第12講排列組合（十三種解法）題型一：捆綁法一、單選題1．（2023·安徽·統(tǒng)考一模）為慶祝中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會勝利閉幕，某高中舉行“獻禮二十大”活動，高三年級派出甲?乙?丙?丁?戊5名學生代表參加，活動結(jié)束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則不同的排法共有（

）種．A．40 B．24 C．20 D．12【答案】B【分析】根據(jù)相鄰問題用捆綁法和不相鄰問題用插空法即可求解．【詳解】由題意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則不同的排法共有種，故選：．2．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必須站在中間兩個位置之一，且乙、丙2人相鄰，則不同的排隊方法共有（

）A．24種 B．48種 C．72種 D．96種【答案】C【分析】先安排甲，可從中間兩個位置中任選一個，再安排乙丙2人，可分為兩類：安排在甲有2個位置的一側(cè)；安排在甲有3個位置的一側(cè)，最后安排其余3人，綜上可得答案.【詳解】先安排甲，可從中間兩個位置中任選一個安排有種方法，而甲站好后一邊有2個位置，另一邊有3個位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相鄰，可分為兩類：安排在甲有2個位置的一側(cè)有種方法；安排在甲有3個位置的一側(cè)有種方法，最后安排其余3人有種方法，綜上，不同的排隊方法有：種.故選：C.3．（2023秋·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期末）已知甲、乙兩個家庭排成一列測核酸，甲家庭是一對夫妻帶1個小孩，乙家庭是一對夫妻帶2個小孩.現(xiàn)要求2位父親位于隊伍的兩端，3個小孩要排在一起，則不同的排隊方式的種數(shù)為（

）A．288 B．144 C．72 D．36【答案】C【分析】方法1：運用捆綁法及分步乘法計算即可.分步排隊方法：2位父親排隊2位母親排隊3個小孩“捆綁”內(nèi)部排隊在父親母親產(chǎn)生的3個空中選一個空將3個小孩放進去.方法2：運用捆綁法及分步乘法計算即可.分步排隊方法：2位父親排隊3個小孩“捆綁”與2位母親排隊3個小孩“捆綁”內(nèi)部排隊.【詳解】方法1：2位父親的排隊方式種數(shù)為，2位母親的排隊方式種數(shù)為，3個小孩的排隊方式種數(shù)為，將3個小孩當成一個整體，放進父母的中間共有種排隊方式，所以不同的排隊方式種數(shù)為.方法2：2位父親的排隊方式種數(shù)為，將3個小孩當成一個整體與2位母親的排隊方式種數(shù)為，3個小孩的排隊方式種數(shù)為，所以不同的排隊方式種數(shù)為.故選：C.二、填空題4．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）在數(shù)學中，有一個被稱為自然常數(shù)（又叫歐拉數(shù)）的常數(shù)．小明在設置銀行卡的數(shù)字密碼時，打算將自然常數(shù)的前6位數(shù)字2，7，1，8，2，8進行某種排列得到密碼．如果排列時要求兩個2相鄰，兩個8不相鄰，那么小明可以設置的不同密碼共有______個．【答案】36【分析】根據(jù)相鄰問題用捆綁法和不相鄰問題用插空法即可求解．【詳解】如果排列時要求兩個2相鄰，兩個8不相鄰，兩個2捆綁看作一個元素與7，1全排列，排好后有4個空位，兩個8插入其中的2個空位中，注意到兩個2，兩個8均為相同元素，那么小明可以設置的不同密碼共有．故答案為：36.5．（2023春·江蘇南通·高三校考開學考試）3名男同學、2名女同學排成一行，則至多2名男生相鄰的概率為______．【答案】##0.7【分析】根據(jù)排列數(shù)求3名男同學、2名女同學排成一行與至多2名男生相鄰的方法總數(shù)，在利用古典概型公式求解概率即可.【詳解】解：3名男同學、2名女同學排成一行的總的方法數(shù)為：，則至多2名男生相鄰的方法總數(shù)為：，所以多2名男生相鄰的概率為.故答案為：.6．（2023春·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）五名同學站成一排合影，若站在兩端，和相鄰，則不同的站隊方式共有___________種.（用數(shù)字作答）【答案】24【分析】相鄰問題捆綁法，特殊元素優(yōu)先排，用分步計數(shù)完成.【詳解】C，相鄰，將排在一起并看成一個整體，有2種方法，站兩端，有2種方法，與，進行3個元素的全排列，有種方法，故不同的站隊方式共有種.故答案為：24題型二：插空法一、單選題1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數(shù)原理即可得解【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學共有：種不同的排列方式，故選：B2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】將4個1和2個0隨機排成一行，可利用插空法，4個1產(chǎn)生5個空，若2個0相鄰，則有種排法，若2個0不相鄰，則有種排法，所以2個0不相鄰的概率為.故選：C.3．（2022春·全國·高三專題練習）已知王大爺養(yǎng)了5只雞和3只兔子，晚上關(guān)在同一間房子里，清晨打開房門，這些雞和兔子隨機逐一向外走，則恰有2只兔子相鄰走出房子的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)相鄰問題捆綁法與不相鄰問題插空法計數(shù)，再根據(jù)古典概型計算概率.【詳解】解：5只雞，只兔子走出房門，共有種不同的方案，其中恰有2只兔子相鄰走出房子的方案為：先排5只雞，會產(chǎn)生6個空隙，再從3只兔子中選2只捆綁排列，最后與剩下的兔子排列到6個空隙中共有：種方案，故恰有2只兔子相鄰走出房子的概率為：.故選：D.二、填空題4．（2022秋·福建福州·高三福建省福州延安中學校考階段練習）2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”，有著可愛的外表和豐富的寓意，深受各國人民的喜愛.某商店有4個不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3個不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜臺上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此間隔排列，則不同的排列方法種數(shù)為___________.（用數(shù)字作答）【答案】144【分析】根據(jù)間隔排列知兩端均為“冰墩墩”,可以先排【詳解】先排“冰墩墩”中間有三個空，再排“雪容融”，則.故答案為：144.5．（2023·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學校考模擬預測）3名女生和4名男生隨機站成一排，則每名女生旁邊都有男生的概率為______．【答案】【分析】首先求出基本事件總數(shù)，再分女生都不相鄰和有兩個女生相鄰兩種情況討論，求出符合題意的基本事件數(shù)，再根據(jù)古典概型的概率公式計算可得；【詳解】解：依題意基本事件總數(shù)為，若女生都不相鄰，首先將4個男生全排列，再將3個女生插入所形成的5個空中的3個空，則有種排法，若有兩個女生相鄰，首先從3個女生中選出2個作為一個整體，將4個男生全排列，再將整體插入中間3個空中的1個，再將另一個女生插入4個空中的1個空，則有種排法，故每名女生旁邊都有男生的概率故答案為：題型三：特殊元素法一、單選題1．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預測）小張接到4項工作，要在下周一、周二、周三這3天中完成，每天至少完成1項，且周一只能完成其中1項工作，則不同的安排方式有（

）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種【答案】C【分析】先按照周一，再安排其他兩天，利用分步計數(shù)原理及排列組合知識進行求解；【詳解】先從4項工作中選1項安排在周一完成，再從剩下的工作中選2項安排在周二或周三，所以不同的安排方式有種．故選：C2．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預測）甲、乙、丙、丁四名教師帶領(lǐng)學生參加校園植樹活動，教師隨機分成三組，每組至少一人，則甲、乙在同一組的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用組合可求基本事件的總數(shù)，再根據(jù)排列可求隨機事件含有的基本事件的總數(shù)，從而可求對應的概率.【詳解】設“甲、乙在同一組”為事件，教師隨機分成三組，每組至少一人的分法為，而甲、乙在同一組的分法有，故，故選：A.3．（2022秋·四川成都·高三統(tǒng)考階段練習）為了貫徹落實中央新疆工作座談會和全國對口支援新疆工作會議精神，促進邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)發(fā)展，我市教育系統(tǒng)選派了三位男教師和兩位女教師支援新疆，這五名教師被分派到三個不同地方對口支援，每位教師只去一個地方，每個地方至少去一人，其中兩位女教師分派到同一個地方，則不同的分派方法有（

