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文檔簡介
天一聯考數學海南2021屆高三第五次模擬考試數學卷
注意事項:
1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。
2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡
清楚。
3.請按照題號順序在各題目的答題區域內作答,超出答題區域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答
題無效。
4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目
要求的。
1.下列函數中,既是偶函數又在區間(0,+?)上單調遞增的是()
A.y=GB./(x)=xsinxC./(x)=f+WD.y=
【答案】C
【解析】
【分析】
結合基本初等函數的奇偶性及單調性,結合各選項進行判斷即可.
【詳解】
A:y=?為非奇非偶函數,不符合題意;
B:/(同=心由為在((),+8)上不單調,不符合題意;
c:y=為偶函數,且在(0,+向上單調遞增,符合題意;
D:y=|x+l|為非奇非偶函數,不符合題意.
故選:C.
【點睛】
本小題主要考查函數的單調性和奇偶性,屬于基礎題.
2.“幻方”最早記載于我國公元前500年的春秋時期《大戴禮》中.“〃階幻方(〃23,〃€^}*,是由前〃2
個正整數組成的一個〃階方陣,其各行各列及兩條對角線所含的〃個數之和(簡稱幻和)相等,例如“3階
幻方”的幻和為15(如圖所示).則“5階幻方”的幻和為()
A.75B.65C.55D.45
【答案】B
【解析】
【分析】
計算1+2++25的和,然后除以5,得到“5階幻方”的幻和.
【詳解】
1+25
依題意“5階幻方”的幻和為1+2++25心會,故選B.
-----------------------=-------------------=OJ
【點睛】
本小題主要考查合情推理與演繹推理,考查等差數列前〃項和公式,屬于基礎題.
3.已知角2的頂點為坐標原點,始邊與X軸的非負半軸重合,終邊上有一點R-3,4),貝IJsin2a=().
【答案】B
【解析】
【分析】
根據角終邊上的點坐標,求得sina,cosa,代入二倍角公式即可求得sin2a的值.
【詳解】
324
/.sinla=2sinccosa=2x—x
25
故選:B
【點睛】
此題考查二倍角公式,熟練記憶公式即可解決,屬于簡單題目.
4.復數4在復平面內對應的點為(2,3)*2=-2+7,則五=()
18.18.
—+—1----z
5555
【答案】B
【解析】
【分析】
Z.
求得復數4,結合復數除法運算,求得」的值.
【詳解】
z._2+3,_(2+3/)(-2-/)_(2+30(-2-0-l-8z18.
易知4=2+3"則——:~~;~—=---------------------------------------1
z,—2+i(-2+?)(-2—z)5555
故選:B
【點睛】
本小題主要考查復數及其坐標的對應,考查復數的除法運算,屬于基礎題.
5.執行如圖所示的程序框圖,輸出的結果為()
A,"2513
C.—D.—
342
【答案】A
【解析】
【分析】
19
模擬執行程序框圖,依次寫出每次循環得到的的值,當x=3,M=—>4,退出循環,輸出結果.
【詳解】
程序運行過程如下:
22
x=3M=0;X——,M--\x=,M=—
93326
一,吟上M百
636
1in1Q70
x=~9;x=3,M=y>4,退出循環,輸出結果為三,
故選:A.
【點睛】
該題考查的是有關程序框圖的問題,涉及到的知識點有判斷程序框圖輸出結果,屬于基礎題目.
6.正三棱錐底面邊長為3,側棱與底面成60。角,則正三棱錐的外接球的體積為()
16萬32%
A.47rB.167rC.------D.——
33
【答案】D
【解析】
【分析】
由側棱與底面所成角及底面邊長求得正棱錐的高,再利用勾股定理求得球半徑后可得球體積.
【詳解】
如圖,正三棱錐A-5CO中,”是底面ABC。的中心,則AM是正棱錐的高,是側棱與底面所
成的角,即NABV=60。,由底面邊長為3得8〃=2x述=6,
32
二AM=BMtan60°=GxG=3.
正三棱錐A-BCD外接球球心。必在AM上,設球半徑為R,
則由BO?=0加2+3加2得火2=(3-《)2+(6)2,解得R=2,
,,4八34萬32萬
V=-7rR3=——x2=——.
333
故選:D.
