第一篇熱點、難點突破篇專題13數列的通項與數列的求和（講）真題體驗感悟高考1．（2022·浙江·統考高考真題）已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·全國·統考高考真題）嫦娥二號衛星在完成探月任務后，繼續進行深空探測，成為我國第一顆環繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數列SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，依此類推，其中SKIPIF1<0．則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全國·統考高考真題）記SKIPIF1<0為數列SKIPIF1<0的前n項和，已知SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數列．(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)證明：SKIPIF1<0．總結規律預測考向（一）規律與預測1.等差(等比)數列的定義、通項公式及求和公式是高考的基礎考點與高頻考點.以小題居多，屬于容易題.

2.數列求和方法中的公式法、錯位相減法、裂項相消法及分組求和法是高考的高頻考點，以小題或解答題形式出現，難易程度有些起伏，從趨勢看，與不等式等相結合，其難度有所增大，總體屬于中檔題.涉及數列的通項、遞推與不等式相結合的客觀題有所增加.

（二）本專題考向展示考點突破典例分析考向一分組轉化法求和【核心知識】1．等差數列的求和公式：SKIPIF1<0；2．等比數列的求和公式：SKIPIF1<0【典例分析】典例1.（2023秋·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第三高級中學校考階段練習）已知各項均不相等的等差數列SKIPIF1<0的前4項和為10，且SKIPIF1<0是等比數列SKIPIF1<0的前3項．(1)求SKIPIF1<0；(2)設SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0．典例2.（2022秋·北京·高三統考階段練習）已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的通項公式.典例3.（2022秋·遼寧丹東·高三校聯考階段練習）已知數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，(1)求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)若數列SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的前2n項和SKIPIF1<0．【規律方法】分組轉化法求和的常見類型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數列，可采用分組轉化法求{an}的前n項和．(2)通項公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數，,cn，n為偶數))的數列，其中數列{bn}，{cn}是等比數列或等差數列，可采用分組轉化法求和．考向二裂項相消法求和【核心知識】裂項相消法是指把數列和式中的各項分別裂開后，某些項可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))或eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋2)))(其中{an}為等差數列)等形式的數列求和．【典例分析】典例4.（2023秋·湖北十堰·高三統考階段練習）設等差數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.典例5.（2023秋·云南·高三云南師大附中校考階段練習）已知公差不為0的等差數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等差數列，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等比數列．(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．典例6.（2022秋·江西南昌·高三校聯考階段練習）已知數列SKIPIF1<0的各項均為正數，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0項的和.若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.(1)求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【總結提升】利用裂項相消法求和的注意事項1．抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項；2．將通項裂項后，有時需要調整前面的系數，使裂開的兩項之差和系數之積與原通項相等．如：若{an}是等差數列，則eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an＋1)))，eq\f(1,anan＋2)＝eq\f(1,2d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an＋2))).3.裂項相消法就是把數列的每一項分解，使得相加后項與項之間能夠相互抵消，但在抵消的過程中，有的是依次項抵消，有的是間隔項抵消．常見的裂項方式有：（1）SKIPIF1<0，特別地當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；（2），特別地當SKIPIF1<0時，；（3）（4）（5）考向三錯位相減法求和【核心知識】錯位相減法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列{an·bn}的前n項和，其中{an}，{bn}分別是等差數列和等比數列．【典例分析】典例7.（2022·天津·統考高考真題）設SKIPIF1<0是等差數列，SKIPIF1<0是等比數列，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的通項公式；(2)設SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；(3)求SKIPIF1<0．典例8.（2022·浙江杭州·模擬預測）已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中每相鄰兩項之間都插入3個數，使它們和原數列的數一起構成一個新的正項等比數列SKIPIF1<0，若數列SKIPIF1<0中的第SKIPIF1<0項是數列SKIPIF1<0中的第SKIPIF1<0項.(1)求數列SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的通項公式.(2)求數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.