4等可能條件下的概率

【考點01可能性的大小】

【考點02概率公式的計算】

【考點03列舉法或樹狀圖求概率（卡片問題）】

【考點04列舉法或樹狀圖求概率（轉盤問題）】

【考點05列舉法或樹狀圖求概率（不放回的摸球問題）】

【考點06列舉法或樹狀圖求概率（放回摸球問題）】

【考點07列舉法或樹狀圖求概率（電路問題）】

【考點08列舉法或樹狀圖求概率（數字問題）】

【考點09列舉法或樹狀圖求概率（實際應用問題）】

【考點10幾何概率】

^niRRIR

知識點概率

1.定義：一般地，對于一個隨機事件/，把刻畫其發生可能性大小的數值，稱為隨機事

件A發生的概率，記為尸（/）.

（1）一個事件在多次試驗中發生的可能性，反映這個可能性大小的數值叫做這個事件發生

的概率.

（2）概率指的是事件發生的可能性大小的的一個數值.

2、概率的求法：一般地，如果在一次試驗中，有”種可能的結果，并且它們發生的可能性

都相等，事件/包含其中的加種結果，那么事件/發生的概率為尸（/）=-.

n

（1）一般地，所有情況的總概率之和為1.

（2）在一次實驗中，可能出現的結果有限多個.

（3）在一次實驗中，各種結果發生的可能性相等.

（4）概率從數量上刻畫了一個隨機事件發生的可能性的大小，事件發生的可能性越大，則

它的概率越接近1;反之，事件發生的可能性越小，則它的概率越接近0.

（5）一個事件的概率取值：0<PU）<1

當這個事件為必然事件時，必然事件的概率為1,即P（必然事件）=1

試卷第1頁，共12頁

不可能事件的概率為0,即尸（不可能事件）=0

隨機事件的概率：如果/為隨機事件，則0<PCA）<1

（6）可能性與概率的關系

事件發生的可能性越大，它的概率越接近于1,事件發生的可能性越小，則它的概率越接近

0.

?事件發生的可能性越來越小?

??一：概率的值

不可能發生事件發生的可能性越來越大.必然發生

2.求概率方法：

（1）列舉法：通常在一次事件中可能發生的結果比較少時，我們可以把所有可能產生的結

果全部列舉出來，并且各種結果出現的可能性相等時使用.等可能性事件的概率可以用列舉

法而求得.但是我們可以通過用列表法和樹形圖法來輔助枚舉法.

（2）列表法：當一次實驗要涉及兩個因素（例如擲兩個骰子），并且可能出現的結果數目較

多時，為不重不漏地列出所有可能的結果時使用.

（3）列樹形圖法：當一個實驗要涉及3個或更多的因素（例如從3個口袋中取球）時，列

表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結果時使用.

【考點01可能性的大小】

【典例1】

1.下列事件中，發生的可能性最小的是（

標準大氣壓下，水的沸點是100℃

杭州亞運會上射擊運動員射擊一次，命中10環

C.北京某日的最高氣溫為35。。

D.用長10cm,10cm,20cm的三根木棍首尾相接做成一個三角形

【變式1-1】

2.在如圖所示的轉盤中，轉出的可能性最大的顏色是（

試卷第2頁，共12頁

A.紅色B.黃色C.白色D.黑色

【變式1-2]

3.擲一枚硬幣3次有兩次正面向上，一次反面向上，則第4次擲正面向上的可能性（）

A.100%B.-C.-D.

234

【考點02概率公式的計算】

【典例2】

4.活動課上進行盲盒摸球（除了顏色，其他都一樣）活動，已知盲盒里有3個白球、5個

黑球和2個紅球，則摸到紅球的概率為（）

11-31

A.—B.—C.—D.一

105102

【變式2-1】

5.一副撲克牌是54張，隨意摸到一張是10的概率為（）

11-21

A.—B.—C.—D.—

54262713

【變式2-2】

6.擲一枚質地均勻的標有1、2,3,4,5,6六個數字的立方體骰子，骰子停止后，出現3

的倍數的概率為（）

,1112

A.—B.—C.—D.一

6323

【變式2-3]

7.拋擲一枚質地均勻的骰子一次，所得點數為偶數的概率是（）

1111

A.-B.—C.—D.一

4263

【變式2-4]

