2024-2025學年廣東省珠海市香洲區紫荊中學九年級（上）期中數學試卷

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.（3分）若關于x的方程（加-1），+加x-1=0是一元二次方程，則加的取值范圍是（）

A.m=\B.mC.mAD.m^O

2.（3分）2024年7月27日，第33屆夏季奧運會在法國巴黎舉行，如圖所示巴黎奧運會項目圖標中（）

3.（3分）已知。。的半徑為3c根，點尸到圓心。的距離為5cm,則點尸（）

A.在圓內B.在圓上

C.在圓外D.在圓上或圓外

4.（3分）已知拋物線y=G+3）2-2經過點尸（1,ji）和。（3,?），則yi與"的大小關系是（）

A.yi=y2B.yi>y2C.yi<y2D.無法確定

5.（3分）在“雙減政策”推動下，某校學生課后作業時長明顯減少.原來每天作業平均時長為100〃泌，

經過兩個學期的調整后，則所列方程為（）

A.100（1-%2）=70B.70（1+x2）=100

C.100（1-X）2=70D.70（1+x）2=100

6.（3分）ZUOB繞點。逆時針旋轉65°后得到△COD,若//。2=30°,則N30C的度數是（）

A.25°B.30°C.35°D.65

第1頁（共26頁）

7.（3分）如圖，已知NC是直徑，AB=6,。是弧8C的中點，則。￡=（)

A.1B.2C.3D.4

8.（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點N的坐標為（-1,遮），將點N順時針旋轉90°得到點4,

則點4坐標為（）

C.(0,2)D.(?,1)

9.（3分）二次函數夕=h2一6x+3的圖象與x軸有交點，則左的取值范圍是（）

A.左W3且左WOB.左<3且左WOC.kW3D.k<3

10.（3分）如圖所示，邊長為2的等邊△NBC是三棱鏡的一個橫截面.一束光線兒很沿著與邊垂直的

方向射入到3C邊上的點。處（點。與3,C不重合），反射光線沿DF的方向射出去，且入射光線和

反射光線使NML>K=/FDK.設BE的長為x,△。尸C的面積為>（）

B.

第2頁（共26頁）

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.（3分）拋物線y=-（x-1）2+3的頂點坐標是；與夕軸的交點坐標是.

12.（3分）己知/、〃是方程--2x-3=0的兩個根，則代數式7〃"+/-的值為.

13.（3分）拋物線y=（x+2）2-5先向左平移1個單位長度，再向上平移6個單位長度得到的拋物線解

析式為.

14.（3分）如圖，已知AB是的直徑，C、。是。。上兩點、且/。=130°度.

15.（3分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a#0）與x軸交于點（-1,0）和點（3,0）.（填寫

序號）

①abc>0；②2a-6=0；③3a+c=0：④當y>0時；⑤加為任意實數，則a加?+6加>°+人；⑥若

，

axj+bx1=axo+bx2且xi力X2,貝UXI+X2=2-

三、解答題（一）（每小題7分，共21分）

16.（7分）解方程：

（1）X2+3X=0；

（2）X2-6X-7=0.

17.（7分）如圖，在平面直角坐標系中，已知△4BC的頂點坐標分別是/（-1,2）（-3,1）、C（0,

-1).

第3頁（共26頁）

(1)畫出△/2C關于原點。對稱的△NbBiCi；

(2)畫出△/2C繞點C逆時針方向旋轉90°后得到的△DEC,并寫出點/的對應點。的坐標.

18.(7分)雜技團進行雜技表演，演員從蹺蹺板右端N處彈跳到人梯頂端椅子8處，其身體(看成一點)

y=-2x*+2x+2的一部分，如圖所示.

5

(1)求演員彈跳離地面的最大高度；

(2)已知人梯高8。=3.6米，在一次表演中，人梯到起跳點/的水平距離是4米

四、解答題(二)(每小題9分，共27分)

19.(9分)已知關于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=\m\.

(1)求證：對于任意實數相，方程總有兩個不相等的實數根；

(2)若方程的一個根是1,求加的值及方程的另一個根.

20.(9分)如圖，是OO的一條弦，于點。，點E在。。上.

(1)若NBED=28。，則//OD的度數為；

第4頁(共26頁)

(2)若點3是DE的中點，求證：DE=AB；

(3)若CD=3,48=12,求。。的半徑長.

