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2022屆上海市長寧區高考數學一模試卷

一、填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）

1.（4分）已知集合A={x|xW2},B={1,3,5,7},則AAB=.

2.（4分）（2+x）4的二項展開式中，的系數為.

Qn_9n

3.（4分）lim―n--=________.

n—83，，+i-----------

4.（4分）若線性方程組的增廣矩陣為J；：）,解為U；，則CIF=.

5.（4分）在直角坐標系xOy中，角a的始邊為x軸正半軸，頂點為坐標原點.若角a的

終邊經過點（-3,4）,則sin（a+ir）=.

6.（4分）3位同學被推薦擔任進博會3個指定展館服務志愿者，每人負責1個展館，每個

展館只需1位同學，則共有種不同的安排方法.

7.（5分）已知雙曲線/一<=1的左、右焦點為為、F1,過乃的直線/與雙曲線M的左、

右兩支分別交于點A、B.若AABF2為等邊三角形,則aAB上的邊長為.

8.（5分）在復平面xOy內，復數zi、Z2所對應的點分別為Zi、Z2,對于下列四個式子：

①z：=|Zi『；

②|Z1?Z2|=|Z1|?|Z2|；

—>2—>

③0Z1=|%|2；

④成「0?2|=|。五||。云|.

其中恒成立的是（寫出所有恒成立式子的序號）

11

9.（5分）設x、yCR,a>0,b>0,若ax=b>,=3,a+2b=2V6,則一+一的最大值為

10.（5分）已知公差不為0的等差數列｛〃“｝的前〃項和為S”若。4、S5、57e｛-10,0）,

則S”的最小值為.

II.（5分）已知點A、B在拋物線「：y2=4x±.,點M在「的準線上，線段AM、MB的中

點均在拋物線「上，設直線A8與y軸交于點N（0,〃）,則|〃|的最小值為.

12.（5分）設曲線C與函數=^x2（OWxWM的圖像關于直線尸恁對稱，若曲

線C仍為某函數的圖像，則實數機的取值范圍為.

二.選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）

13.（5分）二<r是匕>1"的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.非充分也非必要條件

14.（5分）給定一組數據15、17、14、10、12、17、17、16、14、12,設這組數據的平均

數為a,中位數為b,眾數為c,則（）

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>c>a

15.（5分）已知平面a經過圓柱OOi的旋轉軸，點A、8是在圓柱OOi的側面上，但不在

平面a上，則下列4個命題中真命題的個數是（）

①總存在直線/,/ua且/與AB異面；

②總存在直線/,/ua且/_LAB；

③總存在平面B，且S，a；

④總存在平面B，4Bu0且（3〃a.

A.1B.2C.3D.4

16.（5分）若函數f（x）=3sin3x+4cos3x（04x4,3>0）的值域為[4,5],則cos等的取

值范圍為（）

三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分）

17.（14分）在直三棱柱ABC-A181cl中，AC1BC,AC=BC=CCi=2.

（1）求四棱錐A-BCC1B1的體積V；

（2）求直線ABi與平面ACCiAi所成角的正切值.

18.(14分)已知△ABC三個內角A、B、C對應邊分別為a、b、c,a=4,cosB=

(1)若sinA=2sinC,求△ABC的面積；

(2)設線段AB的中點為。，若CD=g,求AABC外接圓半徑R的值.

19.(14分)隨著人們生活水平的提高，很多家庭都購買了家用汽車，使用汽車共需支出三

筆費用：購置費、燃油費、養護保險費.某種型號汽車，購置費共20萬元，購買后第1

年燃油費共2萬元，以后每一年都比前一年增加0.2萬元.

(1)若每年養護保險費均為1萬元，設購買該種型號汽車〃(nGN*)年后共支出費用為

5”萬元，求S”的表達式；

(2)若購買汽車后的前6年，每年養護保險費均為1萬元，由于部件老化和事故多發，

第7年起，每一年的養護保險費都比前一年增加10%,設使用〃(”6N*)年后年平均費

用為Cn,當〃時，Cn最小.請你列出”>6時Cn的表達式，并利用計算器確定〃。的

值(只需寫出處的值).

