空間向量綜合講義

1、空間向量基本知識

2、空間向量求夾角(直線與直線、直線與平面、平面與平面)

3、空間向量證明三點(diǎn)共線(共面)

4、空間向量求點(diǎn)到平面的距離

5、空間向量證明垂直、平行

6、向量解決探索性問題

一、空間向量基本知識

一、空間向量及其加減運(yùn)算

1,空間向量

在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模.空間向量也可用

有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，若向量〃的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是B,則向量。也可以記作AB,

其模記為“或卜..

2.零向量與單位向量

規(guī)定長度為0的向量叫做零向量，記作0.當(dāng)有向線段的起點(diǎn)A與終點(diǎn)B重合時，AB=O.

模為1的向量稱為單位向量.

3.相等向量與相反向量

方向相同且模相等的向量稱為相等向量.在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量.空

間任意兩個向量都可以平移到同一個平面，成為同一平面內(nèi)的兩個向量.

與向量。長度相等而方向相反的向量，稱為。的相反向量，記為-

4.空間向量的加法和減法運(yùn)算

(1)0C=0A+OB=a+b,BA=OA-OB=a-h.如圖8T52所示.

圖8-152

(2)空間向量的加法運(yùn)算滿足交換律及結(jié)合律

a+b=b+a,(a+b\+c=a-￥(b+c\

二、空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

1.數(shù)乘運(yùn)算

實(shí)數(shù)幾與空間向量。的乘積稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算.當(dāng)幾>0時，義。與向量《方向相同；當(dāng)4<0時,

向量與向量。方向相反.Aa的長度是a的長度的|川倍.

2.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律

3,共線向量與平行向量

如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，。平

行于人記作。//尻

4,共線向量定理

對空間中任意兩個向量。，6,力0卜〃/"的充要條件是存在實(shí)數(shù)/I,使。=46.

5.直線的方向向量

幻圖8T53所示，/為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量。的直線.對空間任意一點(diǎn)。，點(diǎn)P在直線

/上的充要條件是存在實(shí)數(shù)人使。尸=OA+Z。①，其中向量。叫做直線/的方向向量，在/上取

則式①可化為OP=OA+/48=OA+/（。8-。4）=（1一I）OA+ZOB②

①和②都稱為空間直線的向量表達(dá)式，當(dāng)，二4，即點(diǎn)P是線段A3的中點(diǎn)時，OP=-（OA+OB\,

22、f

此式叫做線段的中點(diǎn)公式.

6,共面向量

如圖8-154所示，己知平面a與向量。，作0A=〃，如果直線04平行于平面。或在平面a內(nèi)，則說

明向量。平行于平面。.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

7.共面向量定理

如果兩個向量。,b不共線，那么向量p與向量。，力共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x,y）,

使〃=xa+yb.

推論：（1）空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對（xy）,使叱凰

或?qū)臻g任意一點(diǎn)。，有OP—OA=xAB+yAC,該式稱為空間平面ABC的向量表達(dá)式.

（2）已知空間任意一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)A,B,。，滿足向量關(guān)系式。。=%。4+），08+2。。（其

中x+y+z=l）的點(diǎn)尸與點(diǎn)A,B,C共面；反之也成立.

三、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

1.兩向量夾角

已知兩個非零向量〃，b,在空間任取一點(diǎn)0,作04=。，0B=b,則NA08叫做向量〃，力的夾

角，記作《酚，通常規(guī)定0?&正不，如果,,。）=工，那么向量人力互相垂直，記作

2.數(shù)量積定義

已知兩個非零向量〃，b,則忖卜底?b泄做a,6的數(shù)量積，記作。力，即〃力=*4]◎4匕）?

零向量與任何向量的數(shù)量積為0,特別地，〃?〃二,1.

3.空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律：

卜=ab=ba（交換律）；

〃.僅+c）=〃?/>+〃?（？（分配律）.

四、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用

（1）設(shè)。=（01，々2，%），^=（4也也），貝U。+右=（4+4，/+匕2，%+4）；

a-b=（a}-bva2一瓦,％一4）；

Aa=（2^,/kz2,2a3）；

ab=岫+%匕2+硬3；

a/!b（b/0）=>q=Ab^a2=x/?2,6z3=Ab3；

4_LbnqZ?i+a2b2+q4=0.

