專題02直線與平面所成角（線面角）（含探索性問題）

（典型題型歸類訓(xùn)練）

目錄

一、必備秘籍.............................................1

二、典型題型.............................................2

題型一：求線面角......................................2

題型二：已知線面角求參數(shù)..............................4

題型三：求線面角最值（范圍）..........................7

三、專項(xiàng)訓(xùn)練.............................................8

一、必備秘籍

1、斜線在平面上的射影：過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足及斜足的直線叫

做斜線在平面內(nèi)的射影.

注意：斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影一定在斜線的射影上.

如圖，直線/是平面。的一條斜線，斜足為"，斜線上一點(diǎn)A在平面a上的射影為0,則

直線MO是斜線I在平面a上的射影.

2、直線和平面所成角：（有三種情況）

（1）平面的斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線與這個(gè)平面所成的角。由定

義可知：斜線與平面所成角的范圍為［o,1}

（2）直線與平面垂直時(shí)，它們的所成角為一；

2

（3）直線與平面平行（或直線在平面內(nèi)）時(shí)，它們的所成角為0.

結(jié)論：直線與平面所成角的范圍為0,-.

3、向量法

設(shè)直線/的方向向量為a，平面a的一個(gè)法向量為“，直線/與平面a所成的角為。，則

a-n

cos<a,n>=-------,sin0=|cos<a,n>\.

\a\\n\

二、典型題型

題型一：求線面角

1.（2024,全國?模擬預(yù)測(cè)）在棱長為2的正方體A3CD-AqGA中，動(dòng)點(diǎn)以，N分別在

棱BC,A3上，且滿足AN=BM,當(dāng)七一MNB,的體積最小時(shí)，8幽與平面所成角的正

弦值是.

2.（23-24高二上?江西贛州?期末）在四棱錐P4BC。中，底面A8CD是邊長為1的正方形,

底面ABC。，PA=2,E為PC的中點(diǎn)，則直線PC與平面BZ汨所成角的正弦值

為.

3.（23-24高二上?北京期末）在空間直角坐標(biāo)系中，若直線/的方向向量是v=（-2,2,l）,

平面a的一個(gè)法向量是〃=（2,0,1）,則直線/與平面a所成角的正弦值等于.

4.（23-24高二上?四川成都?期末）正方體的棱長為2,BC棱上一點(diǎn)P滿

足|PA+PC|=2,則直線PA與平面ASC所成角的正弦值為

5.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知多面體ABCD跖的底面A3CZ）為正方形，四邊形5DEF

是平行四邊形，ABA.CF,BC=2,G是CP的中點(diǎn).

⑴證明：0G〃平面AEF；

⑵若△3CF是等邊三角形，求直線8與平面A所所成角的正弦值.

6.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，棱錐尸-ABCD中，以，平面A3CD,AB±AD,

CD±AD,AB=4,CD=2,AD=B4=3,M為9中點(diǎn)，PN=2ND.

（1）證明：B,C,M,N四點(diǎn)共面；

⑵求直線AC與平面BCNM所成線面角的正弦值.

題型二：已知線面角求參數(shù)

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，A4_L平面ABCD,底面ABCD

是矩形，|AP|=|AB|=2,|AD|=4,E是BC上的點(diǎn)，直線P8與平面PDE所成角的正弦值

為，I,則師的長為.

6

P

2.（23-24高二上?新疆伊犁?期中）如圖，四棱錐尸-ABCD的底面A5CD是梯形，平

^ABCD,ADIIBC,AB=AP=2,BC=2AD=2五,—AFO45。，E為線段尸B上一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，且BE=2BP，若尸C與平面E4T＞所成的角為60。，則彳=.

P

3.（23-24高二上?遼寧大連?期中）如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是矩形，

的＞=&1=5。=2鉆=2,「為棱40的中點(diǎn)，且為棱以上的一點(diǎn)，若8M與平面

SBD所成角的正弦值為走，則■=.

4.（2024?山西晉城?二模）如圖1,在」MC中，AC=BC=4,AB=4應(yīng),點(diǎn)。是線段

AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上的一點(diǎn)，且DE上?1B,將VADE沿。E翻折到△PDE的位置,

使得PELBD,連接尸8,PC,如圖2所示，點(diǎn)廠是線段P8上的一點(diǎn).

圖1圖2

（1）若防=2尸產(chǎn)，求證：C尸〃平面尸/出；

⑵若直線CP與平面P皿所成角的正弦值為粵'求線段的長.

5.（2024?遼寧?二模）如圖，在三棱錐A-3CD中，側(cè)面AB2AC。是全等的直角三角形,

AO是公共的斜邊，且AD=后，BD=CD=1,另一個(gè)側(cè)面是正三角形.