1

xxe

20.(16分)己知函數/(x)=2+i(^)?

(1)求證：函數是R上的減函數；

(2)已知函數f(x)的圖像存在對稱中心(a,b)的充要條件是g(x)=f(x+a)-h

的圖像關于原點中心對稱，判斷函數/(x)的圖像是否存在對稱中心，若存在，求出該

對稱中心的坐標；若不存在，說明理由；

3

(3)若對任意川，都存在X26[l,3]及實數/?,使得+f(xix2)=1,

求實數〃的最大值.

21.(18分)城市道路大多是縱橫交錯的矩形網格狀，從甲地到乙地的最短路徑往往不是直

線距離，而是沿著網格走的直角距離.在直角坐標系X。)，中，定義點A(xi,yi)、B(X2,

yi)的"直角距離"d(A,B)為：d(A,B)—\x]-x2|+|yi-y2\.設M(l,

-1).

(1)寫出一個滿足d(C,M)=d(C,N)的點C的坐標;

(2)過點M.N作斜率為2的直線h、/2,點。、R分別是直線/1、/2上的動點，求

R)的最小值；

(3)設P(x,>'),記方程d(P,M)+dCP,N)=8的曲線為「，類比橢圓研究曲線

「的性質(結論不要求證明)，并在所給坐標系中畫出該曲線.

y

X

2022屆上海市長寧區高考數學一模試卷

參考答案與試題解析

一、填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）

1.（4分）已知集合4=*仇^2},8={1,3,5,7},則443=⑴

【解答】解：.集合A={x|xW2},B={1,3,5,7）,

故答案為：{1}.

2.（4分）（2+x）4的二項展開式中/的系數為24.

【解答】解：由于（2+x）4的二項展開式的通項公式為了什尸禺:3獷，、式,

令r=2,

.?.展開式中/的系數是：22?盤=24,

故答案為：24.

Qn_971

3.（4分）lim-n=1.

n->oo3+1--------

1

【解答】解：lim;九/=lim：=?

n-?oo3+1n->oo1+91+。

故答案為：1.

4.（4分）若線性方程組的增廣矩陣為RJ解為則。-凹=-1

【解答】解：?.?線性方程組的增廣矩陣為（：::：），解為二;，

.0=Q.（Ci=1

,

-[x+y=c2飛=2，

貝！Jc\-c*2=l-2=-1.

故答案為：-1.

5.（4分）在直角坐標系xOy中，角a的始邊為x軸正半軸，頂點為坐標原點.若角a的

終邊經過點（-3,4）,則sin（a+n）-.

【解答】解：因為直角坐標系xOy中，角a的始邊為無軸正半軸，頂點為坐標原點.若

角a的終邊經過點（-3,4）,

所以x=-3,y=4,t-7（-3）24-42=5,

所以sin（a+n）=-sina=—?=一

故答案為：—

6.（4分）3位同學被推薦擔任進博會3個指定展館服務志愿者，每人負責1個展館，每個

展館只需1位同學，則共有6種不同的安排方法.

【解答】解：根據題意，3位同學被推薦擔任進博會3個指定展館服務志愿者，每人負責

1個展館，每個展館只需1位同學，

是排列問題，有所3=6種安排方法，

故答案為：6.

7.（5分）已知雙曲線/一《=1的左、右焦點為尸1、Fi,過尸1的直線/與雙曲線M的左、

右兩支分別交于點A、B.若△4BF2為等邊三角形，則△A8&的邊長為4.

【解答】解：如圖，設△ABF2的邊長為r,\AF\\=m,

因為△ABF2為等邊三角形，所以|AB|=|AF2|=|8尸2|=r,

由雙曲線的方程知a=1,b=V6.

所以由雙曲線的定義得忸/切TAFi|=2,|BFi|-\BF2\=2,

即r+/n-r=2,r-tn=2,解得r=4,m=2.

所以△A8F2的邊長為4.