（2）設(shè)A（x，y,zJ,B（X2，^2,Z2）,則48=08_。4=（工2_耳，％_凹，22_4）?

這就是說，?個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的坐標(biāo).

（3）兩個向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公式.

=（4M2M3），b=（A也也），則忖=7?=y/a2+a2+a2

①已知4t23

卜卜店=Jb：+b；+b；；

ab=+a2b2+/4；

afy+帖2+ab

cos33

J.：+出2+%2折+]：+42

②已知A(x，y,zj,B(A^,y2,z2),則|同=J(XI一々)2+(y_%)2+(Z|_z?)2,

或者d(A8)=pB|.其中d(A8)表示A與3兩點(diǎn)間的距離，這就是空間兩點(diǎn)的距離公式.

向量〃在向量b上的射影為Wcos(〃,b)

[4)

(5)設(shè)〃(〃工0)是平面M的一個法向量，AB,CO是M內(nèi)的兩條相交直線，則〃?AB=0,由此

可求出一個法向量〃(向量AB及。。已知).

16)利用空間向量證明線面平行：設(shè)"是平面的一個法向量，/為直線/的方向向量，證明/?〃二0,

(如圖8-155所示).已知直線/(/<za),平面a的法向量〃，若/?〃=(),則///a.

：7)利用空間向量證明兩條異面直線垂直:在兩條異面直線中各取一個方向向量。，力，只要證明〃_L/?,

即。?方=0.

即證平面的一個法向量與直線的方向向量共線.

：9)證明面面平行、面面垂直，最終都要轉(zhuǎn)化為證明法向量互相平行、法向量互相垂直.

110)空間角公式.

①異面直線所成角公式：設(shè)4,匕分別為異面直線4,，2上的方向向量，。為異面直線所成角的大小,

ab

貝ijcos6=cos《,j

②線面角公式：設(shè)/為平面。的斜線，〃為/的方向向量，〃為平面a的法向量，。為

/\an

/與a所成角的大小,則sin6=cos(a,=—n--.

③二面角公式：

設(shè)〃I，4分別為平面。，￡的法向量，二面角的大小為2則夕=(“,%)或萬一(外,%)(需要根據(jù)

4?%

具體情況判斷相等或互補(bǔ))，其中|cosJ|=—.

飛曬

\AB-n\

(11)點(diǎn)A到平面a的距離為d,Bea,〃為平面a的法向量，則4二一^.

忖

空間向量及其運(yùn)算

思路提示

空間向量的運(yùn)算包括空間向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)運(yùn)算，可以類比平面向

量的運(yùn)算法則.

一、空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算

例8.41如圖8-156所示，已知空間四邊形OABC,點(diǎn)M,N分別為04,8C的中點(diǎn)，且0A=。，08=b,

0C=c,用。，b,c表示MN,則MN=.

B

圖8-156

變式1如圖8-157所示，已知空間四邊形O48C,其對角線為08,AC,M和N分別是對邊0A和

的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且MG=2GA,現(xiàn)用基向量OA,OB,0c表示向量0G,設(shè)

0G=xOAk-yORz(,則覆y,z的值分別是()

11

Ax=i，y=：7，z=

33

11

B.x=-,y=-,z=

33

11

C.x=-,y=-,z=

3o

圖8-157

變式2如圖8-158所示，在四面體O-4BC中，OA=a,OB=b,OC=c,。為8C的中點(diǎn)，E為A。

的中點(diǎn)，則。￡=（用。，b,c表示）.

變式3在空間四邊形ABC。中，連接對角線4c,8。，若MCD是正三角形,且E為其重心，則

13

。一己OE—A。的化簡結(jié)果為

22

變式4如圖8-159所示，在平行六面體4BCO-A旦G"中，M為AG與印鼻的交點(diǎn)，若

AD=h,然=。，則下列向量中與3M相等的向量是（）

B.—a+—b+c

22

11,

Dn.-a—b+c

22

圖8-159

二、空間共線向量定理的應(yīng)用

空間共線向量定理：a//b^b^^<=>a=Ab.

利用此定理可解決立體幾何中的平行問題.

例&42已知m=3〃-2b-4c/0,〃=(x+l)a+8Z?+2yc,且瓦c不共面，若加//〃，求的值.

