數學試卷第=*36頁）在此卷上答在此卷上答題無效2013年普通高等學校招生全國統一考試（全國新課標卷2）理科數學使用地區：海南、寧夏、黑龍江、吉林、新疆、云南、內蒙古、青海、貴州、甘肅、西藏姓名________________準考證號_____________注意事項姓名________________準考證號_____________1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試卷和答題卡相應位置上.2.回答第Ⅰ卷時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號.寫在本試卷上無效.3.回答第Ⅱ卷時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效.4.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,,則 ()A.B.C.D.2.設復數滿足,則 ()A.B.C.D.3.等比數列的前項和為.已知,,則 ()A.B.C.D.4.已知,為異面直線,平面,平面.直線滿足,,,,則 ()A.且B.且C.與相交,且交線垂直于D.與相交,且交線平行于5.已知的展開式中的的系數為5,則 ()A.B.C.D.6.執行如圖的程序框圖,如果輸入的,則輸出的()A.B.C.D.7.一個四面體的頂點在空間直角坐標系中的坐標分別是,,,,畫該四面體三視圖中的正視圖時,以平面為投影面,則得到的正視圖可以為 ()8.設,,,則 ()A.B.C.D.9.已知,,滿足約束條件若的最小值為1,則 ()A.B.C.1D.210.已知函數,下列結論中錯誤的是 ()A.,B.函數的圖象是中心對稱圖形C.若是的極小值點,則在區間上單調遞減D.若是的極值點,則11.設拋物線:的焦點為,點在上,.若以為直徑的圓過點,則的方程為 ()A.或B.或C.或D.或12.已知點,,,直線將分割為面積相等的兩部分,則的取值范圍是 ()A.B.C.D.第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題～第21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22題～第24題為選考題,考生根據要求作答.二、填空題本大題共4小題,每小題5分.13.已知正方形的邊長為2,為的中點,則________.14.從個正整數中任意取出兩個不同的數,若取出的兩數之和等于5的概率為,則________.15.設為第二象限角,若,則________.16.等差數列的前項和為.已知,,則的最小值為________.三、,.17.（本小題滿分12分）在內角,,的對邊分別為,,,已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求面積的最大值.18.（本小題滿分12分）.（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值.19.（本小題滿分12分）經銷商經銷某種農產品,在一個銷售季度內,每售出該產品獲利潤500元,未售出的產品,每虧損300元.根據歷史資料,得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.經銷商為下一個銷售季度購進了該農產品.以(單位：,)表示下一個銷售季度內的市場需求量,(單位：元)表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤.（Ⅰ）將表示為的函數；（Ⅱ）根據直方圖估計利潤不少于57000元的概率；20.（本小題滿分12分）（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）,為上的兩點,若四邊形的對角線,求四邊形面積的最大值.21.（本小題滿分12分）已知函數.（Ⅰ）設是的極值點,求,并討論的單調性；（Ⅱ）當時,證明:.請考生在第22、23、24三題中任選一題作答,如果多做，則按做的第一題積分.作答時請寫清題號.22.（本小題滿分10分）選修4—1:幾何證明選講如圖,為外接圓的切線,的延長線交直線于點,,分別為弦與弦上的點,且,,,,四點共圓.（Ⅰ）證明：是外接圓的直徑；（Ⅱ）若,求過,,,四點的圓的面積與外接圓面積的比值.23.（本小題滿分10分）選修4—4:坐標系與參數方程已知動點,都在曲線：（為參數）上,對應參數分別為與,為的中點.（Ⅰ）求的軌跡的參數方程；（Ⅱ）將到坐標原點的距離表示為的函數,并判斷的軌跡是否過坐標原點.24.（本小題滿分10分）選修4—5:不等式選講設,,均為正數,且.證明：（Ⅰ）；（Ⅱ）.4/12PAGE2013年普通高等學校招生全國統一考試（全國新課標卷2）理科數學答案解析第Ⅰ卷一、選擇題1.【答案】A【解析】解不等式，得，即，而，所以，故選A．