）A．18種 B．36種 C．68種 D．84種【答案】B【分析】按照兩位女教師分派到同一個地方時，男老師也分配到該地方的人數(shù)為標準進行分類討論即可【詳解】根據(jù)題意，分派方案可分為兩種情況：若兩位女教師分配到同一個地方，且該地方?jīng)]有男老師，則有：種方法；若兩位女教師分配到同一個地方，且該地方有一位男老師，則有：種方法；故一共有：種分派方法故選：4．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2，…，a12.設1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦．用這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為（

）A．5 B．8 C．10 D．15【答案】C【分析】根據(jù)原位大三和弦滿足，原位小三和弦滿足從開始，利用列舉法即可解出．【詳解】根據(jù)題意可知，原位大三和弦滿足：．∴；；；；．原位小三和弦滿足：．∴；；；；．故個數(shù)之和為10．故選：C．【點睛】本題主要考查列舉法的應用，以及對新定義的理解和應用，屬于基礎題．5．（2023春·廣東汕頭·高三統(tǒng)考開學考試）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．假設中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排3人，問天實驗艙與夢天實驗艙各安排1人．若甲、乙兩人不能同時在一個艙內(nèi)做實驗，則不同的安排方案共有（

）A．8種 B．14種 C．20種 D．116種【答案】B【分析】按照同個元素（甲）分類討論，特殊元素和特殊位置優(yōu)先考慮即可得解.【詳解】按照甲是否在天和核心艙劃分，①若甲在天和核心艙，天和核心艙需要從除了甲乙之外的三人中選取兩人，剩下兩人去剩下兩個艙位，則有種可能；②若甲不在天和核心艙，需要從問天實驗艙和夢天實驗艙中挑選一個，剩下四人中選取三人進入天和核心艙即可，則有種可能；根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有6+8=14種可能.故選：B.6．（2023·全國·高三專題練習）某地區(qū)安排A，B，C，D，E，F(xiàn)六名黨員志愿者同志到三個基層社區(qū)開展防詐騙宣傳活動，每個地區(qū)至少安排一人，至多安排三人，且A，B兩人安排在同一個社區(qū)，C，D兩人不安排在同一個社區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（

）A．72 B．84 C．90 D．96【答案】B【分析】分為每個社區(qū)各兩人和一個社區(qū)1人，一個社區(qū)2人，一個社區(qū)3人兩種分配方式，第二種分配方式再分AB兩人一組去一個社區(qū)，AB加上另一人三人去一個社區(qū)，進行求解，最后相加即為結(jié)果.【詳解】第一種分配方式為每個社區(qū)各兩人，則CE一組，DF一組，或CF一組，DE一組，由2種分組方式，再三組人，三個社區(qū)進行排列，則分配方式共有種；第二種分配方式為一個社區(qū)1人，一個社區(qū)2人，一個社區(qū)3人，當AB兩人一組去一個社區(qū)，則剩下的4人，1人為一組，3人為一組，則必有C或D為一組，有種分配方法，再三個社區(qū)，三組人，進行排列，有種分配方法；當AB加上另一人三人去一個社區(qū)，若選擇的是C或D，則有種選擇，再將剩余3人分為兩組，有種分配方法，將將三個社區(qū)，三組人，進行排列，有種分配方法；若選擇的不是C或D，即從E或F中選擇1人和AB一起，有種分配方法，再將CD和剩余的1人共3人分為兩組，有2種分配方法，將三個社區(qū)，三組人，進行排列，有種分配方法，綜上共有12+12+36+24=84種不同的分配方式故選：B二、解答題7．（2023·全國·高三專題練習）一場小型晚會有個唱歌節(jié)目和個相聲節(jié)目，要求排出一個節(jié)目單．（1）個相聲節(jié)目要排在一起，有多少種排法？（2）第一個節(jié)目和最后一個節(jié)目都是唱歌節(jié)目，有多少種排法？（3）前個節(jié)目中要有相聲節(jié)目，有多少種排法？【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用捆綁法可求解；（2）利用特殊元素優(yōu)先選擇，即可求解；（3）利用正難則反，先算前3個節(jié)目中沒有相聲，即相聲在后兩個節(jié)目的排法，即可求解.【詳解】（1）把兩個相聲節(jié)目捆綁在一起作為一個節(jié)目與其他節(jié)目排列共有排法；（2）選兩個唱歌節(jié)目排在首尾，剩下的3個節(jié)目在中間排列，排法為；（3）5個節(jié)目全排列減去后兩個都是相聲的排法，共有．【點睛】方法點睛：本題主要考查排列的應用，屬于中檔題.常見排列數(shù)的求法為：（1）相鄰問題采取“捆綁法”；（2）不相鄰問題采取“插空法”；（3）有限制元素采取“優(yōu)先法”；（4）特殊元素順序確定問題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù).題型四：間接法一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）將7個人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，則不同的站法有（

）．A．1860種 B．3696種 C．3600種 D．3648種【答案】D【分析】采用間接法，先求出沒有限制的所有站法，再排除不滿足條件的站法可求解.【詳解】7個人從左到右排成一排，共有種不同的站法，其中甲、乙、丙3個都相鄰有種不同的站法，甲站在最右端有種不同的站法，甲、乙、丙3個相鄰且甲站最右端有種不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，不同的站法有種不同的站法.故選：D2．（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）某高中從3名男教師和2名女教師中選出3名教師，派到3個不同的鄉(xiāng)村支教，要求這3名教師中男女都有，則不同的選派方案共有（

）種A．9 B．36 C．54 D．108【答案】C【分析】根據(jù)給定條件利用排列并結(jié)合排除法列式計算作答.【詳解】從含有3名男教師和2名女教師的5名教師中任選3名教師，派到3個不同的鄉(xiāng)村支教，不同的選派方案有種，選出3名教師全是男教師的不同的選派方案有種，所以3名教師中男女都有的不同的選派方案共有種故選：C3．（2022秋·寧夏銀川·高三校考開學考試）公元五世紀，數(shù)學家祖沖之估計圓周率的范圍是：，為紀念祖沖之在圓周率方面的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數(shù)學的偉大成就.某教師為幫助同學們了解“祖率”，讓同學們把小數(shù)點后的7位數(shù)字1，4，1，5，9，2，6進行隨機排列，整數(shù)部分3不變，那么可以得到大于3.14的不同數(shù)字的個數(shù)為（

）A．720 B．1440 C．2280 D．4080【答案】C【分析】以間接法去求解這個排列問題簡單快捷.【詳解】一共有7個數(shù)字，且其中有兩個相同的數(shù)字1.這7個數(shù)字按題意隨機排列，可以得到個不同的數(shù)字.當前兩位數(shù)字為11或12時，得到的數(shù)字不大于3.14當前兩位數(shù)字為11或12時，共可以得到個不同的數(shù)字，則大于3.14的不同數(shù)字的個數(shù)為故選：C二、多選題4．（2023秋·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學校考期末）在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件不合格品，從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件，則下列結(jié)論正確的有（

）A．抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有種B．抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有種C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有種D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有種【答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件利用含有限制條件的組合問題，逐一分析各選項判斷作答.【詳解】對于A，B，抽1件不合格品有種，再抽2件合格品有種，由分步計數(shù)乘法原理知，抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有種，A正確，B不正確；對于C，至少有1件是不合格品有兩類：1件是不合格品的抽法有種，2件是不合格品的抽法有種，由分類加法計數(shù)原理知，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有種，C正確；對于D，至少有1件是不合格品的抽法可以用排除法，從100件產(chǎn)品中任意抽出3件有種，抽出3件全是合格品有種，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有()種，D正確.故選：ACD三、填空題5．（2023·全國·高三專題練習）將標有1，2，3，4，5，6的6個球放入A，B，C三個盒子，每個盒子放兩個球，其中1號球不放A盒子中，2號和3號球都不放B盒子中，則共有__________種不同的放法（用數(shù)字作答）.【答案】27【分析】按照1號球是否放在B盒子分類，結(jié)合.【詳解】若1號球放在B盒子中，共有種放法；若1號球放在C盒子中，共有種放法；所以共有放法總數(shù)為.故答案為：27.6．（2023·全國·高三專題練習）2021年12月，南昌最美地鐵4號線開通運營，甲、乙、丙、丁四位同學決定乘坐地鐵去觀洲、人民公園、新洪城大市場三個地方游覽，每人只能去一個地方，人民公園一定要有人去，則不同游覽方案的種數(shù)為______.【答案】65【分析】利用間接法，利用分步計數(shù)原理求出沒有限制的方案數(shù)，排除沒人去人民公園的方案數(shù)，即得.【詳解】由題可知沒有限制時，每人有3種選擇，則4人共有種，若沒人去人民公園，則每人有2種選擇，則4人共有種，故人民公園一定要有人去的不同游覽方案有種.故答案為：65.題型五：隔板法一、單選題1．（2022·山東濰坊·二模）某學校為增進學生體質(zhì)，擬舉辦長跑比賽，該學校高一年級共有個班，現(xiàn)將個參賽名額分配給這個班，每班至少個參賽名額，則不同的分配方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【分析】采用隔板法直接求解即可.【詳解】將個參賽名額分配給這個班，名額之間并無區(qū)別，將個參賽名額采用“隔板法”分成份即可，每份至少一個名額，共有種.故選：B.二、多選題2．（2022·全國·高三專題練習）為響應政府部門疫情防控號召，某紅十字會安排甲?乙?丙?丁4名志愿者奔赴，，三地參加防控工作，則下列說法正確的是（

