絕密★啟用前2023年高考數學考前信息測評卷05新高考地區專用（解析版）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】已知，解不等式，不等式等價于且，解得.所以.，故．故選：D2．設復數的共軛復數為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，故，故．故選：D3．在的二項展開式中，的系數是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，二項展開式的通項為：令因此二項展開式中的系數是：；故選：B.4．設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由，得或，解得.由，解得，當時，一定成立，反之，不一定成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5．為了衡量星星的明暗程度，公元前二世紀古希臘天文學家喜帕恰斯提出了星等這個概念.星等的數值越小，星星就越亮.1850年，由于光度計在天體光度測量的應用，英國天文學家普森又提出了亮度的概念，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為的星的亮度為.已知小熊座的“北極星”與大熊座的“玉衡”的星等分別為和，且當較小時，，則“玉衡”與“北極星”的亮度之比大約為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，可得，.故選：B.6．函數在區間上的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】對于函數，∵，故為奇函數，圖象關于原點對稱，B、D錯誤；又∵，且，故，C錯誤；故選：A.7．設，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設，，則，其中，且，所以，，所以在上單調遞減，故，即，故，設，，則，令，則，令，則在上恒成立，故在上單調遞增，故在上恒成立，所以在上單調遞增，故在上恒成立，所以在上單調遞增，故，故，即，因為，所以，故，故.故選：A8．“阿基米德多面體”這稱為半正多面體（semiregularsolid），是由邊數不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現了數學的對稱美.如圖所示，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的一種半正多面體.已知，則該半正多面體外接球的表面積為（

）A．18π B．16π C．14π D．12π【答案】A【詳解】如圖，在正方體中，取正方體、正方形的中心、，連接，∵分別為的中點，則，∴正方體的邊長為，故，可得，根據對稱性可知：點到該半正多面體的頂點的距離相等，則該半正多面體外接球的球心為，半徑，故該半正多面體外接球的表面積為.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知向量，，則（

）A． B．C．在上的投影向量是 D．在上的投影向量是【答案】BC【詳解】由已知可得，，.對于A項，因為，故A項錯誤；對于B項，因為，，所以，故B項正確；對于C項，因為，，，所以在上的投影向量是，故C項正確；對于D項，，，所以在上的投影向量是，故D項錯誤.故選：BC.10．甲箱中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙箱中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，分別以，，表示由甲箱中取出的是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結論正確的是（

）A． B．C．事件B與事件相互獨立 D．、、兩兩互斥【答案】BD【詳解】A選項，，，，故，A錯誤；B選項，，故，B正確；C選項，因為，故，所以事件B與事件不相互獨立，C錯誤；D選項，因為，故、、兩兩互斥，D正確.故選：BD11．已知點，，且點在圓上，為圓心，則下列結論正確的是（

）A．直線與圓相交所得的弦長為4B．的最大值為C．的面積的最大值為2D．當最大時，的面積為1【答案】ABD【詳解】圓C：，即，所以圓C是以為圓心，以2為半徑的圓.對于A，直線MN的方程為，過圓心，所以直線MN與圓C相交所得的弦長為直徑4，故A項正確；對于B，，當點P為MN的延長線與圓的交點時，等號成立，故B項正確；對于C，設點P到直線MN的距離為d，則，因為直線MN過圓心，所以當時，最大為，故C項錯誤；對于D，當MP與圓C相切時，最大，不妨設，此時，故D項正確.故選：ABD.12．已知定義在上且不恒為的函數，若對任意的，都有，則（