二、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

=MWcos(a,b)=

abXW+yM+z-；

求模長時，可根據(jù)忖=\[a~=Qx；+yj+zj；

ab

求空間向量夾角時,可先求其余弦值cos(a,b).要判斷空間兩向量垂直時，可以求兩向量的數(shù)

a\\h

量積是否為0,即。為=00。J_h.

(。肉為銳角=。力>0；《，”為讀角=。力<0.由此，通常通過計算。力的值來判斷兩向量夾角

是銳角還是鈍角.

例8.43已知空間四邊形ABCO的每條邊和對角線的長都等于。，點(diǎn)瓦尸分別是BC,4。的中點(diǎn)，AE-

AF的值為().

Aa2B.B.-crC.-crD.—a2

244

變式1如圖8-161所示，已知平行六面體ABC。—A&GA中，ZA.AD=ZAiAB=ZDAB=60°,且

A,A=AB=AD=\f則AG=,

圖8-161

變式2如圖8-162所示，設(shè)A,及CO是空間不共面的4個點(diǎn)，且滿足AB-AC=0,ADAC=0,

ADAB=（）,則MS的形狀是（）.

A鈍角三角形8.直角三角形

C.銳角三角形。.無法確定

例8.44如圖8-163所示，在45。的二面角。一/一方的棱上有兩點(diǎn)AB,點(diǎn)CD分別在a/內(nèi)，且

AC1AB,ZABD=45°,AC=BD=AB=\,則CO的長度為.

變式1己知二面角。一/一夕為60。，動點(diǎn)P,Q分別在面a,/7內(nèi)，P到夕的距離為G，。到a的距離

為26，則P,Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為（）.

A.42B2C.2GDA

變式2在直角坐標(biāo)系中，設(shè)A（3,2）,8（-2,-3）,沿y軸把坐標(biāo)平面折成120。的二面角后，A8的長為

（）.

B.4五C.2y/3D2VH

np

例8.45如圖8-164所示,設(shè)動點(diǎn)P在棱長為1的正方體ABCD-ABGD1的對角線8。上，記上上=4.

D}B

當(dāng)4PC為鈍角時，求；I的取值范圍.

變式1已知正方體48co-4g的楂長為1,點(diǎn)、P在線段BD,±,當(dāng)4PC最大時，三棱錐P-ABC

的體積為（）.

1

D.

A卷立

例8.46如圖8-166所示，在四棱錐尸-ABC。中，側(cè)面24。為正三角形，底面ABCQ為正方形，側(cè)面

Q4Z>_L底面43CO,M為底面A3CO內(nèi)的一個動點(diǎn)，且滿足MP=MC,則點(diǎn)M在正方形43co內(nèi)的

軌跡為().

圖8-166

變式1到兩互相垂直的異面直線距離相等的點(diǎn)，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是

().

A直線A橢圓。.拋物線D雙曲線

變式2空間點(diǎn)到平面的距離定義如下：過空間一點(diǎn)作平面的垂線，這個點(diǎn)和垂足之間的距離叫做這個點(diǎn)到

這個平面的距離，已知平面a,。,y兩兩互相垂直，點(diǎn)Awa,點(diǎn)A到/，7的距離都是3,點(diǎn)尸是a上

的動點(diǎn)，滿足尸到￡的距離是點(diǎn)尸到點(diǎn)4距離的2倍,則點(diǎn)P的軌跡上的點(diǎn)到y(tǒng)的距離的最小值是

().

A3-68.3-26C.6-V3。.石

1.(2017?黃岡模擬)已知向量o=(2根+1,3,w-1),?=(2,小，一M，且a〃4則實(shí)數(shù)力的

值等于()

A垓B.-2C.OD/1或一2

Ei-,2〃?+13"1-1一0

斛析**CL//=7Z=，解付機(jī)=-2.

by/.52m—m

答案B

2.（2017?海南模擬）在正方體A8CD-A向Ci。】中,M,N分別為棱441和3止的中點(diǎn),則sin

〈e而，加v〉的值為（）

A」B"

a.9”?9J9

解析如圖，設(shè)正方體棱長為2,則易得加=（2,-2,1）,由V=（2,2,

CMD]N

-1),cos<CM,D^N)=*=_1.?.sin〈詼，疝)=

\CM\\DtN\?