8.從平行四邊形、菱形、矩形、正方形四個四邊形中，任意選取一個四邊形，則這個四邊

形恰為軸對稱圖形的概率是（）

3

A.—B.1C.—D.-

424

【考點03列舉法或樹狀圖求概率（卡片問題）】

【典例3】

9.卯兔追冬去，辰龍報春來.中央廣播電視總臺《2024年春節聯歡晚會》以“龍行噩噩，

欣欣家國”為主題.將分別印有“龍”“行”“矗”“疆”四張質地均勻、大小相同的卡片放入盒中,

從中隨機抽取一張不放回,再從中隨機抽取一張，則抽取的兩張卡片上恰有兩張印有漢字“矗”

試卷第3頁，共12頁

的概率為（）

21-11

A.—B.—C.—D.一

3236

【變式3-1】

10.現有4張卡片，正面圖案如圖所示，它們除此之外完全相同，把這4張卡片背面朝上洗

勻，從中隨機抽取兩張，則這兩張卡片正面圖案恰好是“北斗”和“高鐵”的概率是（）

1

D.——

12

【變式3-2】

11.五張分別印有“德”、“智”、“體”、“美”、“勞”的卡片（除卡片上的字不同外，其余均相

同），將它們洗勻后隨機抽取兩張，則恰好是“德”和“智”的概率是.

【考點04列舉法或樹狀圖求概率（轉盤問題）】

【典例4】

12.在某次數學活動中，有兩個如圖所示的轉盤4B,轉盤/被分成四個相同的扇形，分

別標有數字1、2、3、4,轉盤8被分成三個相同的扇形，分別標有數字5、6、7,指針固

定不變，轉動轉盤（如果指針指在等分線上，那么重新轉動，直至指針指在某個扇形區域內

為止）.小濱自由轉動N盤，小河自由轉動8盤，當兩個轉盤停止后，記下各個轉盤指針所

指區域內對應的數字，請用畫樹狀圖或列表法求所得兩數之和為3的倍數的概率.

【變式4-1]

13.如圖，甲、乙兩人在玩轉盤游戲時，準備了兩個可以自由轉動的轉盤B,每個轉盤

被分成面積相等的幾個扇形，并在每一個扇形內標上數字.游戲規則：同時轉動兩個轉盤,

當轉盤停止后，指針所指區域的數字之和為0時，甲獲勝；數字之和為I時，乙獲勝.如果

試卷第4頁，共12頁

指針恰好指在分割線上，那么重轉一次，直到指針指向某一區域為止.

（1）用畫樹狀圖或列表法求乙獲勝的概率；

（2）這個游戲規則對甲、乙雙方公平嗎？請判斷并說明理由.

【變式4-2]

14.如圖，甲為四等分數字轉盤，乙為三等分數字轉盤.同時自由轉動兩個轉盤，當轉盤停

止轉動后（若指針指在邊界處重轉），兩個轉盤指針指向數字之積不超過4的概率

【考點05列舉法或樹狀圖求概率（不放回的摸球問題）】

【典例5】

15.一個不透明的盒子里裝有一個紅球、一個白球和一個綠球，這些球除顏色外都相同.從

中隨機摸出一個球，記下顏色后不放回，再從中隨機摸出一個球，則兩次摸到的球恰好有一

個紅球的概率是（）

,1245

A.—B.—C.-D.一

3399

【變式5-1]

16.一不透明袋子中裝有紅、綠小球各2個，它們除顏色外無其他差別，先隨機摸出一個小

球，不放回，再隨機摸出一個，兩次都摸到綠球的概率為（）

A.—B.—C.-D.—

8634

【變式5-2]

17.書架上放著三本小說和兩本散文，小明從中隨機連續抽取兩本（不放回），兩本都是小

說的概率是（）

試卷第5頁，共12頁

【變式5-3]

18.不透明盒子中裝有除顏色外沒有其它區別的4個紅球和2個白球，攪勻后從中摸出一個

球不放回，然后攪勻再摸出一個球，兩次都摸出紅球的概率是.

