第36練圓的方程、直線與圓及圓與圓的位置關系一、課本變式練1.（人A選擇性必修一P88習題2.4T1變式）已知圓方程的圓心為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，即，所以圓心坐標為；故選C2.（人A選擇性必修一P98習題2.5T13變式）如果圓上總存在兩個點到原點的距離為，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】問題可轉化為圓和圓相交，兩圓圓心距，由得，解得，即.故選D3.（人A選擇性必修一P98習題2.5T3變式）若直線與圓相交所得的弦長為，則_____．【答案】【解析】圓的圓心坐標為，半徑為，圓心到直線的距離為，由勾股定理可得，因為，解得.4.（人A選擇性必修一P88習題2.4T9變式）已知動點到的距離是到的距離的2倍，記動點的軌跡為，直線：與交于，兩點，若（點為坐標原點，表示面積），則___________．【答案】【解析】設，則，整理得．設，．聯立，整理得，故①，②．又，故③．聯立①②③，解得．二、考點分類練(一)圓的方程5.若方程表示一個圓，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，則.故選A6.設點M在直線上，點和均在上，則的方程為______________．【答案】【解析】∵點M在直線上，∴設點M為，又因為點和均在上，∴點M到兩點的距離相等且為半徑R，∴，，解得，∴，，的方程為.7.已知圓C的圓心為點，且與坐標軸相切.(1)求圓C的方程；(2)求直線被圓C所截得的弦長.【解析】（1）∵圓C的圓心為點，且與坐標軸相切，∴圓C的半徑為，∴圓C的方程為.（2）∵圓C的圓心，∴圓心C到直線l的距離為.∴所求的弦長為.(二)直線與圓8．（2022屆重慶市第八中學校高三下學期適應性月考）直線截圓截得的弦長為（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【解析】圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以弦長為.故選D.9.已知過點作圓的兩條切線，，切點分別為，，則直線必過定點（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】圓的方程可化為，所以圓心.則以為直徑的圓的圓心為，設以為直徑的圓的半徑為，則.所以以為直徑的圓的方程為.過點作圓的切點分別為，,兩圓的交點為,,即兩圓的公共弦為.將兩圓的方程相減可得直線的方程為，即.令得.所以直線必過定點.故選A.10.知點是函數的圖象上的動點，則的最小值為__________.【答案】20【解析】由整理得，可知其圖象是半圓，圓心為，半徑為.又，其幾何意義為點到直線距離的5倍，故分析點到直線距離的最小值即可.如圖，作直線，點C到直線的距離，所以到直線的距離的最小值為，即的最小值為4，所以的最小值為.(三)圓與圓11.圓與圓的位置關系為（

）A．相交 B．內切 C．外切 D．相離【答案】A【解析】由與圓，可得圓心，半徑，則，且，所以，所以兩圓相交.故選A.12.（2023屆廣東省七校聯合體高三上學期第一次聯考）已知圓.若圓與圓有三條公切線，則的值為___________.【答案】【解析】由，得，所以圓的圓心為，半徑為，因為圓，所以圓的圓心為，半徑為，因為圓與圓有三條公切線，所以圓與圓相外切，即，解得，所以的值為.13.如圖，圓與圓內切，且，大圓的半徑為5.過動點P分別作圓?圓的切線PM?PN（M?N分別為切點），使，試通過建立適當的平面直角坐標系，求動點P的軌跡.【解析】如圖，以所在直線為軸，以的中點為原點，建立直角坐標系，則，設，連接則根據勾股定理可得，，，由，可得，平方整理可得：，所以動點P的軌跡為圓心為，半徑為的圓.(四)與圓有關的軌跡與最值問題14.（多選）（2022屆】湖南省邵陽市第二中學高三下學期全真模擬）已知為坐標原點，圓：，則下列結論正確的是（

