學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精課堂探究探究一冪函數的概念1．冪函數的判斷方法（1)冪函數同指數函數、對數函數一樣,也是基本初等函數，同樣也是一種“形式定義”的函數，也就是說必須完全具備形如y＝xα(α∈R）的函數才是冪函數．（2）如果函數以根式的形式給出，則要注意對根式進行化簡整理，再對照冪函數的定義進行判斷．2．待定系數法求冪函數解析式的方法若已知待求函數是冪函數，則可根據待定系數法，設函數為f(x）＝xα，根據條件求出α?！镜湫屠}1】（1）已知點M在冪函數f(x)的圖象上，則f（x）的解析式為（)A．f（x)＝x2B．f(x）＝x－2C．f(x）＝D．f（x）＝(2）下列函數中是冪函數的為__________．①y＝；②y＝2x2；③y＝；④y＝x2＋x;⑤y＝－x3。解析:(1）設冪函數的解析式為y＝xα,則3＝,∴α＝－2.∴y＝x－2.（2)①③的底數是變量，指數是常數，且系數為1，因此①③是冪函數；②中x2的系數為2，因此不是冪函數；④是由冪函數復合而成的函數，因此不是冪函數；⑤不符合冪函數中xα前的系數為1，因此不是冪函數．答案：（1)B(2)①③探究二比較大小比較冪形式的兩個數大小的常用方法:1．若能化為同指數，則用冪函數的單調性．2．若能化為同底數，則用指數函數的單調性．3．若既不能化為同指數，也不能化為同底數，則需尋找一個恰當的數作為中間值來比較大?。镜湫屠}2】比較下列各組數的大小：（1）,..（2)(－1。2）3,（－1.25）3.(3）5.25－1,5。26－1，5.26－2。（4)0.53,30.5,log30.5。思路分析:(1）借助函數y＝；(2)借助函數y＝x3；（3）借助函數y＝5.26x和y＝x－1;（4)利用中間值法．解:（1)∵y＝在[0，＋∞)上是增函數，1.5<1。7，∴<.(2）∵y＝x3在R上是增函數，－1.2>－1。25，∴（－1.2)3〉(－1。25）3.(3)∵y＝x－1在（0，＋∞)上是減函數，5.25〈5.26，∴5.25－1〉5.26－1.∵y＝5。26x在R上是增函數，－1〉－2?！?。26－1>5。26－2.綜上，5.25－1〉5。26－1>5.26－2.(4）∵0<0。53〈1，30。5〉1，log30。5〈0,∴log30.5〈0。53<30。5。探究三冪函數的圖象畫圖象時，一般先畫第一象限內的圖象，再結合函數性質補全圖象，冪函數的圖象與冪指數間有如下規律:1．指數大于1，在第一象限的圖象，類似于y＝x2的圖象；2．指數等于1，在第一象限為上升的射線；3．指數大于0小于1，在第一象限的圖象，類似于y＝的圖象;4．指數等于0，在第一象限為水平的射線；5．指數小于0，在第一象限類似于y＝x－1的圖象．【典型例題3】如圖是冪函數y＝xm與y＝xn在第一象限內的圖象，則()A．n〈0，m>1B．n<0〈m〈1C．m>n〉1D．n〉m>1解析：由冪函數的圖象及性質可知，在第一象限內，若冪指數大于零，則函數為增函數；若冪指數小于零，則函數為減函數，故m>0，n<0.又由y＝xm的圖象與直線y＝x比較,得0<m〈1。答案:B探究四冪函數性質的綜合應用對于與冪函數有關的綜合性問題，一般涉及奇偶性與單調性問題，解決此類問題可分兩步走：一是利用單調性來弄清指數的正負,二是利用奇偶性來確定冪函數的圖象．【典型例題4】已知冪函數f(x）＝xm2－m－2（m∈Z)是偶函數，且在(0,＋∞）上是減函數，求函數f（x)的解析式．思路分析：先利用f（x)在（0，＋∞)上為減函數求出m的范圍，再用代入檢驗的方法來驗證是否為偶函數．解：∵f（x)＝xm2－m－2（m∈Z)是偶函數，∴m2－m－2為偶數．又∵f（x)＝xm2－m－2(m∈Z）在(0，＋∞）上是減函數,∴m2－m－2〈0，即－1〈m<2.∵m∈Z,∴m＝0或m＝1。當m＝0時，m2－m－2＝－2,－2為偶數，當m＝1時，m2－m－2＝－2，－2為偶數．∴f（x）的解析式為f(x）＝x－2.點評本題要先充分利用函數為減函數的性質，這正是此問題的切入點,如果先選用偶函數這一性質，將不能準確快速地得出m的值．探究五易錯辨析易錯點因把函數看成定義域上的減函數而致誤【典型例題5】若<，試求a的取值范圍．錯解：∵函數y＝是減函數，∴a＋1〉3－2a.∴a〉，即a的取值范圍是。錯因分析：誤認為y＝是R上的減函數，實質是y＝在(－∞，0)和(0，＋∞）內均是減函數，而沒有整體定義域上為減函數的性質．正解：對于<，可分三種情況討論．①a＋1和3－2a都在(－∞，0）內，此時方程組無解；②a＋1和3－2a都在（0,＋∞）內，解得〈a<；③若a＋1和