2024北京平谷高二（上）期末數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共4頁.共分，考試時間為120分鐘.2.試題所有答案必須書寫在答題紙上，在試卷上作答無效.3.考試結(jié)束后，將答題紙交回，試卷按學(xué)校要求保存好.第I卷選擇題（共40分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分；在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)符合題意，請將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）3x?y+1=01.直線的傾斜角為（）πππ5πA.B.C.D.6436(?x?y+2=0相切的圓的半徑為（2.圓心為A.3.已知雙曲線C的焦點(diǎn)分別為，且與直線）2B.2C.8D.22F1F2FF=6，雙曲線CPF?PF=4、，上一點(diǎn)P滿足，則雙曲線1212C的離心率為（A.4.已知拋物線）35B.C.2D.322y2=2px(p0)上一點(diǎn)(2,y0)到焦點(diǎn)的距離是4，則其準(zhǔn)線方程為（）A.x=?2B.P?ABC中，設(shè)x=?1x=4x=8C.=，O為BC中點(diǎn)，則OP=（cD.5.已知三棱錐A.?a?b+c=ABa，AC=b，）1212B.a+b+cC.?a?b+cD.a+b+c226.已知展臺上四個盲盒中裝有由卡通動漫人物設(shè)計(jì)的四款不同的產(chǎn)品，學(xué)生甲喜歡其中的一款.甲從四個盲盒中抽選兩個，則“學(xué)生甲抽到了喜歡的那一款”的概率為（）3514712A.B.C.D.(2,M(?0)7.已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)向圓作切線，則切線長的最大值為（C.15D.43=）A.35B.26x2y2+=1，則“它的漸近線方程為y2x”是“它的離心率為5”的（8.已知雙曲線C:）mn第1頁/共17頁A.充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件9.已知四棱錐P中，側(cè)面PAB底面?⊥ABCD，PAPB43，底面ABCD是邊長為12的正==方形，S是四邊形ABCD及其內(nèi)部的動點(diǎn)，且滿足PS6，則動點(diǎn)S構(gòu)成的區(qū)域面積為（）A.43πB.12πC.24πD.24610.已知曲線方程為|x?1|+|x+1|2|y=6①曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱；，給出下列命題：②曲線上任意兩點(diǎn)的距離最大值為25；③曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍[?；④曲線上的點(diǎn)構(gòu)成的圖形面積為16.則所有真命題是（）A.①②B.①②③C.①③④D.②③④第II卷非選擇題（共分）二、填空題（本大題共7小題，每小題5分，共35分，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）l:ax+y+2=01l:2x+(a+y?3=02a=平行，那么______.已知直線和直線12.已知圓C:x2+y2?2x+4y+2=0內(nèi)有一點(diǎn)P(2,，經(jīng)過點(diǎn)P的直線l與圓C交于弦AB恰被點(diǎn)P平分時，直線l的方程為______.13.已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，從以下兩個條件中任選一個條件，并根據(jù)所選條件寫出?,B兩點(diǎn)，當(dāng)F(2,0).你所選的條件是______，得到的一個拋物線標(biāo)準(zhǔn)一個拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.①焦點(diǎn)方程是______.；②經(jīng)過點(diǎn)14.已知盒子中有大小、形狀都相同的4個紅球和2個白球，每次從中取一個球，取到紅球記1分，取到白球記2分.如果有放回的抽取2次，則“2次所得分?jǐn)?shù)之和為3分”的概率是______.x2y26m=，則______.+=1的離心率e=15.已知雙曲線2?m2x+y2?ax?3=0關(guān)于直線xy10對稱，若直線+?=y=k(x+被曲線截得的弦長為216.已知曲線23，則k=______.17.如圖，棱長為2的正方體個結(jié)論：ABCD?ABCDBCAC和上的動點(diǎn).對于下列四111中，E，P分別是線段1111第2頁/共17頁EPAABB；11①存在無數(shù)條直線平面；②線段EP長度的取值范圍是2,234③三棱錐P?ACE的體積最大值為；3BCAC上的中點(diǎn)，則線段11EP的垂直平分線與底面的交點(diǎn)構(gòu)成的集合是圓.④設(shè)E，P分別為線段和1則其中正確的命題有______.