）A．不同的安排方法共有64種B．若恰有一地無人去，則不同的安排方法共有42種C．若甲?乙兩人都不能去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法共有44種D．若該紅十字會又計劃為這三地捐贈20輛救護車（救護車相同），且每地至少安排一輛，則不同的安排方法共有171種【答案】BD【分析】根據(jù)分類、分布計數(shù)原理和排列、組合，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，安排甲?乙?丙?丁4名志愿者奔赴，，三地參加防控工作，每人都有3種安排方法，則不同的安排方法共有（種），所以A錯誤；對于B中，若恰有一地無人去，則需先在三地中選出兩地，再將4人安排到這兩個地方，不同的安排方法有（種），所以B正確.對于C中，根據(jù)題意，需將4人分為3組，若甲?乙在同一組，有1種分組方法，又甲?乙兩人不能去地，所以安排甲?乙一組到地或地，有2種情況，剩余2組安排到其余2地，有種情況，此時不同的安排方法有（種）；若甲?乙不在同一組，有種分組方法，又甲?乙兩人不能去A地，所以安排沒有甲?乙的一組去地，甲?乙所在的兩組安排到，兩地，有種情況，此時不同的安排方法有（種），則不同的安排方法共有（種），所以C錯誤；對于D中，只需將20輛救護車排成一排，在形成的19個間隙中插入擋板，將20輛救護車分為3組，依次對應，，三地即可，此時不同的安排方法有（種），所以D正確.故選：BD.三、填空題3．（2022·全國·高三專題練習）若方程，其中，則方程的正整數(shù)解得個數(shù)為______.【答案】10【分析】依據(jù)擋板法去求解即可.【詳解】因為方程，其中，則.將其轉(zhuǎn)化為有6個1排成一列，利用2個擋板法將其分成3組，第一組1的數(shù)目為，第二組1的數(shù)目為，第三組1的數(shù)目為，則.2個擋板的放置方法共有種，故方程的正整數(shù)解的個數(shù)為10.故答案為：10四、解答題4．（2022·全國·高三專題練習）（1）4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，共有多少種放法；（2）4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，恰有一個盒子空，共有多少種放法；（3）10個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，每個盒子不空，共有多少種放法；（4）4個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，恰有兩個盒子空，共有多少種放法？【答案】（1）256；（2）144；（3）84；（4）18.【分析】（1）按照分步乘法計數(shù)原理進行計算；（2）先選1個空盒，再把4個小球分成3組，放入3個盒子中；（3）按照插板法進行計算即可；（4）先選2個空盒，再按照插板法進行計算.【詳解】（1）每個小球有4種方法，共有種放法；（2）先選1個空盒，再把4個小球分成3組，最后分到3個盒子，共有種放法；（3）9個空中插入3個板即可，種放法；（4）先選2個空盒，再3個空中插入1個板即可，共有種放法.5．（2023·全國·高三專題練習）（1）把6個相同的小球放入4個相同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法？（2）把6個相同的小球放入4個不同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法？（3）把6個不同的小球放入4個相同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法？（4）把6個不同的小球放入4個不同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法？【答案】（1）2；（2）10；（3）65；（4）1560.【分析】(1)根據(jù)條件每個箱子先放一個，確定余下兩個小球的放法即為答案；(2)將6個相同的小球排成一列，利用隔板法求解即得；(3)把6個不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1兩種方案分成4組，求出所有分組方法數(shù)即可；(4)把6個不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1兩種方案分成4組，再將每一種分法放入4個不同箱子即可得解.【詳解】（1）把6個相同的小球放入4個相同的箱子中，每個箱子至少放1個小球，每個箱子先放入1個小球，還剩下2個小球，則余下2個小球放在1個箱子中，或分開放在2個箱子中，所以共有2種放法；（2）6個相同的小球放入4個不同的箱子，每個箱子至少放1個小球，將6個相同的小球排成一列，在形成的中間5個空隙中插入3塊隔板，所以不同的放法種數(shù)為；（3）6個不同的小球放入4個相同的箱子，每個箱子至少放1個小球，先把6個不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1兩種方案分成4組，每一種分法的4組小球分別放入4個箱子滿足要求，一種分組方法即為一種放法，所以不同的放法種數(shù)為；（4）6個不同的小球放入4個不同的箱子，每個箱子至少放1個小球，先把6個不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1兩種方案分成4組，每一種分法的4組小球全排列，得到的每一個排列的4組小球分別放入4個箱子滿足要求，所以不同的放法種數(shù)為．題型六：倍縮法解決部分定序問題一、單選題1．（2022·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）某學校文藝匯演準備從舞蹈、小品、相聲、音樂、魔術(shù)、朗誦6個節(jié)目中選取5個進行演出．要求舞蹈和小品必須同時參加，且他們的演出順序必須滿足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出順序種數(shù)有（

）A．240種 B．480種 C．540種 D．720種【答案】A【分析】先從4個節(jié)目中選3個，再按照定序排列即可求解.【詳解】先從相聲、音樂、魔術(shù)、朗誦4個節(jié)目中選3個，有種，再把5個節(jié)目排列且滿足舞蹈在前、小品在后，有，總共有種.故選：A.2．（2022秋·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習）高三年級某班組織元旦晚會，共準備了甲、乙、丙、丁、戊五個節(jié)目，出場時要求甲、乙、丙三個節(jié)目順序為“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相鄰），則這樣的出場排序有（

）A．24種 B．40種 C．60種 D．84種【答案】B【分析】先求出五個節(jié)目的全排列有種情況，要求甲、乙、丙有兩種固定的出場順序，則除以甲乙丙的全排列，再乘以固定的順序種類即可得到結(jié)果.【詳解】五個元素的全排列數(shù)為，由于要求甲、乙、丙在排列中順序為“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”2種排法，所以滿足條件的排法有.故選：B．3．（2023春·河南鄭州·高三鄭州四中校考階段練習）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面.不同的安排方法共有（

）A．20種 B．30種 C．50種 D．60種【答案】A【分析】每個人被安排在另外兩個人前面的機會是均等的，利用排列得到答案.【詳解】每個人被安排在另外兩個人前面的機會是均等的，故共有種方法.故選：A4．（2022·全國·高三專題練習）有五名學生站成一排照畢業(yè)紀念照，其中甲不排在乙的左邊，則不同的站法共有(

