2013-2024年十年高考真題匯編PAGEPAGE110三角恒等變換與解三角形小題綜合考點(diǎn)十年考情（2015-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的應(yīng)用（含拼湊角思想）（10年9考）2024·全國(guó)甲卷、2024·全國(guó)新Ⅱ卷、2024·全國(guó)新Ⅰ卷2023·全國(guó)新Ⅰ卷、2022·全國(guó)新Ⅱ卷、2020·全國(guó)卷2020·全國(guó)卷、2019·全國(guó)卷、2019·江蘇卷2018·全國(guó)卷、2018·全國(guó)卷、2018·江蘇卷2017·全國(guó)卷、2017·北京卷、2017·江蘇卷2016·江蘇卷、2015·重慶卷、2015·全國(guó)卷2015·江蘇卷推導(dǎo)兩角差余弦公式，理解兩角差余弦公式的意義，能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，能推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦、正切公式，能運(yùn)用公式解決相關(guān)的求值與化簡(jiǎn)問(wèn)題，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會(huì)考查兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式變形應(yīng)用和半角公式變形應(yīng)用，同時(shí)也需掌握升冪公式和降冪公式，掌握拼湊角思想，需加強(qiáng)復(fù)習(xí)備考掌握正弦定理、余弦定理及其相關(guān)變形應(yīng)用，會(huì)用三角形的面積公式解決與面積有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，會(huì)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決三角形中的綜合問(wèn)題，會(huì)利用基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)解決三角形中的最值及范圍問(wèn)題，該內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，一般考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，同時(shí)也結(jié)合三角函數(shù)及三角恒等變換等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查，也常結(jié)合基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)求解范圍及最值，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。考點(diǎn)2二倍角公式的應(yīng)用（含升冪公式與降冪公式）（10年10考）2024·上海卷、2023·全國(guó)新Ⅱ卷、2022·北京卷2022·浙江卷、2021·北京卷、2021·全國(guó)乙卷2020·全國(guó)卷、2020·浙江卷、2020·江蘇卷2019·北京卷、2019·全國(guó)卷、2018·全國(guó)卷2018·全國(guó)卷、2017·全國(guó)卷、2016·山東卷2016·全國(guó)卷、2016·四川卷、2016·全國(guó)卷2016·全國(guó)卷、2015·浙江卷、2015·上海卷考點(diǎn)3輔助角公式的應(yīng)用（10年10考）2024·全國(guó)甲卷、2022·北京卷、2021·全國(guó)乙卷2017·全國(guó)卷、2016·浙江卷考點(diǎn)4解三角形小題綜合之求角和求三角函數(shù)函數(shù)值（10年9考）2024·全國(guó)甲卷、2023·北京卷、2023·全國(guó)乙卷2021·浙江卷、2020·全國(guó)卷、2020·全國(guó)卷2020·全國(guó)卷、2019·全國(guó)卷、2019·浙江卷2018·全國(guó)卷、2017·浙江卷、2017·全國(guó)卷2017·全國(guó)卷、2017·全國(guó)卷、2016·山東卷2015·北京卷、2015·北京卷考點(diǎn)5解三角形小題綜合之求邊長(zhǎng)或線段（10年7考）2023·全國(guó)甲卷、2021·全國(guó)乙卷、2021·全國(guó)甲卷2019·全國(guó)卷、2018·全國(guó)卷、2017·山東卷2016·上海卷、2016·北京卷、2016·天津卷2016·全國(guó)卷、2015·廣東卷、2015·重慶卷2015·重慶卷、2015·廣東卷、2015·天津卷2015·安徽卷、2015·福建卷考點(diǎn)6解三角形小題綜合之求面積（10年5考）2022·浙江卷、2021·浙江卷、2019·全國(guó)卷2018·全國(guó)卷、2017·浙江卷、2017·浙江卷考點(diǎn)7解三角形小題綜合之求最值或范圍（10年4考）2022·全國(guó)甲卷、2019·北京卷、2018·江蘇卷2018·北京卷、2015·全國(guó)卷考點(diǎn)8解三角形小題綜合之實(shí)際應(yīng)用（10年4考）2024·上海卷、2021·全國(guó)乙卷2017·浙江卷、2015·湖北卷考點(diǎn)01兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的應(yīng)用（含拼湊角思想）1．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將弦化切求得，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋裕裕蔬x：B.2．（2024·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則.【答案】【分析】法一：根據(jù)兩角和與差的正切公式得，再縮小的范圍，最后結(jié)合同角的平方和關(guān)系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【詳解】法一：由題意得，因?yàn)椋瑒t，，又因?yàn)椋瑒t，，則，則，聯(lián)立，解得.法二：因?yàn)闉榈谝幌笙藿牵瑸榈谌笙藿牵瑒t,，，則故答案為：.3．（2024·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩角和的余弦可求的關(guān)系，結(jié)合的值可求前者，故可求的值.【詳解】因?yàn)椋裕裕始矗瑥亩剩蔬x：A.4．（2023·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）已知，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)椋虼耍瑒t，所以.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的類型及方法（1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來(lái)看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系．解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)．（2）“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．（3）“給值求角”：實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時(shí)要壓縮角的取值范圍．5．（2022·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡(jiǎn)，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故選：C[方法二]：特殊值排除法解法一:設(shè)β=0則sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；選C.[方法三]：三角恒等變換所以即故選：C.6．（2020·全國(guó)·高考真題）已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=（

）A．–2 B．–1 C．1 D．2【答案】D【分析】利用兩角和的正切公式，結(jié)合換元法，解一元二次方程，即可得出答案.【詳解】，，令，則，整理得，解得，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用兩角和的正切公式化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題.7．（2020·全國(guó)·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將所給的三角函數(shù)式展開(kāi)變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數(shù)式的值.【詳解】由題意可得：，則：，，從而有：，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公式及其應(yīng)用，屬于中等題.8．（2019·全國(guó)·高考真題）tan255°=A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+【答案】D【分析】本題首先應(yīng)用誘導(dǎo)公式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)的計(jì)算，進(jìn)一步應(yīng)用兩角和的正切公式計(jì)算求解．題目較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查．【詳解】詳解：=【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值、運(yùn)算求解能力．9．（2019·江蘇·高考真題）已知，則的值是.【答案】.【分析】由題意首先求得的值，然后利用兩角和差正余弦公式和二倍角公式將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為齊次式求值的問(wèn)題，最后切化弦求得三角函數(shù)式的值即可.【詳解】由，得，解得，或.，當(dāng)時(shí)，上式當(dāng)時(shí)，上式=綜上，【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取轉(zhuǎn)化法，利用分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.10．（2018·全國(guó)·高考真題）已知，則．【答案】【分析】方法一：利用兩角差的正切公式展開(kāi)，解方程可得.【詳解】［方法一］：直接使用兩角差的正切公式展開(kāi)因?yàn)椋裕庵茫蚀鸢笧椋海鄯椒ǘ荩赫w思想＋兩角和的正切公式．故答案為：．［方法三］：換元法＋兩角和的正切公式令，則，且．．故答案為：．