【點睛】
本題考查球體積,考查正三棱錐與外接球的關系.掌握正棱錐性質是解題關鍵.
7.AABC中,AB=3,BC=屈,AC=4,則△ABC的面積是()
R3百
A.班D.---------C.3
2
【答案】A
【解析】
【分析】
由余弦定理求出角A,再由三角形面積公式計算即可.
【詳解】
AB24-AC2-BC2
由余弦定理得:cosA=
2-AB-AC2
又4?0,萬),所以得A=?,
故AABC的面積SAC-sinA=36.
2
故選:A
【點睛】
本題主要考查了余弦定理的應用,三角形的面積公式,考查了學生的運算求解能力.
8.一個空間幾何體的正視圖是長為4,寬為6的長方形,側視圖是邊長為2的等邊三角形,俯視圖如圖
所示,則該幾何體的體積為()
俯視圖
A.迪B.4A/3C.型D.2#)
33
【答案】B
【解析】
【分析】
由三視圖確定原幾何體是正三棱柱,由此可求得體積.
【詳解】
由題意原幾何體是正三棱柱,V=ix2xV3x4=4x/3.
2
故選:B.
【點睛】
本題考查三視圖,考查棱柱的體積.解題關鍵是由三視圖不愿出原幾何體.
9.如圖是某地區2000年至2016年環境基礎設施投資額》(單位:億元)的折線圖.則下列結論中表述
不正確的是()
A.從2000年至2016年,該地區環境基礎設施投資額逐年增加;
B.2011年該地區環境基礎設施的投資額比2000年至2004年的投資總額還多;
C.2012年該地區基礎設施的投資額比2004年的投資額翻了兩番;
D.為了預測該地區2019年的環境基礎設施投資額,根據2010年至2016年的數據(時間變量t的值依次
為1,2,…,7)建立了投資額y與時間變量t的線性回歸模型3=99+170,根據該模型預測該地區2019
的環境基礎設施投資額為256.5億元.
【答案】D
【解析】
【分析】
根據圖像所給的數據,對四個選項逐一進行分析排除,由此得到表述不正確的選項.
【詳解】
對于A選項,由圖像可知,投資額逐年增加是正確的.對于3選項,2000-2004投資總額為
11+19+25+35+37=127億元,小于2012年的148億元,故描述正確.2004年的投資額為37億,翻
兩翻得到37x4=148,故描述正確.對于。選項,令f=10代入回歸直線方程得99+17.5x10=274億元,
故D選項描述不正確.所以本題選D.
【點睛】
本小題主要考查圖表分析能力,考查利用回歸直線方程進行預測的方法,屬于基礎題.
10.在A4BC中,點D是線段BC上任意一點,2AM=AO,BM^AAB+^iAC,貝!|義+〃=()
11
A.——B.-2C.-D.2
22
【答案】A
【解析】
【分析】
設BD=kBC,用AB,AC表示出8M,求出的值即可得出答案.
【詳解】
設BD=kBC=kAC-kAB
1%
2-
〃
-一=
2-2-2-
1
A-
+〃=
_2■
故選:A
【點睛】
本題考查了向量加法、減法以及數乘運算,需掌握向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義,屬于
基礎題.
I'x,+1x>0
11.已知函數/(x)=,c是奇函數,則g(/(—D)的值為()
[g(x),x<0
A.-10B.-9C.—7D.1
【答案】B
【解析】
【分析】
根據分段函數表達式,先求得了(-1)的值,然后結合了(X)的奇偶性,求得g(7(-1))的值.
【詳解】
尤3+X無〉()
因為函數,(無)='一是奇函數,所以/(—1)=-/(l)=-2,
g(x),x<0
g(/(-l))=g(-2)=/(-2)=-/(2)=-10.
故選:B
【點睛】
本題主要考查分段函數的解析式、分段函數求函數值,考查數形結合思想.意在考查學生的運算能力,分
析問題、解決問題的能力.
12.函數y=亍怎二在[-6,6]的圖像大致為
A.JLBX
c.JL
|^4xnr
【答案】B
【解析】
【分析】
由分子、分母的奇偶性,易于確定函數為奇函數,由/(4)的近似值即可得出結果.