典例9.（2022秋·河北張家口·高三統考期末）已知SKIPIF1<0為數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和,SKIPIF1<0．(1)證明:數列SKIPIF1<0為等比數列;(2)求數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．【規律方法】1．求解此類題需掌握三個技巧：一是巧分拆，即把數列的通項轉化為等差數列、等比數列的通項的積，并求出等比數列的公比；二是構差式，求出前n項和的表達式，然后乘以等比數列的公比，兩式作差；三是得結論，即根據差式的特征進行準確求和．2．運用錯位相減法求和時應注意三點：一是判斷模型，即判斷數列{an}，{bn}一個為等差數列，一個為等比數列；二是錯開位置；三是相減時一定要注意最后一項的符號.3．用錯位相減法求和時，應注意：(1)等比數列的公比為負數的情形；(2)在寫出“Sn”和“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便準確寫出“Sn－qSn”的表達式．(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解．考向四數列的綜合問題【核心知識】數列與函數、不等式的綜合問題是高考命題的一個方向，此類問題突破的關鍵在于通過函數關系尋找數列的遞推關系，通過放縮進行等式的證明．【典例分析】典例10.（2022秋·江蘇南通·高三期末）已知數列SKIPIF1<0成等比數列，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0項的和，若SKIPIF1<0成等差數列.(1)證明：SKIPIF1<0成等差數列；(2)比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小；(3)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為大于1的奇數，證明：SKIPIF1<0典例11.（2021·浙江·統考高考真題）已知數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求數列SKIPIF1<0的通項；（2）設數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0恒成立，求實數SKIPIF1<0的取值范圍.典例12.（2022·云南昆明·昆明一中校考模擬預測）已知函數SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0(1)當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0；(2)設SKIPIF1<0，記數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，求使得SKIPIF1<0恒成立的m的最小整數.典例13.（2022秋·天津南開·高三南開中學校考階段練習）已知公差不為零的等差數列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等比數列，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數列.(1)求數列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；(2)設數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，求實數SKIPIF1<0的取值范圍.典例14.（2022秋·天津和平·高三耀華中學校考階段練習）已知數列SKIPIF1<0是公差為2的等差數列，其前8項的和為64．數列SKIPIF1<0是公比大于0的等比數列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；(2)記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0；(3)設SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，證明：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．【總結提升】1.數列與不等式的綜合應用是高考命題的一個重要方向.此類問題的常見類型及求解策略:（1）依據數列的單調性解答數列中的最值問題.求解策略:一是根據數列的結構特征構建對應的函數，利用函數的性質、導數等判斷函數的單調性，從而得到數列的單調性；二是通過對數列相鄰項的比較(作差、作商)得到數列的單調性.（2）利用“放縮法”證明數列型不等式.求解策略:一是在求和過程中將通項“放縮”為“可求和的數列”；二是求和后再“放縮”.2.易錯提醒：(1)公式an＝Sn－Sn－1適用于所有數列，但易忽略n≥2這個前提．(2)數列和不等式的綜合問題，要注意條件n∈N*，求最值要注意等號成立的條件，放縮不等式要適度．考向五數列中的奇、偶項問題【核心知識】數列中的奇、偶項問題是對一個數列分成兩個新數列進行單獨研究，利用新數列的特征(等差、等比數列或其他特征)求解原數列．【典例分析】典例15.（2021·全國·統考高考真題）已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）記SKIPIF1<0，寫出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，并求數列SKIPIF1<0的通項公式；（2）求SKIPIF1<0的前20項和.典例16.（2022秋·廣東東莞·高三統考期末）已知數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且對于任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0．(1)求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)記數列SKIPIF1<0的前n項中的最大值為SKIPIF1<0，最小值為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的前20項和SKIPIF1<0．典例17.（2022秋·天津靜海·高三靜海一中校考階段練習）已知數列SKIPIF1<0為等差數列，數列SKIPIF1<0為等比數列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項公式.(2)已知SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的前2n項和SKIPIF1<0.(3)求證：SKIPIF1<0.【規律方法】1．數列中的奇、偶項問題的常見題型①數列中連續兩項和或積的問題(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；②含有(－1)n的類型；③含有{a2n}，{a2n－1}的類型；④已知條件明確的奇偶項問題．2．對于通項公式分奇、偶不同的數列{an}求Sn時，我們可以分別求出奇數項的和與偶數項的和，也可以把SKIPIF1<0