專題05六大常考全等模型一、【知識回顧】①模型一：平移模型②模型二：軸對稱（翻折）模型③模型三：一線三等角模型（K字型）直角一線三等角④模型四：不共點旋轉模型⑤模型五：共頂點旋轉模型（手拉手模型）⑥模型六：半角模型（特殊的旋轉模型）二、【考點類型】考點1：平移模型典例1：（2022·廣西柳州·統考中考真題）如圖，點A，D，C，F在同一條直線上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三個條件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．(1)請在上述三個條件中選取一個條件，使得△ABC≌△DEF．你選取的條件為（填寫序號）______（只需選一個條件，多選不得分），你判定△ABC≌△DEF的依據是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；(2)利用（1）的結論△ABC≌△DEF．求證：AB∥DE．【變式1】（2023秋·福建福州·八年級統考期末）如圖，點B，E，C，F在一條直線上，，，．求證：．考點2：軸對稱（翻折）模型典例2：（2022·湖南長沙·統考中考真題）如圖，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分別為(1)求證：△ABC≌(2)若AB=4，CD=3，求四邊形【變式1】（2022·廣西百色·統考二模）如圖，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于點O，OA＝OD．(1)AB＝DC；(2)△ABC≌△DCB．考點3：一線三等角模型（K字型）典例3：（2022·浙江紹興·模擬預測）如圖，中，，且點為邊的中點．將繞點旋轉，在旋轉過程中，射線與線段相交于點，射線與射線相交于點，連結．(1)如圖1，當點在線段上時，①求證：∽；②線段，，之間存在怎樣的數量關系？請說明理由；(2)當為等腰三角形時，求的值．【變式1】（2022秋·黑龍江綏化·八年級校考期中）在中，，，直線經過點C，且于D，于E．(1)當直線繞點C旋轉到圖1的位置時．①請說明的理由；②請說明的理由；(2)當直線繞點C旋轉到圖2的位置時，、、具有怎樣的等量關系?請寫出等量關系，并予以證明．(3)當直線繞點C旋轉到圖3的位置時，、、具有怎樣的等量關系?請直接在橫線上寫出這個等量關系：________．【變式2】（2022秋·河北邯鄲·八年級校考期中）如圖，在中，，，點D在線段上運動（D不與B、C重合），連接，作，交線段于E．(1)當時，_______，_______，_______；點D從B向C運動時，逐漸變_______（填“大”或“小”）；(2)當DC等于多少時，，請說明理由；(3)在點D的運動過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出的度數，若不可以，請說明理由．∴，【變式3】（2022秋·八年級課時練習）如圖，中，，則點B的坐標為________．考點4：不共頂點旋轉模型典例4：（2023秋·山東泰安·七年級統考期末）如圖，點在一條直線上，．(1)求證：；(2)若，求的長度．【變式1】（2023春·山東濟南·九年級校聯考期中）如圖，，是的對角線上兩點，且，求證：．【變式2】（2022·福建泉州·校考三模）在平行四邊形中，、分別是、上的點，且．求證：．考點5：共頂點旋轉模型（手拉手模型）典例5：（2022秋·八年級課時練習）在銳角三角形ABC中，AH是邊BC的高，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接CE，BG和EG，EG與HA的延長線交于點M，下列結論：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中線；④∠EAM=∠ABC．其中正確的是_________．【變式1】（2022秋·八年級課時練習）通過對下面數學模型的研究學習，解決下列問題：（1）如圖1，∠BAD＝90°，AB＝AD，過點B作BC⊥AC于點C，過點D作DE⊥AC于點E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．進而得到AC＝，BC＝AE．我們把這個數學模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；（2）如圖2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點F，DE與直線AF交于點G．求證：點G是DE的中點；（深入探究）（3）如圖，已知四邊形ABCD和DEGF為正方形，△AFD的面積為S1，△DCE的面積為S2，則有S1S2（填“＞、＝、＜”）【變式2】（2020·江蘇徐州·統考中考真題）如圖，，，．，與交于點．（1）求證：；（2）求的度數．【變式3】（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在、中，，，設．連接，以、為鄰邊作，連接．(1)若，當、分別與、重合時（圖1），易得．當繞點順時針旋轉到（圖2）位置時，請直接寫出線段、的數量關系________；(2)若，當繞點順時針旋轉到（圖3）位置時，試判斷線段、的數量關系，并證明你的結論；(3)若為任意角度，，，，繞點順時針旋轉一周（圖4），當、、三點共線時，請直接寫出的長度．考點6：半角模型典例6：（2019·全國·九年級專題練習）如圖所示，是邊長為1的等邊三角形，是頂角的等腰三角形，以為頂點作一個的角，角的兩邊交、于、，連結，求周長.【變式1】（2022秋·八年級課時練習）如圖，在四邊形中，，，分別是，上的點，連接，，．（1）如圖①，，，．求證：；

（2）如圖②，，當周長最小時，求的度數；（3）如圖③，若四邊形為正方形，點、分別在邊、上，且，若，，請求出線段的長度．【變式2】（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長為_____．【變式3】．（2020·黑龍江哈爾濱·統考模擬預測）如圖，四邊形中，，為上一點，連接，，，若，則線段的長為_______．鞏固訓練一、單選題1．（2022秋·河北唐山·八年級統考期中）如圖，，下列條件中不能判定的是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·江蘇揚州·八年級校考階段練習）如圖所示的是重疊的兩個直角三角形，將其中一個直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．若cm，cm，cm，則圖中陰影部分面積為（

