2022-2024北京重點校初一（下）期中數學匯編

特殊的平行四邊形

一、單選題

1.（2024北京第三H^一中學初一下期中）如圖，把矩形ABCD沿EF折疊，若/1=40。，則/AEF=（）

2.（2023北京第三十五中學初一下期中）如圖，把矩形A2CD沿族對折后使兩部分重合，若4=50。,

A.110°B.115°C.120°D.130°

二、填空題

3.（2023北京第十三中學初一下期中）如圖，將一張長方形紙片ABAC沿所折疊，ED'與BC交于點為

G,點。、點C分別落在點解、點C的位置上，若NEFG=50°,則4=.

4.（2023北京和平街第一中學初一下期中）如圖，菱形ABCD面積為24,對角線AC=8,DEJ.AB于點

E,則￡）E=.

5.（2023北京和平街第一中學初一下期中）如圖，在cABCD中，及尸分別為邊上的點

（E,尸不與端點重合）.對于任意ABCD,下面四個結論中：

AED

①存在無數個四邊形ME，使得四邊形麗E是平行四邊形；

②至少存在一個四邊形ABEE,使得四邊形ME菱形；

③至少存在一個四邊形⑷使得四邊形？矩形；

④存在無數個四邊形使得四邊形AfiFE的面積是ABCD面積的一半.

所有正確結論的序號是.

6.(2023北京第三十五中學初一下期中)如圖。是長方形紙帶，NDEF=15。，將紙帶沿斯折疊成圖％,再

沿砥折疊成圖c,則圖c中的/CFE的度數是

三、解答題

7.(2023北京和平街第一中學初一下期中)如圖，點尸為正方形ABCD的對角線5。上一點

(BF<DF),連接AF,過產作砂工",交。C于點E.作歹關于BC的對稱點H,連接

FH、CH,FH交BC于點、P.

(1)補全圖形；

(2)證明：四邊形EC/專為平行四邊形；

(3)寫出A尸、FP和O尸之間的數量關系，并證明.

8.(2023北京和平街第一中學初一下期中)如圖，在ABCD中，點。是AD的中點，連接CO并延長交

班的延長線于點E,連接AC,DE,AC工BE.

（1）求證：四邊形AQ組是矩形；

（2）若OC=CD=2,求DE的長.

9.（2023北京和平街第一中學初一下期中）如圖，在VA3C中，點。、E分別是邊AC、AB的中點，點下

在線段DE上，AB=5,BF=4,AF=3,BC=1,求。尸的長度.

10.（2023北京和平街第一中學初一下期中）下面是小張同學設計的“利用等腰三角形作菱形”的作圖過

程.

已知：等腰△ABD,AB=AD.

求作：點C,使得四邊形ABC。為菱形.

作法：①作44D的角平分線A。，交線段50于點O；

②以點。為圓心，AO長為半徑圓弧，交AO的延長線于點C；

③連接3GDC,所以四邊形A2CD為菱形，點C即為所求.

根據小張同學設計的作圖過程.

（1）使用直尺和圓規補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：=AO平分/BAD,

ABO=DO,AOLBD,（_）（填推理的依據）

VBO=DO,AO=CO,

四邊形ABC。為平行四邊形（_）（填推理的依據）

*.?ACJ.BD,

四邊形ABC。為菱形（_）（填推理的依據）

11.（2022北京海淀初一下期中）對于平面直角坐標系xOy中的不同兩點人（西,%），3（%,%），給出如下

定義：點A與點B兩點橫坐標差的絕對值與它們縱坐標差的絕對值的和，叫做A,B兩點的折線距離，記

作d（A3）,即d（A3）=歸—4+帆一..例如，圖1中，點A（-U）與3（-2）之間的折線距離

c?（AB）=|-l-l|+|l-（-2）|=2+3=5.

(1)已知點C(-2,-l),則d(O,C)=:

⑵已知點0(—2,0),E(lj),且d(知E)=4,求/的值；

⑶如圖2,已知點網0,2),G(2,0),點尸是線段PG上的一個動點，請判斷d(0,P)是否是一個定值

(填“是"或‘否")；

(4)如果點。滿足“(0,。)=3,請在圖3中畫出所有符合條件的點。組成的圖形.

