第三章函數(shù)3.2函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系知識梳理1.函數(shù)的零點(diǎn)一般地，如果函數(shù)y＝f(x)在實(shí)數(shù)α處的函數(shù)值等于零，即f(α)＝0，則稱α為函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．函數(shù)的零點(diǎn)方程的根函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)兩函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)2．二次函數(shù)的零點(diǎn)及其與對應(yīng)方程、不等式解集之間的關(guān)系一般地，由一元二次方程解集的情況可知，對于二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)：（1）當(dāng)Δ＝b2－4ac＞0時，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中有兩個元素x1，x2，且x1，x2是f(x)的兩個零點(diǎn)，f(x)的圖像與x軸有兩個公共點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)；（2）當(dāng)Δ＝b2－4ac＝0時，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中只有一個元素x0，且x0是f(x)唯一的零點(diǎn)，f(x)的圖像與x軸有一個公共點(diǎn)；（3）當(dāng)Δ＝b2－4ac＜0時，方程ax2＋bx＋c＝0沒有實(shí)數(shù)根，此時f(x)無零點(diǎn)，f(x)的圖像與x軸沒有公共點(diǎn)．3.零點(diǎn)存在性定理（判定函數(shù)零點(diǎn)的）如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個也就是方程的根。注意：=1\*GB3①不滿足的函數(shù)也可能有零點(diǎn).=2\*GB3②若函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)曲線，則是在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)的充分不必要條件.4.用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值在函數(shù)零點(diǎn)存在定理的條件滿足時，即f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的，且f(a)·f(b)＜0，給定近似的精確度ε，可用二分法求零點(diǎn)x0的近似值x1，常見考點(diǎn)考點(diǎn)一求函數(shù)的零點(diǎn)典例1．函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】D【解析】【分析】令，求出方程的解，即可得到函數(shù)的零點(diǎn).【詳解】解：令，即，解得，所以函數(shù)的零點(diǎn)為；故選：D變式11．二次函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A．， B．，1C．， D．，【答案】A【解析】【分析】函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，求解即可．【詳解】解：二次函數(shù)的零點(diǎn)就是的解，解得，或，故選：A．變式12．函數(shù)f（x）＝﹣x2+5x﹣6的零點(diǎn)是（）A．（﹣2，3） B．2，3 C．（2，3） D．﹣2，﹣3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)的概念，令求出的值即為答案.【詳解】解：由﹣x2+5x﹣6＝0得x＝2或x＝3．所以函數(shù)的零點(diǎn)為2或3．故選：B．變式13．函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】令即得解.【詳解】令.所以函數(shù)的零點(diǎn)是.故選：B考點(diǎn)二判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)典例2．函數(shù)在區(qū)間(1，3)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】先證明函數(shù)的單調(diào)遞增，再證明，即得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(1，3)內(nèi)都是增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間(1，3)內(nèi)都是增函數(shù)，又所以，所以函數(shù)在區(qū)間(1，3)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)是1.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查零點(diǎn)定理，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.變式21．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程的解的問題，通過對方程求解，得出函數(shù)的零點(diǎn).【詳解】當(dāng)時，令，解得或（舍）；當(dāng)時，令，解得或（舍）∴或?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)，則函數(shù)有個零點(diǎn).故選：B.變式22．方程在內(nèi)實(shí)根的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【詳解】試題分析：令，由得或；由得；又f（0）=7＞0，f（2）=1＜0，∴方程在（0，2）內(nèi)有且只有一實(shí)根．故選B．考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)．變式23．已知函數(shù)，則函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】當(dāng)時和時，分別化簡函數(shù)的解析式可直接判斷零點(diǎn)的個數(shù).【詳解】當(dāng)時，，所以不存在零點(diǎn)；當(dāng)時，，也不存在零點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為0.故選：A.考點(diǎn)三判斷零點(diǎn)所在區(qū)間典例3．已知函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】分別驗(yàn)證選項(xiàng)中區(qū)間端點(diǎn)處的符號，由零點(diǎn)存在定理可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；由零點(diǎn)存在定理可知：單調(diào)遞增函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：B.變式31．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理即可判斷求解.【詳解】∵f(x)定義域?yàn)镽，且f(x)在R上單調(diào)遞增，又∵f(1)＝－10＜0，f(2)＝19＞0，∴f(x)在(1，2)上存在唯一零點(diǎn).故選：B.變式32．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)解析式判斷單調(diào)性，再應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】因?yàn)樵赗上單調(diào)遞減，且，所以的零點(diǎn)所在區(qū)間為．