第一篇熱點、難點突破篇專題14空間幾何體的結構、面積與體積（練）【對點演練】一、單選題1．（2022秋·北京·高三統考階段練習）已知圓柱的上、下底面的中心分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過直線SKIPIF1<0的平面截該圓柱所得的截面是面積為12的正方形，則該圓柱的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據圓柱的體積公式計算可得結果.【詳解】由題意知該圓柱的高和底面直徑是SKIPIF1<0，所以該圓柱的體積為SKIPIF1<0.故選：C.2．（2022·河南·統考一模）已知某圓臺的上底面和下底面的面積分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，則該圓臺的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用臺體的體積公式可求得該圓臺的體積.【詳解】由題意可知，該圓臺的體積為SKIPIF1<0.故選：C.3．（2022秋·江西宜春·高三校考階段練習）已知A，B，C為球O的球面上的三個點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外接圓的圓心，球O的表面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長度為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】C【分析】由已知求得球SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0，根據正弦定理求出SKIPIF1<0外接圓半徑SKIPIF1<0，即可求出結果.【詳解】設圓SKIPIF1<0的半徑為r，球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0.依題意得SKIPIF1<0為等邊三角形，則由正弦定理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又因為球O的表面積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0如圖，根據球的截面性質得SKIPIF1<0平面ABC，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：C.4．（2022秋·江蘇南通·高三江蘇省如東高級中學校考階段練習）已知圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，側面展開圖是圓心角為SKIPIF1<0的扇形，則該圓錐的側面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由扇形的弧長公式與面積公式求解即可【詳解】設圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，側面展開扇形的半徑為SKIPIF1<0，因為底面周長SKIPIF1<0，所以扇形的弧長SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以圓錐的側面積為SKIPIF1<0，故選：D5．（2023·全國·高三專題練習）設球SKIPIF1<0是棱長為4的正方體的外接球，過該正方體的棱的中點作球SKIPIF1<0的截面，則最小截面的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】先求得球SKIPIF1<0的半徑，利用勾股定理求得最小截面的半徑，進而求得最小截面的面積.【詳解】正方體的體對角線長為SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，正方體的棱的中點與SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最小截面的圓的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最小截面的面積為SKIPIF1<0.故選：B6．（2023·全國·模擬預測）端午佳節，人們有包粽子和吃粽子的習俗．四川流行四角狀的粽子，其形狀可以看成一個正四面體．廣東流行粽子里放蛋黃，現需要在四角狀粽子內部放入一個蛋黃，蛋黃的形狀近似地看成球，當這個蛋黃的表面積是SKIPIF1<0時，則該正四面體的高的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】根據題意分析可知，當該正四面體的內切球的半徑為SKIPIF1<0時，該正四面體的高最小，再根據該正四面體積列式可求出結果.【詳解】由球的表面積為SKIPIF1<0，可知球的半徑為SKIPIF1<0，依題意可知，當該正四面體的內切球的半徑為SKIPIF1<0時，該正四面體的高最小，設該正四面體的棱長為SKIPIF1<0，則高為SKIPIF1<0，根據該正四面體積的可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以該正四面體的高的最小值為SKIPIF1<0.故選：B7．（2022秋·河北張家口·高三統考期末）石碾子是我國傳統糧食加工工具，如圖是石碾子的實物圖，石碾子主要由碾盤、碾滾（圓柱形）和碾架組成．碾盤中心設豎軸（碾柱），連碾架，架中裝碾滾，以人推或畜拉的方式，通過碾滾在碾盤上的滾動達到碾軋加工糧食作物的目的．若推動拉桿繞碾盤轉動2周，碾滾的外邊緣恰好滾動了5圈，碾滾與碾柱間的距離忽略不計，則該圓柱形碾滾的高與其底面圓的直徑之比約為（

）A．3：2 B．5：4 C．5：3 D．4：3【答案】B【分析】繞碾盤轉動2周的距離等于碾滾滾動5圈的距離，列出方程即可求解.【詳解】由題意知，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0故選：B.8．（2023·全國·模擬預測）《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．若一個直角圓錐的側面積為SKIPIF1<0，則該圓錐的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據題中定義，結合圓錐的側面積和體積公式進行求解即可.【詳解】設直角圓角的底面半徑為SKIPIF1<0，母線為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，因為直角圓錐的軸截面為等腰直角三角形，所以有SKIPIF1<0，因為直角圓錐的側面積為SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以該直角圓錐的體積為SKIPIF1<0，故選：D9．（2022·浙江·模擬預測）某全球衛星導航系統是我國航天事業的重要成果.在衛星導航系統中，地球靜止同步衛星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為h（軌道高度是指衛星到地球表面的距離）.將地球看作是一個球心為O，半徑r為的球，其上點A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數.地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛星點的緯度最大值為SKIPIF1<0，記衛星信號覆蓋地球表面的表面積為SKIPIF1<0（單位：SKIPIF1<0），若SKIPIF1<0，則S占地球表面積的百分比約為（

）A．26% B．34% C．42% D．50%【答案】C【分析】設SKIPIF1<0表示衛星，過SKIPIF1<0作截面，截地球得大圓SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的切線SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0交圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，在直角三角形中求出SKIPIF1<0后，可計算兩者面積比．【詳解】設SKIPIF1<0表示衛星，過SKIPIF1<0作截面，截地球得大圓SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的切線SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0交圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，如圖，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0設地球表面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．故選：C．二、填空題10．