【考點06列舉法或樹狀圖求概率（放回摸球問題）】

【典例6】

19.圍棋起源于中國，棋子分黑白兩色.在一個不透明的盒子中裝有2個黑色棋子和1個白

色棋子，每個棋子除顏色外均相同，從中隨機摸出一個棋子，記下顏色后放回，再從中隨機

摸出一個棋子，則兩次摸到不同顏色的棋子的概率是（）

1524

A.—B.—C.-D.一

3939

【變式6-1]

20.“二十四節氣”是中華上古農耕文明的智慧結晶，被國際氣象界譽為“中國第五大發明”,

小明購買了“二十四節氣”主題郵票，他將“立春”“清明”“雨水”三張紀念郵票（除正面內容不

同外，其余均相同）背面朝上，洗勻放好.小明從中隨機抽取一張郵票，記下內容后，正面

向下放回，洗勻后再從中隨機抽取一張郵票，請用畫樹狀圖或列表的方法，求小明兩次抽取

的郵票中至少有一張是“雨水，，的概率（這三張郵票依次分別用字母B,C表示）.

【變式6-2]

21.在一個箱子中放有三張完全相同的卡片，卡片上分別標有數學1、2、3,從箱子中任意

取出一張卡片，用卡片上的數字作為十位數字，然后放回，再取出一張卡片，用卡片上的數

字作為個位數字，這樣組成一個兩位數，請用列表法或畫樹狀圖的方法完成下列問題.

（1）按這種方法能組成哪些兩位數？

（2）組成的兩位數是2的倍數的概率是多少？

【考點07列舉法或樹狀圖求概率（電路問題）】

試卷第6頁，共12頁

【典例7】

22.在如圖所示的電路中，隨機閉合開關H、邑、風中的任意兩個，能使燈泡發光的概率

是（）

22

A.-B.—C.D

339-i

【變式7-1]

23.如圖所示的電路圖中，當隨機閉合科,邑，號，其中的兩個開關時，能夠讓燈泡發光

的概率為（）

231

A.C.D.-

3382

【變式7-2]

24.如圖，電路中有3個開關a,b,c,已知電路及其他元件都能正常工作，現任意閉合兩

個開關，能使得小燈泡發光的概率為

~I1-0------

【考點08列舉法或樹狀圖求概率（數字問題）】

【典例8】

25.學校擬舉辦慶祝“建國75周年”文藝匯演，每班選派一名志愿者，九年級一班的小明和

小紅都想參加，于是兩人決定一起做“摸牌”游戲，獲勝者參加.規則如下：將牌面數字分別

為1,2,3的三張紙牌（除牌面數字外，其余都相同）背面朝上，洗勻后放在桌面上，小明

先從中隨機摸出一張，記下數字后放回并洗勻，小紅再從中隨機摸出一張.若兩次摸到的數

試卷第7頁，共12頁

字之和大于4,則小明勝；若和小于4,則小紅勝；若和等于4,則重復上述過程.

(1)小明從三張紙牌中隨機摸出一張，摸到“1”的概率是；

(2)請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲對雙方是否公平.

【變式8-1]

26.在一個不透明的口袋里裝有分別標有數字1,2,3,4四個小球，除數字不同外，小球

沒有任何區別，每次實驗先攪拌均勻.

(1)若從中任取一球，球上的數字為偶數的概率為；

(2)若設計一種游戲方案：從袋中同時任取兩球，兩個球上的數字之差的絕對值為1為甲勝,

否則為乙勝，請問這種游戲甲獲勝的概率是多少?說明理由.

【變式8-2]

27.在甲、乙兩個不透明的口袋中，分別有大小、材質完全相同的小球，其中甲口袋中的小

球上分別標有數字3,4,5,6,乙口袋中的小球上分別標有數字4,5,6,7,小明先

從甲袋中任意摸出一個小球，記下數字為機，小張從乙袋中任意摸出一個小球，記下數字

為”.

⑴從甲袋摸出一個小球，則小球上的數字使代數式/一llx+30的值為0的概率是；

(2)若心,”都是方程V-llx+30=0的解時，小明獲勝；否則小張獲勝；請利用列表格或

畫樹狀圖說明此游戲是否公平？

【考點09列舉法或樹狀圖求概率(實際應用問題)】

【典例9】

28.有一個擺地攤的不法攤主，他拿出3個白球，3個黑球，放在一個袋子里(不透明)，

讓人摸球中獎.只要交2元錢就可以從袋中摸出3個球，若摸到的3個球都是白球，就可得

10元的回報，請你計算一下摸一次球的平均收益，并估算若1000有名學生每人摸一次，攤

主將從同學的身上騙走多少錢？

【變式9-1]

29.一工廠生產某種型號的節能燈的質量抽檢結果如表：

抽檢個數50100200300400500

次品個數135679

(1)根據表格中的數據求任抽1件是次品的概率；

(2)廠家承諾：顧客買到次品包換.如果賣出這批節能燈800個，那么要準備多少個兌換的

試卷第8頁，共12頁

節能燈？

【變式9-2】

30.一個不透明的袋子里裝有除顏色外其他完全相同的紅、白、黃三種顏色的球各10個，

至少要摸（）個才能保證摸出兩個不同顏色的球，至少摸（）個才能保證摸

出兩個黃色的球.