【提示】求出集合M中不等式的解集，確定出M，找出M與N的公共元素，即可確定出兩集合的交集．【考點】集合的基本運算（交集），解一元二次不等式．2.【答案】A【解析】．【提示】根據所給的等式兩邊同時除以，得到z的表示式，進行復數的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復數，整理成最簡形式，得到結果．【考點】復數代數形式的四則運算．3.【答案】C【解析】設數列的公比為q，若，則由，得，此時，而，不滿足題意，因此.∵時，，∴，整理得.（步驟1）∵，即，∴．（步驟2）【提示】設等比數列的公比為q，利用已知和等比數列的通項公式即可求出．【考點】等比數列的通項和前n項和．4.【答案】D【解析】因為，，，所以．同理可得．又因為m，n為異面直線，所以α與β相交，且l平行于它們的交線．故選D．【提示】由題目給出的已知條件，結合線面平行，線面垂直的判定與性質，可以直接得到正確的結論．【考點】直線與平面的位置關系．5.【答案】D【解析】因為的二項展開式的通項為，則含x2的項為，所以，.【提示由題意利用二項展開式的通項公式求得展開式中的系數為，由此解得a的值．【考點】二項式定理6.【答案】B【解析】由程序框圖知，當，，時，，；當時，，；當時，，；當時，，；；（步驟1）當時，，，k增加1變為11，滿足，輸出S，所以B正確．（步驟2）【提示】從賦值框給出的兩個變量的值開始，逐漸分析寫出程序運行的每一步，便可得到程序框圖表示的算法的功能．【考點】循環結構的程序框圖．7.【答案】A【解析】如圖所示，該四面體在空間直角坐標系O－xyz的圖象為下圖：第7題圖則它在平面zOx上的投影即正視，故選A．【提示】由題意畫出幾何體的直觀圖，然后判斷以zOx平面為投影面，則得到正視圖即可．【考點】空間直角坐標系，三視圖．8.【答案】D【解析】根據公式變形，，，，因為，所以，即．故選D．【提示】利用，化簡a，b，c然后比較，，大小即可．【考點】對數函數的化簡和大小的比較．9.【答案】B【解析】由題意作出所表示的區域如圖陰影部分所示，作直線，因為直線與直線的交點坐標為，結合題意知直線過點，代入得，所以．第9題圖【提示】先根據約束條件畫出可行域，設，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線過可行域內的點B時，從而得到a值即可．【考點】二元線性規劃求目標函數的最值．10.【答案】C【解析】由于是二次函數，有極小值點，必定有一個極大值點，若，則在區間上不單調遞減，C不正確．【提示】利用導數的運算法則得出討論，即可得出．【考點】利用導數求函數的極值．11.【答案】C【解析】設點M的坐標為，由拋物線的定義，得，則．（步驟1）又點F的坐標為，所以以MF為直徑的圓的方程為.（步驟2）將，代入得，即，所以.由，得，解之得，或.（步驟3）所以C的方程為或．故選C．【提示】已知拋物線焦點到拋物線上點的線段的距離和以這條線段為直徑的圓上的一點，求出拋物線的方程．【考點】拋物線的定義和拋物線的標準方程．12.【答案】B【解析】根據題意畫出圖形，如圖（1），由圖可知，直線BC的方程為．由解得．可求，．直線將△ABC分割為面積相等的兩部分，．又，，即．整理得．，，即，可以看出，當a增大時，b也增大．當時，，即．當時，直線接近于．當時，如圖（2），．．由上分析可知，故選B．第12題圖（1）第12題圖（2）【提示】已知含有參數的直線將三角形分割為面積相等的兩部分和點的坐標，求出參數的取值范圍．【考點】函數單調性的綜合應用．第Ⅱ卷二、填空題13.【答案】2【解析】以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則點A的坐標為，點B的坐標為，點D的坐標為，點E的坐標為，則，，所以．第13題圖【提示】結合幾何的關系，求出向量的數量積．【考點】平面向量的數量積運算．14.【答案】8【解析】從1，2，…，n中任取兩個不同的數共有種取法，兩數之和為5的有，2種，所以，即，解得.【提示】列出從n個正整數1，2，…，n中任意取出兩個不同的數的所有取法種數，求出和等于5的種數，根據取出的兩數之和等于5的概率為列式計算n的值．【考點】古典概型，排列組合的應用．15.【答案】【解析】由，得，即．（步驟1）將其代入，得．因為θ為第二象限角，所以，，．（步驟2）【提示】已知等式利用兩角和與差的正切函數公式及特殊角的三角函數值化簡，求出的值，再根據θ為第二象限角，利用同角三角函數間的基本關系求出的值，即可求出的值．【考點】兩角和與差的正切，同角三角函數的基本關系．16.【答案】【解析】設數列的首項為a1，公差為d，則，①.②（步驟1）聯立①②，得，，所以．（步驟2）令，則，．令，得或．（步驟3）當時，，時，，所以當時，取最小值，而，則，，所以當時，取最小值－49.（步驟4）【提示】已知等差數列前10項和與前15項和，求出n與前n項和乘積的最小值．【考點】等差數列的前n項，利用導數求函數的最值．三、解答題17.