2024-2025學年安徽省蚌埠市高二上學期第二次聯考數學質量檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．在以為原點，以為單位正交基底的空間直角坐標系中，已知點，則點的坐標為（

）A． B． C． D．2．將直線繞點逆時針旋轉90°得到直線，則的方程是（）A． B． C． D．3．已知點，則以為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．4．空間四邊形中，，點在上，點為的中點，則（

）A． B．C． D．5．設直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（

）A． B． C． D．6．在中，點，點，點A滿足，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．7．點，為橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點，使得，則橢圓方程可以是（

）A． B．C． D．8．已知分別為雙曲線的左?右焦點，過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，記的內切圓的半徑為的內切圓的半徑為，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．3二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的是（）A．若直線的方向向量為，直線的方向向量為，則與垂直B．已知點，，在平面內，向量是平面的法向量，則C．對空間任意一點和不共線的三點A，B，C，若，則P，A，B，C四點共面D．若為空間的一個基底，則構成空間的另一個基底10．在平面直角坐標系中，如果點P的坐標滿足，其中為參數．已知直線與點P的軌跡交于A，B兩點，直線與點P的軌跡交于C，D兩點，則四邊形的面積的值可以是（

）A． B． C． D．11．1.已知橢圓的左，右兩焦點分別是，，其中．直線與橢圓交于A，B兩點．則下列說法中正確的有（

）A．的周長為B．若的中點為M，則C．若，則橢圓的離心率的取值范圍是D．若的最小值為，則橢圓的離心率三、填空題（本大題共3小題）12．已知空間向量兩兩夾角均為，其模均為1，則.13．如圖，已知直線與軸和軸分別交于點，，從點射出的光線經直線反射后再射到軸上，最后經軸反射后又回到點，則光線所經過的路程是.14．橢圓的離心率e滿足，則稱該橢圓為“黃金橢圓”．若是“黃金橢圓”，則；“黃金橢圓”兩個焦點分別為、（），P為橢圓C上的異于頂點的任意一點，點M是的內心，連接PM并延長交于N，則．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的三個頂點分別為.(1)求邊所在直線的方程；(2)若的中點為，求邊的垂直平分線的方程；(3)求的外接圓的方程.16．如圖，四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側面PAD是正三角形，側面面ABCD，M是PD的中點.(1)求證：平面平面PCD(2)求BM與平面所成角的正弦值17．已知斜率為1的直線交拋物線：（）于，兩點，且弦中點的縱坐標為2.（1）求拋物線的標準方程；（2）記點，過點作兩條直線，分別交拋物線于，（，不同于點）兩點，且的平分線與軸垂直，求證：直線的斜率為定值.18．如圖，四邊形是邊長為1的正方形，平面平面，且.(1)求證：平面(2)在線段上是否存在點（不含端點），使得平面與平面的夾角為，若存在，指出點的位置；若不存在，請說明理由.19．已知點是平面內不同的兩點，若點滿足，且，則點的軌跡是以有序點對為“穩點”的-阿波羅尼斯圓.若點滿足，則點的軌跡是以為“穩點”的-卡西尼卵形線.已知在平面直角坐標系中，.(1)若以為“穩點”的-阿波羅尼斯圓的方程為，求的值；(2)在（1）的條件下，若點在以為“穩點”的5-卡西尼卵形線上，求（為原點）的取值范圍；(3)卡西尼卵形線是中心對稱圖形，且只有1個對稱中心，若，求證：不存在實數，使得以為“穩點”的—阿波羅尼斯圓與—卡西尼卵形線都關于同一個點對稱.