故選：A變式33．已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，一定包含零點(diǎn)的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理說明．【詳解】解：因?yàn)椋裕蔬x：C.【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)存在定理，屬于基礎(chǔ)題．考點(diǎn)四根據(jù)函數(shù)零的個數(shù)求參數(shù)的范圍典例4．如果二次函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，那么的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】首先根據(jù)題意得到，再解不等式即可.【詳解】因?yàn)槎魏瘮?shù)有兩個不同的零點(diǎn)，所以，解得或.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)，屬于簡單題.變式41．已知二次函數(shù)在上有且只有一個零點(diǎn),則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由題可知：本題可以轉(zhuǎn)化為方程在上有唯一實(shí)根問題.利用一元二次方程的判別式以及二次函數(shù)的相關(guān)知識分類討論,可以求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】當(dāng)方程在上有兩個相等的實(shí)數(shù)根時，有，此時無解.當(dāng)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根時,分下列三種情況討論:①有且只有一根在上時,有,即,解得.②當(dāng)時,,方程化為，解得，,滿足題意；③當(dāng)時,,方程可化為解得,,滿足題意.綜上所述:實(shí)數(shù)m的取值范為.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了已知二次函數(shù)在閉區(qū)間有唯一零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍問題,考查了分類討論思想.變式42．函數(shù)f(x)＝|x|－k有兩個零點(diǎn)，則()A．k＝0 B．k>0C．0≤k<1 D．k<0【答案】B【解析】【分析】令，變?yōu)椋嫵龊偷膱D像，有兩個交點(diǎn)的地方即是的取值范圍.【詳解】令，變?yōu)椋嫵龊偷膱D像如下圖所示，由圖可知可以取任何的正數(shù)，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷.將原來一個函數(shù)，變?yōu)閮蓚€函數(shù)，然后分別畫出兩個函數(shù)的圖像，有兩個交點(diǎn)的地方即原函數(shù)有兩個零點(diǎn).屬于基礎(chǔ)題.變式43．已知函數(shù)若函數(shù)有2個零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)的性質(zhì)畫出函數(shù)圖像，將問題化為與有2個交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求的范圍.【詳解】由題意，與有2個交點(diǎn)，當(dāng)時，遞增且值域?yàn)椋划?dāng)時，在上遞減，上遞增且值域?yàn)椋凰缘膱D像如下：由圖知：時，有2個零點(diǎn).故選：A考點(diǎn)五二分法求零點(diǎn)近似值典例5．下面關(guān)于二分法的敘述，正確的是（

）A．用二分法可求所有函數(shù)零點(diǎn)的近似值B．用二分法求方程的近似解時，可以精確到小數(shù)點(diǎn)后的任一位C．二分法無規(guī)律可循D．只有在求函數(shù)零點(diǎn)時才用二分法【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二分法的概念對進(jìn)行判斷,可以排除,從而選B.【詳解】只有函數(shù)的圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷且在該零點(diǎn)左右兩側(cè)函數(shù)值異號，オ可以用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的近似值，故A錯；二分法有規(guī)律可循，可以通過計算機(jī)來進(jìn)行，故C錯；求方程的近似解也可以用二分法，故D錯.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了二分法的概念,屬于基礎(chǔ)題.變式51．下列函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的條件進(jìn)行判斷可知.【詳解】只有的圖象是連續(xù)不斷的，且在零點(diǎn)左右兩側(cè)函數(shù)值異號，オ能利用二分法求零點(diǎn)，選項(xiàng)C中恒成立.因此不能用二分法求零點(diǎn).故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了二分法求函數(shù)零點(diǎn)的條件,屬于基礎(chǔ)題.變式52．下列函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的條件逐個分析判斷可得.【詳解】在A和D中，函數(shù)雖有零點(diǎn)，但在零點(diǎn)左右兩側(cè)函數(shù)值同號，因此它們都不能用二分法求零點(diǎn)；在B中，函數(shù)無零點(diǎn)；在C中，函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，且圖象與x軸有交點(diǎn)并且其零點(diǎn)左右兩側(cè)函數(shù)值異號，所以C中的函數(shù)能用二分法求零點(diǎn).故選C【點(diǎn)睛】本題考查了用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的條件,屬于基礎(chǔ)題.變式53．用二分法研究的零點(diǎn)時，第一次經(jīng)過計算，，可得其中一個零點(diǎn)________，第二次計算________，以上橫線應(yīng)填的內(nèi)容分別是（

）A．； B．；C．； D．；【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二分法思想分析可得.【詳解】的圖像在上連續(xù)并且，，可得其中一個零點(diǎn)，使得.根據(jù)二分法思想可知在第二次計算時，應(yīng)計算，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了二分法求函數(shù)零點(diǎn)的步驟,屬于基礎(chǔ)題.鞏固練習(xí)練習(xí)一求函數(shù)的零點(diǎn)1．函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】直接求出函數(shù)的零點(diǎn)即可求解.【詳解】令可得，因?yàn)椋院瘮?shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間是，故選：A.2．函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A．，1 B． C．，1 D．【答案】A【解析】【分析】令函數(shù)值為0，解方程，即可得出結(jié)論．【詳解】令，解得或函數(shù)的零點(diǎn)為故選：．3．函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】令，解方程求得結(jié)果.【詳解】由得：，解得：，的零點(diǎn)是.故選：A.【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)指的是函數(shù)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，不可寫成點(diǎn)的坐標(biāo)的形式.4．