）A．圓與圓內切B．直線與圓相離C．圓上到直線的距離等于1的點最多兩個D．過直線上任一點作圓的切線，切點為，，則四邊形面積的最小值為【答案】ACD【解析】圓的圓心，半徑，而圓的圓心，所以，所以圓與圓內切，A正確；圓心到直線的距離，故圓和直線相切或相交，B錯誤；因為圓心到直線的距離為：，因為，又因為圓的半徑為1，所以上到直線的距離等于1的點最多兩個，故C正確；過直線上任一點作圓的切線，切點為，，四邊形面積為：，當垂直直線時，有最小值，且，因為，所以，則四邊形面積的最小值為，故D正確.故選ACD.15.（2023屆河南省鄭州市第四高級中學高三第一次調研）已知圓，點P是直線上的動點，過P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則的最小值為______．【答案】【解析】圓，即，由于PA，PB分別切圓C于點A，B，則，，，所以，因為，所以，又，所以，所以，即，所以最短時，最短，點C到直線的距離即為的最小值，所以，所以的最小值為16.已知圓，平面上一動點滿足：且，．求動點的軌跡方程；【答案】【解析】設，由，所以，整理得，即動點的軌跡方程．三、最新模擬練17.（2022屆浙江省杭州二中、溫州中學，金華一中三校高三下學期5月仿真模擬）過x軸正半軸上一作圓的兩條切線，切點分別為A，B，若，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【解析】如圖，連接交于點，易得，，由，最小時，最大，又，可得，即，最大時，最小，最小；又，則，故的最小值為1.故選A.18.（2022屆廣東省潮州市瓷都中學高三下學期第三次模擬）圓C：上恰好存在2個點，它到直線的距離為1，則R的一個取值可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】圓C：的圓心，半徑R，點C到直線的距離為圓C上恰好存在2個點到直線的距離為1，則，故選B19.（多選）（2022屆山東省青島市高三下學期5月二模）已知，則下述正確的是（

）A．圓C的半徑 B．點在圓C的內部C．直線與圓C相切 D．圓與圓C相交【答案】ACD【解析】由，得，則圓心，半徑，所以A正確，對于B，因為點到圓心的距離為，所以點在圓C的外部，所以B錯誤，對于C，因為圓心到直線的距離為，所以直線與圓C相切，所以C正確，對于D，圓的圓心為，半徑，因為，，所以圓與圓C相交，所以D正確，故選ACD20.（2023屆云南省昆明市第一中學高中高三第一次摸底）已知圓和圓交于兩點，則直線的方程是___________.【答案】【解析】由兩圓相交，則交線的方程由兩圓方程相減得到，所以直線的方程是.故答案為21.（2022屆遼寧省渤海大學附屬高中高三考前測試）已知動點到的距離是到的距離的2倍，記動點的軌跡為，直線：與交于，兩點，若（點為坐標原點，表示面積），則___________．【答案】【解析】設，則，整理得．設，．聯立，整理得，故①，②．又，故③．聯立①②③，解得．22.（2022山東省煙臺市萊州市高三上學期12月月考）已知圓的圓心在直線上，且與軸相切于點.（1）求圓的方程；（2）若圓與直線：交于，兩點，_____________，求的值.從下列兩個條件中任選一個補充在上面問題中并作答：條件①：；條件②：.注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.【解析】（1）設圓心坐標為，半徑為.由圓的圓心在直線上，知：.又∵圓與軸相切于點，∴，，則.∴圓的圓心坐標為，則圓的方程為.（2）如果選擇條件①：，而，∴圓心到直線的距離，則，解得或.如果選擇條件②：，而，∴圓心到直線的距離，則，解得或.四、高考真題練23.(2022高考全國卷甲)若過點(2，1)的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線的距離為 ()A． B． C． D．【答案】B【解析】由于圓上的點在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設圓心的坐標為，則圓的半徑為，圓的標準方程為．