三、解答題（本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）18.如圖，在四棱錐P?中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，⊥，PD=DC=2，=1，E是的中點(diǎn).（1）證明：PA//平面DBE；（2）求點(diǎn)P到平面DBE的距離.19.已知某公司統(tǒng)計(jì)了一種產(chǎn)品在2023年各月的銷售情況，如圖，公司將每連續(xù)3個月的銷售量做為一個觀測組，對該公司這種產(chǎn)品的銷售量（單位：萬）進(jìn)行監(jiān)測和預(yù)測.第3頁/共17頁（1）現(xiàn)從產(chǎn)品的10個觀測組中任取一組，求組內(nèi)三個月中至少有一個銷售量高于萬的概率；（2）若當(dāng)月的銷售量大于上一個月的銷售量，則稱該月的銷售指數(shù)增長；若當(dāng)月的銷售量小于上一個月的銷售量，則稱該月的銷售指數(shù)下降.（已知1月份的銷售量低于2022年12月份銷售量）.現(xiàn)從10個觀測組中任取一組，求抽到的觀測組中銷售指數(shù)增長月份恰有2個的概率.（3）假設(shè)該產(chǎn)品每月的銷售指數(shù)是否增長只受上一個月銷售指數(shù)的影響，預(yù)測2024年1月份“銷售指數(shù)增長”和“銷售指數(shù)下降”的概率估計(jì)值哪個最大（直接寫出結(jié)果）.x22y22220.已知橢圓C:+=ab0)的左右頂點(diǎn)距離為26，離心率為.ab2（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2且斜率不為0的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB垂直平分線的縱截距的取值范圍.ABCCCBBCC⊥底面，21.如圖，在三棱柱三角形，BC=4，中，側(cè)面為矩形，側(cè)面為等邊1111111BB1=3，點(diǎn)N在BN⊥AC上，.1（1）求證：N為中點(diǎn)；（2）設(shè)AB上一點(diǎn)M，若平面3BMCBMBB1N與平面的夾角的余弦值為，求4的值.11BAx22y222.已知橢圓C:+=a2的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，設(shè)橢圓C上一點(diǎn)P（不與左右頂點(diǎn)重a32與橢圓的另一個交點(diǎn)為QF的周長為2，且（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)A為橢圓的左頂點(diǎn)，直線，分別與直線x4交于M，兩點(diǎn).試判斷：以MN為直=N徑的圓與直線的位置關(guān)系，并說明理由.2第4頁/共17頁參考答案第I卷選擇題（共40分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分；在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)符合題意，請將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1.【答案】C【分析】先求直線的斜率，根據(jù)公式求傾斜角.【詳解】直線方程可化為y=3x1，所以直線的斜率為：k=3，即tan=3，+π又θπ)，所以θ=.3故選：C2.【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.(?x?y+2=0相切，【詳解】由題意知，圓心為，且與直線1?3+2r=d==2則圓的半徑為.12+(2故選：A.3.【答案】B=6可得，然后由離心率的計(jì)算公式計(jì)算即可.=【分析】由雙曲線的定義求出a2，由=12c3【詳解】因?yàn)殡p曲線C的焦點(diǎn)分別為所以2c=6，故c=3，F(xiàn)1、F2FF=6，，12PF?PF=42a=4，故a=2，又因?yàn)殡p曲線C上一點(diǎn)P滿足，所以12c32e==.所以雙曲線C的離心率為a故選：B.4.【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的定義可直接寫出答案.ppx=?2+=4，根據(jù)拋物線的定義，可得A到準(zhǔn)線的距離為，即【詳解】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為：422p=2.2所以準(zhǔn)線方程為x=2.故選：A5.【答案】C第5頁/共17頁【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則求解．=AP?AO=AP?(AB+AC)=c?a?b【詳解】由題意，222故選：C．6.