（2022秋·江蘇徐州·高三期末）已知圓柱的高為8，該圓柱內能容納半徑最大的球的表面積為SKIPIF1<0，則圓柱的體積為______．【答案】SKIPIF1<0【分析】先分析半徑最大的球不可能為圓柱的內切球，所以此球是與圓柱側面與下底面相切的球，就能求出圓柱底面半徑，然后根據圓柱的體積公式可得.【詳解】圓柱內能容納半徑最大的球的表面積為SKIPIF1<0，設此球半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0如果圓柱有內切球，又因為圓柱的高為8，所以內切球半徑為SKIPIF1<0，說明這個圓柱內能容納半徑最大的球，與圓柱側面和下底面相切，與上底面相離，易得圓柱底面半徑為SKIPIF1<0，圓柱的體積為SKIPIF1<0故答案為：72π【沖刺提升】一、單選題1．（2022秋·廣東東莞·高三統考期末）已知一個裝滿水的圓臺形容器的上底半徑為6，下底半徑為1，高為SKIPIF1<0，若將一個鐵球放入該容器中，使得鐵球完全沒入水中，則可放入的鐵球的體積的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】作出體積最大時的剖面圖，分析出此時圓與上底，兩腰相切，建立合適直角坐標系，設圓心坐標為SKIPIF1<0，利用圓心到腰所在直線等于半徑列出方程，解出即可.【詳解】體積最大時，沿上下底面直徑所在平面作出剖面圖如圖所示，顯然此時圓SKIPIF1<0與等腰梯形SKIPIF1<0的上底以及兩腰相切，則建立如圖所示直角坐標系，由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0所在直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0設SKIPIF1<0，體積最大時球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離等于半徑SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0故選：B.2．（2022·浙江·模擬預測）某工廠要生產容積為SKIPIF1<0的圓柱形密封罐.已知相同面積的底的成本為側面成本的SKIPIF1<0倍，為使成本最小，則圓柱的高與底面半徑之比應為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】設圓柱底面半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，利用圓柱體積公式可得SKIPIF1<0；設單位面積的成本為SKIPIF1<0，總成本為SKIPIF1<0，結合圓柱底面積和側面積公式可表示出SKIPIF1<0，利用三項基本不等式的取等條件可求得結果.【詳解】設圓柱底面半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；設單位面積的成本為SKIPIF1<0，總成本為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0圓柱上下底的總面積為SKIPIF1<0，側面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0時取等號），SKIPIF1<0當總成本最小時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：D.3.（2022·浙江·模擬預測）如圖，正方體SKIPIF1<0的棱長為1，SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，則三棱錐SKIPIF1<0的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】建立空間直角坐標系，求得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據等體積法解決即可.【詳解】建立如圖所示SKIPIF1<0空間直角坐標系，因為正方體SKIPIF1<0的棱長為1，所以SKIPIF1<0,設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0又因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，故選：A4．（2022秋·廣東深圳·高三深圳中學校考階段練習）正三棱錐SKIPIF1<0的底面邊長是2，E，F，G，H分別是SA，SB，BC，AC的中點，則四邊形EFGH面積的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】畫出圖形，求出SKIPIF1<0，說明SKIPIF1<0是矩形，結合圖形，說明SKIPIF1<0點在SKIPIF1<0平面時，面積最小，求出即可得到范圍【詳解】如圖所示：由正三棱錐SKIPIF1<0的底面邊長是2，因為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是平行四邊形因為正三棱錐SKIPIF1<0，則對棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點連線SKIPIF1<0與對棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點連線SKIPIF1<0相等，即SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是矩形，所以SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0的中心為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0所以四邊形EFGH面積的取值范圍是：SKIPIF1<0故選：B．5．（2023·全國·鄭州中學校考模擬預測）已知空間四邊形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，面ABC與面SKIPIF1<0夾角正弦值為1，則空間四邊形SKIPIF1<0外接球與內切球的表面積之比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據空間四邊形SKIPIF1<0的線面關系可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則空間四邊形SKIPIF1<0可以內接于圓柱中，根據圓柱的外接球半徑求得空間四邊形SKIPIF1<0的外接球半徑SKIPIF1<0，又根據內切球的幾何性質用等體積法可求得空間四邊形SKIPIF1<0的內切球半徑SKIPIF1<0，即可得空間四邊形SKIPIF1<0外接球與內切球的表面積之比.【詳解】解：SKIPIF1<0面SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0夾角正弦值為1，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則空間四邊形SKIPIF1<0可以內接于圓柱SKIPIF1<0中，如下圖所示：點SKIPIF1<0在上底面圓周上，SKIPIF1<0三個頂點在下底面圓周上，則圓柱SKIPIF1<0的外接球即空間四邊形SKIPIF1<0的外接球，取SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則球心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正SKIPIF1<0的外接圓半徑，由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；如下圖，設空間四邊形SKIPIF1<0的內切球球心為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，設內切球半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以外接球與內切球的表面積之比為SKIPIF1<0.故選：C.6．（2022秋·湖南長沙·高三長郡中學校考階段練習）三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】首先取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.通過勾股定理求解SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長度，并利用余弦定理求解SKIPIF1<0的值.然后分別過三角形SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的外心作平面的垂線，垂線交于球心SKIPIF1<0，最后求解SKIPIF1<0的長度，進而利用勾股定理求解外接球半徑SKIPIF1<0.