4小

9-

答案B

3.空間四邊形ABC。的各邊和對角線均相等，E是5c的中點(diǎn)，那么（）

A.AE-BC<AE-CD

B.AE-BC=AE-CD

C.AE-BC>AE?CD

D.AE?比與施?加的大小不能比較

解析取3。的中點(diǎn)E連接EF,貝星CO,因?yàn)椤贷悾珽F）=〈循，CD>>90°,

因?yàn)槭?心=0,:.AE?cb<o,所以麗?反?

答案C

4.已知向量。=（1,1,0）,）=（—1,0,2）,且kr+〃與2°—。互相垂直，則左的值是（）

457

B-C-D-

A.-335

解析由題意得，ka-\-b=(k—1,k,2),2a-b=(392,-2).所以(hr+b>(2〃一方)=3(左一1)

+22-2X2=52—7=0,解得攵=,

答案D

5.己知空間四邊形4BCO的每條邊和對角線的長都等于如點(diǎn)日尸分別是BC,AO的中點(diǎn),

則危?B的值為（）

A./B.%C.(〃2D.乎A?

解析如圖，設(shè)筋=a,AC=/F,AD=C,/f\i;

則|Q|=|例=|c|=a,且Q,by。三向量兩兩夾角為60°.

一1?一1

AE=/(a+。)，AF=~jCyc

——1?1

??AE?A尸=](a+b)?呼

=4(ac+6c)=z(a2cos6004-tz2cos60°)=^2.

答案C

二、填空題

6.已知2a+￡?=(0,—5,10),c=(l,-2,-2),ae=4,向=12,則以b,。為方向向量的

兩直線的夾角為.

解析由題意得，(2a+A)?c=0+10—20——10.

即加?c+〃,c=—10,又:.b，c=118,

,,,、____________T8_1

??cos\bc/?ri?I/"與

瓦|c|12XW+4+42

???<瓦c>=120。，???兩直線的夾角為60。.

答案60°

7.正四面體A8CO的棱長為2,E,尸分別為BC,4。中點(diǎn)，則痔的長為.

解析|函2=(反?+⑶+兩2

=反〕2+⑸2+爐+2(反:?CD^-EC?DF+CD?DF)

=12+22+12+2(1X2XCOS120°+0+2X1Xcos120°)

=2,

：.\EF]=y[2t.??EF的長為也.

答案V2

8.(2017?南昌調(diào)研)已知空間四邊形OABC,其對角線為03,AC,M，N分別是04,的中

點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且俄=2礪，現(xiàn)用基底｛次，OB,無｝表示向量而，有肉=工宓

+yOB+zOCt貝y,z的值分別為.

解析\'dG=dM+MG=^dA-\-^MN

殖+,g(OB+OC)-；晶］

=ToOA4-5TOB3+zdC,

._1_1_1

9?x~6ry~yz~y

iii

答案6,3

三、解答題

9.已知空間中三點(diǎn)八(一2,0,2),8(—1,1,2),。(一3,0,4),設(shè)。一油，b~AC.

(1)若|c|=3,且c〃臟，求向量c

(2)求向量a與向量b的夾角的余弦值.

解(I)：。〃比，病=(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2),

c=mBC=/n(—2,—1,2)=(-2m,—m,2tn),

/.\c\=yl(—2m)2+(—m)2+(2/n)2=3|/n|=3,

/.7?z=±l..,.c=(—2,—1,2)或(2,1,—2).

(2)Va=(l,1,0),b=(-\f0,2),；.a?b=(l,1,0)-(-1,0,2)=-l,

又?,?同""百可"=啦，\b\=yl(-1)2+02+22=^5,

a-b-1Vio

cos(a,b)=麗=而=-10'

yio

即向量。與向量力的夾角的余弦值為-io'

10.如圖，在棱長為。的正方體。43C—QA山Cl中，E,尸分別是棱48,

BC上的動點(diǎn)，且AE=5F=x,其中OWxWo,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角

坐標(biāo)系Oxyz.

(1)寫出點(diǎn)E,產(chǎn)的坐標(biāo)；

(2)求證：4E1GE；

(3)若4,E,F,G四點(diǎn)共面，求證：

(1)解E(afx,0),F(a—x,a,0).

