第07講函數性質的綜合應用【人教A版2019】模塊一模塊一函數的單調性與最值1．函數單調性的判斷(1)定義法；(2)圖象法；(3)簡單函數單調性；(4)單調性的四則運算：增+增=增；減+減=減；增-減=增；減-增=減；(5)復合函數：函數y=f(g(x))的單調性應根據外層函數y=f(t)和內層函數t=g(x)的單調性判斷，遵循“同增異減”的原則.2．函數單調性的應用函數單調性的主要應用有以下幾個方面：(1)利用函數的單調性求參數；(2)利用函數的單調性比較大小；(3)利用函數的單調性解不等式.3．利用函數的單調性求參數的方法(1)已知函數的單調性求參數的取值范圍的方法是視參數為已知數，依據函數的圖象或單調性的定義，確定函數的單調區間，與已知單調區間比較求參數.(2)借助常見函數(如一次函數、反比例函數、二次函數等)的單調性求解.需注意，若一個函數在區間[a,b]上是單調的，則該函數在此區間的任意子集上也是單調的.4．利用函數的單調性比較大小的方法利用函數的單調性可以比較函數值或自變量的大小.在解決比較函數值的問題時，要注意將對應的自變量的值轉化到同一個單調區間上.

5．利用函數的單調性解不等式的方法解關于的不等式時，可利用函數的單調性脫去“f”，轉化不等式，進行求解即可.6．求函數最值的三種基本方法：(1)單調性法：先確定函數的單調性，再由單調性求最值.(2)圖象法：先作出函數的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.【題型1函數的單調性的綜合應用】【例1.1】（23-24高一上·北京·期中）已知函數fx=?x2?ax?5,x≤1aA．?∞,?2 B．?∞,0 C．【例1.2】（23-24高三上·廣東湛江·階段練習）已知函數fx在3,+∞上單調遞減，且fx的圖象關于直線x=3對稱，則a=f0.2，A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c【變式1.1】（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數fx的定義域為R，對任意實數x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)?1，當x>0時，f(x)>1，且f(2)=5，則關于x的不等式f(x)+f(4?3x)<6的解集為（

A．1,+∞ B．2,+∞ C．?∞，【變式1.2】（23-24高一下·河北石家莊·開學考試）定義在0,+∞上的函數fx滿足：對?x1,x2∈0,+∞，且x1≠x2，都有x1?x2【題型2函數的最值問題】【例2.1】（23-24高一上·江蘇無錫·期中）已知函數fx=x2?1,x≤1axA．112,+∞C．112,1【例2.2】（23-24高一上·重慶·期末）已知函數f(x)=x+4x(x>0)，記該函數在區間[t?1,t](t>1)上的最大值與最小值的差值為g(t)，則g(t)A．17?2 B．1 C．13 【變式2.1】（2024高一上·浙江寧波·專題練習）已知函數fx=?2x2+bx+c(1)求實數b?c的值；(2)設0<m<n，若當m≤x≤n時，fx的最小值為1n，最大值為1m，求m【變式2.2】（23-24高一上·上海虹口·期末）已知f(x)是定義在R上的奇函數，且x≥0時有f(x)=x(1)寫出函數f(x)的單調區間（不要證明）；(2)解不等式f(x)≥3；(3)求函數f(x)在[?m,m]上的最大值和最小值．模塊二模塊二函數的奇偶性及其應用1．函數的奇偶性(1)定義：定義偶函數一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函數f(x)叫做偶函數.奇函數一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函數f(x)叫做奇函數.非奇非

