學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精課堂導學三點剖析1.用三角函數模型解決一些具有周期變化規律的實際問題【例1】某港口的水深y（米）是時間t(0≤t≤24,單位：小時）的函數，下面是水深數據:t（時）03691215182124y(米)10.013。09。97。010。013.010。17。010。0根據上述數據描出的曲線如下圖所示,經擬合，該曲線可近似地看成正弦函數y=Asinωt+b的圖象.(1)試根據以上數據,求出y=Asinωt+b的表達式；（2）一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離不少于4.5米時是安全的，如果某船的吃水深度（船底與水面的距離)為7米，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港,則在港內停留的時間最多不能超過多長時間(忽略進出港所用的時間）？思路分析：(1）從擬合曲線可知，函數y=Asinωt+b中的b，由t=0時的函數值取的，t=3時取得最大值，進而可求得ω、A、b的值,即得函數的表達式。(2）根據（1）中求得的函數表達式，求出數值不小于4。5+7=11.5（米）的時段，從而就可回答題中的兩問.解:(1）從擬合曲線可知：函數y=Asinωt+b在一個周期內由最大變到最小需9-3=6小時，此為半個周期，所以函數的最小正周期為12小時,因此=12，ω=.又∵當t=0時，y=10；當t=3時，ymax=13.∴b=10,A=13-10=3。于是所求的函數表達式為y=3sinx+10。(2）由于船的吃水深度為7米，船底與海底的距離不少于4。5米，故在船舶航行時水深y應大于等于7+4.5=11。5(米).由擬合曲線可知，一天24小時，水深y變化兩個周期,故要使船舶在一天內停留港口的時間最長，則應從凌晨3點前進港，而從第二個周期中的下午15點后離港.令y=3sinx+10≥11。5，可得sinx≥.∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z).∴12k+1≤x≤12k+5（k∈Z）。取k=0，則1≤x≤5；取k=1，則13≤x≤17。而取k=2時，則25≤x≤29(不合題意）.從而可知船舶要在一天之內在港口停留時間最長,就應從凌晨1點（1點到5點都可以）進港，而下午的17點（即13點到17點之間)前離港，在港內停留的時間最長為16小時。2.從實際問題中抽象出三角函數模型【例2】如右圖，某大風車的半徑為2m，每12s旋轉一周,它的最低點O離地面0.5m.風車圓周上一點A從最低點O開始,運動t（s)后與地面的距離為h（m）.（1）求函數h=f（t)的關系式;(2)畫出函數h=f(t）的圖象。解：（1)如下圖,以O為原點,過點O的圓的切線為x軸，建立直角坐標系。設點A的坐標為（x，y），則h=y+0.5.設∠OO1A=θ，則cosθ=，y=—2cosθ+2.又θ=×t，即θ=t,所以y=-2cost+2，h=f（t）=—2cost+2.5。(2）函數h=-2cost+2.5的圖象如下溫馨提示呈現周期性變化規律的實際問題的解決往往與三角函數有關。實際問題的背景往往比較復雜，具有很強的現實生活色彩,語言表達形式不同于常規訓練的簡單問題，因此在解決實際問題時要注意：（1）自變量的變化范圍。（2）數形結合，通過觀察圖形，獲得本質認識。（3）要在實際背景中抽取出基本的數學關系比較困難,因此要認真仔細地審題，多進行聯想，選用適當數學模型。3.絕對值對周期函數的影響【例3】畫出下列函數圖象并觀察其周期性.（1）y=sin｜x｜；（2）y=cos｜x｜.思路分析：本題中含有｜x｜,故應先對x進行分類討論去掉絕對值.根據絕對值的意義可知，x≥0的部分應是y=sinx,y=cosx右半平面的部分，由于這幾個函數都是偶函數，其圖象應關于y軸對稱，于是可作出x＜0部分的圖象。解:（1)y=sin｜x｜=其圖象如下圖所示：從圖中可以看出y=sin｜x｜不再是周期函數。(2）y=cos｜x｜=其圖象如下圖所示:從圖中可以看出y=cos|x｜仍是周期函數，其周期為2π,而且y=cos｜x｜的圖象與y=cosx的圖象相同.各個擊破類題演練1已知某海濱浴場的海浪高度y（米）是時間t（0≤t≤24,單位小時)的函數，記作:y=f（t).下表是某日各時的浪高數據:t(時)03691215182124y（米）1。51。00.51.01。510。50.991.5經長期觀測，y=f（t)的曲線可近似地看成是函數y=Acosωt+b。(1)根據以上數據,求出函數y=Acosωt+b的最小正周期T、振幅A及函數表達式；（2)依據規定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請根據（1）的結論，判斷一天內的上午8：00時至晚上20：00時之間,有多少時間可供沖浪者進行運動？解:(1）由上表中數據，知周期T=12。∴ω===。由t=0，y=1.5，得A+b=1.5。①由t=3,y=1。0，得b=1。0。②∴A=0。5,b=1,∴振幅為，∴y=cost+1.(2)由題知，當y＞1時才可對沖浪者開放，∴cost+1＞1,∴cost＞0.∴2kπ-＜t＜2kπ+，即12k—3＜t＜12k+3。③∵0≤t≤24,故可令③中k分別為0，1，2得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24。∴在規定時間上午8:00至晚上20:00之間，有6個小時時間可供沖浪者運動：上午9：00至下午15：00。變式提升1(2006廣東模擬）如下圖某地夏天從8—14時用電量變化曲線近似滿足函數y=Asin（ωx+φ）+b.(1)求這一天的最大用電量及最小用電量；(2)寫出這段曲線的函數解析式。解：（1）最大用電量為50萬度，最小用電量為30萬度.（2）觀察圖象可知,從8-14時的圖象是y=Asin（ωx+φ）+b的半個周期的圖象.∴A=×(50-30）=10,b=×(50+30)=40。∵=14—8,∴ω=，∴y=10sin（x+φ）+40。將x=8,y=30代入上式，解得φ=，∴所求解析式為y=10sin(x+)+40，x∈［8，14］。類題演練2要在寬為6米的教室當中裝一盞電燈，電燈裝在距離正中桌面的高是多少米時,才能使兩邊靠墻的課桌得到的亮度最大?（已知：電燈對課桌的照度E=cosα，I為電燈的光度，b、α如右圖所示)。解：由題設E=及b=得E=sin2αcosα要使靠墻的課桌得到最大亮度，即E值最大.∵是常數，且cosα的值使得（sin2αcosα)2與sin2αcosα同時達到最大值，因(sin2αcosα）2=cos2α(1—cos2α)2=·2cos2α·（1-cos2α)·（1—cos2α）,又由α為銳角，且2cos2α+(1—cos2α)+(1—cos2α)=2為定值，∴當2cos2α=1—cos2α,即cosα=時（sin2αcosα）2最大.亦即E最大,這時h=（米).注：若x+y+z=k,k為定值，x＞0,y＞0，z＞0，則當且僅當x=y=z時xyz有最大值。變式提升2將自行車支起來，使后輪能平穩地勻速轉動，觀察后輪氣針的運動規律，若將后輪放入如右圖所示坐標系中，輪胎以角速度ωrad/s做圓周運動，P0是氣針的初始位置，氣針到軸(O)的距離為rcm，求氣針（P）的縱坐標y關于時間t的函數關系，并求出P的運動周期.當φ=，r＝ω=1時,作出其圖象.解：過P作x軸的垂線，設垂足為M,則PM就是正弦線.y=γsin(ωt+φ)，因此T=,當φ=，γ=ω