【變式9-3]

31.某寢室有四個同學，每個同學寫一張賀卡放在一起，每人抽取一張，要求不能抽取自己

寫的賀卡，則不同的抽取方案共有種（用數字作答）.

【考點10幾何概率】

【典例10】

32.如圖，將一枚飛鏢任意投擲到正方形鏢盤內，若飛錘落在鏢盤內各點的機會相等,

則飛鏢落在陰影區域的概率為（）

【變式10-1】

33.如圖，在RM/3C中，44cB=90。，AC=8,BC=6,將A/BC繞點8按逆時針方向

旋轉30。后得到△40。，現隨機地向該圖形內擲一枚小針，則針尖落在陰影部分概率

【變式10-2]

34.如圖是一個學生自制的七巧板飛鏢游戲盤，若向游戲盤內投擲飛鏢，投擲在陰影區域的

試卷第9頁，共12頁

概率是.

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一、單選題

35.某校開設了航模、機器人、計算機編程三門特色課程，小雅同學從中隨機選取兩門課程,

恰好選中航模和機器人的概率為（）

1213

A.—B.—C.—D.一

3324

36.一個袋中裝有2個紅球，1個白球，3個黃球，它們除顏色外都相同.從中任意摸出一

個球，則下列有關可能性說法中，正確的是（）

A.紅球可能性最大B.白球可能性最大

C.黃球可能性最大D.三種小球的可能性相同

37.任意拋擲一枚均勻的骰子兩次，記兩次朝上的點數的和為〃?，則下列加的值中，概率

最大的是（）

A.5B.6C.7D.8

二、填空題

38.在一個不透明的盒子中裝有三張卡片，分別標有數字1、2、3,這些卡片除數字不同外

其余均相同，小明從盒子里隨機抽取一張卡片記下數字后放回，洗勻后在隨機抽一張卡片,

則兩次抽取的卡片之積是偶數的概率是.

39.布袋中有2個紅球和1個白球，它們除顏色外其他都一樣，如果從布袋中一次摸出兩個

球，那么一次摸出的兩個球都是紅球的概率為.

40.某市中考體育考試考查5個項目，具體規定是：A項目必考，再從5,C,D,E四項

中隨機抽考兩項，則抽考兩項恰好是C,E兩項的概率是.

41.如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國

漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，現分別連接大、小

正方形的四組頂點得到圖2的“風車”圖案（陰影部分），若圖1中的四個直角三角形的較長

試卷第10頁，共12頁

直角邊為7,較短直角邊為4,現隨機向圖2大正方形內擲一枚小針，則針尖落在陰影區域

的概率為;

三、解答題

42.貴州有著豐富的旅游資源.小星計劃假期來貴州游玩，他打算從3個自然景點(4黃

果樹瀑布；B.梵凈山；C.荔波小七孔)中隨機選取一個，再從2個人文景點(D.遵義會

議會址；￡息烽集中營)中隨機選取一個.

(1)小星從3個自然景點中選中梵凈山的概率是一；

(2)用畫樹狀圖或列表的方法求小星恰好選中黃果樹瀑布和遵義會議會址的概率.

43.有一個轉盤如圖，轉盤可以自由轉動.

(1)讓轉盤自由轉動一次，求指針落在紅色區域的概率.

(2)讓轉盤自由轉動二次，求兩次指針都落在黃色區域的概率.

44.北京冬奧會于2022年2月4日正式拉開帷幕.某校對九年級部分學生對冰上運動項目:

4速度滑冰、8:短道速度滑冰、C:花樣滑冰、。:冰球的知曉情況進行了調查.并將調查情況

制成了兩幅不完整的統計圖.試根據圖中信息，回答下列問題：

(1)本次調查的方式是調查，共調查了名學生;

試卷第11頁，共12頁

(2)扇形統計圖中項目。所對應的圓心角為度；請補齊條形統計圖；

(3)已知項目D中男女學生人數相等，若從項目D的學生中隨機抽取2名學生參加冰上運動

宣講會，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取學生恰好為一男一女的概率.