(2)證明?.?Ai(a,0,a),Ci(0,a,a),

-?-?

/./4iF=(—x,m-〃)，CiE=(a,x-a,—a),

,,A\F?G*fe=—4)+Q2=O,

：.MFLC^E,：.A\F±C\E.

(3)證明VAi,E,F,G四點(diǎn)共面，

*?AiEtA\C\,AiF共面.

選與A7%為在平面ACE上的一組基向量，則存在唯一實(shí)數(shù)對(為，”，使4>=加癡匕+

hA\Ei

即(一x,a,—a)=4i(—a,a,0)+/2(0,x,-a)

=(—a2i,。41+以2,一以2),

-x=-aX]f

?，?彳a=ak\+以2,

、一。=-ahf

解得.==42=1.于是4片=1而+人為.

11.在空間四邊形ABC。中，AB-CD+AC?DB+AD-BC=()

A.-lB.OC.lD.不確定

解析如圖，令筋=a,AC=b,AD=c,則筋?Cb+Xt?協(xié)+病?病A

=a?(c—b)+b?(0—c)+c*(b—a)/\

-----4D

=ac—ab-\-ba—bc-\-cb—ca=^./

答案B,

12.若｛a,b,c｝是空間的一個基底，且向量p=xa+)力+zc,則(x,y,z)叫向量p在基底｛〃，

b,c｝下的坐標(biāo).

已知｛a,b,c｝是空間的一個基底，｛Q+〃，a-byc｝是空間的另一個基底，一向量p在基底

[a,b,c｝下的坐標(biāo)為(4,2,3),則向量p在基底｛a+b,a-b,c｝下的坐標(biāo)是()

A.(4,0,3)B.(3,1,3)

C.(h2,3)D.(2,1,3)

解析設(shè)p在基底｛a+5，a—b,c｝下的坐標(biāo)為x,y,z.則

p=x(a+b)+y(a—力)+zc=(x-\-y)a+(x-y)b+zr,①

因?yàn)閜在｛a,b,c｝下的坐標(biāo)為(4,2,3),

「.p=4a+25+3c,②

x+y=4,pc=3,

x-y=2,：.<y=l,

｛z=3,lz=3,

即p在｛a+b,a-b,c｝下的坐標(biāo)為(3,1,3).

答案B

13.(2017?鄭州調(diào)研)已知。點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，向量殖=[1,2,3),05=(2,1,

2),OP=(1,1,2),且點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動，當(dāng)3?而取得最小值時，麗的坐標(biāo)是

解析??,點(diǎn)。在直線OP上，.??設(shè)點(diǎn)。(九A,22),

則QA=(1—2,2—z,3—22),QB=(2—2,1—A,2—22),

、

QA?2^=(1-2)(2-2)+(2-/l)(l-A)4-(3-2A)(2-2A)=6/l2-167l-F10=6U-1j2一|.即當(dāng)2

=g時，豆?詼取得最小值_|.此時詼=售，

、

答案(金443,38)

二、利用空間向量求夾角

>一、求直線與直線的夾角

兩異面直線所成角的求法

⑴定義法：過空間中任一點(diǎn)，分別作兩異面直線的平行線，則這兩條相交直線所成的銳角或

直角等于兩異面直

線所成的角.定義法求解的實(shí)質(zhì)就是將空間中兩異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面三角形的內(nèi)角

進(jìn)行求解.

⑵向量法：設(shè)異面直線〃的方向向量分別為〃，b,則異面直線Q,5所成角的余弦值等于

|cos(afh)|.

⑴異面直線所成角的求法

從兩異面直線上分別取與之共線的兩向量小,

1〃1?敢1

如圖①’83小|?|改|

例1：在長方體ABCD-ABCQi中，A8=8C=2AA，則直線與B￡所成角的余弦值為

【答案】Y

【解析】在長方體—中，AB=BC=2AA],

以短為原點(diǎn)，D4為刀軸，0c為y軸，0A為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)A8=BC=2AA=2,則4(2,0,0),C；(0,2/)，5,(2,2,1),C(0,2,0),

AC,=(-2,2,1),4。=(一2,0,-1).