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：直接利用兩角差的正切公式展開(kāi)，解方程，思路直接；方法二：利用整體思想利用兩角和的正切公式求出；方法三：通過(guò)換元法結(jié)合兩角和的正切公式求出，是給值求值問(wèn)題的常用解決方式．11．（2018·全國(guó)·高考真題）已知，，則．【答案】【分析】方法一：將兩式平方相加即可解出．【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】?jī)墒絻蛇吰椒较嗉拥茫鄯椒ǘ荩豪梅匠趟枷胫苯咏獬觯瑑墒絻蛇吰椒较嗉拥茫瑒t．又或，所以．［方法三］：誘導(dǎo)公式＋二倍角公式由，可得，則或．若，代入得，即．若，代入得，與題設(shè)矛盾．綜上所述，．［方法四］：平方關(guān)系＋誘導(dǎo)公式由，得．又，，即，則．從而．［方法五］：和差化積公式的應(yīng)用由已知得，則或．若，則，即．當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，，由，得，又，所以．當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，，得，這與已知矛盾．若，則．則，得，這與已知矛盾．綜上所述，．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：結(jié)合兩角和的正弦公式，將兩式兩邊平方相加解出，是該題的最優(yōu)解；方法二：通過(guò)平方關(guān)系利用方程思想直接求出四個(gè)三角函數(shù)值，進(jìn)而解出；方法三：利用誘導(dǎo)公式尋求角度之間的關(guān)系，從而解出；方法四：基本原理同方法三，只是尋找角度關(guān)系的方式不同；方法五：將兩式相乘，利用和差化積公式找出角度關(guān)系，再一一驗(yàn)證即可解出，該法稍顯麻煩．12．（2018·江蘇·高考真題）已知為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【詳解】分析：先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得，再根據(jù)二倍角余弦公式得結(jié)果；（2）先根據(jù)二倍角正切公式得，再利用兩角差的正切公式得結(jié)果.詳解：解：（1）因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕虼耍?）因?yàn)闉殇J角，所以．又因?yàn)椋裕虼耍驗(yàn)椋裕虼耍c(diǎn)睛：應(yīng)用三角公式解決問(wèn)題的三個(gè)變換角度(1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”.(2)變名：通過(guò)變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.(3)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等.13．（2017·全國(guó)·高考真題）已知，tanα=2，則cos(α-π4)【答案】【詳解】由得，又，所以，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕?4．（2017·北京·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若，則=.【答案】【詳解】試題分析：因?yàn)楹完P(guān)于軸對(duì)稱，所以，那么，（或），所以.【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)，誘導(dǎo)公式，兩角差的余弦公式【名師點(diǎn)睛】本題考查了角的對(duì)稱關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式，常用的一些對(duì)稱關(guān)系包含：若與的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則，若與的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則，若與的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則.15．（2017·江蘇·高考真題）若,則.【答案】【詳解】故答案為.16．（2016·江蘇·高考真題）在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是.【答案】8.【詳解】，又，因此即最小值為8.【考點(diǎn)】三角恒等變換，切的性質(zhì)應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】消元與降次是高中數(shù)學(xué)中的主旋律，利用三角形中隱含的邊角關(guān)系作為消元依據(jù)是本題突破口，斜三角形中恒有，這類同于正、余弦定理，是一個(gè)關(guān)于切的等量關(guān)系，平時(shí)應(yīng)多總結(jié)積累常見(jiàn)的三角恒等變形，提高轉(zhuǎn)化問(wèn)題能力，培養(yǎng)消元意識(shí)．此類問(wèn)題的求解有兩種思路：一是邊化角，二是角化邊．17．（2015·重慶·高考真題）若,則A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：，故選A.考點(diǎn)：兩角和與差的正切公式．18．（2015·全國(guó)·高考真題）(2015新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理科)=A． B．C． D．【答案】D【詳解】原式===，故選D.考點(diǎn)：本題主要考查誘導(dǎo)公式與兩角和與差的正余弦公式.19．（2015·江蘇·高考真題）已知，，則的值為．【答案】3【詳解】，故答案為3.考點(diǎn)02二倍角公式的應(yīng)用（含升冪公式與降冪公式）1．（2024·上海·高考真題）下列函數(shù)的最小正周期是的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)輔助角公式、二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】對(duì)A，，周期，故A正確；對(duì)B，，周期，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，是常值函數(shù)，不存在最小正周期，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，周期，故D錯(cuò)誤，故選：A．2．（2023·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【詳解】因?yàn)椋鵀殇J角，解得：．故選：D．3．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【答案】C【分析】化簡(jiǎn)得出，利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，D錯(cuò).故選：C.4．（2022·浙江·高考真題）若，則，．【答案】【分析】先通過(guò)誘導(dǎo)公式變形，得到的同角等式關(guān)系，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)成正弦型函數(shù)方程，可求出，接下來(lái)再求．【詳解】[方法一]：利用輔助角公式處理∵，∴，即，即，令，，則，∴，即，∴，則.故答案為：；.[方法二]：直接用同角三角函數(shù)關(guān)系式解方程∵，∴，即，又，將代入得，解得，則.故答案為：；.5．（2021·北京·高考真題）函數(shù)是A．奇函數(shù)，且最大值為2 B．偶函數(shù)，且最大值為2C．奇函數(shù)，且最大值為 D．偶函數(shù)，且最大值為【答案】D【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值.【詳解】由題意，，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：D.6．（2021·全國(guó)乙卷·高考真題）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，再由二倍角公式即可得解.【詳解】由題意，.故選：D.7．（2020·全國(guó)·高考真題）若，則．【答案】【分析】直接利用余弦的二倍角公式進(jìn)行運(yùn)算求解即可.【詳解】.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦的二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8．（2020·浙江·高考真題）已知，則；．【答案】【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得，根據(jù)兩角差正切公式得【詳解】，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二倍角余弦公式以及弦化切、兩角差正切公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.9．（2020·江蘇·高考真題）已知=，則的值是.【答案】【分析】直接按照兩角和正弦公式展開(kāi)，再平方即得結(jié)果.【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查兩角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.10．（2019·北京·高考真題）函數(shù)f(x)=sin22x的最小正周期是．【答案】.【分析】將所給的函數(shù)利用降冪公式進(jìn)行恒等變形，然后求解其最小正周期即可.【詳解】函數(shù),周期為【點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角的三角函數(shù)公式?三角函數(shù)的最小正周期公式，屬于基礎(chǔ)題.11．（2019·全國(guó)·高考真題）已知∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二倍角公式得到正余弦關(guān)系，利用角范圍及正余弦平方和為1關(guān)系得出答案．【詳解】，．，又，，又，，故選B．【點(diǎn)睛】本題為三角函數(shù)中二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的考查，中等難度，判斷正余弦正負(fù)，運(yùn)算準(zhǔn)確性是關(guān)鍵，題目不難，需細(xì)心，解決三角函數(shù)問(wèn)題，研究角的范圍后得出三角函數(shù)值的正負(fù)，很關(guān)鍵，切記不能憑感覺(jué)．12．（2018·全國(guó)·高考真題）函數(shù)的最小正周期為A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析:將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可詳解：由已知得的最小正周期故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和最小正周期公式，屬于中檔題13．（2018·全國(guó)·高考真題）若，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：由公式可得結(jié)果.詳解：故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.14．（2017·全國(guó)·高考真題）已知，則．A． B． C． D．【答案】A【詳解】.所以選A.【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角及同角正余弦的差與積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.15．（2016·山東·高考真題）函數(shù)的最小正周期是（