【答案】D【分析】根據(jù)題意，根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算，求得基本事件的總數(shù)，以及所求事件所包含的基本事件的個數(shù)，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.C24=6【詳解】根據(jù)題意，甲四個盲盒中抽選兩個，共有種不同的選法，1C=3種不同的選法，3其中學(xué)生甲抽到了喜歡的那一款，有3612P==.根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，可得概率為故選：D.7.【答案】A【分析】根據(jù)題意，求得圓心的軌跡方程為圓A，得到圓A上到點(diǎn)M的最大距離為d=6，結(jié)合圓的切線長公式，即可求解.(a,b)【詳解】設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，(2,，可得(a2)(b=1，?2+?2因?yàn)閳A的半徑為1，且過點(diǎn)(a?2)2+b?2=1，即圓心的軌跡表示以(2,為圓心，半徑為1A，即=(2+2)2+?0)=5，則圓A上的點(diǎn)到點(diǎn)M的最大距離為d=+1=6，2可得又由切線長公式，可得切線長的最大值為l=d故選：A.2?1=35.28.【答案】D【分析】依題意可分別討論參數(shù)m,n的符號，再分別驗(yàn)證漸近線和離心率即可得出結(jié)論.?nx，即可得n=?4m，【詳解】根據(jù)意題意，若mn0，則漸近線方程為y=mn?m5此時離心率為e==，即充分性不成立；n2第6頁/共17頁n?m==m=?4n，5，即可得若mn0，當(dāng)離心率為5時可得enn?m12此時漸近線方程為y=x=x，顯然必要性也不成立；y=2x即可得“它的漸近線方程為”是“它的離心率為5”的既不充分也不必要條件；故選：D9.【答案】B【分析】取線段AB的中點(diǎn)E，連接PE、，推導(dǎo)出PE平面圓心，半徑為26的圓及其內(nèi)部，結(jié)合圓的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】取線段AB的中點(diǎn)E，連接PE、，⊥ABCD，可知點(diǎn)S的軌跡是以點(diǎn)E為因?yàn)镻APB43，==E為AB的中點(diǎn)，則PE⊥AB，因?yàn)槠矫鍼AB平面⊥ABCD，平面PAB平面=，PE平面PAB，所以，PE平面因?yàn)镾E平面ABCD，則PE⊥SE，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長為12的正方形，則⊥ABCD，AE=6，(223所以，PE=PA2?AE2=48?62=23，SE=PS2?PE262?=26，所以，點(diǎn)S的軌跡是以點(diǎn)E為圓心，半徑為26的圓及其內(nèi)部，12()π26=12π.因此，動點(diǎn)S構(gòu)成的區(qū)域面積為2故選：B.10.【答案】C【分析】根據(jù)題意，分類討論，得到曲線的方程，畫出曲線的圖形，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由曲線方程為|x?1|+|x+1|2|y=6，xx?1+x+1+2y=6x?1+x+1?2y=6x+y=3x?y=3當(dāng)當(dāng)當(dāng)時，可得時，可得，即，即；xy0；1xy0時，可得1?x+x+1+2y=6=2；y，即第7頁/共17頁1xy0時，可得1?x+x+1?2y=6x?y0時，可得1?x?x?1+2y=6y=?2當(dāng)當(dāng)當(dāng)，即；；，?x+y=3?x?y=3，即x?y0時，可得1?x?x?1?2y=6，即所以曲線的圖象，如圖所示，?x,?yx,y，方程不變，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以正確；對于①中，用對于②中，令代入方程中的y=0x=3，解得，可得曲線上任意兩點(diǎn)的距離最大值為，所以不正確；6對于③中，結(jié)合圖象，可得曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍[?，所以正確；1S=2)2?221=16對于④中，曲線上的點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為，所以正確.2故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是合理地分類討論再正確地作出圖形，根據(jù)圖形分析其對稱性、距離最值和面積.第II卷非選擇題（共分）二、填空題（本大題共7小題，每小題5分，共35分，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）【答案】1或2?【分析】利用兩直線平行的斜率關(guān)系即可求得a=1或a=?.2l:ax+y+2=0?a，【詳解】易知直線由兩直線平行可得的斜率一定存在，且為12?a=?a=1或a=?2，解得；a+1經(jīng)檢驗(yàn)a=1或a=?2都符合題意；故答案為：1或2?x?y?3=012.