答案1．【正確答案】A【詳解】，所以點的坐標為．故選：A.2．【正確答案】B【詳解】直線的方程為，其斜率為，設直線的斜率為，，．由題意可知，，，的方程為：，即．故選：B3．【正確答案】D【詳解】因為，線段的中點為，，所以以線段為直徑的圓的圓心坐標為，半徑，所以線段為直徑的圓的方程為.故選：D.4．【正確答案】B【詳解】點為的中點，則有，所以.故選：B.5．【正確答案】C【詳解】直線的方程為，設直線的傾斜角為，當時，，②當時，直線的斜率，由于或，所以,,，所以，綜上所述：；故選：C．6．【正確答案】B【詳解】設，則，由得，化簡得，故點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓（除去與軸的兩個交點），故點到直線的距離最大值為，故面積的最大值為.故選：B7．【正確答案】A【詳解】設橢圓方程為，設橢圓上頂點為，橢圓上存在點，使得，則需，由余弦定理可得，，即，，，則，同理可得橢圓焦點在軸上時，也應有，所以選項A滿足.故選：A.8．【正確答案】B【詳解】過分別作的垂線，垂足分別為，則，，則，又，則，，即在直線上，，則，又，則，即，，故離心率為，故選：B.9．【正確答案】BD【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，且向量是平面的法向量，所以，即，即，故B正確；對于C，因為，所以則P，A，B，C四點不共面，故C錯誤；對于D，因為為空間的一個基底，所以不共面，假設共面，則存在唯一實數，使，所以，無解，故不共面，故D正確；故選：BD.10．【正確答案】BC【詳解】由題得，平方相加得點P的軌跡方程為，點P的軌跡是以點為圓心半徑為3的圓.,所以直線過定點，由于所以定點在直線上，由題得四邊形的面積為，當最大時，面積最大，此時,所以，所以直線的方程為，經過圓心，所以此時,由題得圓心到直線的距離為.所以面積的最大值為，所以面積的取值范圍為.故選：BC11．【正確答案】AC【詳解】對A，根據橢圓的定義的周長為，正確；對B，設，則，所以，，由，即，錯誤；對C，，則，正確；對D，容易知道，的最小值為通徑長度，由于直線斜率存在，所以不能取到最小值，不正確.故選：AC.12．【正確答案】【詳解】.故13．【正確答案】【詳解】如圖，點關于直線的對稱點為，則，即，解得，即點關于直線的對稱點為，又點關于軸的對稱點為，則光線所經過的路程為.故14．【正確答案】【詳解】因為是“黃金橢圓”，故，故，連接，因為為內心，故為角平分線，由角平分線性質，有，故，故，.15．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由，由兩點式可得邊所在直線的方程為，即邊所在直線的方程；（2）由，可得的中點為，又，所以邊的垂直平分線的斜率為，所以由點斜式可得邊的垂直平分線的方程為，即.（3）設的外接圓的方程為，則，解得，所以的外接圓的方程為.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由平面平面，平面平面，底面ABCD是邊長為2的正方形，則，平面，可知面，平面，，為正三角形，為中點，可得，平面，平面，平面，平面平面.（2）取AD的中點為O，連接，側面PAD是正三角形，則，平面平面，平面平面，平面，可知面，設BC中點為N，連接ON，以O為坐標原點，以所在直線為軸，建立如圖空間直角坐標系：則，，，，，，設平面的法向量為，則，取，則，設BM與平面所成角為，則.17．【正確答案】(1);(2)見解析.【詳解】(1)設,則,兩式相減,得:由弦中點的縱坐標為2,得,故.所以拋物線的標準方程.(2)由的平分線與軸垂直,可知直線，的斜率存在,且斜率互為相反數,且不等于零,設直線由得由點在拋物線上,可知上述方程的一個根為.即,同理.直線的斜率為定值.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)存在，為線段上靠近的三等分點【詳解】（1）以點為原點，以所在的直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，故EC⊥DF，EC⊥DA，∵，平面ADF，平面；（2）設，則的坐標為，設平面的法向量為，則由，令，則，則法向量，平面與平面的夾角為，且平面的法向量為，，，∴解得，為線段上靠近的三等分點.19．【正確答案】(1)(2)(3)證明見解析【詳解】（1）因為以為“穩點”的一阿波羅尼斯圓的方程為，設Px,y是該圓上任意一點，則，所