）A． B．π C． D．2π【答案】B【分析】因?yàn)椋鶕?jù)輔助角公式可化簡(jiǎn)為，根據(jù)正弦二倍角公式和正弦周期公式，即可求得答案.【詳解】,故最小正周期,故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查和差倍半的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).此類題目是三角函數(shù)問(wèn)題中的典型題目，可謂相當(dāng)經(jīng)典.解答本題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡(jiǎn)函數(shù)、進(jìn)一步討論函數(shù)的性質(zhì)，本題較易，能較好地考查考生的運(yùn)算求解能力及對(duì)復(fù)雜式子的變形能力等.16．（2016·全國(guó)·高考真題）若，則A． B． C．1 D．【答案】A【詳解】試題分析：由，得或，所以，故選A．【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，倍角公式．【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)求值：①“給角求值”將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化，通過(guò)相消或相約消去非特殊角，進(jìn)而求出三角函數(shù)值；②“給值求值”關(guān)鍵是目標(biāo)明確，建立已知和所求之間的聯(lián)系．17．（2016·四川·高考真題）cos2–sin2=.【答案】【詳解】試題分析：原式．考點(diǎn)：余弦的二倍角公式.18．（2016·全國(guó)·高考真題）若，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】.分子分母同時(shí)除以，即得：.故選D.19．（2016·全國(guó)·高考真題）若，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：，且，故選D.【考點(diǎn)】三角恒等變換【名師點(diǎn)睛】對(duì)于三角函數(shù)的給值求值問(wèn)題，關(guān)鍵是把待求角用已知角表示：（1）已知角為兩個(gè)時(shí)，待求角一般表示為已知角的和或差．（2）已知角為一個(gè)時(shí)，待求角一般與已知角成“倍的關(guān)系”或“互余、互補(bǔ)”關(guān)系．20．（2015·浙江·高考真題）函數(shù)的最小正周期是，單調(diào)遞增區(qū)間是.【答案】，【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間．【詳解】解：函數(shù)f（x）＝sin2x+sinxcosx+1，則：，則函數(shù)的最小正周期T，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），單點(diǎn)遞增區(qū)間為：[]（k∈Z），故答案為π；[]（k∈Z），【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用．21．（2015·上海·高考真題）函數(shù)的最小正周期為.【答案】【分析】先由二倍角公式將化簡(jiǎn)，再由，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋裕院瘮?shù)的最小正周期為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的周期，二倍角的余弦公式.考點(diǎn)03輔助角公式的應(yīng)用1．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）函數(shù)在上的最大值是．【答案】2【分析】結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)成正弦型函數(shù)，再求給定區(qū)間最值即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.故答案為：22．（2022·北京·高考真題）若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則；．【答案】1【分析】先代入零點(diǎn)，求得A的值，再將函數(shù)化簡(jiǎn)為，代入自變量，計(jì)算即可.【詳解】∵，∴∴故答案為：1，3．（2021·全國(guó)乙卷·高考真題）函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（

）A．和 B．和2 C．和 D．和2【答案】C【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)周期性和值域求得函數(shù)的最小正周期和最大值.【詳解】由題，，所以的最小正周期為，最大值為.故選：C．4．（2017·全國(guó)·高考真題）函數(shù)的最大值為.【答案】【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，通過(guò)正弦函數(shù)的有界性求解即可．【詳解】解：函數(shù)f（x）＝2cosx+sinx（cosxsinx）sin（x+θ），其中tanθ＝2，可知函數(shù)的最大值為：．故答案為．【點(diǎn)睛】通過(guò)配角公式把三角函數(shù)化為的形式再借助三角函數(shù)圖象研究性質(zhì)，解題時(shí)注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征．一般可利用求最值．5．（2016·浙江·高考真題）已知，則，=．【答案】；1．【詳解】試題分析：由題意得，,所以.考點(diǎn)：1.二倍角公式；2.三角恒等變換.6．（附加）（2013·全國(guó)·高考真題）設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則.【答案】；【詳解】f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，當(dāng)x－φ＝2kπ＋(k∈Z)時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ時(shí)，函數(shù)f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.考點(diǎn)04解三角形小題綜合之求角和求三角函數(shù)函數(shù)值1．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根據(jù)正弦定理得，所以，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則.故選：C.2．（2023·北京·高考真題）在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.【詳解】因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼茫矗瑒t，故，又，所以.故選：B.3．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得的值.【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，據(jù)此可得，則.故選：C.4．（2021·浙江·高考真題）在中，，M是的中點(diǎn)，，則，.【答案】【分析】由題意結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而可得，再由余弦定理可得.【詳解】由題意作出圖形，如圖，在中，由余弦定理得，即，解得（負(fù)值舍去），所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得.故答案為：；.5．（2020·全國(guó)·高考真題）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理求得，再根據(jù)，即可求得答案.【詳解】在中，，，根據(jù)余弦定理：可得，即由故.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6．（2020·全國(guó)·高考真題）如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開(kāi)圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=.【答案】【分析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理計(jì)算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.【詳解】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計(jì)算能力，屬于中等題.7．（2020·全國(guó)·高考真題）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則tanB=（