偶函數既不是奇函數又不是偶函數的函數，稱為非奇非偶函數.定義域

特征定義域必須是關于原點對稱的區間.等價

形式設函數f(x)的定義域為I，則有f(x)是偶函數?x∈I，-x∈I，且

f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函數?x∈I，-x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特別地，若f(x)≠0，還可以判斷是否成立.(2)奇偶函數的圖象特征（幾何意義）①奇函數的圖象特征：若一個函數是奇函數，則這個函數的圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，若一個函數的圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數是奇函數.②偶函數的圖象特征：若一個函數是偶函數，則這個函數的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，若一個函數的圖象關于y軸對稱，則這個函數是偶函數.③奇偶函數的結論：奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性，偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數；奇函數在關于原點對稱的區間上的最值互為相反數，取最值時的自變量也互為相反數.2．函數奇偶性的判斷判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件：(1)定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(-x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)+f(-x)=0(奇函數)或f(x)-f(-x)=0(偶函數))是否成立.(3)運算函數的奇偶性規律：運算函數是指兩個（或多個）函數式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數，如．對于運算函數有如下結論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．(4)復合函數的奇偶性原則：內偶則偶，兩奇為奇．(5)常見奇偶性函數模型奇函數：=1\*GB3①函數或函數．=2\*GB3②函數．=3\*GB3③函數或函數=4\*GB3④函數或函數．3．函數奇偶性的應用函數奇偶性的主要應用有三個方面：(1)利用函數的奇偶性求值、求解析式：根據題目條件，利用函數的奇偶性，進行轉化求解；(2)利用函數的奇偶性求參數：①若表示定義域的區間含有參數，則可利用對稱性列出關于參數的方程；②一般化策略：對x取定義域內的任一個值，利用f(-x)與f(x)的關系式恒成立來確定參數的值.(3)畫函數圖象：利用函數的奇偶性可畫出函數在其對稱區間上的圖象，結合幾何直觀求解相關問題.【題型3函數奇偶性的判斷】【例3.1】（23-24高一上·北京·期中）下列函數中為偶函數的是（

）A．y=x B．C．y=x2+1【例3.2】（23-24高一上·陜西寶雞·期中）下列說法中錯誤的是（

）A．函數y=2B．函數y=xC．函數y=x2，D．函數y=(x?1)【變式3.1】（2024·西藏·模擬預測）若函數fx=x?xA．fx+1?2 B．fx?1?2 C．【變式3.2】（23-24高三上·山東濟寧·期中）已知函數f(x)的定義域為R，滿足f(x+y)?[f(x)+f(y)]=2023，則下列說法正確的是（

）A．f(x)是偶函數 B．f(x)是奇函數C．f(x)+2023是偶函數 D．f(x)+2023是奇函數【題型4函數的奇偶性的綜合應用】【例4.1】（23-24高二下·河北石家莊·期末）已知函數f(x+2)是偶函數，定義域為R，且滿足f(x)+f(8?x)=2，其中f(5)=?1，則f(2025)=（