C

⑴求證：BCLAD-,

⑵在圖中作出點(diǎn)A到底面3CD的距離，并說明理由；

⑶在線段AC上是否存在一點(diǎn)E,使皮＞與平面ABC成30。角？若存在，確定E的位置；若

不存在，說明理由.

6.(23-24高三下?湖南長沙?階段練習(xí))如圖，在四棱錐P-ABCD中，上4,平面

ABCD,PA=AB=BC=2,AD=CD,ZABC=120.

(1)求證：平面PAC_L平面PSD；

⑵若點(diǎn)/為PS的中點(diǎn)，線段PC上是否存在點(diǎn)N,使得直線與平面PAC所成角的正弦

值為正.若存在，求弱的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

2PC

7.(2024?天津和平?一模)如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，EDL平面ABCD,

尸￡>=">=3,點(diǎn)E,尸分別是棱R4,PC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段BC上一點(diǎn).

(1)求證：依上平面政。；

(2)求平面EFD與平面ABCD的夾角的余弦值；

⑶若直線近與平面ABCD所成的角的正弦值為源，求此時(shí)MC的長度.

22

題型三：求線面角最值（范圍）

1.（2024?河北滄州?一模）如圖，已知點(diǎn)A是圓臺(tái)的上底面圓0上的動(dòng)點(diǎn)，8,C在下

底面圓。上，AO[=1,OO、=2,BO=3,BC=2小,則直線AO與平面所成角的余弦值的

最小值為.

2.（23-24高三下?全國?階段練習(xí)）如圖，在ASBE中，SE=8E=1,在直角梯形3EDC中,

BE±DE,CD//BE,CD=ZDE=6，DE±SE,記二面角S—DE—8的大小為。，若

7T27r

,則直線SC與平面跖E所成角的正弦值的最大值為.

3.（23-24高二上?江西南昌?期末）在棱長為2的正方體A3C。-4片62中，Q在線段8c

上運(yùn)動(dòng)，直線G。與平面4G。所成角的正弦值的取值范圍為.

4.（2024高三?全國?專題練習(xí)）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，底面ABCD.設(shè)

平面PAO與平面P3C的交線為/.若PD=AD=1,。為/上的點(diǎn)，則PB與平面QC。所成

角的正弦值的最大值為.

5.（23-24高二下?江蘇宿遷?階段練習(xí)）在長方體ABCD-ABIGA中，鉆=：BC,線段8口

有一動(dòng)點(diǎn)G,過CG作平行于。2的平面交3。與點(diǎn)F.當(dāng)直線3。與平面CG尸所成角最大時(shí),

Dfi

D.B.------'

6.（23-24高二下?江蘇徐州?階段練習(xí)）在正方體ABCD-44CQ1中，。為線段AC的中點(diǎn)，

點(diǎn)E在線段AC上，則直線OE與平面ABG所成角的正弦值的范圍是.

三、專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（23-24高二上?湖南長沙?期末）正三棱柱ABC-AUG中，AAl=AB,N是3c的中點(diǎn)，

點(diǎn)P在4片上，且滿足AP=%44，當(dāng)直線PN與平面ABC所成的角取最大值時(shí)，入的值

為.

2.（23-24高二上?浙江杭州?階段練習(xí)）在AOAB中，OA=AB,-048=120?.若空間點(diǎn)P

滿足598=：5皿，則直線。尸與平面Q4B所成角的正切的最大值為.

3.（23-24高二上?上海,期末）已知平面。的一個(gè)法向量〃=（1,也,2）,直線/的方向向量

v=（1,0,-1）,則直線/與平面a所成角的正弦值為.

4.（23-24高二上?遼寧沈陽?期末）如圖，正方體ABC。-44GA的棱長為2,P是過頂點(diǎn)

民。，2,男的圓上的一點(diǎn)，。為CG的中點(diǎn).當(dāng)直線尸。與平面A3CD所成的角最大時(shí)，點(diǎn)P

的坐標(biāo)為;直線尸。與平面A3CD所成角的正弦值的取值范圍是.

5.（23-24高二上?四川成都?期中）如圖，在ABC中，AC=2叵BC=6,CA.BC=-12,

過AC中點(diǎn)出的動(dòng)直線/與線段A3交于點(diǎn)N,將沿直線/向上翻折至，使得

點(diǎn)A在平面BCMN內(nèi)的射影H落在線段3C上，則斜線與平面BCMN所成角的正弦值

6.（23-24高二上?福建福州?期中）在正方體A3CO-AAGA中，點(diǎn)在線段用。上運(yùn)動(dòng),

則直線GP與平面所成角的正弦值的最大值為.