試卷第12頁，共12頁

1.D

【分析】本題考查了隨機事件，必然事件和不可能事件，解答本題需要正確理解必然事件、

不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條件下，一定發生的事件.不可能事件是

指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生

也可能不發生的事件.

利用隨機事件，必然事件和不可能事件的概念逐一判斷即可解題.

【詳解】解：A.標準大氣壓下，水的沸點為100。（2,是必然事件；

B.杭州亞運會上射擊運動員射擊一次，命中10環，是隨機事件；

C.北京某日的最高氣溫為35。。，是隨機事件；

D.用長為10cm,10cm,20cm三根木棒做成一個三角形，是不可能事件；

故選D.

2.B

【分析】要求轉出的可能性最大的顏色，只要看在整個圓中，哪種顏色所占整個圓的比例大，

根據圖很容易得出結論.

【詳解】解：由圖知：白色和紅色各占整個圓的;，黑色所占比例少于整個圓的;，黃色大

于整個圓的;，所以黃色轉出的可能性最大.

故選：B.

【點睛】本題考查了可能性的大小，用到的知識點為：可能性等于所求情況數與總情況數之

比.

3.B

【分析】根據概率的意義就是事件出現的機會的大小，硬幣出現正面向上與反面的機會相等，

即可確定.

【詳解】解：每次擲硬幣正面朝上的概率都是：，前面的結果對后面的概率是沒有影響的,

所以出現正面向上的概率是相同的.

故選：B.

【點睛】考查了可能性的大小的知識，理解概率的意義反映的只是這一事件發生的可能性的

大小是解答本題的關鍵.

4.B

【分析】本題考查根據求概率，根據概概率等于所求情況數與總情況數之比，即可解答.

答案第1頁，共23頁

【詳解】解：一共有3+5+2=10(個)，

紅球有2個，

???摸到紅球的概率=2京=(1,

故選：B.

5.C

【分析】本題考查了隨機事件概率的求法：如果一個事件有"種可能，而且這些事件的可能

性相同，其中事件A出現加種可能，那么事件A的概率「(4)=—.根據概率公式知，共54

n

張，其中有4張10,即可得出摸到一張是10的概率.

【詳解】解：在一副撲克牌中，共54張，其中有4張10,

42

則隨意抽取一張是10的概率為瓦=方.

故選：C.

6.B

【分析】本題考查概率公式、倍數，熟練掌握概率公式是解答本題的關鍵.由題意知，共有

6種等可能的結果，其中出現3的倍數的結果有2種，利用概率公式可得答案.

【詳解】解：由題意知，共有6種等可能的結果，其中出現3的倍數的結果有：3,6,共2

種，

21

,出現3的倍數的概率為2=：.

63

故選：B.

7.B

【分析】本題考查了根據概率公式計算概率，一枚質地均勻的骰子有6個面，點數為偶數的

面有3個，據此即可求解.

【詳解】解：?.?一枚均勻的骰子有6個面，點數為偶數的面有3個，

???拋擲一枚質地均勻的骰子一次，所得點數為偶數的概率為：

62

故選：B.

8.D

【分析】本題考查了軸對稱圖形的判斷，以及概率的計算.從這4個圖形中找到是軸對稱圖

形的個數，再利用概率公式計算可得.

【詳解】解：在平行四邊形、菱形、矩形、正方形這4個圖形中，是軸對稱圖形的是菱形、

答案第2頁，共23頁

矩形、正方形這3個圖形，

所以這個四邊形恰為軸對稱圖形的概率是3:，

1'4

故選：D.

9.D

【分析】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.解題時要注意是放回實驗還是不放回實

驗，以及概率=所求情況數與總情況數之比.根據題意畫出樹狀圖，得到共有12個等可能

的結果，抽取完兩張卡片后，恰有兩張印有漢字“噩”的結果有2個，再由概率公式求解，即

可解題.

【詳解】解：解：把“矗”“龍”“行”分別記為/、B、C,畫樹狀圖如圖：

開始

ABAC

/N/K/T\/1\

BACAACABCABA

共有12個等可能的結果，抽取完兩張卡片后，恰有兩張印有漢字嚏肝的結果有2個，

21

「?抽取完兩張卡片后，恰有兩張印有漢字嚏歙的概率為G=二.

126

故選：D.