D

21.(9分)某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，平均每月能售出600個，調查表明：這種臺燈的

售價每上漲0.5元

(1)為了實現平均每月10000元的銷售利潤，這種臺燈的售價應定為多少元？這時應進臺燈多少個？

(2)當臺燈的售價定為多少元時，獲得的月利潤最大？

五、解答題(三)(22題13分，23題14分，共27分)

22.(13分)如圖，在正方形/BCD中，線段N3繞點/逆時針旋轉a(0°<a<90°),延長至點歹

使得C2=C尸，取線段斯的中點G

(1)求證：4ADE咨ACDF.

(2)如圖(2),當￡恰好是AF中點時，求證：AE=V5DG.

(3)在旋轉過程中，/BGC的度數是否發生改變？若不變，求出/BGC的度數，請說明理由.

(4)若48=4,在旋轉過程中，請直接寫出△GDC的面積最大值.

圖⑴圖⑵

23.(14分)如圖所示，拋物線y=a/+2x+c的對稱軸為直線x=l,與x軸交于點/、點、B,與y軸交于點

C(0,5),E兩點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)平移線段CD,若點C的對應點。落在拋物線上，點。的對應點。落在直線。￡上(3)如圖(2),

將DE上方的拋物線沿著直線DE翻折，P的對應點為點Q,連接PQ交DE于點G.

第5頁(共26頁)

①當四邊形DPE。是菱形時，請直接寫出點尸的坐標;

②在點P的運動過程中，求線段尸。的最大值.

第6頁（共26頁）

2024-2025學年廣東省珠海市香洲區紫荊中學九年級（上）期中數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.（3分）若關于x的方程-1），+如；-1=0是一元二次方程，則加的取值范圍是（）

A.機=1B.C.機21D.mWO

【解答】解：由題意得：m-l^O,

解得：〃層3,

故選：B.

【解答】解：A.圖形既不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

B.圖形不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

C.圖形既不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

D.圖形既是中心對稱圖形，故本選項符合題意

故選：D.

3.（3分）已知。。的半徑為3ca,點尸到圓心。的距離為5cm,則點尸（）

A.在圓內B.在圓上

C.在圓外D.在圓上或圓外

【解答】解：：點P到圓心。的距離為5cm>3cm,

點尸在圓外.

故選：C.

4.（3分）已知拋物線y=（x+3）2-2經過點尸（1,ji）和。（3,y2）,則yi與/的大小關系是（

A.yi—y2B.yi>yiC.y\<yiD.無法確定

第7頁（共26頁）

【解答】解：當X=1時，A=(8+3)2-7=14；

當％=3時，yi=(5+3)2-6=34.

V14O4,

故選：C.

5.(3分)在“雙減政策”推動下，某校學生課后作業時長明顯減少.原來每天作業平均時長為100〃泌,

經過兩個學期的調整后，則所列方程為()

A.100(1-x2)=70B.70(1+x2)=100

C.100(1-X)2=70D.70(1+x)2=100

【解答】解：根據題意得100(1-X)2=70.

故選：C.

6.(3分)△/。2繞點。逆時針旋轉65°后得到△COD,若//。2=30°,則N80C的度數是()

A.25°B.30°C.35°D.65°

【解答】解：:△/OB繞點。逆時針旋轉65°得到△<%>〃，

ZAOC=ZBOD=65°,

VZAOB=30°,

：.ZBOC=ZAOC-ZAOB=35°,

故選C.

7.(3分)如圖，已知NC是直徑，48=6,。是弧8C的中點，則。￡=()

第8頁(共26頁)

【解答】解：連接。瓦

:。是弧BC的中點，

/.ZBOD=ZCOD,

"：OB=OD,

：.OD±BC,BE=AAX8=6,

22

是圓的直徑，

ZABC^90°,

；.AC=d+BC2r62+87=10,

.,.OB=^AC=4,

2

???OE=VOB2-BE2=VS2-48=3，

：.DE=OD-OE=5-2=2.

故選：B.