7.（23-24高三下?江西?階段練習(xí)）如圖，在三棱錐P-ABC中，與二ABC都為等邊

三角形，平面回"，平面分別為PAAB的中點(diǎn)，且P。&W=G,N在棱3C上，

且滿足3N=2NC,連接GN.

P

（1）求證：GN〃平面PAC；

（2）設(shè)AB=2,求直線PN與平面BGN所成角的正弦值.

8.（2024?安徽合肥?二模）如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面A3CD是邊長為2的菱形,

ZBAD=6（r,M是側(cè)棱PC的中點(diǎn)，側(cè)面PAD為正三角形，側(cè)面八4￡>_1_底面ABCD.

⑴求三棱錐M-ABC的體積;

⑵求AM與平面PBC所成角的正弦值.

9.（23-24高二下?江蘇泰州?階段練習(xí)）如圖,在三棱柱ABC-4用G中，AB=AC=君,BC=2,

側(cè)面BB&C是正方形，二面角A-BC-B｝的大小是手.

⑴求A到平面A5C的距離.

（2）線段A4上是否存在一個(gè)點(diǎn)￡>,使直線BD與平面ACC鴻所成角為三？若存在，求出

的長；若不存在說明理由.

12.（23-24高二下?江蘇淮安?階段練習(xí)）如圖1,已知總是直角梯形，EF//AB,

ZABF=90,ZBAE=60,C、。分另!j為BF、AE的中點(diǎn)，AB=5,EF=1,將直角梯形ABFE

沿。翻折，使得二面角尸-DC-3的大小為60,如圖2所示，設(shè)N為3c的中點(diǎn).

⑴證明：FN±AD；

(2)若〃為AE上一點(diǎn)，且嘿=汨則當(dāng)九為何值時(shí)‘直線期與平面ME所成角的余弦

值為答

13.(23-24高二下?黑龍江大慶?開學(xué)考試)如圖，C,。分別是直徑/山=2的半圓。上的

點(diǎn)，且滿足BC=CD=，■RAB為等邊三角形，且與半圓。所成二面角的大小為90。，E

為R4的中點(diǎn).

(1)求證：DE//平面PBC；

⑵在弧AB上是否存在一點(diǎn)歹，使得直線尸產(chǎn)與平面〃砂所成角的正弦值為已近？若存在,

求出點(diǎn)尸到平面g的距離；若不存在，說明理由.

14.(2024?北京平谷?模擬預(yù)測(cè))如圖，在三棱柱ABC-AB|G中，側(cè)面和均

為正方形，他=2,平面B81GCj_平面A8BM，點(diǎn)〃是A耳的中點(diǎn)，N為線段AC上的動(dòng)

點(diǎn);

⑴若直線AN〃平面8cM,求證：N為線段AC的中點(diǎn)；

(2)若直線AN與平面所成角的正弦值為正，求線段AN的長.

6

專題02直線與平面所成角（線面角）（含探索性問題）

（典型題型歸類訓(xùn)練）

目錄

一、必備秘籍..............................................1

二、典型題型.............................................2

題型一：求線面角......................................2

題型二：已知線面角求參數(shù)..............................4

題型三：求線面角最值（范圍）..........................7

三、專項(xiàng)訓(xùn)練.............................................8

一、必備秘籍

1、斜線在平面上的射影：過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足及斜足的直線叫

做斜線在平面內(nèi)的射影.

注意：斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影一定在斜線的射影上.

如圖，直線/是平面。的一條斜線，斜足為"，斜線上一點(diǎn)A在平面a上的射影為0,則

直線MO是斜線I在平面?上的射影.

2、直線和平面所成角：（有三種情況）

（1）平面的斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線與這個(gè)平面所成的角。由定

義可知：斜線與平面所成角的范圍為［o,1}

（2）直線與平面垂直時(shí)，它們的所成角為一；

2

（3）直線與平面平行（或直線在平面內(nèi)）時(shí)，它們的所成角為0.

結(jié)論：直線與平面所成角的范圍為0,-.

3、向量法

設(shè)直線/的方向向量為a，平面a的一個(gè)法向量為“，直線/與平面a所成的角為。，則

a-n

cos<a,n>=-------,sin0=|cos<a,n>\.

\a\\n\

二、典型題型

題型一：求線面角

1.（2024,全國?模擬預(yù)測(cè)）在棱長為2的正方體A3CD-AqGA中，動(dòng)點(diǎn)以，N分別在

棱BC,A3上，且滿足AN=BM,當(dāng)七一MNB,的體積最小時(shí)，8幽與平面所成角的正

弦值是.