)A．66種 B．60種 C．36種 D．24種【答案】B【分析】首先利用全排列并結(jié)合已知條件即可求解.【詳解】首先對五名學生全排列，則共有種情況，又因為只有甲在乙的左邊或右邊兩種情況，所以甲不排在乙的左邊的不同的站法共有種情況.故選：B5．（2022秋·陜西·高三陜西省榆林中學校聯(lián)考階段練習）某學校文藝匯演準備從甲、乙、丙、丁、戊5人中選4人參加演出．要求甲和乙必須同時參加，且他們的演出順序必須滿足甲在前、乙在后，那么不同的演出順序種數(shù)有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．72種【答案】C【分析】除了甲乙外，再選2人，從而利用倍縮法進行求解.【詳解】先從丙、丁、戊3人中選2人，有種，再把4人排列滿足甲在前、乙在后，有，∴總共有種．故選：C二、填空題6．（2022·全國·高三專題練習）一張節(jié)目單上原有8個節(jié)目，現(xiàn)臨時再插入A，B，C三個新節(jié)目，如果保持原來8個節(jié)目的相對順序不變，節(jié)目B要排在另外兩個新節(jié)目之間（也可以不相鄰），則有__________種不同的插入方法．（用數(shù)字作答）【答案】330【分析】法1：先選后排，進行求解；法2：用消序法進行求解.【詳解】法1：第一步，從11個位置中選3個位置，共有種方法；第二步，三個位置中節(jié)目B位置確定，節(jié)目A，C的順序為，由分步計數(shù)原理可得共有種方法.法2：先插入節(jié)目A，再插入節(jié)目B，最后插入節(jié)目C，共有：種，其中節(jié)目B與兩個新節(jié)目的位置關(guān)系有3種，由消序法可得總數(shù)為.故答案為：3307．（2022·全國·高三專題練習）某公司在元宵節(jié)組織了一次猜燈謎活動，主持人事先將10條不同燈謎分別裝在了如圖所示的10個燈籠中，猜燈謎的職員每次只能任選每列最下面的一個燈籠中的謎語來猜（無論猜中與否，選中的燈籠就拿掉），則這10條燈謎依次被選中的所有不同順序方法數(shù)為____________.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】由題意可知，猜燈謎的職員每次只能任選每列最下面的一個燈籠中的謎語來猜，所以本題是定序問題，故結(jié)合倍縮法即可求出結(jié)果.【詳解】一共有10條燈謎，共有種方法，由題意可知而其中按2，3，3，2組成的4列相對位置不變，所以結(jié)合倍縮法可知共有種，也即是這10條燈謎依次被選中的所有不同順序方法有種故答案為：.題型七：不平均分組問題一、單選題1．（2020·海南·高考真題）要安排3名學生到2個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（

）A．2種 B．3種 C．6種 D．8種【答案】C【分析】首先將3名學生分成兩個組，然后將2組學生安排到2個村即可.【詳解】第一步，將3名學生分成兩個組，有種分法第二步，將2組學生安排到2個村，有種安排方法所以，不同的安排方法共有種故選：C【點睛】解答本類問題時一般采取先組后排的策略.2．（2023·全國·高三專題練習）為有效阻斷新冠肺炎疫情傳播徐徑，構(gòu)筑好免疫屏障，從2022年1月13日開始，某市啟動新冠病毒疫苗加強針接種工作，凡符合接種第三針條件的市民，要求盡快接種.該市有3個疫苗接種定點醫(yī)院，現(xiàn)有8名志愿者將被派往這3個醫(yī)院協(xié)助新冠疫苗接種工作，每個醫(yī)院至少2名至多4名志愿者，則不同的安排方法共有（

）A．2940種 B．3000種 C．3600種 D．5880種【答案】A【分析】分組分配問題需要考慮重復；依題意要先分類，因為8個人分成3組人數(shù)上有不同的分法，再分配.【詳解】根據(jù)題意，這8名志愿者人數(shù)分配方案共有兩類：第一類是2，2，4，第二類是3，3，2，故不同的安排方法共有種；故選：A.3．（2022·全國·高三專題練習）學校要安排2名班主任，3名科任老師共五人在本校以及另外兩所學校去監(jiān)考，要求在本校監(jiān)考的老師必須是班主任，且每個學校都有人去，則有（

）種不同的分配方案．A．18 B．20 C．28 D．34【答案】D【分析】首先分類，即本校監(jiān)考分為1人和2人，在分類的基礎上分配或分組.【詳解】根據(jù)本校監(jiān)考人數(shù)分為：本校1人監(jiān)考，另外4人分配給兩所學校，有2，2和3，1兩種分配方案，所以總數(shù)為：；本校2人監(jiān)考，另外3人分配給兩所學校，有2，1一種分配方案，所以總數(shù)為：，根據(jù)分類計數(shù)原理，所有分配方案總數(shù)為28+6=34；故選：D.4．（2023·四川瀘州·瀘縣五中校考二模）2022年北京冬奧會和冬殘奧會給世界人民留下了深刻的印象，其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融的設計好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結(jié)合．為了弘揚奧林匹克精神，某學校安排甲、乙等5名志愿者將吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安裝在學校的體育廣場，每人參與且只參與一個吉祥物的安裝，每個吉祥物都至少由兩名志愿者安裝．若甲、乙必須安裝不同的吉祥物，則不同的分配方案種數(shù)為（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】先安排甲乙兩人，然后剩余3人分兩組，一組1人，一組2人，先分組后安排即可．【詳解】甲和乙必須安裝不同的吉祥物，則有種情況，剩余3人分兩組，一組1人，一組2人，有，然后分配到參與兩個吉祥物的安裝，有，則共有種，故選：．5．（2022·全國·高三專題練習）某醫(yī)院分配3名醫(yī)生6名護士緊急前往三個小區(qū)協(xié)助社區(qū)做核酸檢測.要求每個小區(qū)至少一名醫(yī)生和至少一名護士.問共有多少種分配方案？（

）A．3180 B．3240 C．3600 D．3660【答案】B【分析】分三種情況進行分類討論，依據(jù)先分組再分配原則解決“至少”問題.【詳解】每個小區(qū)至少一名護士，則把護士分為3組，共有3種情況：1,1,4；1,2,3；2,2,2把護士分為3組，3組人數(shù)分別為1,1,4，共有種分法，再分配給3個小區(qū)，有種分法.每個小區(qū)1名醫(yī)生有種分法，則分配方案數(shù)為；把護士分為3組，3組人數(shù)分別為1,2,3，共有種分法，再分配給3個小區(qū)，有種分法.每個小區(qū)1名醫(yī)生有種分法，則分配方案數(shù)為；把護士分為3組，3組人數(shù)分別為2,2,2，共有種分法，再分配給3個小區(qū)，有種分法.每個小區(qū)1名醫(yī)生有種分法，則分配方案數(shù)為綜上，分配方案總數(shù)為故選：B6．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）2022年8月某市組織應急處置山火救援行動，現(xiàn)從組織好的5支志愿團隊中任選1支救援物資接收點服務，另外4支志愿團隊分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾”三個不同項目，每支志愿團隊只能分配到1個項目，且每個項目至少分配1個志愿團隊，則不同的分配方案種數(shù)為（

）A．36 B．81 C．120 D．180【答案】D【分析】先從5支志愿團隊中任選1支救援物資接收點服務，再將4支志愿團隊分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾”三個不同項目，最后根據(jù)分步乘法原理求解即可.【詳解】先從5支志愿團隊中任選1支救援物資接收點服務，有種不同的選派方案，再將剩下的4支志愿團隊分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾”三個不同項目，有種不同的選派方案，所以，根據(jù)分步乘法原理，不同的安排方案有種.故選：.題型八：平均分組問題一、單選題1．（2022秋·江蘇常州·高三校考階段練習）由1，2，3，4，5組成的沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，從中任意抽取一個，則其恰好為“前3個數(shù)字保持遞減，后3個數(shù)字保持遞增”（如五位數(shù)“43125”，前3個數(shù)字“431”保持遞減，后3個數(shù)字“125”保持遞增）的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)已知條件“定位”中間數(shù)字，其次在剩余的四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字，放置在首或末位，則其余數(shù)字排列方式唯一確定.最后由古典概型計算公式即可得解【詳解】由1，2，3，4，5組成的沒有重復數(shù)字的五位數(shù)共個，前3個數(shù)字保持遞減，后3個數(shù)字保持遞增，說明中間數(shù)字為1；在剩余的四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字，按照遞減順序,僅有一種排列方式放置在首兩位（或末兩位），則剩余兩位數(shù)字排列方式唯一確定，放置在最后兩位（或首兩位）.因此“前3個數(shù)字保持遞減，后3個數(shù)字保持遞增”的五位數(shù)有個，所以所求的概率．故選：A．2．（2023·全國·高三專題練習）2021年是鞏固脫貧攻堅成果的重要一年，某縣為響應國家政策，選派了6名工作人員到、、三個村調(diào)研脫貧后的產(chǎn)業(yè)規(guī)劃，每個村至少去1人，不同的安排方式共有（

）A．630種 B．600種 C．540種 D．480種【答案】C【分析】先把把6名工作人員分成三組，再安排到三個村，即先分組，再排列.【詳解】把6名工作人員分成1,1,4三組，再安排到三個村有：種；把6名工作人員分成2,2,2三組，再安排到三個村有：種；把6名工作人員分成1,2,3三組，再安排到三個村有：種；所以共有90+90+360=540種.故選：C.【點睛】計數(shù)問題解題要先區(qū)分：1、先分步還是先分類.2、是排列還是組合．3．（2023·全國·高三專題練習）已知有5個不同的小球，現(xiàn)將這5個球全部放入到標有編號1、2、3、4、5的五個盒子中，若裝有小球的盒子的編號之和恰為11，則不同的放球方法種數(shù)為（