\ACi-BiC\_3_>/5

設(shè)直線4G與BC所成角為氏則8s夕二

lACJIBC「囪?石一丁

直線AC）與B}C所成角的余弦值為日

2、已知直三棱柱ABC-AiBtCi中，ZABC=120°，AB=2fBC=CCi=lf則異面直線ABi

與8G所成角的余弦值為

所以A8i=(0,-2,1),BG=俘，-1,1)

0X乎+(-2)。(-9+(X1

?.ABi?BC\VTo

所以〈

cosABi,BCi)=-------------51

\ABiWBCil4。+(-2)2+rx

所以異面直線與BG所成角的余弦值為坐2

14.如圖所示，已知空間四邊形48co的每條邊和對角線長都等于1,點(diǎn)E,F,

G分別是A3,A。，CO的中點(diǎn)，計算:

⑴曲?法；（2）EG的長;

（3）異面直線AG與CE所成用的余弦值.

解設(shè)篇=a,AC=b,AD=c.

則|。|=|)|=|c|=1,〈a,b)=(b,c)=〈c,a}=60°,

⑴醞=；防=$一%，BA=~afDC=b-Cy

EF*旗=(gc-?(-a)=^a2—^a-c=^

(2)EG=EB+BC+CG=1a+b—a一/一于

=一呼1+.于1,+.呼1，

|的|2=102+/2+*一夕山+段辦.。—￡c?a=￡,

則|兩=坐

(3)AG=1zi+1c,CE=C4+AE=-/>+|a,

/方,擊、AG?CE2

cos<AG,CE)--------——彳，

\AG\\CE]

由于異面直線所成角的范圍是b，y,

2

所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為生

A二、求直線與平面的夾角

向量法求直線和平面所成的角

設(shè)0為直線/與平面a所成的角，°為直線/的方向向量V與平面a的法向量〃之間的夾角,

則有°=]-0（如圖1）或0=1+。（如圖2）,所以有sin^=|cos^|=|cos<v,n）l=Rj2特別地，

戶=0時,夕=，，Z±a;9=，時,。=0,Zua或/〃a.

圖1

⑵線面角的求法

設(shè)〃是平面a的法向量，油是直線/的方向向量，如圖②，則直線/與平面。所成的角滿

|力?/7

足sin0=

|加?|人

例2:正三棱柱A8C-44G的側(cè)棱與底面邊長相等，則AG與平面8片GC的夾角的余弦值為

【答案】乎

4

【解析】設(shè)AB=BBi=l,以8為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系如圖,

則￡(0,1,1),A,AC=

伴252。1tI*」

又平面BB?C的一個法向量w=(1,0,0),設(shè)AG與平面BB?C的夾角為。,

IAC；

則sin0=|cos<n,AC}>|=

4

故cos0-A/1-sin23=

4

2、(2018?高考全國卷I)如圖，四邊形A8CD為正方形，E,尸分別為

AO,3C的中點(diǎn)，以為折痕把△D/C折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)尸的位

置，且PPJLBR

(1)證明：PEF±Y?ABFD；

⑵求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

【解】(1)證明：由已知可得，BFLPF,BF1.EF,所以3凡L平面PEF.

z

又3尸u平面ABFD,\p

所以平面PE7LL平面43戶D.「

(2)作尸""LE凡垂足為”.由⑴得，PH_L平面"尸。.彳篇％---y

AXB

-A-?%

以"為坐標(biāo)原點(diǎn)，“尸的方向?yàn)閥軸正方向，酒川為單位長，建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz.

由(1)可得，。及1_尸艮又。尸=2,DE=1,所以又PF=1,EF=2t故PEJLPF.可得

尸”=乎,

EH=r

則”(0,0,0),電，0,從一L—0),OP=(1,1,"P=b，0,坐j為平面

ABFD的法向量.

設(shè)OP與平面48五。所成角為。，則sin0=

所以&尸與平面ABFD所成角的正弦值為坐.

>三、求平面與平面的夾角

向量法求二面角

設(shè)二面角“?//的平面角為僅OWOWTO,小，肛分別為平面”，少的法向量，向量〃1,小的夾

角為①，則有。+◎="(如圖1)或0=以如圖2),其中cos/=]7MTi.