【答案】墳

15

【分析】設(shè)AN=x（O4x42）,結(jié)合等積法，可求出當(dāng)力一“四的體積最小時(shí)，M,N分別

是所在棱的中點(diǎn)；法一，根據(jù)％一gw=4MN，可求出點(diǎn)4到平面的距離為〃，結(jié)合

直線與平面所成角的集合法即可求解；法二，建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求解.

【詳解】設(shè)⑷V=x（。〈尤<2）,則

S.DMN=2x2-；x2x-；（2-x）x-gx2（2-x）=2-；（2-x）x.

由等體積法，得

2

41（2-x+x

VD—MNB、=%-DMN=§X2XSDMNx>------=19

332

當(dāng)且僅當(dāng)2-兀=%,即元=1時(shí)，等號(hào)成立.

所以當(dāng)勿.”叫的體積最小時(shí)，M,N分別是所在棱的中點(diǎn).

方法一易知AN=B、M=逐,AM=3,MN=y/2.由余弦定理，得

32+（碼-便）_y/2,所以sin/A"N=等,

cosZAiMN=

2x3x02

所以SAiMN

設(shè)點(diǎn)區(qū)到平面AMN的距離為h.根據(jù)匕f―4B.N=5—A]MN，

ff-x-x2x2xl=lxix/z,解得

32323

4

所以耳M與平面ANM所成角的正弦值為h；3;4A/5

BRI7515

方法二以點(diǎn)。為原點(diǎn)，以。A,DC,所在直線分別為X軸、y軸、z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系,

則N（2,l,0）,M（1,2,0）,A（2,0,2）,4（2,2,2）.

所以LO），AM=（T,2,—2）,g=（1,0,2）.

設(shè)平面AMN的法向量為〃=(x,y,z),

nMN=0,x-y=0,1

則即令x=i,得y=i,z=—

n^M=0,2

則加=設(shè)耳M與平面AMN所成的角為e,

lxl+lx0+—x2

n?MB14A/5

則sin。=cos”,MB】=2

『/---------15'

同網(wǎng)X712+02+22

2

故答案為：f

2.(23-24高二上?江西贛州?期末)在四棱錐中，底面ABC。是邊長為1的正方形,

H4_L底面ABC。，PA=2,E為尸C的中點(diǎn)，則直線PC與平面BOE所成角的正弦值

為

【答案】專苧

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線與平面所成角的向量公式即可求解.

【詳解】由題意知，分別以所在直線為x軸，，軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖

所示，P（0,0,2）,C（l,l,0）,B（l,0,0）,Z）（0,l,0）,Ef|,1,lLpC=（l,l,-2）,JBr>=（-l,l,0）,

DE=

設(shè)平面BDE的法向量為ri=（無,y,z）,

-x+y=O

BD-n=Q

，即11c，取”=（1,1,0）

DE-n=0—x——y-z=0

122）

設(shè)直線PC與平面BDE所成角為。

IprI尸。“2V3

sin（9

3.（23-24高二上?北京?期末）在空間直角坐標(biāo)系中，若直線/的方向向量是丫=（-2,2,1）,

平面"的一個(gè)法向量是〃=（2,0,1）,則直線/與平面。所成角的正弦值等于.

【答案】正/：石

55

【分析】利用空間向量的坐標(biāo)求出直線/與平面a法向量夾角的余弦值，即可得到直線/與

平面a所成角的正弦值.

【詳解】直線/與平面。所成角的正弦值即直線/與平面。法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值.

設(shè)直線/與平面e所成的角為。，貝U：

.?..|v-n||—2x2+2x0+lxl|

所以sind=|cos<v,n>|=，一,

Iv|-|n|7（-2）2+22+l2-A/22+02+125

故答案為：q.

4.（23-24高二上?四川成都?期末）正方體ABC。-ABC。的棱長為2,8C棱上一點(diǎn)P滿

足|PA+PC|=2,則直線PA與平面A8/C所成角的正弦值為.

【答案】姮

15

【分析】根據(jù)空間向量法求線面角，即可求解.

【詳解】以。為原點(diǎn)建系如下，

則。(0,0,0),A(2,0,0),5(2,2,0),C(0,2,0),4(2,2,2),

得加=(0,2,2),AC=(—2,2,0),設(shè)尸(Z2,0),PA=(2-2,-2,0),PC=(-2,0,0),

貝PA+尸C=(2-24-2,0),

因?yàn)閨PA+PC|=2,所以(2-24)2+(-2尸=4＞解得4=1,PA=(l,-2,0),

設(shè)平面A8/C的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

n?AB,=2y+2z=0

則｛"，令x=l,得y=l,z=-1,所以“=(1,1,-1),

n,AC——2x+2y—0

川J",""2一而

所以直線PA與平面AB/C所成角的正弦值為姮.