8.（5分）在復平面xOy內，復數zi、Z2所對應的點分別為Zi、Z2,對于下列四個式子:

①Z工=|z/2；

②|Z1?Z2|=|Z1|3Z2|；

—2—>

③0Z1=|OZ1|2；

?\oz^oz2\=\oz1\-\oz2\.

其中恒成立的是②③(寫出所有恒成立式子的序號)

【解答】解：設zi=a+bi,z2=c+di,則Zi(〃，b),Z2(c,d),

22222222

對于①，Zi=a+b+2abi,|zi|=?+fe,.\z1|zx|,故A錯誤；

對于②，zi?z2=Cac-bd}+(bc+ad)i,

22222222

|zi*z2|=J(QC—bd)2+(be+ad)2=Vac+bc4-ad+bdf

|zi|*|z2|=y/a24-b2-Vc2+d2=Va2c24-b2c2+a2d24-b2d2,

A|zi?z2|=|zi|*|z2|，故②正確；

—>T2T

對于③，OZ1=(.a,b),，OZ1=a1+b2,lOZJ^aW,故③正確;

—?—?—?

=

對于④，UZ?=(c,d),?\OZ1-OZ2^c+dh,

2222

，|0Z],OZ2\={(ac+bd)2=yjac+bd+2acbd,

9z22222222

\0Z1\\0Z2\=7d+b27c2+d2=Vac4-ad+bc+bd,

???|?！贰?^2|工|0?1|?|0》21，故。錯誤.

故答案為：②③.

9.(5分)設x、yWR,a>0,b>U,若0V=加'=3,a+2b=2>/6,則一+一的最大值為

xy

【解答】解：???/=〃=3,

??x=loga3,y=log/?3,

11

A-=log3。，-=log3?,

11

~=log3〃+log3/?=log3a/b

?：2abS蘆段A=6,

：.ab^3,故外的最大值為3,

當且僅當a=2b=歷時,等號成立，

,,11

故一+—=10g34〃Wk>g33=l,

xy

11

故一+一的最大值為1,

xy

故答案為：1.

10.（5分）已知公差不為0的等差數列｛的｝的前力項和為S",若"4、S5、576（-10,0｝,

則S的最小值為-12.

【解答】解：S取得最小值，則公差d>0,44=70或“4=0.

（1）當a4=0,d>0,S7=露&x7-7a4=0,S5=5a3=-10，

=m+3d=0,5ai+10d=-10,

n“i=-6,d—2>Q,an—In-8,a”=2〃-8W0=〃W4,

所以S”的最小值為S4=4"i+6d=-24+12=-12.

（2）當=—10,d>0,S7=x7=7a4=-70,不合題意.

綜上所述：。4=0,55=-10,S7=0,5”的最小值為-12.

故答案為：-12.

11.（5分）已知點4、B在拋物線「：y2=4x上，點M在「的準線上，線段M4、MB的中

點均在拋物線「上，設直線4B與y軸交于點N（0,〃），則|川的最小值為

【解答】解：設A（午，yi）,B（午，”），

由拋物線的方程可得焦點尸（1,0）,準線方程為x=-l,設M（-l,%）,

y12

~-1yi+m、yi2-4y^m

則MA,的中點P（-￡―,三一），即P（^―）三一），

2282

因為P在拋物線r上，所以（紅也）2=4.技

28

整理可得y\2-2myi-in2-8=0,

同理可得>22-2myi-m2-8=0,

所以yi,”為方程y2--序-8=0的兩根，

所以yi+y2=2〃z,yi”=--8,

因為準線43與y軸交于（0,〃），所以“W0,

所以kAB=y廠丫2?=v:v=

zzm

yi_y2%+丫2

~~4~

所以直線AB的方程為：y-yi=^^-芋）,

令x=0,可得y=yi-條，

因為直線AB與y軸交于（0,n）,

所以n=y\-

同理〃=”一寨②，

所以①+②可得2n=y\+y2-乃2鰲'=(>1+*)

2

(丫1+及)-2yly2_4m2-2(-m2-8)_m4

2m2m2m

因為對勾函數的y=*+《的取值范圍為(-8,-2V2]U[2V2,+~),

所以I川加〃=2V2.