）A．函數是奇函數B．對，有C．若，則D．若，則【答案】AD【詳解】因為對任意的，都有，令，可得，所以，令，可得，所以，令，可得，所以，所以函數為奇函數，所以A正確；由，所以B錯誤；若，令，可得，則，可得，兩式相減得：，所以C錯誤；令，可得，解得，令，則，所以，所以D正確．故選：AD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知是等比數列的前項和，，，則______．【答案】##7.75【詳解】設等比數列的公比為，由，，可得，，解方程得，或，當時，，當時，，所以.故答案為：.14．某大學有男生名．為了解該校男生的身體體重情況，隨機抽查了該校名男生的體重，并將這名男生的體重（單位：）分成以下六組：、、、、、，繪制成如下的頻率分布直方圖：該校體重（單位：）在區間上的男生大約有_________人．【答案】【詳解】由頻率分布直方圖可知，該校體重（單位：）在區間上的男生的人數為.故答案為：.15．晶胞是構成晶體的最基本的幾何單元，是結構化學研究的一個重要方面在如圖（1）所示的體心立方晶胞中，原子A與B（可視為球體）的中心分別位于正方體的頂點和體心，且原子B與8個原子A均相切已知該晶胞的邊長（圖（2）中正方體的棱長）為，則當圖（1）中所有原子（8個A原子與1個B原子）的體積之和最小時，原子A的半徑為____________．【答案】【詳解】因為正方體的棱長為，則該正方體的體對角線長為，設A原子的半徑為，B原子的半徑為，依題意，，即，于是8個A原子與1個B原子的體積之和，令，求導得：，由得，當時，，當時，，因此函數在上單調遞減，在上單調遞增，即當時，取得最小值，所以8個A原子與1個B原子的體積之和最小時，原子A的半徑為.故答案為：16．如圖，在棱長為1的正方體中，點P是線段上一動點（不與，B重合），則下列命題中：①平面平面；②一定是銳角；③；④三棱錐的體積為定值．其中真命題的有__________．【答案】①③④【詳解】對于①，由正方體性質可得平面，又平面，所以平面平面，即①正確；對于②，當是的中點時，易得，滿足，此時是直角，所以②錯誤；對于③，連接，如下圖所示;由正方體可知，且平面，平面，所以，又，平面，所以平面；又平面，所以，即③正確；對于④，三棱錐的體積，又因為的面積是定值，平面，所以點到平面的距離是定值，所以三棱錐的體積為定值,即④正確.故答案為：①③④解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知的最小正周期為．(1)求的值；(2)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，求角B的大小以及的取值范圍．【答案】(1)0(2)，【詳解】（1）∵，由函數的最小正周期為．即，得，∴，故；（2）∵，∴由正弦定理得，∴．∵，∴．∵，則.∵，∴，∴，∴，∴.18．在等差數列中，為的前n項和，，數列滿足．(1)求數列和的通項公式；(2)求數列的前n項和．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）設等差數列的公差為，所以，解得，所以，，①則當時，②①②得：，則，而當時，，則，滿足上式．所以．（2）記，，.19．全國“兩會”召開的一項重要意義在于將“兩會代表”從人民中得來的信息和要求進行收集及整理，傳達給中央，“兩會代表”代表著廣大選民的利益，代表選民在“兩會”期間向政府有關部門提出選民的意見和要求．下表是2011年至2020年歷年全國政協提案的數量統計．年份2011201220132014201520162017201820192020年份代碼x12345678910提案數量y（單位：千件）5.7626.0695.6415.8755.8575.7695.215.365.4885.044(1)請用相關系數說明y與x之間的關系可否用線性回歸模型擬合？若能，求y關于x的一元線性回歸方程；（運算結果精確到0.01）（若，則線性相關程度很高，可用直線擬合）(2)中央政府回應2020年“兩會”的熱點議題“戰勝疫情”，以令世界驚嘆的中國速度、中國效率和中國奇跡，社會各階層、各行各業迅速投身戰“疫”行動，團結共進、眾志成城．其中一個關鍵舉措是2021年全國各地全面展開的疫苗接種．為方便市民合理安排疫苗接種，城市便民電子系統即時提供接種點相關信息，若某疫苗接種點上午和下午接種疫苗分別需要等待20分鐘和40分鐘，而甲、乙市民均在某日接種疫苗，且上午去接種疫苗的概率分別為，要使兩市民需要等待時間的總和的期望值不超過60分鐘，求實數p的取值范圍．參考公式：相關系數，．參考數據：．【答案】(1)能，(2)【詳解】（1）由題意可得，因為，根據參考數據，所以相關系數，即，所以線性相關程度很高，可用直線擬合；由，所以，即y關于x的線性回歸程為．（2）設甲、乙兩人需要排隊的總時間為，則的可能取值為，，，，所以的分布列為：406080P因此，可得，又，故實數p的取值范圍為．20．已知橢圓的離心率為，短軸長為2.(1)求橢圓的標準方程；(2)點，斜率為k的直線l不過點，且與橢圓交于A，B兩點，(O為坐標原點).直線l是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，說明理由.【答案】(1)；(2)過定點，.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）設直線的方程為，，聯立整理得，則，即又，因為，所以，所以所以，即整理得，即，此時則直線的方程為，故直線過定點.21．如圖，在長方體中，，，E是的中點，平面與棱相交于點F．(1)求證：點F為的中點；(2)若點G為棱上一點，且，求點G到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：方法1：因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，連接，因為，，所以四邊形是平行四邊形.所以，.因為是的中點，所以點為的中點.方法2：連接.因為，，所以四邊形是平行四邊形.所以因為平面，平面，所以平面，因為平面ACE，平面平面，所以.所以.因為是的中點，所以點為的中點.（2）方法1：因為，，兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，所以，，設平面的法向量為，則，即，令，則，，所以，設，則，由，得，即，所以，則，所以點到平面的距離.方法2：連接，因為平面，所以，因為，，平面，所以平面，又平面，所以.在平面內，由，可得，由勾股定理求出，，，在中由余弦定理得，則，，，設點到平面的距離為d，由，得，所以點到平面的距離為.22．已知．(1)若在上單調遞增，求a的取值范圍，(2)證明：當時，．【答案】(1)(2)證明見解析.【詳解】（1）由，可得，因為在上單調遞增