15

故答案為：姮.

15

5.(2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè))如圖，已知多面體ABCDEb的底面ABCD為正方形，四邊形3D砂

是平行四邊形，AB1CF,BC=2,G是C尸的中點(diǎn).

E

⑴證明：DG//平面AEF；

⑵若△3b是等邊三角形，求直線8與平面AEF所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見詳解

⑵？

【分析】(1)設(shè)A。BD=H,連接G”，根據(jù)題意可得GHIIAF,BDWEF,可證平

面DG/7II平面AEF,再利用面面平行的性質(zhì)分析證明；

(2)取3C的中點(diǎn)O,連接。H,。尸，可證平面3cP,。尸，平面ABCZ),建系，利

用空間向量求線面夾角.

【詳解】(1)設(shè)A。BD=H,連接G”，

因?yàn)锳3c。為正方形，則H為AC的中點(diǎn)，

又因?yàn)镚是CF的中點(diǎn)，則GHIIAF,

且G/7U平面AEF,AFu平面AEF,所以G”ll平面A￡F,

由題意可知：四邊形8DEF是平行四邊形，BDWEF,

且BDZ平面AEF,EFu平面AEF,所以應(yīng)"平面AEF,

且GHIBD=H,GH,3￡>u平面OG”,可得平面OG"II平面人跖，

由DGu平面。G//,可得DGII平面AEF.

(2)由題意可知：AB±BC,AB±CF,且3cCF=C,3C,CFu平面

可得/歸/平面臺(tái)叱，

取BC的中點(diǎn)0,連接

可知分別為3C,AC的中點(diǎn)，可得OHIIAB,所以O(shè)H_L平面8CF,

由OPu平面3CF,可得O7/_LO尸，

又因?yàn)椤?CF是等邊三角形，可得

且OHIBC=O,O”,BCu平面ABC。，可得OF,平面ABCD,

以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，。氏。H,"分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

可得CD=(0,-2,Q),BD=(-2,-2,0),AF=(-1,2,73),

?AF=-x+2y+y/3z=0

設(shè)平面AEF的法向量〃=（x,y,z）,則,

n?AE=-3x+=0

令x=l,貝！Jy=-1,z=可得〃=(1,-1,,

n-CD2_75

則cos(n,CD

~\4\CD\A/5x25

所以直線8與平面AEF所成角的正弦值為手.

6.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，棱錐尸-AFCD中，以，平面A3CD,ABA.AD,

CDLAD,AB=4,CD=2,AD=PA=3,M為中點(diǎn)，PN=2ND.

（1）證明：B,C,M,N四點(diǎn)共面；

⑵求直線AC與平面3cM0所成線面角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析

1271001

1001

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，找到8C與MV的交點(diǎn)即可證

明四點(diǎn)共面;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出AC和平面3OVM的法向量，利用向量夾角的余弦值可以

得到直線與平面所成角的正弦值.

【詳解】（1）以A為原點(diǎn)，A3為x軸正方向，為V軸正方向，AP為z軸正方向，建立

空間直角坐標(biāo)系，

ZA

則A(0,0,0),8(4,0,0),C(2,3,0),D(0,3,0),P(0,0,3),N(0,2,1).

設(shè)BC與y軸交于s(o,%,o),ACV與y軸交于干(O，G，O),

由BC與俄共線，MN與MT共線,可得％=，2=6.

所以直線2C與直線MN相交，則2,C,M,N四點(diǎn)共面.

(2)BC=(-2,3,0),BM=1-4,0,1j,設(shè)平面3cMi的法向量為機(jī)=(尤,y,z),

一2x+3y=0

m-BC=Q

則/3八,故m=(3,2,8),

m-BM=0-4x+—z=0

2

又…3.0),所以"W'2烹烹9=湍1205所

1001

故直線AC與平面BCW所成線面角正弦值為12比麗.

1001

題型二：已知線面角求參數(shù)

1.(2024高三?全國?專題練習(xí))如圖，在四棱錐尸-A6CD中，24,平面ABCD,底面A3CD

是矩形，|AP|=|AB|=2,|AD|=4,E是8c上的點(diǎn)，直線尸3與平面如E所成角的正弦值

【答案】2

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面尸DE的法向量，利用空間角的

向量求法，結(jié)合直線PB與平面PDE所成的正弦值為即可求得答案.