【詳解】
設丁=f(x)=_^_,則/(r)=..2(Z£)3__一_"二=_/(為,所以/(x)是奇函數,圖象關于原點
2'+2T2r+2A2X+2r
33
成中心對稱,排除選項C.又/(4)=2X4>°,排除選項D;/(6)=音9X,6。7,排除選項A,故
選B.
【點睛】
本題通過判斷函數的奇偶性,縮小考察范圍,通過計算特殊函數值,最后做出選擇.本題較易,注重了基
礎知識、基本計算能力的考查.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共2()分。
13.記等差數列{4}和也}的前〃項和分別為S,和T“,若廣=1與,則小=.
【答案】y
【解析】
【分析】
13sl+q)
結合等差數列的前〃項和公式,可得了=—1=詈,求解即可?
U13413佃+%)%
2
【詳解】
由題意,兀/3(4+劭3)=13%,\=地匈=13%
22
S.3〃+5、%_13%_%_3x13+5_11
因為n+7,所以百一而一亢一]3+7一]
故答案為:弓.
【點睛】
本題考查了等差數列的前"項和公式及等差中項的應用,考查了學生的計算求解能力,屬于基礎題.
14.已知{可}是等比數歹!J,若。=(4,2),人=(仆,3),且〃〃/,,則竟/=,
a3+〃5
【答案】I
【解析】
若。=(/,2),/?=(%,3),且a〃八則3%=2%,由{4}是等比數列,可知公比為4=:=9.
%+。4_1_2
%+%q3*
2
故答案為
15.在區間[-6,2]內任意取一個數%,則.%恰好為非負數的概率是.
【答案】7
4
【解析】
【分析】
先分析非負數對應的區間長度,然后根據幾何概型中的長度模型,即可求解出“%恰好為非負數”的概率.
【詳解】
當凝是非負數時,/€[0,2],區間長度是2-0=2,
又因為[-6,2]對應的區間長度是2-(-6)=8,
所以“X。恰好為非負數”的概率是p\=;.
故答案為:—.
4
【點睛】
本題考查幾何概型中的長度模型,難度較易.解答問題的關鍵是能判斷出目標事件對應的區間長度.
16.若奇函數“X)滿足/(x+2)=-/(%),g(x)為R上的單調函數,對任意實數xeR都有
g[g(x)-2*+2]=1,當%且0,1]時,/(x)=g(x),則〃電12)=,
【答案】—
【解析】
【分析】
根據/(x+2)=-可得,函數/(%)是以4為周期的函數,令g(x)—2*+2=3可求g(x)=2'-l,
從而可得/(X)=g(%)=2'-1,/(log212)=-/(2-log23)代入解析式即可求解.
【詳解】
令g(x)-2、+2=后,貝!]g(x)=A+2'-2,
由g[g(x)-2,+2]=1,則g(A)=l,
所以g(@=Z+2*—2=l,解得&=1,
所以g(x)=2'—l,
由xe[O,l]時,〃x)=g(x),
所以xw[O,l]時,〃力=2'-1;
由/(%+2)=-/(力,所以/(x+4)=—/(x+2)=/(x),
所以函數/(x)是以4為周期的函數,
/(log212)=/(log23+log24)=/(log23+2)=/(log23-2),
又函數/(x)為奇函數,
所以〃1。歷12)=—"2—1嗝3)=-p-M_1]=.
故答案為:
【點睛】
本題主要考查了換元法求函數解析式、函數的奇偶性、周期性的應用,屬于中檔題.
三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(12分)已知圓。的極坐標方程是〃=4cos9,以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半
V2
x=—t+m
2
軸,建立平面直角坐標系,直線/的參數方程是一(7是參數),若直線/與圓。相切,求實數相
y=與
2
的值.
【答案】m=2±2A/2
【解析】
【分析】
將圓。的極坐標方程化為直角坐標方程,直線的參數方程化為普通方程,再根據直線/與圓。相切,利用
圓心到直線的距離等于半徑,即可求實數機的值.
【詳解】
由。=4cos6,得夕2.40cos6,
..x:-r=4x,即圓C的方程為[x-29-j;=4,
|X=W澗,
又由匚消r,得x-j-刑=0,
直線,與圓。相切,,匕M=2
m=2-2>j2?
點
【點睛】
本題重點考查方程的互化,考查直線與圓的位置關系,解題的關鍵是利用圓心到直線的距離等于半徑,研
究直線與圓相切.