故答案為：2V2.

12.(5分)設曲線C與函數f(x)(OWxWm)的圖像關于直線)，=Wx對稱，若曲

線C仍為某函數的圖像，則實數m的取值范圍為(0,21.

【解答】解：設/是函數f(x)=T|X2(OWxW/n)在點M(機，)的切線，

?1412

因為曲線C與函數f(x)=y|x2(OWXWW)的圖像關于直線)=岳對稱，

所以直線/關于)=VIx對稱后的直線方程必為x=a,曲線C才能是某函數的圖像，

如圖所示，直線》=6》與工=“的夾角為30°,所以直線/的傾斜角為30°,

則直線/的方程為/：y=^-(x-m)+^m2,

聯立方程組=T(x-m)+T2m\可得/-?+4機

Iy=yjX2

則△=16-16，"+4〃？=0,解得m=2,

由圖像可得，0</nW2,

所以實數機的取值范圍為(0,2].

故答案為：(0,2].

二.選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）

13.（5分）“三VI”是“x>l”的（）

x

A.充分非必耍條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.非充分也非必要條件

【解答】解：由!<1解得：x>\或x<0,

X

所以或XV0},

所以“工VI”是。>1”的必要不充分條件，

X

故選：B.

14.（5分）給定一組數據15、17、14、10、12、17、17、16、14、12,設這組數據的平均

數為m中位數為b,眾數為c,則（）

A.a>h>cB.c>b>aC.c>a>bD.h>c>a

【解答】解：該組數據從小到大排列為10、12、12、14、14、15、16、17、17、17,

1

計算這組數據的平均數為a=^x（10+12+12+14+14+15+16+17+17+17）=14.4,

1

中位數為匕=>（14+15）=14.5,

眾數為c=17,

所以c>b>a.

故選:B.

15.（5分）已知平面a經過圓柱001的旋轉軸，點A、8是在圓柱OOi的側面上，但不在

平面a上，則下列4個命題中真命題的個數是（）

①總存在直線/,/ua且/與AB異面；

②總存在直線/,/ua且/_LAB；

③總存在平面p,ABup且p±a；

④總存在平面B，ABuR且0〃a.

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：對于①，當A,8同側時，平面a和圓柱在底面上的交線與AB是異面的;

當4,8異側時，平面a和圓柱在側面上的交線與AB是異面的，故①正確；

對于②，當A,B同側時，平面a和圓柱在底面上的交線與AB是垂直的；

當A,8異側時，直線。13J_A8,故②正確；

對于③，無論A,8同側，還是異側，若0為過AB的圓柱軸截面，則0J_a,故③正確；

對于④，當4,B異側時，直線AB與平面a相交，不可能存在p〃a,故④錯誤.

故選：C.

16.(5分)若函數f(x)=3sin3x+4cos3x(0WxW泉3>0)的值域為[4,5],則cos等的取

值范圍為（）

74737473

A.[―,-]B.[―,-]C[一方5]D?［一再？

255255

AQ

【解答】解：因為函數/(x)=3sina)x+4coscox=5sin(a)x+(p),其中sin(p=5,cos(p=0

<(P<2,

令/=a)x+(p,得g(r)=5sinr,因為a)>0,(XW*所以*o+(p,

又因為g(<p)=4,且0V(pV夕所以g(TT-<p)=4,g(])=5,

TCTCTT苑

所以]<—a)4-(p^n-<p,即w—(p<可3<11-2(p.

當0V*—(pWxWir-2(pVn時，y=cosx單調遞減.

因為cos(—―<p)=sin(p=+cos(n-2q))=-cos2(p=sin<p-cos(

37174

所以cos-1的取值范圍是-].

故選：A.

三.解答題(本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分)

17.(14分)在直三棱柱ABC-AiBiA中,AC1BC,AC=BC=CCi=2.