）A．3 B．?3 C．1 D．?1【例4.2】（23-24高二下·福建福州·期末）已知fx=2x+m,x>0nx+1,x<0為奇函數，則A．1 B．2 C．0 D．?1【變式4.1】（23-24高一上·遼寧大連·期末）函數fx=xA． B．C． D．【變式4.2】（24-25高三上·陜西西安·階段練習）若定義在R上的奇函數fx在?∞,0上單調遞減，且f2=0，則滿足xfA．?1,1∪3,+∞C．?1,0∪0,+∞模塊模塊三函數的周期性與對稱性1．函數的周期性常用結論(a是不為0的常數)(1)若f(x+a)=f(x)，則T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，則T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，則T=2a；(4)若f(x+a)=，則T=2a；(5)若f(x+a)=，則T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，則T=|a-b|(a≠b);2．對稱性的三個常用結論(1)若函數f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則y=f(x)的圖象關于直線對稱.(2)若函數f(x)滿足f(a+x)=-f(b-x)，則y=f(x)的圖象關于點對稱.(3)若函數f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c，則y=f(x)的圖象關于點對稱.【題型5函數的對稱性的應用】【例5.1】（23-24高二下·浙江麗水·期末）已知函數fx的定義域為R，fx的圖象關于1,0中心對稱，f2x+2A．f0=0 B．f12=0【例5.2】（2024·四川·三模）定義在R上的函數y=fx與y=gx的圖象關于直線x=1對稱，且函數y=g2x?1+1為奇函數，則函數A．?1,?1 B．?1,1 C．3,1 D．3,?1【變式5.1】（2024高二上·安徽阜陽·競賽）已知函數fx在定義域R上單調遞減，且函數y=fx?1的圖象關于點A1,0對稱．若實數t滿足ft2A．12,+∞ B．?∞,1【變式5.2】（23-24高一下·湖北·開學考試）已知fx是定義在R上的函數在0,+∞上單調遞減，且f2=0，函數y=fx+2的圖象關于點?2,0A．?∞,?1∪C．?1,1∪3,+∞【題型6對稱性與周期性的綜合應用】【例6.1】（24-25高三上·遼寧·開學考試）已知定義在R上的函數fx，對?x∈R，都有fx+4=?fx+4，若函數fx?1的圖象關于直線A．?2 B．?1 C．2 D．1【例6.2】（24-25高三上·重慶·開學考試）已知函數fx的定義域為R，且f2x?1的圖象關于直線x=1對稱，f3x+2A．f72 B．f2024 C．f【變式6.1】（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知定義在R上的函數fx滿足fx?2=?fx，且函數A．fxB．fxC．fxD．fx的圖象關于點2025,0【變式6.2】（2024·陜西商洛·模擬預測）已知定義在R上的函數fx滿足f2x+6=f?2x，且①f(2024)=1；②fx的圖象關于直線x=?3③fx④k=12025其中結論正確的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【題型7抽象函數的性質】【例7.1】（23-24高一下·貴州遵義·期末）已知函數fx的定義域為R，fx+y=fA．f0=0 B．函數C．若f2=2，則f2024=?2 D．函數【例7.2】（2024·廣西玉林·三模）函數fx對任意x，y∈R總有fx+y=fx+fy，當x<0A．fx是偶函數 B．fC．fx在?6,6上的最小值為?2 D．若fx+fx?3【變式7.1】（23-24高一上·遼寧沈陽·階段練習）已知fx定義域為R，對任意x,y∈R都有fx+y=fx+fy(1)試判斷fx在R(2)解不等式：f【變式7.2】（23-24高一上·河北保定·階段練習）已知函數f(x)定義域為?1,1，若對任意的x,y∈?1,1，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0時，f(x)<0（1）判斷f(x)的奇偶性；（2）討論f(x)的區間?1,1上的單調性；（3）設f(1)=?4，若f(x)<m2?2am+1，對所有x∈[?1,1]，a∈[?1,1]【題型8函數性質的綜合應用】【例8.1】（23-24高一上·江蘇南京·期中）已知函數fx(1)求f3(2)當a>0時，試運用函數單調性的定義判定fx(3)設gx=fx?2，若gx≥2【例8.2】（23-24高一上·山東青島·期中）已知函數fx=ax+b(1)求實數b的值；(2)當a>0時，用單調性定義判斷函數fx在區間1,+(3)當a=1時，設gx=mx2?2x+2?m，若對任意的x1∈【變式8.1】（23-24高一上·四川成都·期中）已知函數fx=x+bx(1)求函數fx(2)判斷函數fx(3)設gx=fx?1+2，當?x【變式8.2】（23-24高一上·遼寧大連·期末）若函數f(x)在定義域R上滿足f(x)+f(y)=f(x+y)，且x>0時f(x)>0,定義域為?2,2的(1)求證：函數f(x)在定義域上單調遞增.(2)若在區間?1,1上，f(x)+g(x)=?x2+x+1；g(x)（i）求函數f(x)和函數g(x)在區間?2,（ii）若關于x的不等式g(x1)?g(x2)af(x1)?af(x一、單選題1．（23-24高三上·江蘇南通·階段練習）函數y=x33x4?1的圖象大致是（

C． D．2．（24-25高三上·山東青島·開學考試）設fx=x+a2,x≤0x+1x+a,x>0A．?1,0 B．?1,2 C．?2,?1 D．?2,03．（23-24高三下·安徽黃山·階段練習）設函數f(x)的定義域為R，且f(x+2)為奇函數，f(2x+1)為偶函數，則（

）A．f(?1)=0 B．f(?12)=0 C．f(1)=04．（24-25高三上·四川瀘州·開學考試）已知分段函數fx=x2?2x，x≥0A．?∞,0 C．?1,0 D．?5．（2024高三·全國·專題練習）已知函數fx是定義域為?∞,+∞的奇函數，滿足f2?x=f2+xA．－2 B．0 C．2 D．46．（23-24高一下·黑龍江大慶·開學考試）定義在(0,+∞)上的函數y=f(x)滿足：?x1,x2∈(0,+∞A．(12,+∞) B．(0,12) C．(0,4) 7．（23-24高二下·吉林長春·期末）已知fx，gx是定義域為R的函數，且fx是奇函數，gx是偶函數，滿足fx+gx=axA．0,+∞C．?34,8．（24-25高二上·江蘇·開學考試）若函數fx是定義域為R的奇函數，且fx+2=?fx，A．fB．fx的圖象關于點2,0C．fx的圖象關于直線x=1D．f二、多選題9．（2024高三·全國·專題練習）已知函數fx=x+axa>0在2,4A．4 B．12 C．6?42 D．10．（23-24高二下·山東威海·期末）已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，當x>0時，f(x)>0，f(2)=4，則（

）A．f(5)=10 B．f(