【答案】【分析】求得圓心坐標(biāo)為C2)，易知CP⊥k=1，即可求得直線l，利用斜率之間的關(guān)系可得的方程.2+y2?2x+4y+2=0可表示為x1(?)2+(+)y2=3，2【詳解】易知C:x第8頁/共17頁可知圓C的圓心坐標(biāo)為C2)，半徑為3，如下圖所示：1+22?1根據(jù)題意由圓的性質(zhì)可知CP⊥，易知kCP==1，所以k=1；y??1=x?2()x?y?3=0由直線的點(diǎn)斜式方程可得直線l的方程為，即.x?y?3=0故答案為：2y=8x13.【答案】①.①.【分析】利用拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)以及標(biāo)準(zhǔn)方程形式即可得出答案.p2y=2px，又可知=2，可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是y28x；=【詳解】若選擇①，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)2若選擇②，根據(jù)題意可知，拋物線只能開口向右或向上，1=x；yx22=2px，將代入可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y22若開口向右，可設(shè)若開口向上，可設(shè)2=2py，將代入可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x=4y；1y2=8x（②；y2=x或x2=4y）故答案為：①；2414.【答案】9【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率乘法公式計(jì)算即可.【詳解】由題意，2次所得分?jǐn)?shù)之和為3分，則第1次取出紅球第2次取出白球或第1次取出白球第2次取出紅球,由于有放回抽取，兩次抽取為相互獨(dú)立事件，4224P=+=49其概率為.666649故答案為：15.【答案】1【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定a,bc，求得，再利用離心率求得．m第9頁/共17頁2+m6【詳解】由題意顯然有m0，a2=b2=m，因此c2=2+m，e==，解得m=1，22故答案為：1.316.【答案】3a【分析】曲線方程化為桂圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后得出圓心坐標(biāo)，代入對稱直線方程得值，由弦長得出圓心到直線的距離，利用點(diǎn)到直線距離公式可求得k．a(chǎn)a2a【詳解】曲線x2+y2?ax?3=0的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x?)2+y2=3+，它表示圓，圓心坐標(biāo)為(,0)，242aa2+0?1=0a=20)，半徑為3+，即圓心為=2，由題意，解得24y=k(x+k?0+k直線所以被圓截得的弦長為23，則圓心到直線的距離為d=22?(3)=1，23=1，解得k．=k2+133故答案為：．317.【答案】①③【分析】構(gòu)造面面平行，尋找線面平行，可以判斷①的對錯；通過特殊位置，可以判斷②是錯誤的；分析三棱錐的高是確定的，求底面積最大值，可得三棱錐體積的最大值，判斷③的對錯；根據(jù)公理，兩個平面的交點(diǎn)在一條直線上，可得④是錯誤的.PKKEBCEPAABB平面，因?yàn)镻點(diǎn)11【詳解】對①：過P作，交于E，連接EP，則上運(yùn)動，故滿足條件的直線EP有無數(shù)條.所以①正確；11AC再1是錯誤的；對②：當(dāng)E與重合，P為BAC中點(diǎn)時，11=2，所以EP長度取值范圍是2,231對③：第10頁/17頁1AC//ABCABC因?yàn)橹本€平面，所以P到平面的距離為定值，是正方體體對角線的，所以當(dāng)E與1131323343()222B1P?ACE==重合時，底面積最大，此時的體積最大，為V，所以③P?ACE34正確；對④，當(dāng)E，P位置確定時，線段EP的垂直平分線構(gòu)成一個平面，它和底面的交點(diǎn)應(yīng)該是一條直線，所以④錯誤.故答案為：①③三、解答題（本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）18.1）答案見詳解6（2）3）構(gòu)造線線平行，證明線面平行；（2）借助等體積法求點(diǎn)到面的距離.【小問1如圖：連接，交BD于F，連接EF，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以F為中點(diǎn)，所以DBE，PADBEEF//PA，又EF平面平面，所以//平面DBE【小問2因?yàn)镻D平面⊥ABCD，AD平面ABCDPD⊥AD，所以，又，PD，⊥平面，PCPD=D，所以AD平面，⊥CD平面，所以⊥CD.所以底面ABCD為矩形.