）A．150 B．240 C．390 D．1440【答案】C【分析】分析可得可以將5個球放到編號2、4、5的三個盒子中或者放到編號1、2、3、5的四個盒子中，分別計算每種放球方法種數(shù)，再利用分類相加計數(shù)原理可求得結(jié)果.【詳解】因為或所以5個球放到編號2、4、5的三個盒子中或者放到編號1、2、3、5的四個盒子中（1）5個球放到編號2、4、5的三個盒子中，因為每個盒子中至少放一個小球，所以在三個盒子中有兩種方法：各放1個，2個，2個的方法有種.各放3個，1個，1個的方法有種.（2）5個球放到編號1、2、3、5的四個盒子中，則各放2個，1個，1個，1個的方法有種.綜上，總的放球方法數(shù)為種.故選：C【點睛】易錯點睛：本題考查排列組合的部分均勻分組，解題時一定要注意不要重復，有n組均勻，最后一點要除以，考查學生的邏輯思維能力與運算求解能力，屬于中檔題.4．（2022·吉林·東北師大附中校考模擬預測）將4名大學生平均分成兩組，安排到甲、乙兩所中學進行教學實習，并推選甲校張老師、乙校李老師作為指導教師，則不同的實習安排方案共有（

）A．24種 B．12種 C．6種 D．10種【答案】C【分析】均勻分組的計算公式，分組后進行分配，即可得解.【詳解】對四人均勻分為兩組共有：，再將兩組與甲、乙兩校全排列共有：，所以不同的實習安排方案.故選：C.二、填空題5．（2023春·四川宜賓·高三四川省宜賓市第四中學校校考開學考試）為了做好新冠肺炎疫情常態(tài)化防控工作，推進疫苗接種進度，降低新冠肺炎感染風險，某醫(yī)院準備將2名醫(yī)生和6名護士分配到2所學校，設立疫苗接種點，免費給學校老師和學生接種新冠疫苗，若每所學校分配1名醫(yī)生和3名護士，則不同的分配方法共有______種.【答案】40【分析】任選1名醫(yī)生和3名護士，將醫(yī)護人員分成兩組安排到2所學校即可.【詳解】1、選1名醫(yī)生和3名護士的方法數(shù)為種；2、由第一步得到兩組醫(yī)護人員，將其安排到2所學校的方法數(shù)為種.所以不同的分配方法共有種.故答案為：40三、解答題6．（2022·全國·高三專題練習）設有99本不同的書（用排列數(shù)、組合數(shù)作答）.(1)分給甲、乙、丙3人，甲得96本，乙得2本，丙得1本，共有多少種不同的分法？(2)分給甲、乙、丙3人，甲得93本，乙、丙各得3本，共有多少種不同的分法？(3)平均分給甲、乙、丙3人，共有多少種不同的分法？(4)分給甲、乙、丙3人，一人得96本，一人得2本，一人得1本，共有多少種不同的分法？(5)分給甲、乙、丙3人，一人得93本，另兩人各得3本，共有多少種不同的分法？(6)分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，共有多少種不同的分法？(7)平均分成3份，共有多少種不同的分法？(8)分成3份，一份93本，另兩份各3本，共有多少種不同的分法？【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【分析】（1）甲得96本，有方法種；乙得2本，有方法種；丙得1本有方法1種，列出式子即可；（2）和（1）類似，定向分配，分好組即可，不同的分法共有種；（3）先均分為3份，再將3份分配給3個人，不同的分法共有種；（4）先把99本不同的書分成3份，一份96本，一份2本，一份1本；再將甲、乙、丙3人全排列，這是因為3人中誰都有得到96本、2本、1本的可能，再列出式子即可；（5）99本不同的書，分給甲、乙、丙3人，一人得93本，另兩人各得3本，3人中，誰都有得到93本的可能，列出式子即可；（6）99本不同的書，分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，3份的數(shù)量互不相同，列出式子即可；（7）99本不同的書，平均分成3份，每份33本.本問題是典型的平均分組問題，要排除重復，列出式子即可；（8）99本不同的書，分成3份，一份93本，另兩份各3本，兩份3本的有重復，根據(jù)分析列出式子即可.（1）甲得96本，有方法種；乙得2本，有方法種；丙得1本.有方法1種，不同的分法共有（種）；（2）與（1）類似，不同的分法共有（種）；（3）先平均分為3組，種分組方式，再分配給3個人，得到不同的分法共有種；（4）先把99本不同的書分成3份，一份96本，一份2本，一份1本；再將甲、乙、丙3人全排列，這是因為3人中誰都有得到96本、2本、1本的可能，不同的分法共有（種）；（5）99本不同的書，分給甲、乙、丙3人，一人得93本，另兩人各得3本，3人中，誰都有得到93本的可能，不同的分法共有（種）.（6）99本不同的書，分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，3份的數(shù)量互不相同，不同的分法共有（種）；（7）99本不同的書，平均分成3份，每份33本.本問題是典型的平均分組問題，要排除重復，不同的分法共有（種）（8）99本不同的書，分成3份，一份93本，另兩份各3本，兩份3本的有重復，不同的分法共有（種）題型九：分類分步問題一、單選題1．（2023春·廣東珠海·高三珠海市第一中學校考階段練習）某校有5名大學生打算前往觀看冰球，速滑，花滑三場比賽，每場比賽至少有1名學生且至多2名學生前往，則甲同學不去觀看冰球比賽的方案種數(shù)有（

）A．48 B．54 C．60 D．72【答案】C【分析】先分組，再考慮甲的特殊情況.【詳解】將5名大學生分為1-2-2三組，即第一組1個人，第二組2個人，第三組2個人，共有種方法；由于甲不去看冰球比賽，故甲所在的組只有2種選擇，剩下的2組任意選，所以由種方法；按照分步乘法原理，共有種方法；故選：C.2．（2022秋·四川宜賓·高三宜賓市敘州區(qū)第一中學校校考階段練習）有4名大學生志愿者參加2022年北京冬奧會志愿服務.冬奧會志愿者指揮部隨機派這4名志愿者參加冰壺、短道速滑、花樣滑冰3個項目比賽的志愿服務，則每個項目至少安排一名志愿者進行志愿服務的概率（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先將4人分成3組，其一組有2人，然后將3個項目進行排列，可求出每個項目至少安排一名志愿者進行志愿服務的方法數(shù)，再求出4名志愿者參加3個項目比賽的志愿服務的總方法數(shù)，再利用古典概型的概率公式求解即可【詳解】先將4人分成3組，其一組有2人，另外兩組各1人，共有種分法，然后將3個項目全排列，共有種排法，所以每個項目至少安排一名志愿者進行志愿服務的方法數(shù)為種，因為4名志愿者參加3個項目比賽的志愿服務的總方法數(shù)種，所以每個項目至少安排一名志愿者進行志愿服務的概率為，故選：D3．（2022秋·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學校考期末）志愿團安排去甲?乙?丙?丁四個精準扶貧點慰問的先后順序，一位志愿者說：不能先去甲，甲的困難戶最多；另一位志愿者說：不能最后去丁，丁離得最遠.他們共有多少種不同的安排方法（

）A．14 B．12 C．24 D．28【答案】A【分析】由去丁扶貧點的先后順序入手利用加法原理求出結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)題意丁扶貧點不能是最后一個去，有以下兩類安排方法：①丁扶貧點最先去，有種安排方法；②丁扶貧點安排在中間位置去，有種安排方法，綜合①②知共有種安排方法.故選：A.4．（2023·全國·高三專題練習）為有效防范新冠病毒蔓延，國內(nèi)將有新型冠狀肺炎確診病例地區(qū)及其周邊劃分為封控區(qū)?管控區(qū)?防范區(qū).為支持某地新冠肺炎病毒查控，某院派出醫(yī)護人員共5人，分別派往三個區(qū)，每區(qū)至少一人，甲?乙主動申請前往封控區(qū)或管控區(qū)，且甲?乙恰好分在同一個區(qū)，則不同的安排方法有（

