第1課時等差數列一、知識要點1.等差數列的定義：．等差數列：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數就叫做等差數列的公差（常用字母“d”表示）⑴．公差d一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；⑵．對于數列{},若－=d(與n無關的數或字母)，n≥2，n∈N，則此數列是等差數列，d為公差2．等差數列的通項公式：【或】等差數列定義是由一數列相鄰兩項之間關系而得若一等差數列的首項是，公差是d，則據其定義可得：即：即：即：……由此歸納等差數列的通項公式可得：二、經典例題例1．若a≠b,數列a,x1,x2,b和數列a,y1,y2,b都是等差數列，則 （）A． B． C．1 D．例2．在等差數列中，公差＝1，＝8，則＝（） A．40 B．45 C．50 D．55例3．等差數列的前三項為，則這個數列的通項公式為 （）A． B．C． D．例4．等差數列{an}中，已知a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝33，則n為()A．48B．49C．50D．51例5.等差數列中，，，則通項；例6.首項為-24的等差數列，從第10項起開始為正數，則公差的取值范圍是______；例7．已知等差數列的首項為31,若此數列從第16項開始小于1，則此數列的公差d的取值范圍是 A．(－∞,－2)B．[－,－2]C．(－2,+∞)D．(—,－2)變式1.a1，a2，a3，a4成等差數列，且a1，a4為方程2x2-5x-2=0的兩根，則a2＋a3等于（）-1(B)、(C)-(D)不確定變式2.等差數列中，首項a1=,a8＞6,a7≤6,則此數列的公差d的取值范圍是（）(A)d＞(B)d＜(C)＜d＜(D)、＜d≤變式3.已知命題甲是“△ABC的一個內角B為60°”，命題乙是“△ABC的三個內角A、B、C成等差數列”，那么（）A．甲是乙的充分條件，但不是乙的必要條件B．甲是乙的必要條件，但不是乙的充分條件C、甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件，也不是必要條件3.等差數列的性質1：已知，則，注意：例如：，在等差數列中，等距離取出若干項也構成一個等差數列，即為等差數列，公差為.例8.已知數列為等差數列，，求，的值。例9.已知數列為等差數列，，求的值。變式4.等差數列{an}中，若a2+a4+a9+a11=32，則a6+a7=()（A）9（B）12（C）15（D）、16性質2：在等差數列中，為前n項和，為前2n項和，為前3n項和，則、、也是等差數列。例10.等差數列中，前n項和為10，前2n項和為40，求數列前3n項和為多少？例11.等差數列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為（）A.130 B.170 C.210 D.2603、等差數列的前和公式：，例12：設Sn是等差數列{an}的前n項和，a12＝－8，S9＝－9，則S16＝________.例13.在等差數列{an}中，S5＝28，S10=36，則S15等于（）A24

B．44C．64

D．80例14、數列中，，，前n項和，則＝＿，＝；例15、首項為18，公差為-3的等差數列，前n項和Sn取最大值時，n等于（）A．5或6

B．6C．7

D6或7變式5.已知數列{an}的通項公式為an=2n－49,則Sn達到最小值時,n的值是()（A）23（B）、24（C）25（D）26變式6.已知數列{an}滿足a1=2，an＋1－an＋1=0，(n∈N)，則此數列的通項an等于（）(A)n2＋1(B)n＋1(C)1－n(D)、3－n變式7.已知數列的通項公式是an＝2n-47，那么當Sn取最小值時，n＝_____練習1.數列是首項為23，公差為整數的等差數列，且第六項為正，第七項為負。 （1）求數列公差；（2）求前項和的最大值；（3）當時，求的最大值。練習2.在等差數列{an}中，Sm=Sn,則Sm+n的值為 （）（A）0（B）Sm+Sn（C）2(Sm+Sn)（D）練習3.在等差數列{an}中，Sp=q,Sq=q,Sp+q的值為 （）（A）p+q（B）-(p+q)（C）p2-q2（D）p2+q2等差數列解答題綜合運用