）A． B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】先根據(jù)余弦定理求，再根據(jù)余弦定理求，最后根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求【詳解】設(shè)故選：C【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理以及同角三角函數(shù)關(guān)系，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.8．（2019·全國(guó)·高考真題）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知bsinA+acosB=0，則B=.【答案】.【分析】先根據(jù)正弦定理把邊化為角，結(jié)合角的范圍可得.【詳解】由正弦定理，得．，得，即，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理轉(zhuǎn)化三角恒等式，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取定理法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．忽視三角形內(nèi)角的范圍致誤，三角形內(nèi)角均在范圍內(nèi)，化邊為角，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變化求角．9．（2019·浙江·高考真題）在中，，，，點(diǎn)在線段上，若，則；.【答案】【分析】本題主要考查解三角形問(wèn)題，即正弦定理、三角恒等變換、數(shù)形結(jié)合思想及函數(shù)方程思想.在、中應(yīng)用正弦定理，由建立方程，進(jìn)而得解.【詳解】在中，正弦定理有：，而,，，所以.【點(diǎn)睛】解答解三角形問(wèn)題，要注意充分利用圖形特征.10．（2018·全國(guó)·高考真題）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，若的面積為，則A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：利用面積公式和余弦定理進(jìn)行計(jì)算可得．詳解：由題可知所以由余弦定理所以故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查解三角形，考查了三角形的面積公式和余弦定理．11．（2017·浙江·高考真題）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD=2，連結(jié)CD，則△BDC的面積是，cos∠BDC=．【答案】【詳解】取BC中點(diǎn)E，由題意：，△ABE中，，∴，∴．∵，∴，解得或（舍去）．綜上可得，△BCD面積為，．【名師點(diǎn)睛】利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的一般思路：（1）實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，再逐步解其他三角形，有時(shí)需要設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程（組），解方程（組）得出所要的解．12．（2017·全國(guó)·高考真題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，則A=.【答案】【詳解】由正弦定理，得，結(jié)合可得，則.【名師點(diǎn)睛】解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理，結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化為邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來(lái)，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果.13．（2017·全國(guó)·高考真題）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則．【答案】【分析】根據(jù)正弦定理將邊化為角，再根據(jù)兩角和正弦公式以及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得cosB的值，即得B角.【詳解】由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴條件等式變?yōu)?bcosB＝b，∴cosB＝.又0<B<π，∴B＝.【點(diǎn)睛】解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來(lái)，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果.14．（2017·全國(guó)·高考真題）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．已知，a=2，c=，則C=A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式以及正弦定理計(jì)算即可詳解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得，∵a=2，c=，∴sinC==，∵a＞c，∴C=，故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù).解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷一般來(lái)說(shuō),當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)及、時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.15．（2016·山東·高考真題）中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知,則A=A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：由余弦定理得：，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕驗(yàn)椋裕蔬xC.【考點(diǎn)】余弦定理【名師點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，是高考常考知識(shí)內(nèi)容.本題難度較小，解答此類問(wèn)題，注重邊角的相互轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵，本題能較好地考查考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及基本計(jì)算能力等.16．（2015·北京·高考真題）在中，，，，則．【答案】【詳解】由正弦定理，得，即，所以，所以.考點(diǎn)：正弦定理.17．（2015·北京·高考真題）在中，，，，則．【答案】【詳解】試題分析：考點(diǎn)：正余弦定理解三角形考點(diǎn)05解三角形小題綜合之求邊長(zhǎng)或線段1．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．【答案】【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據(jù)等面積法求出；方法二：利用余弦定理求出，再根據(jù)正弦定理求出，即可根據(jù)三角形的特征求出．【詳解】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因?yàn)椋獾茫海煽傻茫獾茫海蚀鸢笧椋海椒ǘ河捎嘞叶ɡ砜傻茫驗(yàn)椋獾茫海烧叶ɡ砜傻茫獾茫海驗(yàn)椋裕郑裕矗蚀鸢笧椋海军c(diǎn)睛】本題壓軸相對(duì)比較簡(jiǎn)單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問(wèn)題，也可以用角平分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識(shí)技能考查常規(guī)．2．（2021·全國(guó)乙卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為，，，則．【答案】【分析】由三角形面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可得解.【詳解】由題意，，所以，所以，解得（負(fù)值舍去）.故答案為：.3．（2021·全國(guó)甲卷·高考真題）在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】D【分析】利用余弦定理得到關(guān)于BC長(zhǎng)度的方程，解方程即可求得邊長(zhǎng).【詳解】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.【點(diǎn)睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個(gè)角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，解三角形．4．（2019·全國(guó)·高考真題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，則=A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】利用余弦定理推論得出a，b，c關(guān)系，在結(jié)合正弦定理邊角互換列出方程，解出結(jié)果.【詳解】詳解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推論可得，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應(yīng)用．5．（2018·全國(guó)·高考真題）在中，,BC=1,AC=5，則AB=A． B． C． D．【答案】A【詳解】分析：先根據(jù)二倍角余弦公式求cosC,再根據(jù)余弦定理求AB.詳解：因?yàn)樗裕xA.點(diǎn)睛：解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.6．（2017·山東·高考真題）在中，角的對(duì)邊分別為，，．若為銳角三角形，且滿足，則下列等式成立的是A． B． C． D．【答案】A【詳解】所以，選A.【名師點(diǎn)睛】本題較為容易，關(guān)鍵是要利用兩角和差的三角函數(shù)公式進(jìn)行恒等變形.首先用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有，，的式子，用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，得到.解答三角形中的問(wèn)題時(shí)，三角形內(nèi)角和定理是經(jīng)常用到的一個(gè)隱含條件，不容忽視.7．（2016·上海·高考真題）已知的三邊長(zhǎng)分別為3,5,7，則該三角形的外接圓半徑等于．【答案】【分析】利用余弦定理得到，進(jìn)而得到結(jié)合正弦定理得到結(jié)果.【詳解】，由正弦定理得.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的有關(guān)知識(shí)，涉及到余弦定理、正弦定理及同角基本關(guān)系式，考查恒等變形能力，屬于基礎(chǔ)題.8．（2016·北京·高考真題）在△ABC中，，a=c，則=.【答案】1【詳解】試題分析：由正弦定理知，所以，則，所以，所以，即．【考點(diǎn)】解三角形【名師點(diǎn)睛】①根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，利用余弦定理將角化邊是迅速解答本題的關(guān)鍵．②熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過(guò)程中的運(yùn)用．9．（2016·天津·高考真題）在中，若