6

【詳解】由題意知在四棱錐尸-ABCD中，PAL平面ABCD,底面ABCD是矩形,

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB,AAAP所在直線為x，％z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則4（0,0,0）,3（2,0,0）,尸（0,0,2）,0（0,4,0）,設(shè)磯2/0）,（0VfW4）,

則PB=（2,0,-2）,P￡>=（0,4-2）,PE=（2,f,-2）,

PDn=4y-2z=0

設(shè)平面PDE的一個(gè)法向量為，?=（x,y,z）,貝卜

PE-n=2x+ty-2z=Q

TT

令y=2,得"=（4T,2,4）,設(shè)直線PB與平面POE所成的角為。招€[0,萬],

因?yàn)橹本€PB與平面PDE所成角的正弦值為旦,即sin。=也，

66

II2tJ3

所以sin6=cosPB,n\=J~~=----------,“=—,

?I網(wǎng).同2拒XJ（4_）2+206

即5?+8-36=0,解得7=2或/=一￡（舍去），所以忸回=,4="=2,

故8E的長為2.

故答案為：2

2.（23-24高二上?新疆伊犁,期中）如圖，四棱錐尸-ABCD的底面ABCD是梯形，平

^ABCD,ADIIBC,Afi=AP=2,BC=2AD=2拒,ZABC^5°,E為線段尸3上一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，且BE=/18P，若尸C與平面E4D所成的角為60°,則彳=.

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解線面夾角，從而求解.

【詳解】連接AC,因?yàn)椋篈B=2,BC=20ZABC=45°,在，ABC中，由余弦定理得:

AC=^AB2+BC--2<Aa?C_4~8=^Ia-2-2xXG*二,

即有：AB2+AC2^BC2,所以：AB1AC,

以A點(diǎn)為原點(diǎn)，以48,ACA尸所在直線分別為x,%z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,0),5(2,0,0),尸(0,0,2),C(0,2,0),0(-1,1,0),

所以：AD=(-1-1,0),PC=(0,2,-2),BP=(-2,0,2),荏=(2,0,0),

因?yàn)椋築E=ABP=2(-2,0,2)=(-22,0,22),>0</1<1,AE=AB+3E=(2—240,24),

設(shè)平面EAD的一個(gè)法向量為：m=（x,y,z）,

mAD=-x+y=0

則：《，令:x=A,得：m=(/I,1),

m-AE=(2—22)x+22z=0

所以得：sin60°Tcos(m,PC)|=M^=J=',解得：2=1

?'A|m||PC|272XV322-22+123

故答案為：j.

3.（23-24高二上?遼寧大連?期中）如圖，在四棱錐S-4?CD中，底面ABCD是矩形，

40=&4=5。=248=2產(chǎn)為棱相）的中點(diǎn)，且SPL為棱&4上的一點(diǎn)，若8M與平面

S3。所成角的正弦值為由，則AM=.

3

【答案】-/0.75

4

【分析】根據(jù)給定條件，證得SPL平面A3CD,以P為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空

間向量求解即得.

【詳解】過點(diǎn)P作尸E〃CE>,交BC于點(diǎn)E,由SD=5A,P為AD中點(diǎn)，得SPLAD,

又SP_LAB,且4）cAB=A,AD,ABu平面ABCD,則SP_L平面A3CD,

而PEu平面ABCD,有SPLPE,又A3CD是矩形，貝USP,PA,PE兩兩垂直,

以P為原點(diǎn)，PAPE,PS所在直線分別為x，%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖:

由AD=S4=SD=2,AB=l,尸為AD中點(diǎn)，得SP=6,E為3c的中點(diǎn),

則點(diǎn)P(0,0,0),A(1,O,O),S(0,0,6),B(1,1,O),D(-1,O,O),

OB=(2,1,0),DS=(1,0,5/3),AS=(-1,0,^),BA=(0,-1,0),

令A(yù)M=AAS=(-2,0,后),0VA<1,BM=BA+AM^(-2,-1,732),

m?DB=2x+y=0_ll

設(shè)平面SBD法向量為機(jī)=(x,y,z),則｛l，令z=l,得加=(一百,26,1),

m-DS=x+j3z=0

由8M與平面S3。所成角的正弦值為立，得Icos〈BM,m)|=儂匈=I2^^⑹=g

4\BM\\m\J4—+Ix44

解得X)3，所以|AM|=2|AS|=2X=3；

84

3

故答案為：—

4

4.（2024?山西晉城?二模）如圖1,在中，AC=BC=4,AB=40,點(diǎn)。是線段

AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上的一點(diǎn)，^.DE±AB,將VADE沿。E翻折到△PDE的位置,

圖1圖2

（1）若防=2",求證：CF〃平面PDE;

⑵若直線CP與平面P即所成角的正弦值為逅，求線段8尸的長.