12.(2022北京海淀初一下期中)在平面直角坐標系xOy中，對正數左，定義"積值對"如下：

如果點A(x/,yi),8(X2,>2)(A與B可以是同一個點)滿足X"X2=A,yi*y2=k,則稱A,B構成Z積值對

例如：點A(；,1)與點2(2,1)構成“1積值對”；點C(2,-2)與其自身構成“4積值對”.

(1)已知點A(l,3)與點8構成“1積值對”，則點8的坐標為；將線段A8水平向左平移2個單位得

到線段AE,請判斷線段AF上是否存在“1積值對”(填“是”或"否”).

1131

⑵如圖所示：已知正方形口的頂點。的坐標為(],-),頂點。的坐標為(萬，萬).請判斷正方形

COM的邊界上是否存在力積值對"，如果不存在請說明理由；如果存在，請直接寫出所有的力積值對”.

y

A

:仁：

-4^3-2-101234x

(3)對第一象限中的一個正方形，已知它的每條邊都垂直于無軸或y軸(邊可落在坐標軸上)，且它的一個頂

點坐標為(1,0).

①若該正方形的邊界上存在“9積值對”，則此正方形邊長的最小值為.

②對正數左，若該正方形的邊界上存在“積值對”，則此正方形邊長的最小值為（用含左的式子表

示）.

參考答案

1.A

【分析】如圖設B的對應點為K.由AD〃BC,推出NAEF+NBFE=180。，求出NBFE即可解決問題.

【詳解】解：如圖設B的對應點為K.

.*.ZBFK=180°-40°=140°,

ZBFE=70°,

???AD〃BC,

.\ZAEF+ZBFE=180o,

.*.ZAEF=110°,

故選A.

【點睛】本題考查平行線的性質、翻折變換等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考

常考題型.

2.B

【分析】先根據折疊的性質可得N3EE=NGEE=65。，再根據平行線的性質即可得.

由折疊的性質得：ZBFE=/GFE,

4=50。，

:"BFE=/GFE=65。,

???四邊形ABCD是矩形，

.-.AD//BC,

ZAEF=1800-ZBFE=115°,

故選：B.

【點睛】本題考查了矩形與折疊問題、平行線的性質，熟練掌握矩形與折疊的性質是解題關鍵.

3.100。/100度

【分析】利用矩形的性質即平行線的性質可得NDEF=NEFG=50。，再利用折疊的性質可得

ZDEF=ZDEF=50°,再利用平行線的性質即可.

【詳解】解：四邊形ABDC是長方形,

'.AC//BD,

:.ZDEF=ZEFG=50°,

又、長方形紙片沿跖折疊，

/.ZDEF=ZDEF=50°,

/.Zl=ZDEG=ZDEF+ZDEF=500+50°=100。，

故答案為100。.

【點睛】本題考查了矩形與折疊、平行線的性質，熟練掌握其基本知識是解題的關鍵.

24

4.——

5

【分析】根據菱形對角線互相垂直平分的性質，可以求得BO=OD=[B。，AO=OC=]-AC,在

22

RtAO3中，根據勾股定理可以求得AB的長，再根據菱形的面積等于底乘以高即可求解.

【詳解】解：：四邊形ABCD是菱形，

ABO=OD=-BD,AO^OC^-AC=-184,ACJ.BD,

222

即

,*15變?4R形r?=-2AC-BO=24,224

：.BD=6,

OB=3,

,?AB=VOA2+OB2=，如+3?=5>

??1SMCD=AB?DE24,即5DE=24,

DE=—24

5

故答案為：—.

【點睛】本題考查菱形的性質，勾股定理，菱形的面積，熟練掌握菱形的面積等于對角線乘的一半，也等

于底乘以高是解題的關鍵.

5.①②④.

【分析】根據平行四邊形的判定與性質、菱形的判定、矩形的判定逐條判斷即可.

【詳解】解：只要滿足四邊形ABEE是平行四邊形，這樣的所有無數條，故①正確；

因為AD>AB,可在AD上截取AE=A8,再滿足A8〃EF,四邊形ABFE是菱形，故②正確；

因為是任意ABCD,不一定是直角，矩形不一定存在，故③錯誤；

當跖經過對角線交點時，四邊形的面積是ABCD面積的一半，故④正確.