，則=A．1 B．2

C．3 D．4【答案】A【詳解】余弦定理將各值代入得解得或(舍去)選A.10．（2016·全國(guó)·高考真題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，則b=.【答案】【詳解】試題分析：因?yàn)椋覟槿切蔚膬?nèi)角，所以，，又因?yàn)椋?【考點(diǎn)】正弦定理，兩角和、差的三角函數(shù)公式【名師點(diǎn)睛】在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合適，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí)，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．11．（2015·廣東·高考真題）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若a=，sinB=，C=，則b=．【答案】1【詳解】試題分析：由sinB=，可得B=或B=，結(jié)合a=，C=及正弦定理可求b解：∵sinB=，∴B=或B=當(dāng)B=時(shí)，a=，C=，A=，由正弦定理可得，則b=1當(dāng)B=時(shí)，C=，與三角形的內(nèi)角和為π矛盾故答案為1點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵12．（2015·重慶·高考真題）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則．【答案】4【詳解】試題分析：由及正弦定理，得．又因?yàn)椋裕捎嘞叶ɡ淼茫海裕键c(diǎn)：正余弦定理．13．（2015·重慶·高考真題）在中，，，的角平分線，則.【答案】【詳解】試題分析：由正弦定理可得，所以．在中，所以，所以在中．又因?yàn)椋裕裕裕剑裕键c(diǎn)：正余弦定理．【技巧點(diǎn)睛】（1）在三角形中處理邊角關(guān)系時(shí)，一般全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，或全部轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用余弦定理，應(yīng)用正弦、余弦定理時(shí)，注意公式變形的應(yīng)用，解決三角形問(wèn)題時(shí)，注意角的限制范圍．14．（2015·廣東·高考真題）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．若，，，且，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因?yàn)椋裕蔬xB．考點(diǎn)：余弦定理．15．（2015·天津·高考真題）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知的面積為，，則的值為．【答案】【詳解】試題分析：因,故,由題設(shè)可得,即,所以,所以,應(yīng)填.考點(diǎn)：余弦定理及三角形面積公式的運(yùn)用．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題的設(shè)置將面積與余弦定理有機(jī)地結(jié)合起來(lái),有效地檢測(cè)了綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.求解時(shí)先借助題設(shè)條件和三角形的面積公式及余弦定理探究出三邊的關(guān)系及,先求出,在運(yùn)用余弦定理得到.16．（2015·安徽·高考真題）在中，，，，則.【答案】2【詳解】由正弦定理可知：考點(diǎn)：本題主要考查正弦定理的應(yīng)用.【名師點(diǎn)睛】熟練掌握正弦定理的適用條件是解決本題的關(guān)鍵，本題考查了考生的運(yùn)算能力.17．（2015·福建·高考真題）若中，，，，則．【答案】【詳解】由題意得．由正弦定理得，則，所以．考點(diǎn)：正弦定理．考點(diǎn)06解三角形小題綜合之求面積1．（2022·浙江·高考真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白．如果把這個(gè)方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積．【答案】.【分析】根據(jù)題中所給的公式代值解出．【詳解】因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?2．（2021·浙江·高考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長(zhǎng)分別是3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則.【答案】25【分析】分別求得大正方形的面積和小正方形的面積，然后計(jì)算其比值即可.【詳解】由題意可得，大正方形的邊長(zhǎng)為：，則其面積為：，小正方形的面積：，從而.故答案為：25.3．（2019·全國(guó)·高考真題）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若，則的面積為.【答案】【分析】本題首先應(yīng)用余弦定理，建立關(guān)于的方程，應(yīng)用的關(guān)系、三角形面積公式計(jì)算求解，本題屬于常見(jiàn)題目，難度不大，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、數(shù)學(xué)式子的變形及運(yùn)算求解能力的考查．【詳解】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，【點(diǎn)睛】本題涉及正數(shù)開(kāi)平方運(yùn)算，易錯(cuò)點(diǎn)往往是余弦定理應(yīng)用有誤或是開(kāi)方導(dǎo)致錯(cuò)誤．解答此類問(wèn)題，關(guān)鍵是在明確方法的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確記憶公式，細(xì)心計(jì)算．4．（2018·全國(guó)·高考真題）△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，，則△的面積為．【答案】.【分析】方法一：由正弦定理可得，化簡(jiǎn)求得，利用余弦定理，結(jié)合題中的條件，可以得到，由為銳角，求得，，利用三角形面積公式即可解出.【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】邊化角因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫驗(yàn)椋裕忠驗(yàn)椋捎嘞叶ɡ恚傻茫裕礊殇J角，且，從而求得，所以的面積為.故答案為：.［方法二］：角化邊因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫矗郑裕忠驗(yàn)椋捎嘞叶ɡ恚傻茫裕礊殇J角，且，從而求得，所以的面積為.故答案為：.【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：利用正弦定理邊化角，求出，再結(jié)合余弦定理求出，即可求出面積，該法是本題的最優(yōu)解；方法二：利用正弦定理邊化角，求出，再結(jié)合余弦定理求出，即可求出面積．5．（2017·浙江·高考真題）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD=2，連結(jié)CD，則△BDC的面積是，cos∠BDC=．【答案】【詳解】取BC中點(diǎn)E，由題意：，△ABE中，，∴，∴．∵，∴，解得或（舍去）．綜上可得，△BCD面積為，．【名師點(diǎn)睛】利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的一般思路：（1）實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，再逐步解其他三角形，有時(shí)需要設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程（組），解方程（組）得出所要的解．6．（2017·浙江·高考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到任意精度．祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年，“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積，．【答案】【詳解】將正六邊形分割為6個(gè)等邊三角形，則．【名師點(diǎn)睛】本題粗略看起來(lái)文字量大，其本質(zhì)為計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積，將正六邊形分割為6個(gè)等邊三角形，確定6個(gè)等邊三角形的面積即可，其中對(duì)文字信息的讀取及提取有用信息方面至關(guān)重要，考生面對(duì)這方面題目時(shí)應(yīng)多加耐心，仔細(xì)分析題目中所描述問(wèn)題的本質(zhì)，結(jié)合所學(xué)進(jìn)行有目的的求解．考點(diǎn)07解三角形小題綜合之求最值或范圍1．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，．【答案】/【分析】設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】[方法一]：余弦定理設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)取最小值時(shí)，.故答案為：.[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點(diǎn)，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.[方法四]：判別式法設(shè)，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：即，解得：所以，此時(shí)所以當(dāng)取最小值時(shí)，，即.2．（2019·北京·高考真題）如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ【答案】B【分析】由題意首先確定面積最大時(shí)點(diǎn)P的位置，然后結(jié)合扇形面積公式和三角形面積公式可得最大的面積值.【詳解】觀察圖象可知，當(dāng)P為弧AB的中點(diǎn)時(shí)，陰影部分的面積S取最大值，此時(shí)∠BOP=∠AOP=π-β,面積S的最大值為+S△POB+S△POA=4β+.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查閱讀理解能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、數(shù)形結(jié)合思想及數(shù)學(xué)式子變形和運(yùn)算求解能力，有一定的難度.