）A．47cm2 B．48cm2 C．49cm2 D．50cm23．（2023秋·江蘇鹽城·八年級統考期末）如圖，已知，要使，再添加一個條件（）A． B． C．D．4．（2023春·廣東深圳·七年級校考階段練習）如圖，，，，下列條件中不能證明的是（）A． B． C． D．5．（2023春·四川成都·九年級成都嘉祥外國語學校校考開學考試）如圖，四邊形是菱形，M，N分別是，兩邊上的點，不能保證和一定全等的條件是（）A． B． C． D．6．（2023秋·湖北隨州·八年級統考期末）如圖，點，分別在線段，上，已知，現添加以下的哪個條件仍不能判定（

）A． B．C．， D．線交BC于點D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C． D．8．（2022秋·八年級課時練習）如圖，在中，，，D、E是斜邊上兩點，且，若，，，則與的面積之和為（

）A．36 B．21 C．30 D．229.（2022春·湖北宜昌·九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分別為BC、CD上一點，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．則BE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．410．（2022秋·八年級課時練習）如圖，C為線段AE上一動點（不與點，重合），在AE同側分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結PQ．以下結論錯誤的是（

）A．∠AOB=60° B．AP=BQC．PQ∥AE D．DE=DP11.（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在平行四邊形中，，為上一點，為的中點，則下列結論中正確的是（

）A．B． C．D．12．（2019·浙江杭州·統考三模）如圖，△ABC的面積為9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，則△PBC的面積為（

）A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm213．（2022秋·福建寧德·九年級校考階段練習）如圖，在正方形ABCD中，點O為對角線AC的中點，過點O作射線OG、ON分別交AB、BC于點E、F，且∠EOF＝90°，BO、EF交于點P．則下列結論中：（1）圖形中全等的三角形只有兩對；（2）正方形ABCD的面積等于四邊形OEBF面積的4倍；（3）BE+BF＝OA；（4）AE2+CF2＝2OP?OB．正確的結論有（）個．A．1 B．2 C．3 D．414.（2022春·廣東江門·九年級江門市怡福中學校考階段練習）如圖，正方形和正方形的頂點，，在同一條直線上，頂點，，在同一條直線上，是的中點，的平分線過點，交于點，連接交于點，連接．以下四個結論：①；②；③；④．其中正確的結論有（

）個A．1 B．2 C．3 D．415.（2022秋·廣東深圳·九年級校考期中）如圖，點M、N分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的兩個動點，在運動過程中保持∠MAN＝45°，連接EN、FM相交于點O，以下結論：①MN＝BM+DN；②BE2+DF2＝EF2；③BC2＝BF?DE；④OM＝OF（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、填空題16．（2022秋·江蘇南京·八年級南京市第二十九中學校考階段練習）如圖，，且，，且，請按照圖中所標注的數據計算的長為______．17.（2023秋·山東濟寧·八年級統考期末）如圖，中，，D，E，F分別為邊，，上的點，.若，則______.18．（2023秋·福建寧德·八年級統考期末）如圖，在等腰中，，D為內一點，且，若，則的面積為________．19.（2021·全國·九年級專題練習）在中，，點在邊上，．若，則的長為__________．20.（2022秋·山東濟南·九年級統考期中）如圖，正方形的邊長為5，點A的坐標為，點B在y軸上，若反比例函數的圖象過點C，則k的值為_______．21．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，為AD上的中點，則BE＝______．22.（2022秋·山東濱州·九年級統考期中）如圖，點P是在等邊內一點，，，，將線段繞點A逆時針旋轉得到線段，連接，．下列結論：①可以看作由繞點A逆時針旋轉得到；②線段；③四邊形的面積為；④．正確的是______（只填序號）．三、解答題23．（2022·四川樂山·統考中考真題）如圖，B是線段AC的中點，，求證：．24．（2023秋·云南楚雄·八年級統考期末）如圖所示，在四邊形中，，，連接．求證：．25．（2022秋·陜西安康·八年級統考期中）如圖，在中，，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，連接DE、DF、EF，且，．(1)求證：是等腰三角形；(2)當時，求的度數．26．（2023秋·四川廣安·八年級統考期末）如圖，在中，，，D是邊上的一個動點（點D不與點B，C重合），連接，作，與相交于點E．(1)當時，求證：；(2)當是等腰三角形時，求的度數．27.（2022秋·廣東汕尾·八年級華中師范大學海豐附屬學校校考階段練習）如圖，點，在上，且，，，與交于點．求證：．28．（2023·山東泰安·校考模擬預測）感知：數學課上，老師給出了一個模型：如圖1，點A在直線上，且，像這種一條直線上的三個頂點含有三個相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角“模型．應用：(1)如圖2，中，，直線經過點C，過A作于點D，過B作于點E．求證：．(2)如圖3，在中，D是上一點，，求點C到邊的距離．(3)如圖4，在中，E為邊上的一點，F為邊上的一點．若，求的值．29．（2022秋·江蘇無錫·九年級校聯考階段練習）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P是BC上一點，且BP＝2，將一個大小與∠B相等的角的頂點放在P點，然后將這個角繞P點轉動，使角