【詳解】如圖，取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的外心作平面SKIPIF1<0的垂線為SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，同理過SKIPIF1<0的外心作平面SKIPIF1<0的垂線為SKIPIF1<0，并設SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0為球心.連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即外接球半徑SKIPIF1<0，故外接球表面積SKIPIF1<0.故選：B7．（2022秋·天津河東·高三統考期末）一個球與一個正三棱柱（底面為等邊三角形，側棱與底面垂直）的兩個底面和三個側面都相切，若棱柱的體積為SKIPIF1<0，則球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由題意，設正三棱柱的底面邊長為SKIPIF1<0，求得其內切球的半徑SKIPIF1<0和正三棱柱的高SKIPIF1<0，再根據棱柱的體積求解SKIPIF1<0，代入球的表面積求解即可．【詳解】由題意，設正三棱柱的底面邊長為SKIPIF1<0，則其內切球的半徑為SKIPIF1<0，所以正三棱柱的高為SKIPIF1<0，又棱柱的體積為SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以球的表面積為SKIPIF1<0．故選：A．二、填空題8．（2022秋·黑龍江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）如圖截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經過適當的截角，即截去四面體的四個頂點所產生的多面體.如圖，將棱長為SKIPIF1<0的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為SKIPIF1<0的截角四面體.則該截角四面體的表面積是______.【答案】SKIPIF1<0【分析】根據截面四面體特征可知其是由SKIPIF1<0個邊長為SKIPIF1<0的等邊三角形和SKIPIF1<0個邊長為SKIPIF1<0的正六邊形拼接而成，分別求得正六邊形和等邊三角形面積，加和即可得到結果.【詳解】由題意知：該截角四面體的表面積是SKIPIF1<0個邊長為SKIPIF1<0的等邊三角形和SKIPIF1<0個邊長為SKIPIF1<0的正六邊形的面積之和；將每個正六邊形拆分為如下圖所示的兩個三角形和一個矩形，SKIPIF1<0正六邊形每個內角均為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0每個正六邊形的面積為SKIPIF1<0，又每個等邊三角形面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0該截角四面體的表面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.9．（2023·全國·模擬預測）如圖，直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點P在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0的面積取最小值時，三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為______．【答案】SKIPIF1<0【分析】先設出BP=x，SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0，結合基本不等式求出SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0面積取得最小值，補形后三棱錐SKIPIF1<0的外接球即該長方體SKIPIF1<0的外接球，求出外接球半徑和表面積.【詳解】由勾股定理得：SKIPIF1<0，設BP=x，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0由基本不等式得：SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，等號成立，將三棱錐SKIPIF1<0補形為長方體SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球即該長方體SKIPIF1<0的外接球，其中長方體SKIPIF1<0的外接球的直徑為SKIPIF1<0，故半徑為SKIPIF1<0，故三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<010．（2022秋·江蘇南京·高三期末）在四棱錐SKIPIF1<0中,底面SKIPIF1<0是邊長為2的正方形,平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0體積的最大值為__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】先做SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,垂足為SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0,根據線面垂直的判定定理證明SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,同理可得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,再根據面面垂直的性質定理得SKIPIF1<0,再設各個長度,在直角三角形SKIPIF1<0中得到等式進行化簡,即可得關于SKIPIF1<0的式子,進而求得體積的表達式,求得最值即可.【詳解】解:由題過點SKIPIF1<0做SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0,過SKIPIF1<0做SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,垂足為SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0,畫圖如下:SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0是邊長為2的正方形,SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,同理可得:SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0三點共線,且有SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,設平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,不妨設SKIPIF1<0,SKIPIF1<0①,且SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,化簡即:SKIPIF1<0②,聯立①②可得:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0四棱錐SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0體積的最大值為SKIPIF1<0.故答案為:SKIPIF1<0三、解答題11．（2023·廣西梧州·統考一模）邊長為1的正方形SKIPIF1<0中，點M，N分別是DC，BC的中點，現將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別沿AN，AM折起，使得B，D兩點重合于點P，連接PC，得到四棱錐SKIPIF1<0.(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求四棱錐SKIPIF1<0的體積.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【分析】(1)先證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即可證明出平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0(2)先利用SKIPIF1<0求出點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離，然后再根據四棱錐的體積公式進行計算，即可得出結果.【詳解】（1）證明：在正方形SKIPIF1<0中有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）連接MN,由題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0