(1)求四棱錐A-BCC\B\的體積V；

(2)求直線ABi與平面ACCiAi所成角的正切值.

【解答】解：因為直三棱柱ABC-AiBiCi中，C。，平面A8C,

所以C—,CCilBC,

因為AC_LBC,BCCCCi=C,

所以AC,平面BCC\B\,

因為AC=BC=CCi=2,所以%cc祖=4，

四棱錐A-BCC1B1的體積V=^xSBCQBJAC=]X4X2=~

(2)因為直三棱柱ABC-4BC1中，CCi_L平面ABC,

所以CC\±BC,

因為AC_LBC,ACQCC\=C,

所以BC_L平面ACCiAi,

因為在直三棱柱ABC-AiBiC中,BC//BiCi,

所以BiC」平面ACCiAi,

則ZBiACi是直線AB\與平面ACC\A\所成角，

所以tanNBMC尸猊=嘉=孝，

所以直線A-與平面ACG4所成角的正切值為三.

18.（14分）已知AABC三個內角A、B、C對應邊分別為a、b、c,a=4,cosB=

（1）若sinA=2sinC,求△ABC的面積；

（2）設線段AB的中點為￡>,若CD=回,求AABC外接圓半徑R的值.

【解答】解：⑴因為sinA=2sinC,

所以a=2c,

又。=4,

所以c=2,

1

因為cosB=一彳，

所以sinB=V1—cos2B—^

所以△ABC的面積S-/qcsinB=X4x2Xq也=V15.

（2）因為線段4B的中點為。，若CD=g,

在△BCD中，由余弦定理可得19=16+81）2-2X4XBDX（_《），整理可得

q

3=0,解得8￡）=1或-3（舍去），

所以c=A8=2,

在△ABC中，由余弦定理可得h=y/a24-c2-2accosB=

J4+16-2x4x2x（一》=2瓜,

所以由正弦定理可得△ABC外接圓半徑R=天幻=2公4/10

Z.SITID2x學5.

19.（14分）隨著人們生活水平的提高，很多家庭都購買了家用汽車，使用汽車共需支出三

筆費用：購置費、燃油費、養護保險費.某種型號汽車，購置費共20萬元，購買后第1

年燃油費共2萬元，以后每一年都比前一年增加0.2萬元.

(1)若每年養護保險費均為1萬元，設購買該種型號汽車〃("6N*)年后共支出費用為

S”萬元，求S”的表達式；

(2)若購買汽車后的前6年，每年養護保險費均為1萬元，由于部件老化和事故多發，

第7年起，每一年的養護保險費都比前一年增加10%,設使用〃(”6N*)年后年平均費

用為Cn,當"=〃0時，Cn最小.請你列出”>6時Cn的表達式，并利用計算器確定”。的

值(只需寫出〃。的值).

【解答】解：(1”.?購買后第1年燃油費共2萬元，以后每一年都比前一年增加0.2萬元，

...購買該車后，每年的燃油費構成等差數列，首項為2,公差為0.2,

,購買該種型號汽車第"("6N*)年的燃油費用為3=0.2〃+1.8,

.??購買該種型號汽車第”(neN*)年的燃油總費用為迎網二空々=亡+^n,

21010

?.?每年養護保險費均為1萬元，購置費共20萬元，

購買該種型號汽車〃(於N*)年后共支出費用為Sn=哈+那+”+20=哈+鬻+20.

(2)當〃>6時，每一年的養護保險費都比前一年增加10%,

故從第七年起，養護保險費滿足等比數列，首項為1.1,公比為1.1,

二從第七年起，第"("6N*,〃>6)年的養護保險費用為〃WN*,

...購買該種型號汽車〃(“6N*,〃>6)年后，養護保險費為6+二:彳1"_6)=1OX

1—1.1

l.l,r5-5,

1(1x1in-5_s

當n>6時，使用〃(〃6N*)年后，養護保險費的年平均費用Cn=——-,n>6,

經計算器計算可得"0=7時，Cn最小.

20.(16分)已知函數/(x)G/?).