因?yàn)镋為PC中點(diǎn)，所以P、C到平面DBE的距離相等，設(shè)為h.1121由V=C?SPD=Sh，E?BCD331S=21=1PD=2，，而26中，BD=5，=2，BE=3，所以是直角三角形，且S=，216h==所以63，即為所求.23419.1）3（2）5（3）“銷售指數(shù)增長”的概率估計(jì)值最大）列舉出10個觀測組中的數(shù)據(jù)，求出符合題意的觀測組數(shù)據(jù)個數(shù)即可得出概率；（2）將銷售指數(shù)增長記為“1”，銷售指數(shù)下降記為“0”，得出每個月的增長指數(shù)情況，求出銷售指數(shù)增長月份恰有2個的數(shù)據(jù)組數(shù)，即可得出結(jié)論；（3）易知月份為“銷售指數(shù)增長”月，求出連續(xù)兩個月為增長的概率即可得出結(jié)論.【小問1根據(jù)題意可知，四個觀測組中的數(shù)據(jù)分別為：(()()()()()()，48,52,45,40,40,50,54)()()()；51,56,57,57,60至少有一個高于50萬的數(shù)據(jù)有8C18145P==所以從10個觀測組中任取一組，組內(nèi)三個月中至少有一個銷售量高于萬的概率【小問2；C第12頁/17頁將銷售指數(shù)增長記為“”，銷售指數(shù)下降記為“0”，則10個觀測組中的銷售指數(shù)可表示為：()()()()()()，()()()()；,,0,1,0,0,0,1,0,0,1,,觀測組中銷售指數(shù)增長月份恰有2個的共有6組，635P==即從10個觀測組中任取一組，抽到的觀測組中銷售指數(shù)增長月份恰有2個的概率【小問3；易知12月份為“銷售指數(shù)增長”月，12個月當(dāng)中每個月的銷售指數(shù)可表示為0，，1，100，11，0，11，，易得“銷售指數(shù)增長”的月份共有8個，上個月增長下個月也增長的月份共5個，即可知2024年1月份“銷售指數(shù)增長”和“銷售指數(shù)下降”的概5838率估計(jì)值分別為和,因此2024年1月份“銷售指數(shù)增長”的概率估計(jì)值最大.x2y220.1）+=163（2）(?0)a,b,c）根據(jù)長軸長與橢圓的離心率求得，進(jìn)而得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)l:y?1=與橢圓方程聯(lián)立后，得到韋達(dá)定理的形式，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出Q點(diǎn)坐標(biāo)，從而=y得到l方程；令x0可求得l在軸的截距，利用函數(shù)值域的求解方法可求得結(jié)果.【小問1由題意，2a26，即=a=6，c2又e==c=3，所以，a2故b2=a2?c2=6?3=3，x2y2+=1.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為63【小問2如圖，第13頁/17頁由題意知：直線l的斜率k存在且不為零，設(shè)l:y?1=k0Ax,y()，(Bx,y)，Qx,y中點(diǎn)()，，，AB112200y?1=1+2k)x+4?4=0，y，消去并整理得：2222聯(lián)立xy+=1630恒成立，4k1+x2k2k+21x+x=?0=2=?y=+1=1?，=則，122+2+00+2k122k112k212k22k1+2k1Q?,，21+2k2111=?x+2k1+2ky?y=?(x?x)y?，即則l方程為：，001+2k2k2k11y=?x?化簡得：k2k+121ym=m=?設(shè)直線l在軸上截距為，令x0得，2k2+1101可知?1m0，由2k+12所以直線l在軸上的截距的取值范圍為).y(?1,021.1）證明見解析；BMBA12=（2）．BB1⊥⊥1N平面，得出）利用面面垂直的性質(zhì)定理得平面，然后證明線面垂直線線垂直⊥，最后由等邊三角形得證中點(diǎn)；BM=k(0k（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)k值．，利用空間向量法求二面角的方法可求得BA第14頁/17頁【小問1CCBB1⊥，因?yàn)樗倪呅斡忠驗(yàn)槠矫鍮B1⊥是矩形，則11BBCC⊥=BC，BB1CC平面，11底面，面CC底面1111，AC平面，則1⊥，所以因?yàn)槠矫鍮N⊥ACBNBN,BB1BB1N，，，平面1111所以⊥平面BB1N，又BN平面BB1N，所以，⊥因?yàn)槭堑冗吶切危訬是中點(diǎn)；【小問2,NBx,y軸，過且平行于Nz的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，分別以所在直線為13B23,0)C(?0)B(0,23,4=23，，，，1C(A(2,0,0)，，1則BN=2所以BB=，BC=(?23,0)，111BM=k(0k，則BM=kBA=k(2,?23,0)=(2k,2k,0)，設(shè)BABM=BB+BM=(2k,?2k,，11BCMm=(x,y,z)，設(shè)平面的一個法向量為11mx?2?3z=0433x=3m=(3,k)，則，取，則mBC=2x?23y=0111N的一個法向量是n=0)，顯然平面因?yàn)槠矫?CBM1N與平面的夾