三

8.（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點/的坐標為（-1,弧）,將點/順時針旋轉90°得到點4,

則點4坐標為（）

y

A.（1,-遙）B.（-V3，1）C.（0,2）D.（V3-1）

【解答】解：如圖所示，過/作軸于2,

VZAOA'=90°=ZABO=ZOCA',

：.ZBAO+ZAOB=9Q°^ZA'OC+ZAOB,

：.ZBAO=ZCOA',

又

:.LAOB2AOA'C（AAS）,

第9頁（共26頁）

：.A'C=BO=\,CO=AB=y/3,

.?.點/'坐標為（&,1）,

9.（3分）二次函數夕=依2一6工+3的圖象與x軸有交點，則人的取值范圍是（）

A.左W3且左WOB.后<3且左WOC.kW3D.k<3

【解答】解：?二次函數尸依2-6x+4的圖象與x軸有交點，

.?啟0且公=（-6）7-4^328,

；"W3且左W0.

故選：A.

10.（3分）如圖所示，邊長為2的等邊△NBC是三棱鏡的一個橫截面.一束光線兒很沿著與邊垂直的

方向射入到BC邊上的點。處（點D與B,C不重合），反射光線沿DF的方向射出去，且入射光線和

反射光線使NMDK=/FDK.設BE的長為x,△。尸C的面積為了（）

A.

第10頁（共26頁）

ZB=ZC=60°,BC=2,

u：MELAB,

：.ZBED=90°,

；?/BDE=30°,

又.：BE=x,血石沿著與45邊垂直的方向射入到5C邊上的點。處(點D與B,

；?BD=2x,CD=6-2x.

VZMDK=ZFDK,OK與5C垂直，

：?NCDF=NBDE=30°,

ZZ>FC=180°-ZCDF-ZC=90°,

：.FC=1.CD=1.,FD=CD-sin60°=(8-2x)X叵=M，

327

：.y=lj^C-FD

5

=A(7-X)xJs

2

=(1-x)2.

8

函數圖象為開口向上的拋物線，其對稱軸為直線x=5.

故選：A.

二、填空題(每小題3分，共15分)

11.(3分)拋物線>=-(x-1)2+3的頂點坐標是(1,3)；與y軸的交點坐標是(0,2)

【解答】解：由題意，二?拋物線為夕=-(x-1)2+2,

，其頂點為(1,3).

又令x=4,

.,?y--(0-1)3+3=2.

第11頁(共26頁)

，與y軸的交點坐標為（2,2）.

故答案為：（1,2）,2）.

12.（3分）己知〃?、〃是方程--2x-3=0的兩個根，則代數式僅"+加2-的值為0.

【解答】解：：加、〃是方程，-2x-5=0的兩個根，

m2-Im-3=0,mn--3,

nr-2m=5,

mn+m2-2m=-2+3=0.

故答案為：4.

13.（3分）拋物線y=（x+2）2-5先向左平移1個單位長度，再向上平移6個單位長度得到的拋物線解

析式為y=（x+3）2+1.

【解答】解：由題知，

將拋物線^=（x+2）2-8向左平移1個單位長度后，所得拋物線的解析式為>=（x+3）6-5,

再將所得拋物線向上平移6個單位長度后，所得拋物線的解析式為y=（x+7）2+1.

故答案為:尸（x+2）2+l.

14.（3分）如圖，已知48是。。的直徑，C、。是上兩點、且/。=130°40度.

【解答】解：是。。的直徑,

ZACB=90°,

.,./2=180°-ZD=50°,

：.ZBAC=900-Z5=40°.

15.（3分）如圖，拋物線y=ax2+6x+c（aWO）與x軸交于點（7,0）和點（3,0）①③⑹.（填

寫序號）

①%>0；②2a-6=0；③3a+c=0：④當y>0時；⑤〃？為任意實數，則。”於+方根>°+6；⑥若

+,

axi+bx1=ax2bx2且不力物則知+&=2.

第12頁（共26頁）

【解答】解：由所給函數圖象可知,

。>0,b<0,

所以abc>2.

故①正確.

因為拋物線與X軸交于點（-1,0）和點（7,

所以拋物線的對稱軸為直線x=zlil=1）

5

則上=2，

2a

所以2a+b=0.

故②錯誤.

因為拋物線經過點（-2,0）,

所以a-b+c=0,

又因為b=-2a,

所以a-(-2a)+c=0,

即8a+c=0.

故③正確.

由函數圖象可知，

當x<-l或x>8時，函數圖象在x軸上方，

所以當y>0時，x<-1或x>4.

故④錯誤.

因為拋物線開口向上，且對稱軸為直線x=l，

所以當x=l時，函數取值最小值為a+6+c,

則對于拋物線上任意一點（橫坐標為機），且函數值不小于a+b+c,

所以am4+bm+ca+b+c,

即am2+bm^a+b.