關(guān)鍵觀察分析區(qū)域面積最大時(shí)的狀態(tài)，并將面積用邊角等表示.3．（2018·江蘇·高考真題）在中，角所對(duì)的邊分別為，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為．【答案】9【分析】方法一：先根據(jù)角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得條件，再利用基本不等式即可解出．【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】角平分線定義＋三角形面積公式＋基本不等式由題意可知，,由角平分線定義和三角形面積公式得，化簡(jiǎn)得，即，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為.故答案為：.［方法二］：角平分線性質(zhì)＋向量的數(shù)量積＋基本不等式由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)得向量式．因?yàn)椋裕?jiǎn)得，即，亦即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．［方法三］：解析法＋基本不等式如圖5，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)，．因?yàn)锳，D，C三點(diǎn)共線，則，即，則有，所以．下同方法一．［方法四］：角平分線定理＋基本不等式在中，，同理．根據(jù)內(nèi)角平分線性質(zhì)定理知，即，兩邊平方，并利用比例性質(zhì)得，整理得，當(dāng)時(shí)，可解得．當(dāng)時(shí)，下同方法一．［方法五］：正弦定理＋基本不等式在與中，由正弦定理得．在中，由正弦定理得．所以，由正弦定理得，即，下同方法一．［方法六］：相似＋基本不等式如圖6，作，交的延長(zhǎng)線于E．易得為正三角形，則．由，得，即，從而．下同方法一．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：利用角平分線定義和三角形面積公式建立等量關(guān)系，再根據(jù)基本不等式“1”的代換求出最小值，思路常規(guī)也簡(jiǎn)潔，是本題的最優(yōu)解；方法二：利用角平分線的性質(zhì)構(gòu)建向量的等量關(guān)系，再利用數(shù)量積得到的關(guān)系，最后利用基本不等式求出最值，關(guān)系構(gòu)建過(guò)程運(yùn)算量較大；方法三：通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，由三點(diǎn)共線得等量關(guān)系，由基本不等式求最值；方法四：通過(guò)解三角形和角平分線定理構(gòu)建等式關(guān)系，再由基本不等式求最值，計(jì)算量較大；方法五：多次使用正弦定理構(gòu)建等量關(guān)系，再由基本不等式求最值，中間轉(zhuǎn)換較多；方法六：由平面幾何知識(shí)中的相似得等量關(guān)系，再由基本不等式求最值，求解較為簡(jiǎn)單．4．（2018·北京·高考真題）若的面積為,且∠C為鈍角，則∠B=；的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題干結(jié)合三角形面積公式及余弦定理可得，可求得；再利用，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的取值范圍問(wèn)題.【詳解】，，即，，則，為鈍角，，，故.故答案為，.【點(diǎn)睛】此題考查解三角形的綜合應(yīng)用，能夠根據(jù)題干給出的信息選用合適的余弦定理公式是解題的第一個(gè)關(guān)鍵；根據(jù)三角形內(nèi)角的隱含條件，結(jié)合誘導(dǎo)公式及正弦定理，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解含的表達(dá)式的最值問(wèn)題是解題的第二個(gè)關(guān)鍵.5．（2015·全國(guó)·高考真題）如圖在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，則AB的取值范圍是．【答案】（，）【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)BA，CD交于E，平移AD，當(dāng)A與D重合與E點(diǎn)時(shí)，AB最長(zhǎng)，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD，當(dāng)D與C重合時(shí)，AB最短，此時(shí)與AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范圍為（，）.考點(diǎn)：正余弦定理；數(shù)形結(jié)合思想考點(diǎn)08解三角形小題綜合之實(shí)際應(yīng)用1．（2024·上海·高考真題）已知點(diǎn)B在點(diǎn)C正北方向，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正東方向，,存在點(diǎn)A滿足，則(精確到0.1度)【答案】【分析】設(shè)，在和中分別利用正弦定理得到，，兩式相除即可得到答案.【詳解】設(shè)，在中，由正弦定理得，即’即①在中，由正弦定理得，即，即，②因?yàn)椋茫糜?jì)算器即可得，故答案為：.2．（2021·全國(guó)乙卷·高考真題）魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距【答案】A【分析】利用平面相似的有關(guān)知識(shí)以及合分比性質(zhì)即可解出．【詳解】如圖所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故選：A.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過(guò)相似建立比例式，圍繞所求目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解出．3．（2017·浙江·高考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到任意精度．祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年，“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積，．【答案】【詳解】將正六邊形分割為6個(gè)等邊三角形，則．【名師點(diǎn)睛】本題粗略看起來(lái)文字量大，其本質(zhì)為計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積，將正六邊形分割為6個(gè)等邊三角形，確定6個(gè)等邊三角形的面積即可，其中對(duì)文字信息的讀取及提取有用信息方面至關(guān)重要，考生面對(duì)這方面題目時(shí)應(yīng)多加耐心，仔細(xì)分析題目中所描述問(wèn)題的本質(zhì)，結(jié)合所學(xué)進(jìn)行有目的的求解．4．（2015·湖北·高考真題）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達(dá)處，測(cè)得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度m.【答案】【詳解】試題分析:由題設(shè)可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因?yàn)?所以,應(yīng)填.考點(diǎn)：正弦定理及運(yùn)用．10三角恒等變換與解三角形小題綜合考點(diǎn)十年考情（2015-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的應(yīng)用（含拼湊角思想）（10年9考）2024·全國(guó)甲卷、2024·全國(guó)新Ⅱ卷、2024·全國(guó)新Ⅰ卷2023·全國(guó)新Ⅰ卷、2022·全國(guó)新Ⅱ卷、2020·全國(guó)卷2020·全國(guó)卷、2019·全國(guó)卷、2019·江蘇卷2018·全國(guó)卷、2018·全國(guó)卷、2018·江蘇卷2017·全國(guó)卷、2017·北京卷、2017·江蘇卷2016·江蘇卷、2015·重慶卷、2015·全國(guó)卷2015·江蘇卷推導(dǎo)兩角差余弦公式，理解兩角差余弦公式的意義，能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，能推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦、正切公式，能運(yùn)用公式解決相關(guān)的求值與化簡(jiǎn)問(wèn)題，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會(huì)考查兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式變形應(yīng)用和半角公式變形應(yīng)用，同時(shí)也需掌握升冪公式和降冪公式，掌握拼湊角思想，需加強(qiáng)復(fù)習(xí)備考掌握正弦定理、余弦定理及其相關(guān)變形應(yīng)用，會(huì)用三角形的面積公式解決與面積有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，會(huì)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決三角形中的綜合問(wèn)題，會(huì)利用基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)解決三角形中的最值及范圍問(wèn)題，該內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，一般考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，同時(shí)也結(jié)合三角函數(shù)及三角恒等變換等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查，也常結(jié)合基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)求解范圍及最值，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。