(1)求證：函數/(x)是R上的減函數；

(2)已知函數f(x)的圖像存在對稱中心(a,b)的充要條件是g(x)=f(jc+a)-h

的圖像關于原點中心對稱，判斷函數/(X)的圖像是否存在對稱中心，若存在，求出該

對稱中心的坐標；若不存在，說明理由；

3

(3)若對任意川，都存在X2日1,鼻］及實數加，使得+/,(xix2)=1,

求實數〃的最大值.

112“2-2”

【解答】(1)證明：設X1<%2,則八xi)-3=備西-17落=(1+2q)(1+2,2).

所以/(XI)>f(X2).

所以/(x)在R上單調遞減；

(2)解：假設函數f(x)的圖像存在對稱中心(a,b),

則g(x)=fCx+a)-匕的圖象關于原點對稱，

11

貝I」g(-x)+g(x)=]+2&r+1+2a+x-26=0恒成立，

整理得(1-2/7)(2a+x+2ax)+2-2b-2b/』。恒成立，

所以｛；-2b-2b-22a=°，

1

解得。=0,h=2，

1

故函數f(x)的對稱中心為(0,-)；

3

(3)解：因為對任意〃],都存在%241,5]及實數〃心使得，(1-〃?XI)t/(L)

=1,

11

所以1+21-+1+2%1%2=1'

即21一口+工62=0,

所以1-mx\+xix2=0f

所以xi=m——,

X1

11

因為〃］,所以〃?一章6［加-1,m--］,

,313

因為無241,所以-1,,加一而］。［1,

fm—1>1(m>2

所以1-3,即1、3,

Im——<?->m—?

l?121rl2

所以—2(w—1)min=5，

所以MW2,即〃的最大值為2.

21.(18分)城市道路大多是縱橫交錯的矩形網格狀，從甲地到乙地的最短路徑往往不是直

線距離，而是沿著網格走的直角距離.在直角坐標系X。)，中，定義點A(xi,yi)、B3

”)的“直角距離”d(A,B)為：d(A,B)=M設M(1,1)、N(-1,

-1).

(1)寫出一個滿足d(C,M)=d(C,N)的點C的坐標；

(2)過點M、N作斜率為2的直線八、拉，點。、R分別是直線/1、/2上的動點，求d(Q,

R)的最小值；

(3)設P(x,y),記方程d(P,M)+d(P,N)=8的曲線為1,,類比橢圓研究曲線

「的性質(結論不要求證明)，并在所給坐標系中畫出該曲線.

【解答】解：(1)設C點的坐標為C(X),川)，若d(C,M)=d(C,N),所以似)

-l|+|yo-l|=|xo+l|+|yo+l|,

所以C點在直線了=-1上，故(0,0)滿足要求.

(2)由題可知，h：y=2r-l,/2：y=2x+l,

因此Q(xi,2JCI-I),/?(%2,2x2+1),

所以d(Q,R)=\xi-X2|+|(2xi-1)-(2x2+1)|=|xi-X2|+2|XI-X2-1|,

令xi-x2=r,則d(Q，R)=|f|+2|r-1|,

—3t+2,t<0

-t+2,0<t<l,

(3t-2,t>1

所以當t=l時，d(Q,R)取得最小值1.

(3)因為d(P,M)+d(P,N)=8,

所以|x-l|+|x+l|+|)，-l|+|y+l|=8,

所以，類比橢圓的幾何性質，曲線「的性質的性質有：

對稱性：曲線r即是以X軸、y軸為對稱軸的對稱圖形，也是以原點為對稱中心的中心

對稱圖形：

頂點：(±3,±1),(±1,±3)

范圍：-3WxW3,-3WyW3.

2022屆上海市虹口區高考數學一模試卷

一.填空題（1?6題每題4分，7?12題每題5分，本大題滿分54分）

1.（4分）已知集合4={1,2,4},8={y|y=log2x,xGA},貝!JAU8=.

2.（4分）己知x=-2是方程$方=0的解，則實數a的值為.