10.A

【分析】本題考查列表法或樹狀圖法求概率，解題的關鍵是能夠通過列表或畫樹狀圖展示所

有等可能的結果，做到不重復、不遺漏.

畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，所抽取的卡片正面上的圖形恰好是“北斗”和“高鐵”的

結果有2種，再由概率公式求解即可.

【詳解】解：把印有“北斗”、“天河”“高鐵”和“九章”的四張卡片分別記為：A、B、C、

D,

畫樹狀圖如下：

BCDACDABDABC

共有12種等可能的結果，所抽中的恰好是A和C的結果有2種,

答案第3頁，共23頁

21

???所抽取的卡片正面上的圖形恰好是“北斗”和“高鐵”的概率為.

126

故選：A.

1

11.—

10

【分析】本題考查列表法與樹狀圖法，列表可得出所有等可能的結果數以及恰好是“德”和“智”

的結果數，再利用概率公式可得出答案.

【詳解】解：列表如下：

德智體美勞

德（德，智）（德，體）（德，美）（德，勞）

智（智，德）（智，體）（智，美）（智，勞）

體（體，德）（體，智）（體,美）（體，勞）

美（美，德）（美，智）（美，體）（美，勞）

勞（勞，德）（勞，智）（勞，體）（勞,美）

共有20種等可能的結果，其中恰好是“德”和“智”的結果有：（德，智），（智，德），共2種，

21

???恰好是“德”和“智”的概率是—.

故答案為：—.

12.所得兩數之和為3的倍數的概率為:

【分析】本題考查列表法與樹狀圖法，畫出樹狀圖，然后根據概率公式列式計算即可得解;

解題的關鍵是掌握：概率等于所求情況數與總情況數之比.

【詳解】解：根據題意畫出樹狀圖如下:

開始

A1234

/N/T\/K/1\

B567567567567

和678789891091011

一共有12種情況，兩數之和為3的倍數的情況有4種,

41

■.P（兩數之和為3的倍數）—

答案第4頁，共23頁

答：所得兩數之和為3的倍數的概率為;.

13.⑴；

(2)公平，理由見解析

【分析】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺

漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件.游戲雙方獲勝的概率相同，游戲就公平,

否則游戲不公平.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

(1)依據題意先用畫樹狀圖法分析所有等可能的出現結果，然后根據概率公式求出乙獲勝

的概率，比較即可.

(2)根據概率公式求出甲乙獲勝的概率，比較即可.

【詳解】⑴解:(1)列表:

/盤

1234

8盤

-10123

-2-1012

-3-2-101

由列表法可知：會產生12種結果，它們出現的機會相等，其中和為1的有3種結果.

,4乙獲勝)-12?4；

(2)解：公平.

??p=_

,,乙獲勝)一彳，

,P=±=1

?T甲獲勝)-12一4.

一4乙獲勝)=串獲勝，

,游戲公平.

14.

12

【分析】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺

漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件,樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成

的事件.注意概率=所求情況數與總情況數之比.列舉出所有情況，看兩個轉盤指針指向數字

答案第5頁，共23頁

之積不超過4的情況占總情況的多少即可.

【詳解】解：畫樹狀圖如下：

開始

_------------------------------

甲I234

/1\/N/1\/N

乙123123123I23

枳1232463694X12

由圖可知，共有12種等可能的結果，其中數字之積不超過4的結果有7種，所以兩個轉盤

7

指針指向數字之積不超過4的概率是A.

1.7

故答案為：—

15.B

【分析】本題考查用列表法或樹狀圖法求概率，掌握列表法或樹狀圖法求概率是解題關

鍵.求出摸到的兩個球的所有情況，再找出兩個摸到的球恰好有一個紅球的情況，根據概率

公式求解即可.

【詳解】解：用/、B、C分別表示紅球，白球，綠球，列表如下：

第一次第二次ABc

A(民⑷(")

B(4B)(c⑻

C(40(“)

由表格可知，一共有6種等可能性的結果數，其中兩次摸到的球恰好有一個紅球的概率為4

種，

42

???兩次摸到的球恰好有一個紅球的概率是7=-

63

故選：B.

16.B

【分析】畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果數，再找出兩次都摸到綠球的結果數，然后

根據概率公式求解.

本題考查了列表法與樹狀圖法，利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結果求出“，再從中

答案第6頁，共23頁

選出符合事件A或B的結果數目機，然后根據概率公式計算事件A或事件B的概率.