18.(12分)在三棱柱ABC—4月£中,48=2,BC=BB1=4,AC==26,且NBCg=60°.
(1)求證:平面4?G,平面Bee4;
(2)設二面角C—AG-B的大小為。,求sin。的值.
【答案】(1)證明見解析;(2)叵,
4
【解析】
【分析】
(1)要證明平面,平面3CC4,只需證明43,平面BCG4即可;
(2)取CG的中點D,連接BD,以B為原點,以8。,BB、,84的方向分別為x,y,z軸的正方向,
建立空間直角坐標系,分別計算平面ACG4的法向量為〃與平面A8G的法向量為4。,利用夾角公式
cos(",B?=有絳計算即可.
【詳解】
(1)在ABC中,AB2+BC2^20=AC2,
所以/ABC=90,即AB,8c.
因為BC=BB],AC=ABt,AB=AB,
所以
ABC^ABBt.
所以NA8B1=ZABC=90,即
又BC84=8,所以平面BCC圈.
又A6i平面ABC;,所以平面A^G_L平面BCG4.
(2)由題意知,四邊形8CG4為菱形,且N8CG=60,
則BC&為正三角形,
取CG的中點D,連接BD,則
以B為原點,以80,BBX,BA的方向分別為x,y,z軸的正方向,
建立空間直角坐標系B-孫z,則
8(0,0,0),4(0,4,0),A(0,0,2),C(2后-2,0),£(26,2,01
設平面ACCI4的法向量為n=(尤,y,Z),
且AC=(26,—2,—2),CC,=(0,4,0).
由產.…得[23一2y-2z=0,取〃=僅回
CC,?=0,=0,1
由四邊形BCC}B,為菱形,得BC}±B。;
又AB_L平面3CG4,所以AB_LB|C;
又ABcBC^B,所以耳C,平面ABC;,
所以平面ABG的法向量為耳C=(26,-6,0).
/正\n-BC2\/31
所以cosd4。=眄]=際=不
故sin6="^.
4
【點睛】
本題考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的問題,在利用向量法時,關鍵是點的坐標
要寫準確,本題是一道中檔題.
19.(12分)已知數列{/}滿足‘工+&=2("22),且%=』,4,%,%成等比數列.
%+i"“-I5
1)
(1)求證:數列{(一}是等差數列,并求數列{q}的通項公式;
(2)記數列{'}的前n項和為S?,bn=????+1S?-l,求數列他,}的前n項和T?.
冊4
/H
【答案】(1)見解析;(2)T=-~-
n8〃+4
【解析】
【分析】
【詳解】
(1)因為‘工+&=2(〃*2),所以所以——+——=—,
a,,man+}an_}an
所以數列{'}是等差數列,
,1.
設數歹U{一}的公差為d,由可得dxo,
因為知陽,4成等比數列,所以4|。5=域,所以;;=3,所以(;24)(;+24)=(;-</『,
a\"5%”3”3”3
因為的=g,所以(5-%)(5+24)=(5-4)2,
解得d=O(舍去)或d=2,所以,=,+(〃-3)4=2〃-1,所以.=丁二.
a?為2/7-1
,.1,(1+2〃-1)2
(2)由(1x)知凡---S〃=c---------------------n,
2n-l2
?…"2111,11、
所以2「二=~——=-(----T--7),
4(2〃—1)(2〃+1)44(2〃-1)(2〃+1)82n—\2〃+1
7
所以>3吟+d+H-----------)=-x(1------)=----
2n-\2/7+182n+\8/1+4
20.(12分)已知數列{q}滿足4=5,a,+]+2=2a”.
(1)求數列{凡}的通項公式;
(2)若包=n(2為一4),求數列也}的前“項和S”.
【答案】(1)a,=2+3x2”\(2)S?=3(n-l)x2n+,+6
【解析】
【分析】
(1)根據遞推公式,用配湊法構造等比數列{%-2},求其通項公式,進而求出{對}的通項公式;
(2)求出數列也』的通項公式,利用錯位相減法求數列{4}的前〃項和Sn.
【詳解】
解:(1)a“+2=2a,i,
.■.4-2=2(4_]-2),4—2=3
.?.{4-2}是首項為3,公比為2的等比數歹!).
所以4-2=3x2"T,二a”=2+3x2'-'.