11

3.（4分）已知aw{-2,-1,1,2,3）,若基函數/G）=爐為奇函數，且在（0,

+°°）上單調遞減，則a=.

4.（4分）已知無窮等比數列{〃〃}的前〃項的和為S〃，首項ai=3,公比為g,且〃？nS=2,

n-*oon

則q=.

5.（4分）圓x2+y2+4sin0?x+^osS9y+1=0的半徑等于.

6.（4分）在（彳-61°的二項展開式中，常數項等于.（結果用數值表示）

7.（5分）已知角A,B,C是aABC的三個內角，若sin/1：sinB：sinC=4：5：6,則該三

角形的最大內角等于（用反三角函數值表示）.

8.（5分）已知/（x）是定義域為R的奇函數，且對任意的x滿足/（x+2）=f（x）,若0

時，有/（x）=4、+3,貝！1/（3.5）=.

9.（5分）已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點為凡A,8為此拋物線上的異于坐標原點0

的兩個不同的點，滿足|房1|+|品|+|而|=12,且總1+而+訪=5,貝ijp=.

10.（5分）如圖，在棱長為1的正方體ABC。-AiBiCiG中，P為底面4BCD內（包括邊

界）的動點，滿足初P與直線CC1所成角的大小為9則線段DP掃過的面積為_______.

6

11.（5分）已知實數x,y滿足：x|x|+y|y|=l,則|x+y+&|的取值范圍是.

12.（5分）已知函數/（X）=cosx,若對任意實數xi,xi,方程（（x）-/（xi）|+[f（x）-

/（X>）尸〃？（wGR）有解，方程/（X）-fCxO|-|/'（x）-f（x2）\=n（〃€R）也有解，

則m+n的值的集合為.

二.選擇題（每小題5分，滿分20分）

X—3

13.（5分）設a：實數無滿足力VO,p：實數x滿足|x-1|<2,那么a是0的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

71

14.（5分）設函數/（4）=asirur+bcosx,其中a>0,。>0,若/（x）W/（一）對任意的

4

恒成立，則下列結論正確的是（）

TC71

A./（-）>（一）

J26

B./（x）的圖像關于直線》=竽對稱

Jr57r

C.f（x）在q,彳]上單調遞增

D.過點（mb）的直線與函數/（X）的圖像必有公共點

15.（5分）設等差數列｛“”｝的前"項和為S”如果-ai<a9<-“2,則（）

A.S9>0且Sio>OB.S9>0且SioVO

C.S9<0且Sio>OD.S9Vo且Sio<O

16.(5分)已知mhER,復數z=〃+2bi(其中i為虛數單位)滿足z?5=4,給出下列結論:

①〃2+房的取值范圍是[1,4]；

②J(a-6)2+岳+J(a+V3)2+b2=4；

b—赤

③-----的取值范圍是(-8,-1]U[1,+8)；

a

④專+/■的最小值為2

其中正確結論的個數是()

A.1B.2C.3D.4

三.解答題(本大題滿分76分)

17.(14分)如圖，在直三棱柱ABC-A13C1中，已知AC=3C=4,A4i=3,AB=4y/2.(1)

求四棱錐A-BCC\B\的體積；

(2)求直線A。與平面A3814所成的角的大小.

18.(14分)在平面直角坐標系xOy中，A(―,—)在以原點。為圓心半徑等1的圓上,

將射線OA繞原點。逆時針方向旋轉a后交該圓于點3,設點B的橫坐標為/(a)，縱

坐標g(a).

(1)如果sina="z,0</w<1,求/(a)+g(a)的值(用團表示)；

(2)如果=2,求/(a)?g(a)的值.

g(a)

19.(14分)某地政府決定向當地納稅額在4萬元至8萬元(包括4萬元和8萬元)的小微

企業發放補助款，發放方案規定：補助款隨企業納稅額的增加而增加，且補助款不低于

納稅額的50%.設企業納稅額為x(單位：萬元)，補助款為/(x)=#-法+〃+：(單

位：萬元)，其中b為常數.