函數(shù)零點(diǎn)是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】B【解析】解方程，即可得出函數(shù)的零點(diǎn).【詳解】解方程，即，解得或.因此，函數(shù)的零點(diǎn)是和.故選：B.練習(xí)二判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)5．方程|x|－＝0(a>0)的零點(diǎn)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．至少1個【答案】A【解析】【分析】轉(zhuǎn)化成函數(shù)的交點(diǎn)問題即可.【詳解】令，作出兩個函數(shù)的圖象，如圖，從圖象可以看出，交點(diǎn)只有1個.故選：A6．函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)的問題，繪制函數(shù)圖像確定其個數(shù)即可.【詳解】令可得，則原問題等價于考查函數(shù)與的交點(diǎn)的個數(shù)，繪制函數(shù)圖像如圖所示，觀察可得，交點(diǎn)的個數(shù)為2個，即零點(diǎn)個數(shù)為2.故選：C7．方程的解的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】將題意轉(zhuǎn)化為的圖象與的圖象交點(diǎn)的個數(shù)即可得結(jié)果.【詳解】∵，∴.而的圖象如圖，∴的圖象與的圖象總有兩個交點(diǎn)，即方程的解的個數(shù)是2，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程根的問題，利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.8．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)得出即可．【詳解】本題考查函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判定，屬于基礎(chǔ)題．函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)即為與的交點(diǎn)個數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)圖象如圖所示：由圖象可知與有2個交點(diǎn)，即函數(shù)的零點(diǎn)有兩個．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了求函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.練習(xí)三判斷零點(diǎn)所在區(qū)間9．已知方程僅有一個正零點(diǎn)，則此零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)根的存在性定理對選項(xiàng)判斷即可．【詳解】設(shè)，因?yàn)椋愿鶕?jù)根的存在性定理可知，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為，故A選項(xiàng)正確；而，，，所以和，不能根據(jù)根的存在性定理判斷，故B、C、D不正確．故選：A10．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷．【詳解】，，，所以零點(diǎn)在上．故選：D．11．方程的根所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】計算各個區(qū)間的端點(diǎn)的函數(shù)值，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋＃驗(yàn)椋愿鶕?jù)零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，所以方程的根所在的區(qū)間為.故選：B12．下列區(qū)間中，函數(shù)一定存在零點(diǎn)的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，求得，結(jié)合零點(diǎn)的存在定理，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，可得，由零點(diǎn)的存在性定理，可得函數(shù)一定存在零點(diǎn)的區(qū)間是.故選：B.練習(xí)四根據(jù)函數(shù)零的個數(shù)求參數(shù)的范圍13．函數(shù)．若在內(nèi)恰有一個零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由題知為一次函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得，再解不等式即可.【詳解】解：當(dāng)時，函數(shù)為常函數(shù)，沒有零點(diǎn)，不滿足題意，所以為一次函數(shù)，因?yàn)樵趦?nèi)恰有一個零點(diǎn)，所以，即，解得或.故的取值范圍是.故選：C14．已知函數(shù)，若方程恰有兩個不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】將方程有兩個不等的實(shí)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象有兩個交點(diǎn)，作出圖象，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想即可得出結(jié)果.【詳解】方程恰有兩個不等的實(shí)根，等價于與的圖象有兩個交點(diǎn)，的圖象如圖所示，平移水平直線可得，故選：B.15．已知函數(shù)若函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】畫出的圖象，根據(jù)圖象與有兩個交點(diǎn)來求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.，.令，得.作出函數(shù)、的大致圖象如圖所示，觀察可知，.故選：D16．函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】【分析】令，根據(jù)圖象交點(diǎn)有兩個即可求解參數(shù)．【詳解】由得令，如圖所示：當(dāng)時，即，有兩個根；當(dāng)時，即，有兩個根；所以或時，函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)．故選：D練習(xí)五二分法求零點(diǎn)近似值17．關(guān)于用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，下列說法中正確的是（

）A．函數(shù)只要有零點(diǎn)，就能用二分法求出其近似值B．零點(diǎn)是整數(shù)的函數(shù)不能用二分法求出其近似值C．多個零點(diǎn)的函數(shù)，不能用二分法求零點(diǎn)的近似解D．一個單調(diào)函數(shù)如果有零點(diǎn)，就能用二分法求出其近似值【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二分法求函數(shù)零點(diǎn)的原理依次判斷即可得答案.【詳解】解：根據(jù)二分法求函數(shù)零點(diǎn)的原理，當(dāng)零點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值必須異號才可以求解，故A選項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，二分法求函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)零點(diǎn)的特征沒有關(guān)系，故B選項(xiàng)錯誤