）A．12種 B．18種 C．24種 D．30種【答案】C【分析】利用分類加法、分步乘法計數(shù)原理，結(jié)合排列組合知識進行求解.【詳解】若甲乙和另一人共3人分為一組，則有種安排方法；若甲乙兩人分為一組，另外三人分為兩組，一組1人，一組兩人，則有種安排方法，綜上：共有12+12=24種安排方法.故選：C5．（2022·全國·高三專題練習）小林同學喜歡吃4種堅果：核桃?腰果?杏仁?榛子，他有5種顏色的“每日堅果”袋.每個袋子中至少裝1種堅果，至多裝4種堅果.小林同學希望五個袋子中所裝堅果種類各不相同，且每一種堅果在袋子中出現(xiàn)的總次數(shù)均為偶數(shù)，那么不同的方案數(shù)為（

）A．20160 B．20220 C．20280 D．20340【答案】A【分析】設出核桃、腰果、杏仁、榛子為H，Y，X，Z，分類討論求出分堆情況，再進行排列，求出最后答案.【詳解】依次記核桃、腰果、杏仁、榛子為H，Y，X，Z，則每個字母出現(xiàn)2次或4次，分類計算分堆可能：（1）H，H；Y，Y；X，X；Z，Z.若是“8=4+1+1+1+1”，則其中的“4”必須是HYXZ，故1種可能；若是“8=3+2+1+1+1”，則考慮（HYX）（Z※）（※）（※），故有種可能；若是“8=1+1+2+2+2”，則考慮（Z）（X）（Z※）（X※）（※※），故有種可能；小計：1+12+12=25；（2）諸如“H，H，H，H；Y，Y；X，X；Z，Z”類型若是“10=4+3+1+1+1”，則四個H無論怎么安排，都會出現(xiàn)某兩個袋僅放H，故0種可能；若是“10=4+2+2+1+1”，則“1+1”中有一個是H，“4+2+2”中各一個H，“2+2”中除了一個H外，另一個互異，故有種可能；若是“10=3+3+2+1+1”，則“1+1”中各有1個H，“3+3+2”中各一個H，可以考慮含※模式，（H※※）（H※※）（H※）（※）（H），故有種可能；若是“10=3+2+2+2+1”，則可用下表進一步分類，有1+種可能；YXZH※H※H※HH※※H※H※H※※H※H※※※H若是“10=2+2+2+2+2”，則四個H至少有兩個出現(xiàn)搭配相同，故0種可能；小計：；（3）諸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X；Z，Z”類型若是“12=4+4+2+1+1”，則“4+4”必然重復，故0種可能；若是“12=4+3+3+1+1”，則枚舉“3+3”的情況，發(fā)現(xiàn)僅（HYXZ）（HYZ）（HYX）（Z）（X）可能；若是“12=4+3+2+2+1”，則考慮（HYXZ）（HY※）（※※）（※※）（※）或（HYXZ）（XZ※）（※※）（※※）（※），故有種可能；若是“12=3+3+3+2+1”，則有（HYX）（HYZ）（ZXH）（HY）（Y）或（HYX）（HYZ）（ZXY）（HY）（H）都成立，有2種可能；若是“12=3+3+2+2+2”，則枚舉“3+3”的情況，發(fā)現(xiàn)（HYX）（HYZ）（HY）（H※）（Y※），有2種可能.小計；諸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z”類型若是“14=4+4+*+*+*”，則“4+4”必然重復，故0種可能；若是“14=4+3+3+3+1”，則“4+3+3+3”中至少有3個Z，故0種可能；若是“14=4+3+3+2+2”，則“4+3+3”至少有2個Z，考慮（HYXZ）（HYX）（Z※※）（※※）（※※），其中Z※※有種可能，故此小類有3種可能；若是“14=3+3+3+3+2”，則“3+3+3+3”中至少有3個Z，故0種可能；小計；（5）“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z，Z，Z”只有“16=4+3+3+3+3”的搭配，有1種可能；綜上：共有25+76+54+12+1=168個分堆可能，故不同的方案數(shù)為=種.故選：A【點睛】比較復雜一些的排列組合問題，要結(jié)合分類加法原理和分步乘法原理進行求解，特別是分類標準，要做到不重不漏，本題中，應用的是把8,10,12,14,16分為5個數(shù)（從1到4）的和的分類標準，可以做到不重不漏.6．（2022·全國·高三專題練習）有6本不同的書，按下列方式進行分配，其中分配種數(shù)正確的是（

）A．分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有15種分法；B．分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有180種分法；C．分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，共有90種分法；D．分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法；【答案】D【分析】根據(jù)題意，分別按照選項說法列式計算驗證即可做出判斷.【詳解】選項A，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有種分配方法，故該選項錯誤；選項B，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，一人4本，另兩人各1本，先將6本書分成4-1-1的3組，再將三組分給甲乙丙三人，有種分配方法，故該選項錯誤；選項C，6本不同的書分給甲乙每人各2本，有種方法，其余分給丙丁每人各1本，有種方法，所以不同的分配方法有種，故該選項錯誤；選項D，先將6本書分為2-2-1-1的4組，再將4組分給甲乙丙丁4人，有種方法，故該選項正確.故選：D.二、多選題7．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在某城市中，、兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中、、、是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的個交匯處.今在道路網(wǎng)、處的甲、乙兩人分別要到、處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達、處為止.則下列說法正確的是（

）A．甲從到達處的方法有種B．甲從必須經(jīng)過到達處的方法有種C．甲、乙兩人在處相遇的概率為D．甲、乙兩人相遇的概率為【答案】BCD【解析】利用組合計數(shù)原理可判斷A選項的正誤；利用分步乘法計數(shù)原理結(jié)合組合計數(shù)原理可判斷B選項的正誤；計算出乙經(jīng)過處的走法種數(shù)，利用古典概型的概率公式可判斷C選項的正誤；計算出甲、乙兩人相遇的走法種數(shù)，利用古典概型的概率公式可判斷D選項的正誤.【詳解】A選項，甲從到達處，需要走步，其中有步向上走，步向右走，則甲從到達處的方法有種，A選項錯誤；B選項，甲經(jīng)過到達處，可分為兩步：第一步，甲從經(jīng)過需要走步，其中步向右走，步向上走，方法數(shù)為種；第二步，甲從到需要走步，其中步向上走，步向右走，方法數(shù)為種.甲經(jīng)過到達的方法數(shù)為種，B選項正確；C選項，甲經(jīng)過的方法數(shù)為種，乙經(jīng)過的方法數(shù)也為種，甲、乙兩人在處相遇的方法數(shù)為，甲、乙兩人在處相遇的概率為，C選項正確；D選項，甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在、、、處相遇，若甲、乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過處，則甲的前三步必須向上走，乙經(jīng)過處，則乙的前三步必須向左走，兩人在處相遇的走法種數(shù)為種；若甲、乙兩人在處相遇，由C選項可知，走法種數(shù)為種；若甲、乙兩人在處相遇，甲到處，前三步有步向右走，后三步只有步向右走，乙到處，前三步有步向下走，后三步只有步向下走，所以，兩人在處相遇的走法種數(shù)為種；若甲、乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過處，則甲的前三步必須向右走，乙經(jīng)過處，則乙的前三步必須向下走，兩人在處相遇的走法種數(shù)為種；故甲、乙兩人相遇的概率，D選項正確.故選：BCD.【點睛】結(jié)論點睛：本題考查格點問題，解決這類問題可利用如下結(jié)論求解：在平面直角坐標系中，從到，每次只能向右或向上走一步，一共要走步，其中有步向上走，步向右走，走法種數(shù)為（或）種.三、填空題8．（2022·全國·高三專題練習）有一道樓梯共10階，小王同學要登上這道樓梯，登樓梯時每步隨機選擇一步一階或一步兩階，小王同學7步登完樓梯的概率為___________.【答案】【分析】由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，分別求出每種的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率公式計算可得；【詳解】解：由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，①步：即步兩階，有種；②步：即步兩階與步一階，有種；③步：即步兩階與步一階，有種；④步：即步兩階與步一階，有種；⑤步：即步兩階與步一階，有種；⑥步：即步一階，有種；綜上可得一共有種情況，滿足7步登完樓梯的有種；故7步登完樓梯的概率為故答案為：題型十：部分平均分組問題一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）安排5名大學生到三家企業(yè)實習，每名大學生只去一家企業(yè)，每家企業(yè)至少安排1名大學生，則大學生甲、乙到同一家企業(yè)實習的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】5名大學生分三組，每組至少一人，有兩種情形，分別為2,2,1人或3,1,1人，根據(jù)排列組合得出各自有多少種，再得出甲、乙到同一家企業(yè)實習的情況有多少種，即可計算得出答案.【詳解】5名大學生分三組，每組至少一人，有兩種情形，分別為2,2,1人或3,1,1人；當分為3,1,1人時，有種實習方案，當分為2,2,1人時，有種實習方案，即共有種實習方案，其中甲、乙到同一家企業(yè)實習的情況有種，故大學生甲、乙到同一家企業(yè)實習的概率為，故選：D.2．（2022·全國·高三專題練習）某社區(qū)服務站將5名志愿者分到3個不同的社區(qū)參加活動，要求每個社區(qū)至少1人，不同的分配方案有（