故⑤錯誤.

第13頁（共26頁）

又因為X1WX8,

所以巴士;1，

6

即XI+X7=2.

故⑥正確.

故答案為：①③⑥.

三、解答題(一)(每小題7分，共21分)

16.(7分)解方程:

(1)X2+3X=0；

(2)X2-6X-7=0.

【解答】解：(1)VX2+3X=4,

.,.x(x+3)=0,

則x=6或x+3=0,

解得X7=0,X2=-6；

(2)Vx2-6x-2=0,

(x-7)(x+8)=0,

貝Ux-7=4或x+1=0,

解得X4=7,X2=-8.

17.(7分)如圖，在平面直角坐標系中，已知△NBC的頂點坐標分別是/(-1,2)(-3,1)、C(0,

-1).

(1)畫出△A3C關于原點。對稱的△NLBICI；

(2)畫出△A3C繞點C逆時針方向旋轉90°后得到的△DEC,并寫出點/的對應點。的坐標.

第14頁(共26頁)

（2）如圖，△DEC即為所求.

由圖可得，點。的坐標為（-3.

18.（7分）雜技團進行雜技表演，演員從蹺蹺板右端/處彈跳到人梯頂端椅子2處，其身體（看成一點）

y=-2x2+2x+2的一部分，如圖所示.

5――

（1）求演員彈跳離地面的最大高度；

（2）已知人梯高3c=3.6米，在一次表演中，人梯到起跳點/的水平距離是4米

第15頁（共26頁）

【解答】解：(1)由題意，：二次函數為y=-Z?+2x+2=-2(x-1)2+_9；

5567

.?.當X=9時，y有最大值，

y最大值

22

演員彈跳離地面的最大高度是4.4米.

(2)能成功表演.理由是：

當x=4時，y—-A2+2X4+2=3.3.

7

即點2(4,3.6)在拋物線y=-Z?+2x+2上，

5

因此，能表演成功.

四、解答題(二)(每小題9分，共27分)

19.(9分)已知關于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=\m\.

(1)求證：對于任意實數處方程總有兩個不相等的實數根；

(2)若方程的一個根是1,求加的值及方程的另一個根.

【解答】(1)證明：：(x-3)(x-2)=H，

.".x5-5x+6-\m\—l,

VA=(-5)2-5(6-|m|)=\+2\m\,

而|加及0,

A>0,

???方程總有兩個不相等的實數根；

(2)解：?.?方程的一個根是6,

\tn\=2,

解得：m=±2,

，原方程為：x2-5x+4=5,

第16頁(共26頁)

解得：X1=1,X2=4.

即m的值為土2,方程的另一個根是6.

20.(9分)如圖，是。。的一條弦，于點C,點E在。。上.

(1)若/3￡。=28°,則的度數為56°；

(2)若點8是血的中點，求證：DE=AB；

(3)若CE>=3,4B=12,求。。的半徑長.

D

【解答】(1)解：于點C,交OO于點，

，弧/。=弧8￡>,

■:NDEB=28°,

ZAOD=2ZDEB=56°,

故答案為：56°；

(2)證明：?.,點3是品的中點，

?1?BD=BE，

于點C,交。。于點D,

???AD=BD?

B1>AD=BD+BE-

即定=命

：.DE=AB-,

(3)解：'：ODLAB,

:.AC=BC=1AB=L,

32

'：CD=4,

：.OC=OD-CD=OA-CD,

第17頁(共26頁)

在直角三角形/0C中，AO2^OC2+AC3,

：.AO2=（CM-3）2+62,

解得/。=生，

8

..?。。的半徑長為”.

2

21.（9分）某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，平均每月能售出600個，調查表明：這種臺燈的

售價每上漲0.5元

（1）為了實現平均每月10000元的銷售利潤，這種臺燈的售價應定為多少元？這時應進臺燈多少個？

（2）當臺燈的售價定為多少元時，獲得的月利潤最大？

【解答】解：（1）設這種臺燈的售價應定為x元，則平均每月可售出[[600-2，

0.3

...（X-30）[600-10（X-40）]=10000,

.,.X2-130x+4000=0,

.*.X7=50,X2=80.

又：每個臺燈的利潤不得高于進價的90%,即利潤W30X90%=27,

-30W27.

?\xW57.

**.x=50.

這時應進臺燈為：600-5（50-40）=500（個）.