(2)仇=(4+3x2"-4)〃=3"x2"
S?=3X(1X2'+2X22+3X23++〃X2")
25?=3X(1X22+2X23+3X24++nx2"+'
-S?=3X(2'+22+23++2"-〃X2"M一3〃X2"M
.?.S?=3(n-l)x2n+1+6.
【點睛】
本題考查了由數列的遞推公式求通項公式,錯位相減法求數列的前n項和的問題,屬于中檔題.
21.(12分)為了檢測某種零件的一條生產線的生產過程,從生產線上隨機抽取一批零件,根據其尺寸的
數據得到如圖所示的頻率分布直方圖,若尺寸落在區間(亍-2sR+2s)之外,則認為該零件屬“不合格”
.v?15(同一組中的數據用該組區間的中點
(1)求樣本平均數的大小;
(2)若一個零件的尺寸是100cm,試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件.
【答案】(1)66.5(2)屬于
【解析】
【分析】
(1)利用頻率分布直方圖的平均數公式求解;(2)求出叵-2s,5+2$),即可判斷得解.
【詳解】
(1)x=35x10x0.005+45x10x0.010+55x10x0.015+65x10x0.030
+75x1Ox0.020+85x0.015+95x10x0.005=66.5
(2)元+2s=66.5+30=96.5,x—2s=66.5—30=36.5,100>96.5
所以該零件屬于“不合格”的零件
【點睛】
本題主要考查頻率分布圖中平均數的計算和應用,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.
22.(10分)古人云:“腹有詩書氣自華.”為響應全民閱讀,建設書香中國,校園讀書活動的熱潮正在興起.
某校為統計學生一周課外讀書的時間,從全校學生中隨機抽取〃名學生進行問卷調查,統計了他們一周課
外讀書時間(單位:h)的數據如下:
一周課外
合
讀書時間(。,2](24](46](6,8](8,10](10,12](12,14](14,16](16,18]
計
/h
頻數4610121424a4634n
頻率0.020.030.050.060.070.120.25P0.171
(1)根據表格中提供的數據,求P,,的值并估算一周課外讀書時間的中位數.
(2)如果讀書時間按(0,6],(6,12],(12,18]分組,用分層抽樣的方法從〃名學生中抽取20人.
①求每層應抽取的人數;
②若從(0,6],(6,12]中抽出的學生中再隨機選取2人,求這2人不在同一層的概率.
【答案】(1)”=20(),a=50,。=0.23,中位數13.2h;(2)①三層中抽取的人數分別為2,5,13;
^10
②一
21
【解析】
【分析】
4
(D根據頻率分布直方表的性質,即可求得〃=萬方=200,得到。=50,p=0.23,再結合中位數的
計算方法,即可求解.
(2)①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人,根據抽樣比,求得在三層中抽取的人數;
②由①知,設(0,6]內被抽取的學生分別為亂孔(6,12]內被抽取的學生分別為。力,。,4。利用列舉法
得到基本事件的總數,利用古典概型的概率計算公式,即可求解.
【詳解】
446
(1)由題意,可得〃=——=200,所以a=0.25x200=50,p=——=0.23.
0.02200
設一周課外讀書時間的中位數為x小時,
則0.17+0.23+(14-幻*0.125=0.5,解得x=13.2,
即一周課外讀書時間的中位數約為13.2小時.
(2)①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人,抽樣比為白,
又因為(0,6],(6,12],(12,18]的頻數分別為20,50,130,
所以從(0,6],(6,12],(12,18]三層中抽取的人數分別為2,5,13.
②由①知,在(0,可,(6,12]兩層中共抽取7人,設(0,6]內被抽取的學生分別為羽九(6/2]內被抽取
的學生分別為a,》,c,d,e,
若從這7人中隨機抽取2人,則所有情況為盯,xa,xb,xc,xd,xe,ya,yh,
yc,yd,ye,ab,ac,ad,訛,be,bd,be,cd,ce,de,共有21種,
其中2人不在同一層的情況為xb,xc,xd,xe,ya,yb,yc,yd,ye,共有io種.
設事件M為“這2人不在同一層”,
由古典概型的概率計算公式,可得概率為P(M)=£.
【點睛】
本題主要考查了頻率分布直方表的性質,中位數的求解,以及古典概型的概率計算等知識的綜合應用,著
重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎題.
