課后素養落實(三十三)對數函數的圖象和性質(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．若函數y＝f(x)是函數y＝3x的反函數，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值為()A．－log23 B．－log32C．eq\f(1,9) D．eq\r(3)B[由題意可知f(x)＝log3x，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝log3eq\f(1,2)＝－log32，故選B.]2．已知函數f(x)＝loga(x－1)＋4(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點Q，則Q點坐標是()A．(0,5) B．(1,4)C．(2,4) D．(2,5)C[令x－1＝1，即x＝2，則f(x)＝4.即函數圖象恒過定點Q(2,4)．故選C.]3．函數f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的圖象必不過()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限A[∵f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)，∴其圖象如圖所示，故選A.]4．函數f(x)＝|eqlog\s\do5(\f(1,2))x|的單調遞增區間是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．(0,1]C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)D[f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知單調遞增區間為[1，＋∞)．]5．已知logaeq\f(1,3)>logbeq\f(1,3)>0，則下列關系正確的是()A．0<b<a<1 B．0<a<b<1C．1<b<a D．1<a<bA[由logaeq\f(1,3)>0，logbeq\f(1,3)>0，可知a，b∈(0,1)，又logaeq\f(1,3)>logbeq\f(1,3)，作出圖象如圖所示，結合圖象易知a>b，∴0<b<a<1.]二、填空題6．假如函數f(x)＝(3－a)x與g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的增減性相同，則實數a的取值范圍是________．(1,2)[由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<3－a<1，,0<a<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－a>1，,a>1，))解得1<a<2.∴實數a的取值范圍是(1,2)．]7．若logaeq\f(2,3)<1，則a的取值范圍是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))∪(1，＋∞)[原不等式等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,\f(2,3)>a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,\f(2,3)<a，))解得0<a<eq\f(2,3)或a>1，故a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))∪(1，＋∞)．]8．設a>1，函數f(x)＝logax在區間[a,2a]上的最大值與最小值之差為eq\f(1,2)，則a＝________.4[由題意可知f(x)＝logax在[a,2a∴f(x)max－f(x)min＝loga2a－logaa＝eq\f(1,2)，∴loga2＝eq\f(1,2)，∴aeq\f(1,2)＝2，∴a＝4.]三、解答題9．已知f(x)＝log3x.(1)作出這個函數的圖象；(2)若f(a)<f(2)，利用圖象求a的取值范圍．[解](1)作出函數f(x)＝log3x的圖象如圖所示．(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由圖象知：當0<a<2時，恒有f(a)<f(2)．所以所求a的取值范圍為0<a<2.10．已知a＞0且滿意不等式22a＋1＞2(1)求實數a的取值范圍；(2)求不等式loga(3x＋1)<loga(7－5x)的解集；(3)若函數y＝loga(2x－1)在區間[1,3]上有最小值為－2，求實數a的值．[解](1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，∴a(2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga(3x＋1)<loga(7－5x)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋1>0，,7－5x>0，,3x＋1>7－5x，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－\f(1,3)，,x<\f(7,5)，,x>\f(3,4)，))解得eq\f(3,4)<x<eq\f(7,5).即不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(7,5))).(3)∵0＜a＜1，∴函數y＝loga(2x－1)在區間[1,3]上為減函數，∴當x＝3時，y有最小值為－2，即loga5＝－2，∴a－2＝eq\f(1,a2)＝5，解得a＝eq\f(\r(5),5).1．已知lga＋lgb＝0，則函數f(x)＝ax與函數g(x)＝－logbx的圖象可能是()ABCDB[由lga＋lgb＝0，得lg(ab)＝0，所以ab＝1，故a＝eq\f(1,b)，所以當0＜b＜1時，a＞1；當b＞1時，0＜a＜1.又因為函數y＝－logbx與函數y＝logbx的圖象關于x軸對稱．利用這些信息可知選項B符合0＜b＜1且a＞1的狀況．]2．(多選)已知函數f(x)＝logax(a>0，a≠1)圖象經過點(4,2)，則下列命題正確的有()A．函數為增函數B．函數為偶函數C．若x>1，則f(x)>0D．若0<x1<x2，則eq\f(fx1＋fx2,2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))ACD[由題知2＝loga4，a＝2，故f(x)＝log2x.函數為增函數，故A正確；f(x)＝log2x不為偶函數，故B錯誤；當x>1時，f(x)＝log2x>log21＝0成立，故C正確；因為f(x)＝log2x往上凸，故若0<x1<x2，則eq\f(fx1＋fx2,2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))成立，故D正確．]3．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，則a，b，c的大小關系為________．a>c>b[∵a＝eq\f(log43.6,log42)＝2log43.6＝log43.62，又函數y＝log4x在區間(0，＋∞)上是增函數，3.62>3.6>3.2，∴log43.62>log43.6>log43.2.∴a>c>b.]4．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x，x>0，,3x，x≤0，))f(f(－1))＝________；若直線y＝a與函數f(x)的圖象恒有兩個不同的交點，則a的取值范圍是________．－1(0,1][∵f(－1)＝3－1＝eq\f(1,3)，∴f(f(－1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝log3eq\f(1,3)＝－1.函數f(x)的圖象如圖所示，要使直線y＝a與f(x)的圖象有兩個不同的交點，則0<a≤1.]若不等式x2－logmx<0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))內恒成立，求實數m的取值范圍．[解]由x2－logmx<0，得x2<logmx，在同一坐標系中作y＝x2和y＝logmx的草圖，如圖所示．要使x2<logmx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))內恒成立，只要y＝logmx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))內的圖象在y＝x2的上方，于是0<m<1.∵x＝eq\f(1,