=根在[-],0]上有兩個不相等的實數根，即直線>=加與函數y=/(x)在[-],0]上的

圖象有兩個公共點，

所以實數機的取值范圍是(-2,-.

故選：B.

6.答案：B

解析：SsinA=2cosBcosCsinBcosC+cosBsinC=2cosBcosC,所以tan5+tanC=2,又

--cos^R

2cos5cosc>0,所以5,C均為銳角，即tan_B>0,tanCAO.cosO^B+cosOCu——石--------z—+

sin2B+cos2B

22222

------c-o--s---C------=-------1------1-------1------=----2--+--t-a--n---B---+--t-a-n---C----=----------t-a--n---B--+---t-a-n---C---+--2----------

sin2C+cos2C1+tan2B1+tan2C(^1+tan2B^l+tan2C)tan2Btan2C+tan2B+tan2C+1

.因為tan?J3+tan2C=(tan3+tanC)2-2tanjBtanC=4-2tanBtanC,所以cos26+cos?C=

6-2tanBtanC

設3—tanBtanC=m,貝！]cos2B+cos2C=--------------------------

tan2Btan2C-2tanBtanC+5(3—m)—2(3—m)+5

—=—|—，因為tan^tanCJtan8+tanC[=],當且僅當A=3=烏時等號成

蘇—4"吐8m+l_4I2)4

m

Q

立，所以加e[2,3),m+—e[40,6],cos2B+cos2CG1,.故選B.

m

7.答案：B

解析：設AC*BC=a,AB=c,

由3+802=5432,

則it?+〃=5c-,

tanCtanCJcosAcos5sinCsin(A+B)sin2C

------+-------=tanC|-------+-------

tanAtanB<sinAsinBcosCsinAsinBsinAsin5cosC

￡!__i、

+b2-c2=—>故選：B.

abx--------------2

lab

8.答案：D

2

解析：3cos(cr+)3)=cosacosP=^>3cosacos/?-3sinorsinp=cosocos/?=^>tanortan

于是tan(6z+〃)=‘an"+tan'=3(tana+tan〃)>6jtanatan/?=2A/6.選D.

1-tanortan/?

9.答案：BC

解析：對于令貝！］弓，又kit

A,/(x)=0,%=keZ,gWO,故A錯誤;

對于B,/(x)與g(x)的最大值都為1,故B正確；

對于C,/(x)與g(x)的最小正周期都為兀，故C正確；

對于D,/(%)圖象的對稱軸方程為2》=二+也，ZreZ,BPx=-+—,ZeZ,g(x)圖象的對

242

稱軸方程為2x-2=2+版，keZ,即x=型+如，kwZ,故/(x)與g(x)的圖象的對稱軸不

4282

相同，故D錯誤.故選BC.

10.答案：ACD

解析：令/(x)=sin(ox+0)=岑得，a>x+(p=^+2kn^a)x+(p=^-+2kn,keZ,

=__兀兀27r

由圖可知：coxA+(p=—+2kn,coxc+(p=—+2H+2TI,coxB+(p=-+2kn,

所以忸￡+?陰=&"*

coHH

所以]=|5c|-|A創1+2兀）所以口=4,故A選項正確,

所以〃“=sin（4x+0）,由/卜/=0且x=*處在減區間，得sin=0,

JT

所以--\-(p=Tt+2左兀,keZ,

3

47r

所以夕=丁+2.，左￡Z,

所以/(x)=sin(4x+也+2左兀]=sin|4x+—|=-sin|4x+—

)兀57171

4x+—G——，2兀+一

333

因為y=-sinf在峰[?,2兀+皆為減函數，故"X）在上單調遞減，故C正確；

將函數“X）的圖象沿x軸平移9個單位得g（x）=-5由14%+4，+5],（。＜0時向右平移，。＞0

時向左平移），

g（x）為偶函數得4。+]=]+?,keZ,

所以￡=（+,,keZ,則冏的最小值為（，故D正確.

故選：ACD.

11.答案：-述

解析：由題知tan(a+yg)=1alia+tan尸一=---4=_2插,gpsin((z+/3)=-2^2cos((z+/3),

1-tan-tan1-^2-1

Xsin2(ci:+/7)+cos2(a+P)=1,可得sin(c+，)=~~~~.由2%兀<a<2%兀+]keZ,

2mn+7i</7