）A．360種 B．300種 C．90種 D．150種【答案】D【分析】先分類，分為3個社區(qū)的志愿者人數(shù)分別為3,1,1或2,2,1，再求出兩種情況下的不同分配方案，注意部分平均分組問題.【詳解】若3個社區(qū)的志愿者人數(shù)分別為3,1,1，此時不同的分配方案有種，若3個社區(qū)的志愿者人數(shù)分別為2,2,1，此時不同的分配方案有種，綜上：不同的分配方案有60+90=150種.故選：D3．（2022·全國·高三專題練習）當前，新冠肺炎疫情進入常態(tài)化防控新階段，防止疫情輸入的任務依然繁重，疫情防控工作形勢依然嚴峻、復雜．某地區(qū)安排A，B，C，D，E五名同志到三個地區(qū)開展防疫宣傳活動，每個地區(qū)至少安排一人，且A，B兩人安排在同一個地區(qū)，C，D兩人不安排在同一個地區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（

）A．30種 B．36種 C．42種 D．64種【答案】A【分析】由題意可得，分兩個地區(qū)各分2人，另一個地區(qū)分1人和兩個地區(qū)各分1人，另一個地區(qū)分3人兩種情況，對兩種情況的種數(shù)求和，即可求解．【詳解】解：①當兩個地區(qū)各分2人，另一個地區(qū)分1人時，總數(shù)有種；②當兩個地區(qū)各分1人，另一個地區(qū)分3人時，總數(shù)有種．故滿足條件的分法共有種．故選：A4．（2022·全國·高三專題練習）為提高新農(nóng)村的教育水平，某地選派4名優(yōu)秀的教師到甲?乙?丙三地進行為期一年的支教活動，每人只能去一個地方，每地至少派一人，則不同的選派方案共有（

）A．18種 B．12種 C．72種 D．36種【答案】D【分析】先將4名教師分為3組，然后再分別派到甲?乙?丙三地，即可得解.【詳解】解：4名教師分為3組，有種方法，然后再分別派到甲?乙?丙三地，共有種方案，所以共有36種選派方案.故選：D.5．（2022·全國·高三專題練習）為落實立德樹人的根本任務，踐行五育并舉，某學校開設A，B，C三門德育校本課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學參加校本課程的學習，每位同學僅報一門，每門至少有一位同學參加，則不同的報名方法有（

）A．54種 B．240種 C．150種 D．60種【答案】C【分析】根據(jù)已知對五位同學分3組，有兩種情況，然后分類討論各自情況種數(shù)，采用加法原理即可求解.【詳解】根據(jù)題意，甲、乙、丙、丁、戊五位同學選A，B，C三門德育校本課程，每位同學僅報一門，每門至少有一位同學參加，需要分三組，有兩類情況，①三組人數(shù)為1、1、3，此時有種；②三組人數(shù)為2、2、1，此時有種.所以共有60+90=150種.故選：C二、多選題6．（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中學校考階段練習）已知編號為1，2，3的三個盒子，其中1號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號盒子內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球．若第一次先從1號盒子內(nèi)隨機抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的盒子中，第二次從該盒子中任取一個球，則下列說法正確的是（

）A．在第一次抽到2號球的條件下，第二次抽到1號球的概率為B．第二次抽到3號球的概率為C．如果第二次抽到的是1號球，則它來自2號盒子的概率最大D．如果將5個不同的小球放入這三個盒子內(nèi)，每個盒子至少放1個，則不同的放法有300種【答案】AB【分析】計算條件概率判斷A；利用全概率公式計算判斷B；利用貝葉斯公式求解判斷C；求出不同元素的分組分配種數(shù)判斷D作答.【詳解】記第一次抽到第i號球的事件分別為，則有，對于A，在第一次抽到2號球的條件下，則2號球放入2號盒子內(nèi)，因此第二次抽到1號球的概率為，A正確；對于B，記第二次在第i號盒內(nèi)抽到3號球的事件分別為，而兩兩互斥，和為，，記第二次抽到3號球的事件為，，B正確；對于C，記第二次在第i號盒內(nèi)抽到1號球的事件分別為，而兩兩互斥，和為，，記第二次抽到1號球的事件為，，第二次的球取自盒子的編號與第一次取的球的號數(shù)相同，，，，即第二次抽到的是1號球，則它來自1號盒子的概率最大，C不正確；對于D，把5個不同的小球分成3組的不同分組方法數(shù)是種，將每一種分組方法分成的小球放在3個盒子中有種不同放法，由分步乘法計數(shù)原理得不同的放法種數(shù)是種，D不正確.故選：AB7．（2022·全國·高三專題練習）感動中國十大人物之一的張桂梅老師為了讓孩子走出大山，扎根基層教育默默奉獻精神感動了全中國.受張桂梅老師的影響，有位志愿者主動到所山區(qū)學校參加支教活動，要求每所學校至少安排一位志愿者，每位志愿者只到一所學校支教，下列結(jié)論正確的有（

）A．不同的安排方法數(shù)為B．若甲學校至少安排兩人，則有種安排方法C．小晗被安排到甲學校的概率為D．在小晗被安排到甲校的前提下，甲學校安排兩人的概率為【答案】AC【分析】利用分組分配原理可判斷A選項；利用特殊元素優(yōu)先考慮法可判斷B選項；利用古典概型的概率公式可判斷C選項；利用條件概率公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，將位志愿者分成組，每組至少一人，每組人數(shù)分別為、、或、、，再將這三組志愿者分配給個地區(qū)，不同的安排方法種數(shù)為種，A對；對于B選項，若甲學校至少安排兩人，則甲校安排人或人，則不同的安排方法種數(shù)為種，B錯；對于C選項，若小晗被安排到甲學校，則甲校可安排的人數(shù)為或或，由古典概型的概率公式可知，小晗被安排到甲學校的概率為，C對；對于D選項，記事件小晗被安排到甲校，事件甲學校安排兩人，則，，由條件概率公式可得，D錯.故選：AC.三、填空題8．（2022·全國·高三專題練習）將4名志愿者分配到3個不同的北京冬奧場館參加接待工作，每個場館至少分配一名志愿者的方案種數(shù)為________．（用數(shù)字作答）【答案】36【分析】先將4人分成2、1、1三組，再安排給3個不同的場館，由分步乘法計數(shù)原理可得.【詳解】將4人分到3個不同的體育場館，要求每個場館至少分配1人，則必須且只能有1個場館分得2人，其余的2個場館各1人，可先將4人分為2、1、1的三組，有種分組方法，再將分好的3組對應3個場館，有種方法，則共有種分配方案.故答案為：36題型十一：特殊位置法一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習）將編號為的小球放入編號為的小盒中，每個小盒放一個小球.則恰有一個小球與所在盒子編號相同的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出任意放球共有種方法，再求出恰有一個小球與所在盒子編號相同的方法總數(shù)，最后利用古典概型的概率公式求解.【詳解】解：由題得任意放球共有種方法，如果有一個小球與所在的盒子的編號相同，第一步：先從5個小球里選一個編號與所在的盒子相同，有種選法；第二步：不妨設選的是1號球，則再對后面的2,3,4,5進行排列，且四個小球的編號與盒子的編號一個都不相同，假設2號盒子里放3號球，則有三種，所以后面的小球的排列共有種方法.所以剩下的四個球共有種方法.由古典概型的概率公式得恰有一個小球與所在盒子編號相同的概率為故選：A2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）過去的一年，我國載人航天事業(yè)突飛猛進，其中航天員選拔是載人航天事業(yè)發(fā)展中的重要一環(huán).已知航天員選拔時要接受特殊環(huán)境的耐受性測試，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飛行、飛行跳傘、著陸沖擊五項.若這五項測試每天進行一項，連續(xù)5天完成.且前庭功能和失重飛行須安排在相鄰兩天測試，超重耐力和失重飛行不能安排在相鄰兩天測試，則選拔測試的安排方案有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．60種【答案】B【分析】根據(jù)特殊元素“失重飛行”進行位置分類方法計算，結(jié)合排列組合等計數(shù)方法，即可求得總的測試的安排方案種數(shù).【詳解】①若失重飛行安排在第一天則前庭功能安排第二天，則后面三天安排其他三項測試有種安排方法，此情況跟失重飛行安排在第五天則前庭功能安排第四天安排方案種數(shù)相同；②若失重飛行安排在第二天，則前庭功能有種選擇，超重耐力在第四、第五天有種選擇，剩下兩種測試全排列，則有種安排方法，此情況與失重飛行安排在第四天方安排方案種數(shù)相同；③若失重飛行安排在第三天，則前庭功能有種選擇，超重耐力在第一、第五天有種選擇，剩下兩種測試全排列，則有種安排方法；故選拔測試的安排方案有種.故選：B.3．（2022·全國·高三專題練習）公元五世紀，數(shù)學家祖沖之估計圓周率的范圍是：，為紀念祖沖之在圓周率方面的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數(shù)學的偉大成就．小明是個數(shù)學迷，他在設置手機的數(shù)字密碼時，打算將圓周率的前6位數(shù)字3，1，4，1，5，9進行某種排列得到密碼．如果排列時要求數(shù)字9不在最后一位，那么小明可以設置的不同密碼有（