【例1】等差數列前10項的和為140，其中，項數為奇數的各項的和為125，求其第6項．解依題意，得解得a1=113，d=－22．∴其通項公式為an=113＋(n－1)·(－22)=－22n＋135∴a6=－22×6＋135＝3說明本題上邊給出的解法是先求出基本元素a1、d，再求其他的．這種先求出基本元素，再用它們去構成其他元素的方法，是經常用到的一種方法．在本課中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出an而即a6＝3．可見，在做題的時候，要注意運算的合理性．當然要做到這一點，必須以對知識的熟練掌握為前提．【例2】在兩個等差數列2，5，8，…，197與2，7，12，…，197中，求它們相同項的和．解由已知，第一個數列的通項為an＝3n－1；第二個數列的通項為bN=5N－3若am＝bN，則有3n－1＝5N－3若滿足n為正整數，必須有N＝3k＋1(k為非負整數)．又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以N＝1，4，7，…，40n=1，6，11，…，66∴兩數列相同項的和為2＋17＋32＋…＋197=1393【例3】選擇題：實數a，b，5a，7，3b，…，c組成等差數列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，則a，b，c的值分別為[]A．1，3，5 B．1，3，7C．1，3，99 D．1，3，9又∵14＝5a＋3b，∴a＝1，b＝3∴首項為1，公差為2∴a50=c=1＋(50－1)·2=99∴a＝1，b＝3，c＝99【例4】在1和2之間插入2n個數，組成首項為1、末項為2的等差數列，若這個數列的前半部分的和同后半部分的和之比為9∶13，求插入的數的個數．解依題意2＝1＋(2n＋2－1)d ①由①，有(2n＋1)d=1 ⑤∴共插入10個數．【例5】在等差數列{an}中，設前m項和為Sm，前n項和為Sn，且Sm＝Sn，m≠n，求Sm+n．且Sm＝Sn，m≠n∴Sm+n＝0【例6】已知等差數列{an}中，S3=21，S6=64，求數列｛|an|｝的前n項和Tn．d，已知S3和S6的值，解方程組可得a1與d，再對數列的前若干項的正負性進行判斷，則可求出Tn來．解方程組得：d＝－2，a1＝9∴an＝9＋(n－1)(n－2)＝－2n＋11其余各項為負．數列{an}的前n項和為：∴當n≤5時，Tn＝－n2＋10n當n＞6時，Tn＝S5＋|Sn－S5|＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn∴Tn＝2(－25＋50)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50說明根據數列{an}中項的符號，運用分類討論思想可求｛|an|｝的前n項和．【例7】在等差數列{an}中，已知a6＋a9＋a12＋a15＝34，求前20項之和．解法一由a6＋a9＋a12＋a15＝34得4a1＋38d＝34＝20a1＋190d＝5(4a1＋38d)=5×34=170由等差數列的性質可得：a6＋a15=a9＋a12＝a1＋a20∴a1＋a20=17S20＝170【例8】已知等差數列{an}的公差是正數，且a3·a7=－12，a4＋a6=－4，求它的前20項的和S20的值．解法一設等差數列{an}的公差為d，則d＞0，由已知可得由②，有a1＝－2－4d，代入①，有d2=4再由d＞0，得d＝2∴a1=－10最后由等差數列的前n項和公式，可求得S20＝180解法二由等差數列的性質可得：a4＋a6＝a3＋a7即a3＋a7＝－4又a3·a7=－12，由韋達定理可知：a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的二根解方程可得x1=－6，x2＝2∵d＞0∴{an}是遞增數列∴a3＝－6，a7=2【例9】等差數列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，若[]∵2a100＝a1＋a199，2b100＝b1＋b199解法二利用數列{an}為等差數列的充要條件：Sn＝an2＋bn可設Sn＝2n2k，Tn＝n(3n＋1)k說明該解法涉及數列{an}為等差數列的充要條件Sn=an2＋bn，由k是常數，就不對了．【例10】解答下列各題：(1)已知：等差數列{an}中a2＝3，a6＝－17，求a9；(2)在19與89中間插入幾個數，使它們與這兩個數組成等差數列，并且此數列各項之和為1350，求這幾個數；(3)已知：等差數列{an}中，a4＋a6＋a15＋a17＝50，求S20；(4)已知：等差數列{an}中，an=33－3n，求Sn的最大值．分析與解答a9=a6＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32(2)a1=19，an+2=89，Sn+2＝1350(3)∵a4＋a6＋a15＋a17=50又因它們的下標有4＋17＝6＋15=21∴a4＋a17=a6＋a15=25(4)∵an=33－3n∴a1＝30∵n∈N，∴當n=10或n=11時，Sn取最大值165．【例11】求證：前n項和為4n2＋3n的數列是等差數列．證設這個數列的第n項為an，前n項和為Sn．當n≥2時，an＝Sn－Sn-1∴an＝(4n2＋3n)－[4(n－1)2＋3(n－1)]=8n－1當n=1時，a1=S1=4＋3=7由以上兩種情況可知，對所有的自然數n，都有an=8n－1又an+1－an＝[8(n＋1)－1]－(8n－1)＝8∴這個數列是首項為7，公差為8的等差數列．說明這里使用了“an=Sn－Sn-1”這一關系．使用這一關系時，要注意，它只在n≥2時成立．因為當n＝1時，Sn-1=S0，而S0是沒有定義的．所以，解題時，要像上邊解答一樣，補上n＝1時的情況．【例12】證明：數列{an}的前n項之和Sn＝an2＋bn(a、b為常數)是這個數列成為等差數列的充分必要條件．由Sn＝an2＋bn，得當n≥2時，an＝Sn－Sn-1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)=2na＋b－aa1＝S1＝a＋b∴對于任何n∈N，an＝2na＋b－a且an－an-1=2na＋(b－a)－2(n－1)a－b＋a＝2a(常數)∴{an}是等差數列．若{an}是等差數列，則Sn=an2＋bn綜上所述，Sn=an2＋bn是{an}成等差數列的充要條件．說明由本題的結果，進而可以得到下面的結論：前n項和為Sn=an2＋bn＋c的數列是等差數列的充分必要條件是c＝0．事實上，設數列為{un}，則：【例13】等差數列{an}的前n項和Sn＝m，前m項和Sm＝n(m＞n)，求前m＋n項和Sm+n．解法一設{an}的公差d按題意，則有=－(m＋n)解法二設Sx＝Ax2＋Bx(x∈N)①－②，得A(m2－n2)＋B(m－n)＝n－m∵m≠n∴A(m＋n)＋B=－1故A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)即Sm+n＝－(m＋n)說明a1，d是等差數列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解的“整體化”思想，在解有關數列題目中值得借鑒．解法二中，由于是等差數列，由例22，故可設Sx=Ax2＋Bx．(x∈N)【例14】在項數為2n的等差數列中，各奇數項之和為75，各偶數項之和為90，末項與首項之差為27，則n之值是多少？解∵S偶項－S奇項=nd∴nd=90－75=15又由a2n－a1＝27，即(2n－1)d=27【例15】在等差數列{an}中，已知a1＝25，S9＝S17，問數列前多少項和最大，并求出最大值．解法一建立Sn關于n的函數，運用函數思想，求最大值．∵a1=25，S17＝S9解得d＝－2∴當n=13時，Sn最大，最大值S13＝169解法二因為a1=25＞0，d＝－2＜0，所以數列{an}是遞減等∵a1＝25，S9＝S