由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為，圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為．故選B．24.（2022高考全國卷乙）過四點中的三點的一個圓的方程為____________．【答案】或或或（寫出其中一個即可）【解析】解法一：依題意設圓的方程為,若過,,,則,解得,所以圓的方程為,即；若過,,,則,解得,所以圓的方程為,即；若過,,,則,解得,所以圓的方程為,即；若過,,,則,解得,所以圓的方程為,即；故答案為：或或或；解法二：由于只要求寫出其中一個圓的方程,我們寫最簡單的一個：設,可知,所以以OB為直徑的圓就是過點的圓,因為OB中點為,,所以過點的圓的方程為.25.（2022新高考全國卷1）寫出與圓和都相切的一條直線的方程______．【答案】或或【解析】圓的圓心為,半徑為,圓的圓心為,半徑為,兩圓圓心距為,等于兩圓半徑之和,故兩圓外切,如圖,當切線為l時,因為,所以,設方程為O到l的距離,解得,所以l的方程為,當切線為m時,設直線方程為,其中,,由題意,解得,當切線為n時,易知切線方程為,26.（2022新高考全國卷2）設點,若直線關于對稱的直線與圓有公共點,則a的取值范圍是_____．【答案】【解析】關于對稱的點的坐標為,在直線上,所以所在直線即為直線,所以直線的方程為,即；圓,圓心,半徑,由直線l與圓有公共點,得圓心到直線的距離,即,解得,即五、綜合提升練27.在平面直角坐標系中，圓，若曲線上存在四個點，過動點作圓的兩條切線，，為切點，滿足，則的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】B【解析】設，，則，整理得，，解得（舍去）或，所以點P的軌跡方程為，若直線與相切時，，解得或，當曲線與圓有四個交點時，對應的滿足題意，當時，如圖所示，二者一個交點，存在一個點，不符合題意，當時，如下圖所示，此時二者有三個交點，存在三個點，不符合題意，當時，如圖所示，二者有兩個交點，存在兩個點，不符合題意，當時，如圖所示，二者沒有交點，不存在點滿足題意，當時，二者有四個交點，存在四個點，滿足題意，綜上，．故選B．28.（多選）已知a>0，圓C：，則（

）A．存在3個不同的a，使得圓C與x軸或y軸相切B．存在2個不同的a，使得圓C在x軸和y軸上截得的線段相等C．存在2個不同的a，使得圓C過坐標原點D．存在唯一的a，使得圓C的面積被直線平分【答案】ACD【解析】由條件可知，圓C的半徑為1，圓心坐標為（a，lna），即圓心在曲線y＝lnx上運動．對于A，當a＝1時，圓C與y軸相切，當，即a＝e或時，圓C與x軸相切，所以滿足要求的a有3個，A正確；對于B，若圓C在x軸和y軸上截得的線段相等，則圓心到x軸和y軸的距離相等，故圓心在上，又圓心在y＝lnx上，作圖可知曲線y＝lnx與y＝x沒有公共點，與y＝x有一個交點，所以滿足要求的a僅有一個，B錯誤；對于C，若圓C過坐標原點，則，如下圖可知，曲線y＝lnx與有兩個交點，所以滿足要求的a有2個，C正確；對于D，若圓C的面積被直線平分，則直線經過圓心（a，lna），計算可知曲線y＝lnx在x＝e處的切線恰好為，即滿足要求的a僅有一個，故D正確．故選ACD.29.（2023屆湖北省九校教研協作體高三上學期考試）如圖，經過坐標原點O且互相垂直的兩條直線AC和BD與圓相交于A，C，B，D四點，M為弦AB的中點，有下列結論：①弦AC長度的最小值為；②線段BO長度的最大值為；③點M的軌跡是一個圓；④四邊形ABCD面積的取值范圍為．其中所有正確結論的序號為______．【答案】①③④【解析】由題設，則圓心，半徑，由圓的性質知：當圓心與直線距離最大為時AC長度的最小，此時，①正確；BO長度最大，則圓心與共線且在它們中間，此時，②錯誤；若分別是的中點，則且，且，又，易知：為矩形，而，若圓心到直線的距離且，所以，則，故，所以在以為直徑，交點為圓心的圓上，③正確；由上分析：，，而，所以，令，則，當，即時，；當或5，即或時，；所以，④正確；故答案為①③④30.（2022屆福建省廈門市高三畢業班第四次質量檢測）中，，線段上的點M滿足．(1)記M的軌跡為，求的方程