圖1圖2

①如圖①，AB.C0分別是二面角。-/一4的兩個面內(nèi)與/垂直的異面直線，則二面角的平面角

AB?CD

0滿足cos0=

②②設(shè)川，〃2分別是二面角的兩個面處。的法向量，在圖②中二面角的平面角〃滿足

n.?n2

③在圖③中二面角a-/-。的平面角。滿足cos。=

I訃同

2求直線與平面所成角的方法

(1)先作出該角，再利用求角余弦公式來求。

(2)改求直線的方向向量與平面的法向量所成角的余角，如圖8—194所示，設(shè)直角/的方向向量為乙，

平面c的法向量為〃，直線/和平面a所成角為。，則或=匹，因?yàn)?的取值范圍

22

是［0白，所以sin6=|8SV〃>|=用㈣?

2|/|11?1

例8.56如圖8—195所示，四棱錐S/8CD中，底面48co為平行四邊形，側(cè)面SBCJ■底面48CD,已

知N4BC=45°,8c=2及，AB=2,SA=SB=5求直線S。與平面面S48所成角的正弦值。

變式1如圖8-197所示，在四棱錐P-48CD中，?。_1_底面488,

底面48CD為正方形，PD=DC,E,F分別是A8,P8的中點(diǎn)，求D8與平面DEF所成角的正弦值。

圖8-197

變式2如圖8-198所示，在四棱錐P-48CD中，底面48CD是矩形，以J_底面A8CD,PA=AD=4,AB=2,以AC

的中點(diǎn)。為球心，以AC為直徑的球面交PD于點(diǎn)M,求直線C。與平面4cM所成角的正弦值。

圖8-198

變式3,如圖8-199所示，四棱錐S-ABCD中，AB//CD,BC1CD,側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2,CD=SD=1.

求AB與平面SBC所成角的正弦值

圖8-199

3求平面與平面所成角的方法

（1）在平面a內(nèi)，aLl,在平面B內(nèi)，bl!（/是交線/的方向向量），其方向如圖8-200所示，則二

面角a-/-P的平面角的余弦值為巴2。

\a\b\

⑵設(shè)小，叼是二面角a-/-B的兩個半平面的法向量，其方向一個指向二面角內(nèi)惻，另一個指向二面角的外側(cè),

則二面角a-1-B的余弦值為"的

1%1的1

例8.57如圖8-201所示，已知四棱錐P-48CD,底面ABCD為菱形,%底面ABCD,%=48=2,ZABC=60°,

￡F分別為8C,PC的中點(diǎn)，求二面角E-4F-C的余弦值。

圖8-201圖8-202

變式1如圖8203所示，己知四極錐PABCD,PB±ADf側(cè)面PAD是邊長等于2的正三角形，底面ABCD

為棱形，側(cè)面外。與底面48CD所成二面角為120°,求平面APB與平面CP8所成二面角的余弦值。

圖8-203

變式2如圖8-204所示，四棱錐S/8CD中，5。_L底面488,AB//DC,AD1DC,AB=AD=1,DC=SD=2,

E為棱S8上一點(diǎn)，平面EDC_L平面S8C,求二面角4DE-C的大小。

圖8-204

變式3如圖8-205所示，直三棱柱ABC-ASG中，N4C8=90°,AC=1,CB=叵

,側(cè)棱e=1,側(cè)面A4|818的兩條對角線的交點(diǎn)為D,用弓的中點(diǎn)為M，求平面用8。與平面CDM所成二

面角的正弦值。

圖8-205

例3:正方體—中，二面角4一3。一片的大小是

__._2兀

【答案】—

【解析】設(shè)正方體ABC。-AqGA的棱長為1,以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。一孫Z,

41,0,0),8(1,1,0),D,(0,0,1),4(1/,1),BA=(O,-1,O),,BBX=(0,0,1),

BA-n=-y=0

設(shè)平面43。的法向量〃=(%,)，,z),貝1卜

RR-n=-x—y+z=0

取x=l,得〃=(1,0,1),

BB[mc=0

設(shè)平面B/R的法向量m=(a,),c),貝i卜

BD、-m

取4=1,得〃2=(10),

設(shè)二面角A—82一4的平面角為。，cos^=-1cos<m,n>\=--,

???二面角A—8R一用的大小為吃,

2、(2018?沈陽教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(一))如圖，在四棱錐中，平面R1O_L平面A3CD,底面

ABCD是正方形,且P4=PD,ZAPD=90°.