57

【答案】⑴證明見詳解

⑵石或半

【分析】（1）根據(jù)題意可證PEL平面3cDE,建系，利用空間向量證明線面平行;

（2）設(shè)BF=4BP，求平面PBD的法向量，結(jié)合線面夾角的向量運(yùn)算分析求力的值，即可

得結(jié)果.

【詳解】(1)由題意可知：PE1DE,PE±BD,DEcBD=D,DE,BD\平面BCDE,

可得PE_L平面3CDE,

且DELBE,以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，麗,瓦>,石尸分別為了,》2軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則E(0,0,0),網(wǎng)30,0,0),C(忘,20,0),￡>(0,0,0),尸(0,0,四),

可得3尸=(-372,0,忘),2C=卜2忘,2A/2,0),

設(shè)=ABP=卜3仞,0,V22),2e[0,l],

則CF=BF-BC=(20-3&,—20,&),

(2叵、

若BF=2PF,則彳=*?,CF=0,-20,三一，

33,

由題意可知：平面PDE的法向量”=(1,0,0),

因?yàn)椤–k=0，且CFN平面尸DE,

所以CFII平面PDE.

(2)由⑴可得：CF=(2^/2-3722,-272,722),DB=(3A/2,-A/2,0),DP=(0,-A/2,A/2),

m-DB=3y/2x—\[ly=0

設(shè)平面PSD的法向量加=（x,y,z）,貝I］，

m-DP=-\/2y+y/2z=0

令x=l,則y=z=3,可得"2=(1,3,3),

cos私—,4)-也

由題意可得:H,15MxJ(20一3居『+8+2萬57

17

整理得20%一244+7=0,解得丸=5或％=布,

所以|叫=4網(wǎng)=括或半，即線段8尸的長為君或亭.

5.（2024,遼寧?二模）如圖，在三棱錐A-BCD中，側(cè)面AB。,AC。是全等的直角三角形,

AD是公共的斜邊，且4￡>=退，BD=CD=1,另一個(gè)側(cè)面是正三角形.

A

5y..

C

（1）求證：BC1.AD；

⑵在圖中作出點(diǎn)A到底面BCD的距離，并說明理由；

⑶在線段AC上是否存在一點(diǎn)E,使即與平面ABC成30。角？若存在，確定E的位置；若

不存在，說明理由.

【答案】（1）證明見解析

⑵圖象見解析，理由見解析

⑶存在，且點(diǎn)E在A￡=五-等的位置

【分析】（1）取BC中點(diǎn)拉，連接證明3C1平面ADM,再根據(jù)線面垂直的性

質(zhì)即可得證；

（2）作Af/JLDM于點(diǎn)H,證明AH_L平面BCD,再求出Aa的長度，進(jìn)而可求出點(diǎn)”的

位置，即可得解；

（3）結(jié)合（2）中所得可建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量計(jì)算即可得.

【詳解】（1）如圖所示，取8C中點(diǎn)連接AM,DM,

因?yàn)锽D=C。，所以ZW_L3C,

又因?yàn)锳B=AC,所以4W_LBC,

又因?yàn)椤Ｏ綾AAl=Af,且DW,A〃u平面ADM,所以3C1平面ADM,

因?yàn)锳Du平面AD暇，所以AD1BC；

（2）作AH_LZW于點(diǎn)H,

因?yàn)?c2平面ADM,AHu平面

所以AH_LBC,

因?yàn)镈MBC=M,且。W,3Cu平面BCD,所以AH,平面BCD,

在Rtz\ABD,Rt4ACD中，AD=y/3,BD=CD=1,

則A3=AC=應(yīng)，所以BC=e，故AM=逅，

2

因?yàn)锽rP+CD?=3。2,所以BD_LCD,

故DM=交，

2

34-3

22V3

在ZWMf中,cosZAMD=

2x正父枝

22

所以NWWD為鈍角，所以點(diǎn)H在DM延長線上,

在Rt中，cosZAMHiksinZAMH=—,

33

所以AH=AMsinNAAff/=1,

所以BH=CH=1,所以垂足H與瓦C。構(gòu)成一個(gè)正方形BHCD,

故線段即為點(diǎn)A到底面BCD的距離；

(3)由(2)可知AHL平面3CD,且底面HBCD為正方形,

故AH、BH、C"兩兩垂直，

故可以H為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系”-孫z,

則有〃(0,0,0),4(0,0,1),3(0,1,0),C(l,0,0),￡>(1,1,0),

則AC=(l,0,T),AB=(O,l,-l),AD=(1,1,-1),

^A￡=2AC=(2,O,-A)(O<2<1),貝ljE￡>=AD-4￡=(1-4,1,-1+/1),

令平面ABC的法向量為〃z=(x,y,z),

m-AC=0x—z=0

則有,即

m?AB=0y—z=0

可取x=l,則y=z=l,即洌=(1,1,1),

II"ED|ll-A+1-1+21

Ijlllcosm,ED\=-——j——y=,=sin30°,

'|?|-|￡D|Jl+l+L++

整理得(X-l)2=J,即彳=1±如，由0W/W1,故2=1一亞，

666

則網(wǎng)=0X

即存在點(diǎn)E,且點(diǎn)E在AE=0-亭的位置.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何開放性問題求解方法有以下兩種：