考點(diǎn)2二倍角公式的應(yīng)用（含升冪公式與降冪公式）（10年10考）2024·上海卷、2023·全國(guó)新Ⅱ卷、2022·北京卷2022·浙江卷、2021·北京卷、2021·全國(guó)乙卷2020·全國(guó)卷、2020·浙江卷、2020·江蘇卷2019·北京卷、2019·全國(guó)卷、2018·全國(guó)卷2018·全國(guó)卷、2017·全國(guó)卷、2016·山東卷2016·全國(guó)卷、2016·四川卷、2016·全國(guó)卷2016·全國(guó)卷、2015·浙江卷、2015·上海卷考點(diǎn)3輔助角公式的應(yīng)用（10年10考）2024·全國(guó)甲卷、2022·北京卷、2021·全國(guó)乙卷2017·全國(guó)卷、2016·浙江卷考點(diǎn)4解三角形小題綜合之求角和求三角函數(shù)函數(shù)值（10年9考）2024·全國(guó)甲卷、2023·北京卷、2023·全國(guó)乙卷2021·浙江卷、2020·全國(guó)卷、2020·全國(guó)卷2020·全國(guó)卷、2019·全國(guó)卷、2019·浙江卷2018·全國(guó)卷、2017·浙江卷、2017·全國(guó)卷2017·全國(guó)卷、2017·全國(guó)卷、2016·山東卷2015·北京卷、2015·北京卷考點(diǎn)5解三角形小題綜合之求邊長(zhǎng)或線段（10年7考）2023·全國(guó)甲卷、2021·全國(guó)乙卷、2021·全國(guó)甲卷2019·全國(guó)卷、2018·全國(guó)卷、2017·山東卷2016·上海卷、2016·北京卷、2016·天津卷2016·全國(guó)卷、2015·廣東卷、2015·重慶卷2015·重慶卷、2015·廣東卷、2015·天津卷2015·安徽卷、2015·福建卷考點(diǎn)6解三角形小題綜合之求面積（10年5考）2022·浙江卷、2021·浙江卷、2019·全國(guó)卷2018·全國(guó)卷、2017·浙江卷、2017·浙江卷考點(diǎn)7解三角形小題綜合之求最值或范圍（10年4考）2022·全國(guó)甲卷、2019·北京卷、2018·江蘇卷2018·北京卷、2015·全國(guó)卷考點(diǎn)8解三角形小題綜合之實(shí)際應(yīng)用（10年4考）2024·上海卷、2021·全國(guó)乙卷2017·浙江卷、2015·湖北卷考點(diǎn)01兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的應(yīng)用（含拼湊角思想）1．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將弦化切求得，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋裕裕蔬x：B.2．（2024·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則.【答案】【分析】法一：根據(jù)兩角和與差的正切公式得，再縮小的范圍，最后結(jié)合同角的平方和關(guān)系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【詳解】法一：由題意得，因?yàn)椋瑒t，，又因?yàn)椋瑒t，，則，則，聯(lián)立，解得.法二：因?yàn)闉榈谝幌笙藿牵瑸榈谌笙藿牵瑒t,，，則故答案為：.3．（2024·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩角和的余弦可求的關(guān)系，結(jié)合的值可求前者，故可求的值.【詳解】因?yàn)椋裕裕始矗瑥亩剩蔬x：A.4．（2023·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）已知，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)椋虼耍瑒t，所以.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的類型及方法（1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來(lái)看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系．解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)．（2）“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．（3）“給值求角”：實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時(shí)要壓縮角的取值范圍．5．（2022·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡(jiǎn)，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故選：C[方法二]：特殊值排除法解法一:設(shè)β=0則sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；選C.[方法三]：三角恒等變換所以即故選：C.6．（2020·全國(guó)·高考真題）已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=（

）A．–2 B．–1 C．1 D．2【答案】D【分析】利用兩角和的正切公式，結(jié)合換元法，解一元二次方程，即可得出答案.【詳解】，，令，則，整理得，解得，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用兩角和的正切公式化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題.7．（2020·全國(guó)·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將所給的三角函數(shù)式展開(kāi)變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數(shù)式的值.【詳解】由題意可得：，則：，，從而有：，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公式及其應(yīng)用，屬于中等題.8．（2019·全國(guó)·高考真題）tan255°=A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+【答案】D【分析】本題首先應(yīng)用誘導(dǎo)公式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)的計(jì)算，進(jìn)一步應(yīng)用兩角和的正切公式計(jì)算求解．題目較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查．【詳解】詳解：=【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值、運(yùn)算求解能力．9．（2019·江蘇·高考真題）已知，則的值是.【答案】.【分析】由題意首先求得的值，然后利用兩角和差正余弦公式和二倍角公式將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為齊次式求值的問(wèn)題，最后切化弦求得三角函數(shù)式的值即可.【詳解】由，得，解得，或.，當(dāng)時(shí)，上式當(dāng)時(shí)，上式=綜上，【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取轉(zhuǎn)化法，利用分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.10．（2018·全國(guó)·高考真題）已知，則．【答案】【分析】方法一：利用兩角差的正切公式展開(kāi)，解方程可得.【詳解】［方法一］：直接使用兩角差的正切公式展開(kāi)因?yàn)椋裕庵茫蚀鸢笧椋海鄯椒ǘ荩赫w思想＋兩角和的正切公式．故答案為：．［方法三］：換元法＋兩角和的正切公式令，則，且．．故答案為：．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：直接利用兩角差的正切公式展開(kāi)，解方程，思路直接；方法二：利用整體思想利用兩角和的正切公式求出；方法三：通過(guò)換元法結(jié)合兩角和的正切公式求出，是給值求值問(wèn)題的常用解決方式．11．（2018·全國(guó)·高考真題）已知，，則．【答案】【分析】方法一：將兩式平方相加即可解出．【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】?jī)墒絻蛇吰椒较嗉拥茫鄯椒ǘ荩豪梅匠趟枷胫苯咏獬觯瑑墒絻蛇吰椒较嗉拥茫瑒t．又或，所以．［方法三］：誘導(dǎo)公式＋二倍角公式由，可得，則或．若，代入得，即．若，代入得，與題設(shè)矛盾．綜上所述，．［方法四］：平方關(guān)系＋誘導(dǎo)公式由，得．又，，即，則．從而．［方法五］：和差化積公式的應(yīng)用由已知得，則或．若，則，即．當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，，由，得，又，所以．當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，，得，這與已知矛盾．若，則．則，得，這與已知矛盾．綜上所述，．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：結(jié)合兩角和的正弦公式，將兩式兩邊平方相加解出，是該題的最優(yōu)解；方法二：通過(guò)平方關(guān)系利用方程思想直接求出四個(gè)三角函數(shù)值，進(jìn)而解出；方法三：利用誘導(dǎo)公式尋求角度之間的關(guān)系，從而解出；方法四：基本原理同方法三，只是尋找角度關(guān)系的方式不同；方法五：將兩式相乘，利用和差化積公式找出角度關(guān)系，再一一驗(yàn)證即可解出，該法稍顯麻煩．12．（2018·江蘇·高考真題）已知為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【詳解】分析：先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得，再根據(jù)二倍角余弦公式得結(jié)果；（2）先根據(jù)二倍角正切公式得，再利用兩角差的正切公式得結(jié)果.詳解：解：（1）因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕虼耍?）因?yàn)闉殇J角，所以．又因?yàn)椋裕虼耍驗(yàn)椋裕虼耍c(diǎn)睛：應(yīng)用三角公式解決問(wèn)題的三個(gè)變換角度(1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”.(2)變名：通過(guò)變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.(3)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等.13．（2017·全國(guó)·高考真題）已知，tanα=2，則cos(α-π4)【答案】【詳解】由得，又，所以，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕?4．（2017·北京·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若，則=.