故答案為：①②④.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質、菱形、矩形的判定，解題關鍵是熟練運用所學四邊形的性

質與判定，準確進行推理判斷.

6.135°

【詳解】試題分析：根據圖示可知NCFE=18(r-3xl5o=135。.故答案為135。.

考點：翻折變換(折疊問題).

7.⑴見解析

(2)見解析

(3)PF2+|DF2=AF2,證明見解析

【分析】(1)根據題意作圖即可；

(2)證明絲得到AF=CF,NDAF=NDCF,再證明NF￡C=NE4r>=NFCE,得到

FE=FC,由對稱性可得CF=CH,CP±FH,進而證明EF〃CH,即可證明四邊形ECHF為平行四邊

形；

(3)如圖所示，過點歹作FGLCD于G,則四邊形PPGC是矩形，一DFG是等腰直角三角形，得到

FG=CP』DF,由勾股定理得P尸+尸C?=C產，即可推出尸=A尸.

22

【詳解】(1)解：如圖所示，即為所求；

(2)證明：如圖所示，連接CR,

:四邊形ABCD是正方形，

/.ZADC=ZBCD=90°,AD=CD,ZADF=ZCDF=45°,

：.ADF會CDF(SAS),

：.AF=CF,ZDAF=ZDCF,

EFLAF,即NAFB=90°,

ZDAF+ZDEF=360°-/ADE-ZAFE=180°,

又ZDEF+NCEF=180°,

ZFEC=NFAD=NFCE,

FE=FC,

:點打和點P關于2C對稱，

CF=CH,CP±FH,

:./FCP=/HCP,CF=CH=EF,

NFCE+NFCP=90。，

：.NFEC+NFCE+/FCP+NHCP=180。,

:.EF//CH,

???四邊形ECHF為平行四邊形；

(3)解：PFVDF'AF?,證明如下：

2

如圖所示，過點尸作FGLCD于G,則四邊形PPGC是矩形，一刀尸G是等腰直角三角形,

FG=CP=-DF,

2

在RtACPF中，由勾股定理得PF?+PC2=CF2,

?*.PF2+FG2=AF-,

APF2+^-DF=AF2,

：.PF2+-DF1AF2.

2

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，平行四邊形的性質與判定，矩形的性質與判定，全等三角形的性

質與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線是解題的關鍵.

8.(1)見解析

Q)2出

【分析】(1)首先根據平行四邊形的性質，可得/EAO=NCDO,由點。是AD的中點，可得。4=0。，

再根據全等三角形的判定和性質，即可證得四邊形ACDE是平行四邊形，再由ACL3E,即可證得結論；

(2)首先由矩形的性質可求得EC的長，再利用勾股定可理即可求得DE的長.

【詳解】(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AE//CD,

:.ZEAO=ZCDO,

點。是的中點，

OA=OD,

在△AEO與DCO中，

ZEAO=ZCDO

<OA=OD

ZAOE=ZDOC

AEO也。CO(ASA),

AE=CD,

???四邊形ACDE是平行四邊形，

又，ACLBE,

.\XEAC=90°,

???四邊形ACDE是矩形；

(2)解：四邊形ACDE是矩形，

：.EC=2OC=4fNEDC=90。,

???在RtACDE中，DE=y)EC2-CD2=742-22=2』.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，平行四邊形與矩形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握和

運用各圖形的判定與性質是解決本題的關鍵.

9.1

【分析】由三角形中位線定理得到DE=3.5,再證明尸是直角三角形，即/AFB=90°,即可利用直角

三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出EF=2.5,則L>F=DE—EF=1.

【詳解】解：：點。、E分別是邊AC、AB的中點，

/.DE是VABC的中位線，

DE=-BC=3.5,

2

*.?AB=5,BF=4,AF=3,

BF2+AF2=32+42=25=52=AB2,

...△?!￡尸是直角三角形，即NAF3=90。，

EF=-AB=2.5,

2

DF=DE-EF=1.

【點睛】本題主要考查了三角形中位線定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜邊上的中線的性質，證明

△ABF是直角三角形是解題的關鍵.

