考點13冪函數知識梳理一．冪函數的概念一般地，形如y＝xα(α∈R)的函數稱為冪函數，其中底數x是自變量，α為常數．冪函數的特征(1)自變量x處在冪底數的位置，冪指數α為常數(2)xα的系數為1(3)只有一項二．五種常見冪函數的圖象與性質函數特征性質y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up6(\f(1,2))y＝x－1圖象定義域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性增(－∞，0)減，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)減公共點(1，1)精講精練題型一冪函數的概念例1下列函數中是冪函數的是________．y＝2x ②y＝2x ③y＝x2 ④y＝答案③解析根據冪函數的定義y＝xα，α是常數，得出y＝x2是冪函數，y＝2x、y＝2x、y＝不是冪函數．舉一反三下列函數：①y＝x2+1；②；③y＝2x2；④；⑤，其中冪函數是________．答案②④解析根據冪函數的定義y＝xα，α是常數，得出②④是冪函數，例2已知冪函數f(x)的圖象經過(9，3)，則f(2)－f(1)＝________．答案解析設冪函數f(x)＝xa，它的圖象經過(9，3)，所以3＝9a，∴a＝，冪函數為f(x)＝，所以f(2)－f(1)＝舉一反三函數y＝(m2－m+1)是冪函數，且f(－x)＝f(x)，則實數m的值為________．答案1解析因為函數y＝(m2－m+1)是冪函數，所以m2－m+1＝1，解得m＝1或m＝0．因為f(－x)＝f(x)，所以函數是偶函數，當m＝0時，冪函數為y＝x－3．函數表示奇函數，當m＝1時y＝x－4．函數是偶函數．方法總結(1)冪函數的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數α，因此只需一個條件即可確定其解析式．(2)若冪函數y＝xα(α∈R)是偶函數，則α必為偶數．當α是分數時，一般將其先化為根式，再判斷．題型二冪函數的圖象例3下圖給出4個冪函數的圖象，則圖象與函數的大致對應是()答案①②③④解析圖①說明函數定義域為R，有，且觀察圖象可知圖②為，則圖①為；又圖③中函數定義域為，所以其對應，綜上可知：①②③④.舉一反三下列命題中正確的是________．冪函數的圖象一定過點(0，0)和點(1，1)若函數f(x)＝xn是奇函數，則它在定義域上單調遞增冪函數的圖象上的點一定不在第四象限冪函數的圖象不可能是直線答案③解析冪函數y＝x－1的圖象不過點(0，0)，它在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調遞減，于是①，②都不正確．冪函數y＝x的圖象是直線，④不正確．當x>0時，f(x)＝xα>0必成立，所以，冪函數的圖象上的點一定不在第四象限，答案為③．方法總結若冪函數y＝xα在(0，＋∞)上單調遞增，則α>0，若在(0，＋∞)上單調遞減，則α<0.熟記5個簡單冪函數的圖象是解題的關鍵．題型三冪函數有關的大小比較問題例4已知，則a，b，c從小到大用“﹤”號排列為．答案解析因為冪函數在單調遞增，且，所以，即.又，又因為對數函數在單調遞減，所以，因此.舉一反三設，則的大小關系是________．答案a>c>b解析因為在上是增函數，所以又因為在上是減函數，所以.方法總結同底數的兩個數比較大小，考慮用指數函數的單調性．同指數的兩個數比較大小，