高三數學考試注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：集合?常用邏輯用語?不等式?函數與導數?三角函數?平面向量?復數?數列?立體幾何.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在復平面內，對應的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知命題，命題，則（）A.和都是真命題B.和都是真命題C.和都是真命題D.和都是真命題3.若，則=（）A.B.5C.D.4.已知是上的減函數，，是其圖象上的兩點，則不等式的解集為（）A.B.C.D.5.若是函數的極小值點，則的極大值為（）A.B.C.D.6.設是等差數列的前n項和，若，，則=（）A.6B.7C.8D.97.已知，，，則的大小關系是（）A.B.C.D.8.在平行四邊形中，，是平行四邊形內（包括邊界）一點，，若，則的取值范圍為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知集合，，，則下列說法正確的是（）A.B.C.D.10.函數，，的最小正周期為，且方程在上有兩個不相等的實數根：，，則下列說法正確的是（）A.B.把圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則C.D.11.已知函數，的定義域均為，且，，若為偶函數，且，則（）A.的圖象關于點對稱B.C.D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知，使得不等式成立的一個充分不必要條件是，則的取值范圍是__________.13.如圖，在中，，，，是邊上的兩點，且，則=__________.14.在正方體中，，為棱的中點，一束光線從點射出，經側面反射，反射光線又經側面反射后經過點，則這束光線在正方體內的總長度為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）在中，內角的對邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，求的面積.16.（15分）已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論的單調性.17.（15分）在四棱錐中，已知PC⊥平面ABCD，，，，是線段上的點，.（1）證明：平面.（2）求平面與平面的夾角的余弦值.18.（17分）已知數列滿足，公差不為0的等差數列滿足，，成等比數列，（1）證明：數列是等比數列.（2）求和的通項公式.（3）在與之間從的第一項起依次插入中的k項，構成新數列，，，，，，，，，，….求中前60項的和.19.（17分）若存在正實數，對任意，使得，則稱函數在D上是一個“函數”.（1）已知函數在上是一個“函數”，求a的取值范圍.（2）（i）已知當時，，證明：函數在上是一個“函數”.（ii）設，證明：.高三數學考試參考答案1.C【解析】本題考查復數的運算，考查數學運算的核心素養.因為，所以復數對應的點為，位于第三象限.2.B【解析】本題考查全稱量詞命題和存在量詞命題，考查邏輯推理的核心素養.對于而言，取，則有，故是假命題，是真命題；對于而言，因為，所以是真命題，是假命題.綜上，和都是真命題.3.B【解析】本題考查三角恒等變換，考查數學運算的核心素養.4.C【解析】本題考查函數的單調性，考查邏輯推理的核心素養.由題可知，由，可得，因為是上的減函數，所以，解得，即解集為.5.D【解析】本題考查函數的極值，考查數學運算的核心素養.由題可得，所以在，上單調遞增，在上單調遞減，則，即.故的極大值為.6.A【解析】本題考查等差數列，考查數學運算的核心素養.由題可知成等差數列，所以，則.7.A【解析】本題考查對數，考查邏輯推理的核心素養.，因為，所以，即.8.B【解析】本題考查平面向量的數量積以及基本定理，考查直觀想象和邏輯推理的核心素養.設為的中點，連接（圖略）.由可知在和上的投影向量的模相等，又因為，所以點在線段上.當點位于點時，取得最小值1，當點位于點時，取得最大值，，此時，所以的取值范圍為.9.BCD【解析】本題考查集合的運算，考查邏輯推理的核心素養.由題可知，，集合表示曲線上的所有點組合的集合，故.故選BCD.10.BCD【解析】本題考查三角函數的圖象，考查邏輯推理的核心素養.，因為的最小正周期為，所以，即，所以.把圖彖上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，可得曲線，再把所得曲線向右平移個單位長度，可得的圖象.因為0，所以，則是的兩個解，且，則，所以.故選BCD.11.BD【解析】本題考查抽象函數以及函數的性質，考查數學抽象和邏輯推理的核心素養.由，可得，又，所以，故的圖象關于點對稱，A錯誤.因為為偶函數，所以是周期為6的函數.因為，所以，B正確.，C錯誤.因為，所以，故12.因為，所以，所以，D正確.12.【解析】本題考查充分必要條件，考查邏輯推理的核心素養.由題意可知集合是的真子集，由，可得，所以，即的取值范圍是.13.【解析】本題考查解三角形，考查邏輯推理的核心素養.由題可知，因為，所以.14.【解析】本題考查正方體的結構特征，考查邏輯推理和直觀想象的核心素養.如圖，分別在正方體的左?右兩側作正方體與正方體.設一束光線從點射出后與側面交于點，其反射光線與側面交于點，取的中點，連接.根據光線反射的對稱性易得，且四點共線，則.15.【解析】本題考查解三角形，考查數學運算的核心素養.解：（1）因為，所以設.由余弦定理得，所以.（2）由正弦定理得，則，由，得，即，即，所以.故的面積為.評分細則：第（2）問另解：因為，由余弦定理可得化簡可得，解得，所以.故的面積為.16.【解析】本題考查導數的幾何意義以及函數的單調性，考查邏輯推理的核心素養.解：（1）當時，，可得，即切點坐標為，切線斜率，所以切線方程為，即.（2）因為，所以.當時，，所以在區間上單調遞增.當時，令，即，且，解得；令，即，且，解得.綜上，當時，的單調增區間為，無單調減區間；當時，的單調增區間為，單調減區間為.17.【解析】本題考查立體幾何以及空間向量，考查直觀想象和數學運算的核心素養.（1）證明：連接交于點，連接.因為，所以.因為，所以，所以，因為平面平面，所以平面.（2）解：過點作一直線垂直于平面，則以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，則.設平面的法向量為，則令，則，所以平面的一個法向量為.設平面的法向量為，則令，則，所以平面的一個法向量為.，所以平面與平面的夾角的余弦值為.18.【解析】本題考查數列的綜合應用，考查邏輯推理的核心素養.（1）證明：由題可知，所以數列是等比數列.（2）解：由（1）可知等比數列的首項為2，公比為4，所以.當為奇數時，，當為偶數時，，所以設等差數列的公差為，因為成等比數列，所以，所以，解得，所以.（3）解：新數列中，（含）前面共有!由，得，所以新數列中含有數列的前10項，含有數列的前50項，.故.19.【解析】本題考查導數的應用，考查邏輯推理的核心素養.（1）解：因為函數在上是一個“函數”，所以對任意均成立，