(1)分別判斷〃=0,b=l時，/(%)是否符合發放方案規定，并說明理由；

(2)若函數/(x)符合發放方案規定，求〃的取值范圍.

X2V9

20.(16分)已知橢圓r：一+-=1的左、右焦點分別為Fl、F2,過點F1的直線/交橢

128

圓于A,8兩點，交y軸于點尸(0,0.

(I)若尸1尸，尸2尸，r的值;

(2)若點4在第一象限，滿足?點=7,求f的值；

(3)在平面內是否存在定點Q,使得謙?前是一個確定的常數。若存在，求出點Q的

坐標；若不存在，說明理由.

21.(18分)已知集合A={y|y=2x,x€N*},B={y\y=3x,x€N*}.AUB中的所有元素按

從小到大的順序排列構成數列{%},5?為數列{加}的前n項的和.

⑴求SlO!

(2)如果即=81,42022=/,求相和，的值；

(3)如果〃=土尹+攵(AWN*),求HSH(用女來表示).

2022屆上海市虹口區高考數學一模試卷

參考答案與試題解析

填空題（1?6題每題4分，7?12題每題5分，本大題滿分54分）

1.（4分）已知集合人={1,2,4},B={y|y=log2x,xEA},則AU8={0,1,2,4}

【解答】解：因為A={1,2,4},B={y|y=log2x,x6A}={0,1,2）,

則AUB={0,1,2,4）.

故答案為：{0，1,2,4）.

2.（4分）已知x=-2是方程［=0的解，則實數。的值為4.

【解答】解：因為x=-2是方程用胃=0的解，

所以-2X（-2）-a=0,

所以a=4.

故答案為：4.

3.（4分）已知嗚-2,-1,1,2,3},若基函數/Xx）=非為奇函數，且在（0,

42

+8）上單調遞減，則a=-1,

【解答】解：因為嗚-2,-1,T，1,2,3},

42

由基函數f（x）=/為奇函數，在（0,+°°）上單調遞減，

所以a為奇數，且a<0,

所以a=-1.

故答案為：-1.

4.（4分）已知無窮等比數列的前〃項的和為防，首項m=3,公比為q,且n〃1?8nS“=2,

i

則q=■

【解答】解：因為無窮等比數列{“”）中，首項ai=3,公比為g,

又〃TnSn-2,

n->oo

所以=——=2,

1-q1-q

所以q=

故答案為：—

5.(4分)圓/+y2+4sine?x+4cos6?y+l=0的半徑等于_V3_.

【解答】解：由％2+y2+4sine?x+4cos8?y+l=0得(x+2sin0)2+(y+2cos0)2=3,

所以圓的半徑為次.

故答案為：V3.

6.(4分)在(x-1)10的二項展開式中，常數項等于-252.(結果用數值表示)

wrriO

【解答】解：因為(x—31°的二項展開式的通項Tf=C[ox-?(―=(-1)C[ox

"2r

令10-2r=0得r=5,

故常數項為一味)=-252.

故答案為：-252.

7.(5分)已知角A,B,C是△ABC的三個內角，若sin4sinB：sinC=4：5：6,則該三

1

角形的最大內角等于arccos二(用反三角函數值表示).

【解答】解：由正弦定理得，sinA：sinB：sinC=〃；b：c=4：5：6,

故可設a=4x,b=5xfc=6x,

則最大角為C,

「kA壯士-ca^+b2-^16X2+25X2-36X21

由余弦定理得，cosC=2ab=124F5T-=8>

1

故C=arccos-.

8

1

故答案為：arccos-.

8.(5分)已知/(x)是定義域為R的奇函數，且對任意的x滿足/(x+2)=/(x),若0

VxVl時，有/(x)=4'+3,貝廳(3.5)=-5.

【解答】解：由題意得/(-x)=-于(x)且f(x+2)=f(x),

因為OVxVl時，有/(x)=4"+3,

則/(3.5)=/(1.5)=/(-0.5)=-f(0.5)=-(2+3)=-5