【詳解】解：畫樹狀圖為:

開始

紅紅綠綠

/Nzt\/N/N

紅綠綠紅綠綠紅紅綠紅紅綠

共有12種等可能的結果數，其中隨機摸出一個，兩次都摸到綠球的結果數為2,

21

所以隨機摸出一個，兩次都摸到綠球的概率=百=『

126

故選：B.

17.A

【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結果求出

n,再從中選出符合事件的結果數目加，然后根據概率公式計算事件的概率.

畫樹狀圖（用4B、C表示三本小說，°、6表示兩本散文）展示所有20種等可能的結果

數，找出從中隨機抽取2本都是小說的結果數，然后根據概率公式求解.

【詳解】解：用/、B、。表示三本小說，a、b表示兩本散文，畫樹狀圖為：

開始

所以從中隨機抽取2本都是小說的概率=4=奈.

故選：A.

【分析】此題考查了列表法與樹狀圖法，利用列表的方法找出所有的可能，進而找出兩次都

為白球的情況數，即可求出兩次都摸到白球的概率.

【詳解】解：列表如下：

紅紅紅紅白白

紅一一（紅，紅）（紅，紅）（紅，紅）（白，紅）（白，紅）

答案第7頁，共23頁

紅（紅，紅）—（紅，紅）（紅，紅）（白，紅）（白，紅）

紅（紅，紅）（紅，紅）—（紅，紅）（白，紅）（白，紅）

紅（紅，紅）（紅，紅）（紅，紅）—（白，紅）（白，紅）

白（紅，白）（紅，白）（紅，白）（紅，白）—（白，白）

白（紅，白）（紅，白）（紅，白）（紅，白）（白，白）—

可得出所有的可能有30種情況，其中兩次都為紅球的占了12種情況,

則兩次都摸出紅球的概率是1泰2=12.

2

故答案為：y.

19.D

【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法求概率等知識點，先畫樹狀圖展示所有9種等可能的

結果，再找出兩次摸到不同顏色的棋子的結果數，然后根據概率公式計算.

【詳解】畫樹狀圖為：

開始

黑

黑黑白黑黑白黑白黑

共有9種等可能的結果，其中兩次摸到不同顏色的棋子的結果數為4種，

4

???兩次摸到不同顏色的棋子的概率=§,

故選：D.

20.-

9

【分析】本題考查畫樹狀圖或列表法求概率、以及概率公式，根據題意畫出樹狀圖，得到共

有9種等可能的結果，其中，小明兩次抽取的郵票中至少有一張是“雨水”有5種等可能的結

果，再利用概率公式求解即可.

【詳解】解：根據題意可畫樹狀圖如下：

答案第8頁，共23頁

開始

斑詼ABC

/Nz4\/t\

第二次AHI,ABCABC

由圖知一共9種結果，其中兩次抽取的郵票中至少有一張是“雨水”的情況有5種，

二小明兩次抽取的郵票中至少有一張是“雨水”的概率為g.

21.(1)能組成的兩位數有：11,12,13,21,22,23,31,32,33；

(2)組成的兩位數是2的倍數的概率是:.

【分析】(1)畫出表格或樹狀圖即可得解；

(2)根據概率公式列式即可得解.

本題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

【詳解】(1)解：畫樹狀圖如下：

開始

第1次123

第2次123123123

111213212223313233

能組成的兩位數有：11,12,13,21,22,23,31,32,33；

(2)解：???共有9種均等結果,組成的兩位數是2的倍數的有3種：12,22,32,

31

???組成的兩位數是2的倍數的概率是：|=

22.A

【分析】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的

結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適用于兩步或兩步以上完成的事件；解題時還要注

意是放回實驗還是不放回實驗.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

同時閉合$2、S3,燈泡會發光，根據題意，列出表格，數出所有的情況數和符合條件的情

況數，根據概率公式，即可解答.

【詳解】解：同時閉合邑、邑，燈泡會發光，

根據題意列出表格如下：

答案第9頁，共23頁

$3

(")

邑(邑,SJ⑸同）

邑（邑再）⑸㈤)

由表可知，應該有6種情況，能使燈泡發光的情況有2種,

，能使燈泡發光的概率=：2=：1.

o3

故選：A.

23.D

【分析】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺

漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完

成的事件.注意概率=所求情況數與總情況數之比.