【答案】【詳解】試題分析：因?yàn)楹完P(guān)于軸對(duì)稱，所以，那么，（或），所以.【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)，誘導(dǎo)公式，兩角差的余弦公式【名師點(diǎn)睛】本題考查了角的對(duì)稱關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式，常用的一些對(duì)稱關(guān)系包含：若與的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則，若與的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則，若與的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則.15．（2017·江蘇·高考真題）若,則.【答案】【詳解】故答案為.16．（2016·江蘇·高考真題）在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是.【答案】8.【詳解】，又，因此即最小值為8.【考點(diǎn)】三角恒等變換，切的性質(zhì)應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】消元與降次是高中數(shù)學(xué)中的主旋律，利用三角形中隱含的邊角關(guān)系作為消元依據(jù)是本題突破口，斜三角形中恒有，這類同于正、余弦定理，是一個(gè)關(guān)于切的等量關(guān)系，平時(shí)應(yīng)多總結(jié)積累常見(jiàn)的三角恒等變形，提高轉(zhuǎn)化問(wèn)題能力，培養(yǎng)消元意識(shí)．此類問(wèn)題的求解有兩種思路：一是邊化角，二是角化邊．17．（2015·重慶·高考真題）若,則A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：，故選A.考點(diǎn)：兩角和與差的正切公式．18．（2015·全國(guó)·高考真題）(2015新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理科)=A． B．C． D．【答案】D【詳解】原式===，故選D.考點(diǎn)：本題主要考查誘導(dǎo)公式與兩角和與差的正余弦公式.19．（2015·江蘇·高考真題）已知，，則的值為．【答案】3【詳解】，故答案為3.考點(diǎn)02二倍角公式的應(yīng)用（含升冪公式與降冪公式）1．（2024·上海·高考真題）下列函數(shù)的最小正周期是的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)輔助角公式、二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】對(duì)A，，周期，故A正確；對(duì)B，，周期，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，是常值函數(shù)，不存在最小正周期，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，周期，故D錯(cuò)誤，故選：A．2．（2023·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【詳解】因?yàn)椋鵀殇J角，解得：．故選：D．3．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【答案】C【分析】化簡(jiǎn)得出，利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，D錯(cuò).故選：C.4．（2022·浙江·高考真題）若，則，．【答案】【分析】先通過(guò)誘導(dǎo)公式變形，得到的同角等式關(guān)系，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)成正弦型函數(shù)方程，可求出，接下來(lái)再求．【詳解】[方法一]：利用輔助角公式處理∵，∴，即，即，令，，則，∴，即，∴，則.故答案為：；.[方法二]：直接用同角三角函數(shù)關(guān)系式解方程∵，∴，即，又，將代入得，解得，則.故答案為：；.5．（2021·北京·高考真題）函數(shù)是A．奇函數(shù)，且最大值為2 B．偶函數(shù)，且最大值為2C．奇函數(shù)，且最大值為 D．偶函數(shù)，且最大值為【答案】D【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值.【詳解】由題意，，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：D.6．（2021·全國(guó)乙卷·高考真題）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，再由二倍角公式即可得解.【詳解】由題意，.故選：D.7．（2020·全國(guó)·高考真題）若，則．【答案】【分析】直接利用余弦的二倍角公式進(jìn)行運(yùn)算求解即可.【詳解】.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦的二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8．（2020·浙江·高考真題）已知，則；．【答案】【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得，根據(jù)兩角差正切公式得【詳解】，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二倍角余弦公式以及弦化切、兩角差正切公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.9．（2020·江蘇·高考真題）已知=，則的值是.【答案】【分析】直接按照兩角和正弦公式展開(kāi)，再平方即得結(jié)果.【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查兩角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.10．（2019·北京·高考真題）函數(shù)f(x)=sin22x的最小正周期是．【答案】.【分析】將所給的函數(shù)利用降冪公式進(jìn)行恒等變形，然后求解其最小正周期即可.【詳解】函數(shù),周期為【點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角的三角函數(shù)公式?三角函數(shù)的最小正周期公式，屬于基礎(chǔ)題.11．（2019·全國(guó)·高考真題）已知∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二倍角公式得到正余弦關(guān)系，利用角范圍及正余弦平方和為1關(guān)系得出答案．【詳解】，．，又，，又，，故選B．【點(diǎn)睛】本題為三角函數(shù)中二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的考查，中等難度，判斷正余弦正負(fù)，運(yùn)算準(zhǔn)確性是關(guān)鍵，題目不難，需細(xì)心，解決三角函數(shù)問(wèn)題，研究角的范圍后得出三角函數(shù)值的正負(fù)，很關(guān)鍵，切記不能憑感覺(jué)．12．（2018·全國(guó)·高考真題）函數(shù)的最小正周期為A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析:將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可詳解：由已知得的最小正周期故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和最小正周期公式，屬于中檔題13．（2018·全國(guó)·高考真題）若，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：由公式可得結(jié)果.詳解：故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.14．（2017·全國(guó)·高考真題）已知，則．A． B． C． D．【答案】A【詳解】.所以選A.【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角及同角正余弦的差與積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.15．（2016·山東·高考真題）函數(shù)的最小正周期是（

）A． B．π C． D．2π【答案】B【分析】因?yàn)椋鶕?jù)輔助角公式可化簡(jiǎn)為，根據(jù)正弦二倍角公式和正弦周期公式，即可求得答案.【詳解】,故最小正周期,故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查和差倍半的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).此類題目是三角函數(shù)問(wèn)題中的典型題目，可謂相當(dāng)經(jīng)典.解答本題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡(jiǎn)函數(shù)、進(jìn)一步討論函數(shù)的性質(zhì)，本題較易，能較好地考查考生的運(yùn)算求解能力及對(duì)復(fù)雜式子的變形能力等.16．（2016·全國(guó)·高考真題）若，則A． B． C．1 D．【答案】A【詳解】試題分析：由，得或，所以，故選A．【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，倍角公式．【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)求值：①“給角求值”將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化，通過(guò)相消或相約消去非特殊角，進(jìn)而求出三角函數(shù)值；②“給值求值”關(guān)鍵是目標(biāo)明確，建立已知和所求之間的聯(lián)系．17．（2016·四川·高考真題）cos2–sin2=.【答案】【詳解】試題分析：原式．考點(diǎn)：余弦的二倍角公式.18．（2016·全國(guó)·高考真題）若，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】.分子分母同時(shí)除以，即得：.故選D.19．（2016·全國(guó)·高考真題）若，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：，且，故選D.【考點(diǎn)】三角恒等變換【名師點(diǎn)睛】對(duì)于三角函數(shù)的給值求值問(wèn)題，關(guān)鍵是把待求角用已知角表示：（1）已知角為兩個(gè)時(shí)，待求角一般表示為已知角的和或差．（2）已知角為一個(gè)時(shí)，待求角一般與已知角成“