）個．A．600 B．300 C．360 D．180【答案】B【分析】分最后一位為1、不為1兩種情況，結(jié)合特殊位置法、插空法、捆綁法及排列組合數(shù)對不同情況計數(shù)，即可得答案.【詳解】當最后一位為1時，共有種；當最后一位不為1時，在3、4、5任選一個放最后有種，把余下2個數(shù)字與9全排有種，將兩個1插入4個空中的2個有種，或兩個1捆綁插入4個空中的1個有種，共有種；綜上，共有種.故選：B4．（2021·全國·高三專題練習）某班級班委包括4名女生和2名男生，要從中抽選2名女生和1名男生參與畢業(yè)典禮志愿者工作，并把他們安排在3個不同的崗位，其中崗位不安排男生，則不同的安排方式種數(shù)為（

）A．72 B．48 C．36 D．24【答案】B【分析】先抽取2名女生和1名男生，再把他們安排在3個不同的崗位上，減去男生安排在崗位的情形，即可得答案【詳解】解：先抽取2名女生和1名男生，共有種，再把他們安排在3個不同的崗位上，減去男生安排在崗位的情形，則不同的安排方式有種．故選：B5．（2023·全國·高三專題練習）開學伊始，甲?乙?丙?丁四名校長分別去南校門，北校門和東校門組織迎接新生工作，要求每個校門至少安排一名校長，且甲校長必須安排到南校門，則不同的安排方式有（

）A．6種 B．12種 C．15種 D．18種【答案】B【分析】考慮南校門的人數(shù)有2種情況，對南校門的人數(shù)分類討論求解即可.【詳解】由題，安排四名校長去三個校門，每個校門至少安排一名校長，且甲校長必須安排到南校門，則南校門的人數(shù)為1或2，當南校門有1人時，即甲校長，剩余3人安排在另2個校門，則種安排方式；當南校門有2人時，先在除甲校長外的3人中選出1人安排在南校門，再安排剩余2人去另2個校門，則種安排方式，所以共有種；故選：B二、填空題6．（2022·全國·高三專題練習）某班上午有五節(jié)課，分別安排語文、數(shù)學、英語、物理、化學各一節(jié)課，要求語文與化學相鄰，數(shù)學與物理不相鄰，且數(shù)學課不排第一節(jié)，則不同排課法的種數(shù)是___________．【答案】16【分析】根據(jù)題意，可分三步進行分析：（1）要求語文與化學相鄰，將語文與化學看成一個整體，考慮其順序；（2）將這個整體與英語全排列，排好后，有3個空位；（3）數(shù)學課不排第一行，有2個空位可選，在剩下的2個空位中任選1個，得數(shù)學、物理的安排方法，最后利用分步計數(shù)原理，即可求解．【詳解】根據(jù)題意，可分三步進行分析：（1）要求語文與化學相鄰，將語文與化學看成一個整體，考慮其順序，有種情況；（2）將這個整體與英語全排列，有中順序，排好后，有3個空位；（3）數(shù)學課不排第一行，有2個空位可選，在剩下的2個空位中任選1個，安排物理，有2種情況，則數(shù)學、物理的安排方法有種，所以不同的排課方法的種數(shù)是種，故答案為：16．題型十二：染色問題一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習）給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個區(qū)域進行染色，每個區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色.若有4種顏色可供選擇，則共有（

）種不同的染色方案.A．96 B．144 C．240 D．360【答案】A【分析】通過分析題目給出的圖形，可知要完成給圖中、、、、、六個區(qū)域進行染色，最少需要3種顏色，即同色，同色，同色，由排列知識可得該類染色方法的種數(shù)；也可以4種顏色全部用上，即，，三組中有一組不同色，同樣利用排列組合知識求解該種染法的方法種數(shù)，最后利用分類加法求和．【詳解】解：要完成給圖中、、、、、六個區(qū)域進行染色，染色方法可分兩類，第一類是僅用三種顏色染色，即同色，同色，同色，則從四種顏色中取三種顏色有種取法，三種顏色染三個區(qū)域有種染法，共種染法；第二類是用四種顏色染色，即，，中有一組不同色，則有3種方案不同色或不同色或不同色），先從四種顏色中取兩種染同色區(qū)有種染法，剩余兩種染在不同色區(qū)有2種染法，共有種染法．由分類加法原理得總的染色種數(shù)為種．故選：A．2．（2023·全國·高三專題練習）用四種顏色給正四棱錐的五個頂點涂色，要求每個頂點涂一種顏色，且每條棱的兩個頂點涂不同顏色，則不同的涂法有（

）A．72種 B．36種 C．12種 D．60種【答案】A【分析】列出表格，使用分類加法，分步乘法公式進行計算.【詳解】如下表頂點VABCD種數(shù)432C與A同色12C與A不同色11總計故選：A．3．（2023·全國·高三專題練習）如圖，湖北省分別與湖南、安徽、陜西、江西四省交界，且湘、皖、陜互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理列式計算作答.【詳解】依題意，按安徽與陜西涂的顏色相同和不同分成兩類：若安徽與陜西涂同色，先涂陜西有種方法，再涂湖北有種方法，涂安徽有1種方法，涂江西有種方法，最后涂湖南有3種方法，由分步計數(shù)乘法原理得不同的涂色方案種，若安徽與陜西不同色，先涂陜西有種方法，再涂湖北有種方法，涂安徽有3種方法，涂江西、湖南也各有種方法，由分步計數(shù)乘法原理得不同的涂色方案種方法，所以，由分類加法計數(shù)原理得不同的涂色方案共有種.故選：C4．（2023·全國·高三專題練習）有如下形狀的花壇需要栽種4種不同顏色的花卉，要求有公共邊界的兩塊不能種同種顏色的花，則不同的種花方式共有（

）A．96種 B．72種 C．48種 D．24種【答案】A【分析】如圖，由題意可知②，④同色，或者③，⑤同色，或者①，④同色，或者①，⑤同色，從而可求得結(jié)果【詳解】依題意可知，將區(qū)域標號如圖.用4種顏色的花卉完成栽種，需要②，④同色，或者③，⑤同色，或者①，④同色，或者①，⑤同色，故有種.故選：A二、多選題5．（2023·全國·高三專題練習）如圖，用4種不同的顏色，對四邊形中的四個區(qū)域進行著色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】選項ACD均可以對其每一步的方法數(shù)進行合理解釋，而選項B方法總數(shù)錯誤，不能對其每一步的方法數(shù)進行合理解釋.【詳解】選項A：表示先著色中間兩格下面一格.從4種顏色取3種，有個方法，上面一格，從與中間兩格不同的顏色中取出一個，有個方法，故共有個不同方法.正確；選項B：,方法總數(shù)不對.錯誤；選項C：表示先對中