學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精課堂探究探究一判斷集合之間的關系判斷兩個集合A，B之間是否存在包含關系有以下幾個步驟：第一步：明確集合A，B中元素的特征．第二步：分析集合A，B中的元素之間的關系．(1)當集合A中的元素都屬于集合B時，有A?B.（2）當集合A中的元素都屬于集合B，但集合B中至少有一個元素不屬于集合A時，有AB。（3）當集合A中的元素都屬于集合B，并且集合B中的元素都屬于集合A時，有A＝B.(4)當集合A中至少有一個元素不屬于集合B，并且集合B中至少也有一個元素不屬于集合A時,有A?B，且B?A，即集合A，B互不包含．【典型例題1】（1）設M＝｛菱形}，N＝｛平行四邊形}，P＝｛四邊形｝，Q＝｛正方形｝，則這些集合之間的關系為（）A.P?N?M?Q B．Q?M?N?PC．P?M?N?Q D．Q?N?M?P（2)有下列關系：①0∈{0｝;②?｛0｝；③｛0，1｝?｛(0，1)}；④{(a，b）}＝{（b，a)}．其中正確的個數為(）A．1 B．2 C．3 D．4解析：(1）由于四邊形包括正方形、菱形、平行四邊形,故集合M，N,Q均為P的子集,再結合正方形、菱形、平行四邊形的概念易知Q?M?N?P.（2）①中根據元素與集合的關系可知0∈｛0}正確;②中由空集是任意非空集合的真子集可知?｛0}正確；③中集合｛0,1}的元素是數，而集合｛(0，1）｝的元素是點，因此沒有包含關系，故③錯誤；④中集合中的元素是點，而點的坐標有順序性，因此{(a，b)｝≠{(b，a)｝，故④錯誤．綜上,應選B.答案：（1）B（2）B探究二確定集合的子集、真子集1．（1)集合A是集合B的真子集，需要滿足以下兩個條件：①集合A是集合B的子集；②存在元素x∈B，但x?A。所以，如果集合A是集合B的真子集，那么集合A一定是集合B的子集，反之，不成立．（2）若集合A＝{1,2｝，B＝{1，2,3｝,則A是B的子集,也是真子集，用符號A?B與AB均可，但用AB更準確．2．與子集、真子集個數有關的四個結論假設集合A中含有n個元素,則有:（1）A的子集的個數為2n；(2）A的真子集的個數為2n－1;(3)A的非空子集的個數為2n－1;（4）A的非空真子集的個數為2n－2.【典型例題2】集合A＝｛x｜0≤x〈3，且x∈N｝的真子集的個數是(）A．16 B．8 C．7 D．4解析：因為0≤x〈3，x∈N，所以x＝0,1，2，即A＝{0，1，2｝,所以A的真子集的個數為23－1＝7。答案：C【典型例題3】求滿足條件{x|x2＋5＝0}M?{x｜x2－1＝0}的集合M。思路分析：M是集合｛x|x2－1＝0｝的子集，又｛x｜x2＋5＝0｝是空集，它是M的真子集，所以M不是空集．因此問題歸結為求｛x|x2－1＝0}的非空子集．解：因為{x|x2＋5＝0｝＝?，{x｜x2－1＝0｝＝｛－1，1}，其非空子集為{－1}，{1｝，{－1，1}．探究三兩個集合相等及其應用1．判斷兩個集合相等可以看兩個集合中的元素是否相同,有兩種方法：（1）將兩個集合的元素一一列舉出來,進行比較;(2）看集合中的代表元素是否一致且代表元素滿足的條件是否一致,若均一致，則兩個集合相等．2．兩個集合相等的問題一般轉化為解方程(組），但要注意最后需檢驗，看是否滿足集合元素的互異性．3．找好問題的切入點是解決集合相等問題的關鍵．【典型例題4】已知集合A＝{2，x，y｝,B＝{2x,2，y2}，若A＝B，求x，y的值．思路分析：A＝B→列方程組→解方程組求x,y解:∵A＝B，∴集合A與集合B中的元素相同．∴或解得或或驗證得,當x＝0，y＝0時,A＝{2，0,0}，這與集合元素的互異性相矛盾，舍去．∴x，y的取值為或探究四根據子集的關系，確定參數的值對于兩個集合A，B，若A或B中含有待確定的參數（字母），且A?B或A＝B,則集合B中的元素與集合A中的元素具有“包含關系”，解決這類問題時常采用分類討論和數形結合的方法．1．分類討論是指：（1)A?B在未指明集合A非空時,應分A＝?和A≠?兩種情況來討論．（2）因為集合中的元素是無序的，由A?B或A＝B得出的兩個集合中的元素對應相等的情況可能有多種，因此需要分類討論．2．數形結合是指對A≠?這種情況，在確定參數時,需要借助數軸來完成，將兩個集合在數軸上表示出來，分清實心點與空心點，確定兩個集合之間的包含關系，列不等式（組)求出參數．3．解決集合中含參數問題時,最后結果要注意驗證．驗證是指：（1）分類討論求得的參數的值，還需要代入原集合中看是否滿足互異性．（2)所求參數的取值范圍能否取到端點值．【典型例題5】已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0｝,Q＝{x｜ax＋1＝0｝，滿足QP，求a的取值．思路分析：先明確集合P，再結合QP對Q中的a分兩種情況討論．解：P＝{x｜x2＋x－6＝0}＝｛2，－3｝．當a＝0時，Q＝{x|ax＋1＝0}＝?,QP成立．當a≠0時，Q＝｛x｜ax＋1＝0｝＝,要使QP成立，則有－＝2或－＝－3，即a＝－或a＝.綜上所述，a＝0或a＝－或a＝。反思本題易漏掉當a＝0時的情況，要清楚當a＝0時，ax＋1＝0是無解的，即此時Q為空集．探究五易錯辨析易錯點忽略B為?這一特殊情況而致誤【典型例題6】集合A＝{x｜－2≤x≤5｝，B＝｛x|m＋1≤x≤2m－1}．(1）若B?A，求實數m滿足的條件；（2）當x∈Z時，求A的非空真子集的個數．錯解：(1）由題意并結合數軸（如下圖)，得解得2≤m≤3。所以實數m滿足的條件是2≤m≤3.(2)當x∈Z時，A＝｛－2，－1，0,1,2，3,4,5}，所以A的非空真子集的個數為28－1＝255.錯因分析:（1)中忽略了B＝?時的情形;（2）中誤認為是求A的真子集或A的非空子集的個數．正解:(1）①當B＝?時，??A，符合題意，此時m＋1>2m－1，解得m〈2。②當B≠?時，由題意結合數軸(如下圖）．得解得2≤m≤3。綜合①②,