冪級數8.3.1

函數項級數

8.3.2

冪級數及其收斂性

8.3.3

冪級數的運算1.正項級數的比較審斂法、比值審斂法.預備知識:3.級數

當

時收斂，

時發散.2.等比級數當時收斂，當時發散函數項級數的定義由這函數列構成的表達式:稱為定義在區間

上的函數項級數.一般地,由定義在某一區間

上的函數列8.3.1函數項級數收斂點與收斂域

在函數項級數

中,若令

取定義區間中某一確定值

,則得到一個常數項級數若該常數項級數收斂,則稱點

為函數項級數

的一個

收斂點，反之,若該常數項級數發散,則稱點

為函數項級數

的發散點．函數項級數

收斂點的全體稱為它的收斂域,發散點的全體稱為它的發散域.和函數

若

是收斂域內的一個值,則必有一個和

與之對應,即當

在收斂域內變動時,由上述對應關系,就得到一個定義在收斂域上的函數,使得這個函數

就稱為函數項級數

的和函數．將函數項級數

的前項和記為

,即則在收斂域內有記

,

稱為函數項級數的余項(只有當點為收斂點時才有意義)

,

并有

成立.試求函數項級數

的收斂域．級數可看作公比為

的等比級數,其斂散性取決于公比解

例8.3.1的絕對值.分析當時級數收斂;當時級數發散,故級數的收斂域為且其和為，即:8.3.2冪級數及其收斂性函數項級數中簡單而常見的一類級數就是各項都是稱為在

或

處的冪級數,其中都是常數,稱為冪級數的系數．特別地,

時的冪級數為最簡單的冪級數.冪函數的函數項級數,即令

,就可以將冪級數

化為,

所以我們主要討論冪級數

.為了求冪級數的收斂域,我們給出如下定理.即為這種形式的冪級數.定理8.8[阿貝爾(Abel)定理](1)若冪級數在處收斂,則對于滿足的一切,級數絕對收斂．(2)若冪級數在點處發散,則對于滿足的一切,級數均發散.證明(1)設收斂,由級數收斂的必要條件知,又由收斂的數列必有界知，存在常數M＞0,使得當

時,,等比級數

收斂.由正項級數的比較審斂法知,冪級數

收斂,從而級數

絕對收斂.于是(2)的證明利用反證法.若冪級數在

處發散,而有一點

滿足

使得級數收斂,則根據(1)的結論知,級數在處必收斂,這與已知相矛盾,定理得證.阿貝爾定理告訴我們：若冪級數在處收斂,則該冪級數在內絕對收斂;若冪級數在處發散,則該冪級數在內發散．我們假設冪級數在數軸上既有收斂點(不僅是原點)也有發散得如下重要推論：側,且由定理8.8知,它們到原點的距離是相等的.由此我們可從原點沿數軸向左方走,情形也是如此.兩個界點在原點的兩遇到發散點.這兩部分的界點可能是收斂點也可能是發散點.點.現在從原點沿數軸向右方走,最初只遇到收斂點,然后就只推論如果冪級數

不是僅在

點收斂,也不是在整個數軸上都收斂,則必有一個確定的數

存在,使得(1)當時,冪級數絕對收斂;(2)當時,冪級數發散;(3)當與時,冪級數可能收斂也可能發散.正數通常叫做冪級數的收斂半徑,開區間叫做冪級數的收斂區間.根據冪級數在處的斂散性,可以確定冪級數的收斂域為中的某一個.特別地,當冪級數僅在處收斂時,規定其收斂半徑為;當在整個數軸上都收斂時,規定其收斂半徑為,此時的收斂域為.關于冪級數收斂半徑的計算,有以下定理.定理8.9設是冪級數的收斂半徑,而冪級數的系數滿足,則(1)當時,.(2)當時,.(3)當時,.證明考察冪級數的各項取絕對值所成的級數有(1)若,由達朗貝爾比值審斂法知,當即時,收斂,從而絕對收斂;當即時,發散,且一般項不趨于0,則也不趨于0,由級數收斂的必要條件知,級數發散.綜上,冪級數的收斂半徑為.(2)若,則,即對任意,收斂,從而冪級數絕對收斂,且收斂半徑.(3)若,則對任意,

,級數的一般項不趨于0，故發散.所以冪級數僅在處收斂,其收斂半徑為.例8.3.2求下列冪級數的收斂半徑及收斂域:分析利用定理8.9.解故收斂半徑為,收斂域為.

故收斂半徑為0.例8.3.3求的收斂半徑和收斂域.分析利用定理8.9求出收斂半徑,再判斷級數在端點處的斂散性,從而確定收斂域.解

收斂半徑當時,級數為,由萊布尼茲判別法知,該級數收斂.當

時,級數為,為

的p級數,該級數發散．綜上,冪級數的收斂半徑為,收斂域為.例8.3.4求冪級數的收斂域.分析先作變量替換,求出級數的收斂域,

再利用關系求出級數的收斂域.解令,級數變為收斂半徑.當時,級數成為,此級數發散;當時,級數成為,此級數收斂.因此級數的收斂域為.即,所以原級數的收斂域為.

例8.3.5求冪級數的收斂半徑.分析級數缺少奇次冪的項,定理8.9不能應用.可根據比值審斂法來求收斂半徑.解冪級數的一般項記為當

即時級數收斂;當即時級數發散,所以冪級數的收斂半徑為.8.3.3冪級數的運算性質1(代數性質)設冪級數、的收斂半徑分別為、,和函數分別為、,則有(1)在中,冪級數(2)在中,冪級數其中性質2設冪級數

的收斂半徑為

,則其和函數在收斂區間內連續,如果冪級數在端點

處收斂,則和函數在

處左連續,如果冪級數在端點處收斂,則和函數在

處右連續.性質3在冪級數的收斂區間上,和函數導數存在,且且逐項求導后的冪級數和原冪級數的收斂半徑相同,但收斂域可能發生變化．性質4在冪級數的收斂區間上,和函數積分存在,且逐項積分后的冪級數和原冪級數的收斂半徑相同,但收斂域可能發生變化.例8.3.6求級數的和函數.分析先求出級數的收斂域,利用和函數的性質將和函數與等比級數聯系起來.解先求冪級數的收斂域,由,得收斂半徑為在處,級數為,極限不存在,級數發散;在處,級數為,

,亦發散,級數發散;所以冪級數的收斂域為設冪級數的和函數為,即例8.3.7求冪級數的和函數.分析先求出級數的收斂域,利用和函數的性質將和函數與等比級數聯系起來.易求得冪級數的收斂域為.解設冪級數的和函數為,即當時,有由和函數在收斂域上的連續性,

綜上得例8.3.8求級數的和.利用例8.3.7的結論.分析解和函數為,則在例8.3.7中已得到,于是考慮冪級數,此級數在上收斂,設其例8.3.9求級數的和函數.分析先