【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知及正弦定理得．①又，故．②由①，②和得，即，又，所以．（步驟1）（2）△ABC的面積．由已知及余弦定理得．（步驟2）又，故，當且僅當時，等號成立．因此△ABC面積的最大值為．（步驟3）【提示】（1）已知等式利用正弦定理化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式變形，求出的值，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；（2）利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把的值代入，得到三角形面積最大即為ac最大，利用余弦定理列出關系式，再利用基本不等式求出ac的最大值，即可得到面積的最大值．【考點】正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，兩角和與差的正弦．18.【答案】（1）連結AC1交A1C于點F，則F為AC1中點．又D是AB中點，連結DF，則．因為DF?平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（步驟1）（2）由，得以C為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系C－xyz．設，則，，，，，．設是平面A1CD的法向量，則即可取．（步驟2）同理，設m是平面A1CE的法向量，則可取．（步驟3）從而，故．即二面角D－A1C－E的正弦值為．（步驟4）第18題圖（1）【提示】（1）通過證明平行平面內的直線，利用直線與平面平行的判定定理證明（2）．由，得以C為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系C－xyz．設，是平面A1CD的法向量，同理，設m是平面A1CE的法向量，由，故【考點】直線與平面的判定，空間直角坐標系，空間向量及其運算．19.【答案】（1）（2）0.7（3）59400【解析】（1）當時，，當時，.所以（步驟1）（2）由（1）知利潤T不少于元當且僅當.由直方圖知需求量的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內的利潤T不少于元的概率的估計值為0.7（步驟2）（3）依題意可得T的分布列為T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以.（步驟3）【提示】（1）由題意先分段寫出，當時，當時，和利潤值，最后利用分段函數的形式進行綜合即可．（2）由（1）知，利潤T不少于57000元，當且僅當再由直方圖知需求量的頻率為，利用樣本估計總體的方法得出下一個銷售季度的利潤T不少于57000元的概率的估計值．（3）利用利潤T的數學期望=各組的區間中點值x該區間的頻率之和即得．【考點】頻率分布直方圖，分段函數的模型，離散型隨機變量的數學期望．20.【答案】（1）（2）【解析】（1）設，，，則，，，由此可得．因為，，，所以（步驟1）又由題意知，M的右焦點為，故.因此，.所以M的方程為．（步驟2）（2）由解得或因此．（步驟3）由題意可設直線CD的方程為，設，．由得.于是．（步驟4）因為直線CD的斜率為1，所以．由已知，四邊形ACBD的面積．當n＝0時，S取得最大值，最大值為．所以四邊形ACBD面積的最大值為．（步驟5）【提示】（1）把右焦點代入直線可解得C．設，，線段AB的中點，利用“點差法”即可得到a，b的關系式，再與聯立即可得到a，b，c．（2）把直線與橢圓的方程聯立得到根與系數的關系，即可得到弦長，由，可設直線CD的方程為，與橢圓的方程聯立得到根與系數的關系，即可得到弦長．利用即可得到關于n的表達式，利用二次函數的單調性即可得到其最大值．【考點】橢圓的方程、橢圓的簡單幾何性質、點差法的應用和直線與橢圓的位置關系．21.【答案】（1）．由是的極值點得，所以.于是，定義域為，．（步驟1）函數在單調遞增，且.因此當時，；當時，.所以在單調遞減，在單調遞增．（步驟2）（2）當，時，，故只需證明當時，.當時，函數在單調遞增．又，，故在有唯一實根x0，且．（步驟3）當時，；當時，，從而當時，取得最小值．由得，，故.綜上，當時，.（步驟4）【提示】（1）求出原函數的導函數，因為是函數的極值點，由極值點處的導數等于0求出m的值，代入函數解析式后再由導函數大于0和小于0求出原函數的單調區間；（2）證明當時，，轉化為證明當時求出當時函數的導函數，可知導函數在上為增函數，并進一步得到導函數在上有唯一零點，則當時函數取得最小值，借助于是導函數的零點證出，從而結論得證．【考點】利用導數求函數的單調區間和極值，利用導數解決不等式問題．22.【答案】（1）因為CD為△ABC外接圓的切線，所以，由題設知，故，所以．（步