10.(1)見解析

(2)三線合一定理；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

【分析】(1)按照題意進行作圖即可；

(2)先由三線合一定理得到30=OO,AO1BD,再根據平行四邊形和菱形的判定定理證明即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，即為所求;

B

(2)證明：=AO平分154。，

:.BO=DO,AO1.BD,(三線合一定理)

VBO=DO,AO=CO,

四邊形ASCD為平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形)

AC.LBD,

二四邊形ABC。為菱形(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形)

故答案為：三線合一定理；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱

形.

【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規作圖，三線合一定理，菱形的判定，平行四邊形的判定等等，靈

活運用所學知識是解題的關鍵.

11.(1)3

(2)+1

⑶是

(4)見解析

【分析】(1)根據折線距離的定義求解即可；

(2)根據折線距離的定義，構建方程求解即可；

(3)如圖2中，過點P作PMLy軸于點無軸于點N.則四邊形尸MON是矩形，證明

PM+PN=0G=2即可；

(4)根據d(。，Q)=3,畫出圖形即可.

【詳解】(1)解：(-2,-1),

：.d(0,C)=|-2|+|-11=3,

故答案為：3.

(2)解:由題意卜2-l|+|f|=4,

t=±l;

(3)解：如圖2中，過點尸作PMLy軸于點PNL無軸于點N.則四邊形PMON是矩形，

圖2

：.PM=ON,

?.?點F(0,2),G(2,0),

：.OF=OG=2,

：.ZPGN=ZGPN=45°,

：.PN=NG,

：.d(O,P)=\x\+\y\=ON+NG=2,是定值.

故答案為：是；

(4)解：如圖3中，正方形ABC。即為點Q組成的圖形.

圖3

【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，坐標與圖形性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解

決問題.

12.(1)(1,1),是

7332

⑵存在，(寸5)與(5，§)

(3)3,限

【分析】(1)設點B的坐標為(2，%)，根據題意得出無2=1，%=g，可知點B坐標為(1，；);由平移的性

質可知A，(-1,3),,根據“1積值對”的定義計算即可得出結論；

(2)設正方形C￡＞所的邊界上存在“1積值對”加與N,分情況討論，點%)分別在正方形四條邊界上

時是否符合題意即可；

（3）①根據題意，正方形的一個頂點坐標為（1,0）,設該點為A,若其對角點C在A點左側，驗證此情況

不存在“9積值對”；若其對角點C在A點右側，若要使正方形的邊長盡可能小，則“9積值對”兩點之一應

在C點，分情況討論另一點P在A。、CD、上時a的值，可確定正方形的邊長的最小值；②當該正方

形的邊界上存在"積值對“，設正方形的邊長為，"，結合①的結論可確定當正方形的邊長最小時，滿足

m-m=k,進而可計算正方形邊長的最小值為

【詳解】（1）解：設點8的坐標為（%，%），根據題意，點41，3）,

可有lx%=1,3x%=l,

解得％=1，%=g，

???點B坐標為（l,g）,

將線段AB水平向左平移2個單位得到線段AE,

則A'（T,3）,"（T，；），

V（-l）x（-l）=l,3xi=1,

3

線段AE上存在“1積值對

故答案為：（1,］）,是；

（2）正方形CDEF的邊界上存在“1積值對”，理由如下：

設正方形CDEF的邊界上存在“1積值對"M與N,

①若點在線段CP上，則為=g,點應當滿足超=2,

可知點N不在正方形的邊界上，不符合題意；

②若點亂（3,乂）在線段CD上，則■，點可（不，%）應當滿足%=2,

可知點N不在正方形的邊界上，不符合題意；

32

③若點"（玉,乂）在線段E/上，則/=萬，點N%,%）應當滿足%=］，

點N只可能在線段。E上，即點N（j3：2）,

此時/牛2立3在線段所上，滿足題意；

二正方形CDEF的邊界上存在“1積值對”（余方與（-,j）；

（3）①根據題意，正方形的一個頂點坐標為（1,0）,設該點為A,若其對角點C在A點左側，如圖1,

此時最大正方形為點C在y軸上，正方形邊長為1,由于。4、0c在坐標軸上，不存在“9積值對”，AB,

BC邊上的點的橫坐標