首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與能讓燈泡發光的情況，再

利用概率公式求解即可求得答案.

【詳解】解：畫樹狀圖得：

IEhf*

_-_-___

Sts>&s4

/K/NZ\

S>S,S?SiSIS.SIS>S,SSJS.

???共有12種等可能的結果，能讓燈泡發光的有6種情況，

.??能讓燈泡發光的概率為21.

故選：D.

2

24.-

3

【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法.畫樹狀圖，共有6種等可能的結果，其中使得小燈

泡能正常工作的結果有4種，再由概率公式求解即可.樹狀圖法與列表法可以不重復不遺漏

的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成

的事件；用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比

答案第10頁，共23頁

【詳解】解：畫樹狀圖如下:

開始

AAA

bcacab

共有6種等可能的結果，其中使得小燈泡能正常工作的結果有4種，

使得小燈泡能正常工作的概率為?4=2

o3

2

故答案為：—.

25.(1)|

(2)樹狀圖見解析，該游戲對雙方公平

【分析】本題主要考查了簡單的概率計算，樹狀圖法或列表法求解概率：

(1)根據概率計算公式求解即可；

(2)畫出樹狀圖得到所有符合題意的等可能性的結果數，再分別找到兩次數字之和大于4

和小于4的結果，再依據概率計算公式計算出兩人獲勝的概率即可得到結論.

【詳解】(1)解：???一共有3張牌，其中寫有數字1的牌有1張，且每張牌被摸到的概率相

同，

二小明從三張紙牌中隨機摸出一張，摸到“1”的概率是g,

故答案為：—；

(2)解:畫樹狀圖如下所示：

開始

小明123

/N/1\

小紅123123123

和234345456

由樹狀圖可知，一共有6種(和為4的不符合題意)等可能性的結果數，其中兩次摸到的數

字之和大于4的結果數有3種，兩次摸到的數字之和小于4有3種，

3131

???小明獲勝的概率為2，小紅獲勝的概率為2=

62o2

???小明和小紅獲勝的概率相同，

該游戲對雙方公平.

答案第11頁，共23頁

1

26.(1)-

(2)—,見解析

【分析】本題考查的是游戲公平性的判斷，判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率

相等就公平，否則就不公平.

(1)由不透明的口袋里裝有分別標有數字1,2,3,4四個小球，球上的數字為偶數的是2

與4,利用概率公式即可求得答案;

(2)首先畫出樹狀圖，分別求得甲勝與乙勝的概率，比較概率，即可得出結論.

【詳解】(1)解：???不透明的口袋里裝有分別標有數字1,2,3,4四個小球，球上的數字

為偶數的是2與4,

21

，從中任取一球，球上的數字為偶數的概率為：丁于

故答案為：j

(2)解：畫樹狀圖得:

???共有12種等可能的結果,

???兩個球上的數字之差的絕對值為1的有(1,2),(2,3),(2,1),(3,2),(3,4),(4,3)共6種情況，

.p-A-1

??偉勝)122

27.(1)!

(2)不公平，見解析

【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法、一元二次方程的解法以及概率公式；正確列出表格

是解題的關鍵.

(1)先解方程，根據概率公式即可得出概率；

(2)列出表格，分別計算出小明和小張獲勝的概率，比較即可.

【詳解】(1)解：當代數式/_山+30的值為0時，

%2-1lx+30—0,

解得石=5,x2=6,

答案第12頁，共23頁

???從甲袋摸出一個小球，共有4種等可能結果，其中小球上的數字使代數式/_1卜+30的值

21

為o的有2種結果，其概率為：4=4；

42

（2）解:列表如下：

nm3456

4（3，"（4,4）（5M）（6,4）

5（3,5）（4,5）（5,5）

6（3,6）（4,6）（5,6）（6,6）

7（3,7）（4,6）（5〃）（6,7）

總共有16種等可能結果，其中都是該方程的解的有4種結果，

41

故小明獲勝的概率為：—

164

m,n中有不是該方程的解的結果有12種，

故小張獲勝的概率為9123

164

所以，小明獲勝的概率大，此游戲不公平.

28.1500元

【分析】根據概率公式求出一次摸到3個白球的概率，則得到每摸一次的平均收益，繼而可

求若1000有名學生每人摸一次，攤主將從同學的身上騙走多少錢.

【詳解】解：:一次摸到3個白球的概率為白：義：=工，

65420

每摸一次平均收益為：2