(1)證明：平面R1B_L平面尸CD；

⑵(一題多解)求二面角A?PB-C的余弦值.

解：取AO的中點(diǎn)為0,8C的中點(diǎn)為Q,連接尸。，0Q

易得PO_L底面ABC。，OQA.AD,

以。為原點(diǎn)，OA,0Q,。〃的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如

圖，不妨設(shè)正方形A3CO的邊長為2,

可得A(L0,0),5(1,2,0),C(-l,2,0),P(0,0,1).

設(shè)平面AM的法向量為〃i=(xi,以，zi),

而Rl=(l,0,-1),PB=(lf2,-1).

ni?PA=Qfxi-zi=0,

Ai+2yi-zi=0,

、〃i?尸3=0,

則8=0,取xi=L得川=(L0,1)為平面AP3的一個法向量.

設(shè)平面3cp的法向量為〃2=(必，力，Z2)，

而尸6=(1,2,-1),PC=(-1,2,-1),

H2?尸5=0,(X2+2J2—Z2=0,

則3

f1一刈+2力—Z2=0,

Jl2?PC=0,

則X2=0,取x=l,得〃2=(0,1,2)為平面8cp的一個法向量.

?〃21X0+0X1+1X2__2__迎

所以COS51,〃2〉-

|ni|?\n2\~yJlXyfs一畫一5

由圖易知二面角A?P3?C為鈍角，

故一面角A.PB.C的余弦值為一手.

3、(2018?高考全國卷H)如圖，在三棱錐尸中，AB=BC=2小,PA

=PB=PC=AC=4f。為AC的中點(diǎn).

(1)證明：PO_L平面ABC；

⑵若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M.RVC為30°,求尸C與平面E4M所

成角的正弦值.

解：(2)如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。/5的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直

角坐標(biāo)系。一孫z.

由已知得。(0,0,0),5(2,0,0),4(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,

25AP=(0,2,2回取平面/4C的一個法向量。8=(2,0,0).

設(shè)M(a,2-af0)(0VGW2),則AM=(a,4~a,0).

設(shè)平面P4M的法向量為〃=(x,j,z).

由A尸?〃=(),AM?〃=0得

2y+2bz=0,廠r

1i.、八可取〃=(小(a—4)，y[3a-a)

ax-r(4—。)j=0,9

/、2A/3(a-4),.、S

所以cos〈03,n)=/V/、.由已知可得|cos(OB,〃〉|=4~,

2\3(a—4)T~3a~十a(chǎn)~L

所以;hJ呼X2上2=乎，解得“=一4(舍去)，a=1,

2弋3(。-4)2+3a2+a223

所以〃=(—單，唾，一?.

V00。,

又PC=(O,2,一2小),所以cos(PC,n)=乎.

所以PC與平面所成角的正弦值為半.

一、選擇題

1.(2016?長沙模擬)在正方體4B1CQ-ABC。中，AC與辦。所成的角的大小為()

HJTJT

A不

TB.彳C.D-5"

解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為1,則A(0,0,

0),0(1,1,0),B1(1,0,1),。(0,1,0).

?,?危=(1,1,0),助=(—1,1,-1),

VAC-1X(-1)4-1XI+0X(-1)=0,

9

..AC-LBiDf

與BiO所成的角為仁?.

答案D

2.(2017?鄭州調(diào)研)在正方體ABCD-A\B\C\D\中,BBy與平面AC"所成角的正弦值為()

A坐B坐

解析設(shè)正方體的棱長為1,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,DC,所在直線分

別為x軸、)，軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.則B(l,1,0),Bi(l,

1,1),41,0,0),C(0,1,0),Di(0,0,1),

所以防1=(0,0,1),AC=(-1,1,0),A5|=(-1,0,1).

令平面ACD1的法向量為〃=a，y,z),則〃?危=—x+y=0,小4萬=—x+z=0,令x=l,

可得w=(l,1,1),

1_二近

所以sin0—|cos〈〃，BB\}|=

V3X1-3，

答案B

3.在正方體A8CO—中，點(diǎn)E為區(qū)囪的中點(diǎn)，則平面4助與平面ABCO所成的銳

二面角的余弦值為（）

B.|

A2c坐D.等

解析以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直