7.5

答：為了實現平均每月10000元的銷售利潤，這種臺燈的售價應定為50元.

（2）由題意，設臺燈的售價為x元，依題意：y—（x-30）[600--,

'6.5

-10X2+1300X-30000

=-10（X-65）2+12250.

又：0<xW57.

.,.當x=57時，y最大=11610元.

答：這種臺燈的售價應定為57元，每月的最大利潤是11610元.

五、解答題（三）（22題13分，23題14分，共27分）

22.（13分）如圖，在正方形/BCD中，線段N3繞點/逆時針旋轉a（0°<a<90°）,延長至點/

使得C2=CF,取線段斯的中點G

（1）求證：AADE咨ACDF.

第18頁（共26頁）

(2)如圖(2),當E恰好是2尸中點時，求證：AE=V5DG.

(3)在旋轉過程中，/2GC的度數是否發生改變？若不變，求出NBGC的度數，請說明理由.

(4)若/8=4,在旋轉過程中，請直接寫出△GZX7的面積最大值.

圖⑴圖(2)

【解答】(1)證明：：四邊形N5CD是正方形，

：.AB=AD=BC=CD,ZBAD=ZABC=ZBCD=90°,

:線段NB繞點/逆時針旋轉a(0°<a<90")得到線段NE,

：?4B=4E,ZBAE=a,

:./DAE=90°-a,ZABE=90°-

2

：.ZCBF=—,

7

?；BC=CF,

：.ZCBF=ZCFB=CF=CD=AD=AE,

2

/.Z5C^=180°-a,

：.ZDCF=90°-a,

：.ZDCF=ZDAE,

:.A4DE名ACDF(&4S)；

(2)證明：如圖2,連接3。，

圖⑵

AADE義4CDF,

第19頁(共26頁)

:?DE=DF,NADE=NCDF,

：.ZADC=ZEDF=90°,

???△。旗是等腰直角三角形，

???G是跖的中點,

：.DG=EG=GF,DG1EF,

:./DGB=9U°=ABCD,NDEG=45°,

?,?點G,點。，點。四點共圓，

/.ZBGC=ZBDC=45°,

：./DEG=/BGC,

C.DE//CG,

?；BC=CF,點、E是BF中點、,

：.CE.LBF,BE=EF=6DG,

：.DG//CE,

???四邊形DGCE是平行四邊形，

:?CE=DG,

22

■-CF=7EF-K；E=V6DG2+DG2=娓DG,

:.AE=4^DG；

(3)解：N8GC的度數不會改變，理由如下:

如圖2,連接AD,

圖(2)

,/4ADE出dCDF,

：.DE=DF,ZADECDF,

：.ZADC=ZEDF=90°,

...△D即是等腰直角三角形，

第20頁（共26頁）

：G是所的中點,

：.DG=EG=GF,DGLEF,

：.ZDGB=90°=ZBCD,ZDEG=45°,

...點G,點。，點C四點共圓，

ZBGC=ZBDC=45°；

(4)解：如圖7,連接NC,連接。G,

圖（3）

:四邊形/BCD是正方形，AB=4,

：.CD=AB=4,AC=BD=2MM，

:點G,點。，點。四點共圓，

...點G在以。為圓心，0D為半徑的圓上運動，

:線段繞點N逆時針旋轉a（80<a<90°）得到線段NE,

.?.點G在加上運動，

當。GLCD時，△GDC的面積有最大值，

'：ODLOC,OD=OC,

：.0H=CH=DH=2,

.,.△GDC的面積的最大值=」X4義（2V3V2-4.

5

23.（14分）如圖所示，拋物線y=a/+2x+c的對稱軸為直線x=l,與x軸交于點/、點5,與y軸交于點

C（0,5）,E兩點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）平移線段CD,若點C的對應點。落在拋物線上，點。的對應點。落在直線DE上（3）如圖（2）,

將DE上方的拋物線沿著直線DB翻折，P的對應點為點。，連接尸。交。￡于點G.

①當四邊形DPEQ是菱形時，請直接寫出點尸的坐標；

第21頁（共26頁）

②在點P的運動過程中，求線段PQ的最大值.

-2=1,

7a

解得：a=-1,

又：拋物線y=ox3+2x+c與夕軸交于點C（0,3）,

??5,

...拋物線的解析式為＞=-X2+3X+5.

（2）聯立得,,

y=-x2+2x+5