（1）根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想，找出點(diǎn)或線的位置，然后再加以證明，

得出結(jié)論；

（2）假設(shè)所求的點(diǎn)或線存在，并設(shè)定參數(shù)表達(dá)已知條件，根據(jù)題目進(jìn)行求解，若能求出參

數(shù)的值且符合已知限定的范圍，則存在這樣的點(diǎn)或線，否則不存在.

6.（23-24高三下?湖南長沙?階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面

ABCD,PA=AB=BC=2,AD=CD,NABC=120.

C

（1）求證：平面PAC_L平面PB￡）；

（2）若點(diǎn)/為尸B的中點(diǎn)，線段PC上是否存在點(diǎn)N,使得直線與平面PAC所成角的正弦

值為YZ.若存在，求鐵的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

2PC

【答案】⑴證明見解析

PN1_^PN3

⑵存在,---=—oy,----=一

PC4~PC8

【分析】（1）設(shè)AC的中點(diǎn)為O,根據(jù)題意證得比＞_LAC和或）_LR4,證得BD±平面PAC,

進(jìn)而證得平面PAC_L平面PBD.

（2）以O(shè)COD所在的直線為x軸和y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PN=4PC（04/l41）,

分別求得平面PAC和后--24,結(jié)合向量的夾角公式，列出方程，即可

求解.

【詳解】（1）設(shè)AC的中點(diǎn)為O,因?yàn)锳B=BC,所以3O1AC,

因?yàn)锳D=CD,所以DOLAC,所以民0,。三點(diǎn)共線，所以3D_LAC,

因?yàn)镻AJ_平面A3CD,BDu平面ABCD,所以

因?yàn)槭珹AC=A,R4u平面R4C,ACu平面PAC,所以3D上平面PAC,

因?yàn)?Z）u平面尸8。，所以平面PAC_L平面尸5?.

（2）以O(shè)COD所在的直線為x軸和，軸，過。點(diǎn)作平行于AP的直線為z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，

如圖所示，則c（g,0,0）,尸卜6,0,2）,8（0,-1,0）,

因?yàn)?為PB的中點(diǎn)，所以M-2f，-；1），

設(shè)尸N=2尸C（OWXWl）,所以N（2后一用,0,2-2彳），

所以MN=f2#）九—,1—2/1,

由（1）知皮>1平面PAC,所以平面PAC的一個(gè)法向量為方=（0,1,0）,

設(shè)直線MN與平面PAC所成角為Q,

,,\MN-n\i也

貝|sing=cosAW,n\=-----：一-=——/=一

11\MN\\n\2.V1622-10A+22

即當(dāng)P正N北1或P拓N盛3時(shí)’直線w與平面叢C所成角的正弦值為彳F）.

7.（2024?天津和平?一模）如圖，四棱錐尸-ABCD的底面ABCD是正方形，ED,平面ABCD,

尸￡>=A￡>=3,點(diǎn)E,尸分別是棱R4,PC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段3C上一點(diǎn).

（1）求證：依,平面所。；

⑵求平面EFD與平面ABCD的夾角的余弦值;

3^/22

⑶若直線MB與平面A3CD所成的角的正弦值為，求此時(shí)MC的長度.

22

【答案】⑴證明見解析

喈

（3）1

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量證明即可；

（2）求平面的法向量，利用向量法求夾角余弦即可；

（3）利用線面角的向量公式求解即可.

【詳解】（1）因?yàn)樗睦忮FP-ABCD的底面ABCD是正方形，尸。，平面A3CD,

所以以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DADCDP的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直

角坐標(biāo)系，如圖，

則4（3,0,0）,8（3,3,0）,0（0,3,0）,￡＞（0,0,0）,尸（0,0,3）,石（：,0,：）,尸（0,|,：

所以巾(,0,|].=卜|,|),

設(shè)平面EFD的法向量為4=（x,y,z）,

33

zi,DE=—xH—z=0

122

則令x=l,則巧=(1,1,一1),

33

々?DF=—^+―z=0

又因?yàn)槭?=（3,3,-3）,則PB=3%,即PB//4,

由〃」平面EFD,所以P3_L平面