天一聯考數學海南2021屆高三第五次模擬考試數學卷
注意事項
1.考生要認真填寫考場號和座位序號。
2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二
部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。
3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監考員收回。
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目
要求的。
1.若+的二項式展開式中二項式系數的和為32,則正整數〃的值為()
2.已知集合A={x|/og2X<l},集合B={y|y=,則AB
A.(-oo,2)C.(0,2)
3.已知角a的頂點與坐標原點重合,始邊與x軸的非負半軸重合,若點尸(2,-1)在角a的終邊上,則
4
5
4.正三棱錐底面邊長為3,側棱與底面成60。角,則正三棱錐的外接球的體積為()
16乃32萬
A.4萬B.16萬C.------D.-----
33
5.已知拋物線),2=2px(〃>0),F為拋物線的焦點且MN為過焦點的弦,若|OE|=1,|MN|=8,則
OMN的面積為()
A.2痣B.3亞C.472D.逑
2
6.已知平面向量a/滿足|〃目",旦(叵a-b)工b,則。力所夾的銳角為()
717t7T
A.-B.—C.—D.0
643
_3
7.已知a,b,c分別為AABC內角A,B,。的對邊,a=l,4csinA=3cosC,A4BC的面積為一,
2
則c=()
A.2A/2B.4C.5D.3亞
V
8.已知正四面體的內切球體積為v,外接球的體積為V,則一=()
A.4B.8C.9D.27
9.山東煙臺蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽國內外.據統計,煙臺蘋果(把蘋果
近似看成球體)的直徑(單位:,的)服從正態分布N(80,5?),則直徑在(75,90]內的概率為()
附:若X?,則尸(〃一b〈X,,〃+b)=0.6826,「(以一坊vX,,〃+2b)=0.9544.
A.0.6826B.0.8413C.0.8185D.0.9544
x2
10.已知雙曲線工+y2=l的一條漸近線傾斜角為T,則。=()
a6
A.3B.-V3
11.已知正項數列{《,},{々}滿足:<:_J,設c.=k,當。3+。4最小時,G的值為()
14今
A.2B.—C.3D.4
5
12.雙曲線eV—2)2=1的漸近線方程為()
A.%±a>=0B.x±2y=0
C.\f2x±y-0D.2x±y=0
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
22
13.已知橢圓C:王?+二=1的左、右焦點分別為月,鳥,如圖A8是過耳且垂直于長軸的弦,則AA8K
62
的內切圓方程是.
14.將函數f(x)=sin2x的圖像向右平移;個單位,得到函數g(x)的圖像,則函數y=/(x)-g(x)在
O
n
區間0,y上的值域為
15.已知數列{a“}滿足%+2a2+3a3+...+nan=2",則an=.
16.某班有學生52人,現將所有學生隨機編號,用系統抽樣方法,抽取一個容量為4的樣本,已知5號、31號、
44號學生在樣本中,則樣本中還有一個學生的編號是.
三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(12分)已知(x+1)"=%+。](x—l)+4(x—1)~+q(x—I)3++a“(x—1)",(其中〃eN*)
Sn—£Z|+£Z->+++a“.
⑴求Sn;
2
(2)求證:當〃24時,Sn>(n-2)2"+2n.
18.(12分)如圖,三棱錐P—ABC中,點。,E分別為A8,BC的中點,且平面POE_L平面ABC.
(1)求證:AC//平面POE;
⑵若PD=AC=2,PE=也,求證:平面PBC_L平面ABC.
19.(12分)己知。>0,Z?>0,c>0.
(1)求證:.一皆+應.叫4+");
a2+b2
(2)若abc=1,求證:a3+Z?3+c3..ah-vhc+ac.
x=2+2coscc
20.(12分)在直角坐標系xQy中,曲線G的參數方程為,°為參數),以坐標原點為
y=4+2sin?
極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線G的極坐標方程為夕=4sin。.
(1)把(;的參數方程化為極坐標方程:
⑵求G與C2交點的極坐標(220,0W9<2萬).
21.(12分)下表是某公司2018年5~12月份研發費用(百萬元)和產品銷量(萬臺)的具體數據:
月份56789101112
研發費用(百萬元)2361021131518
產品銷量(萬臺)1122.563.53.54.5
(I)根據數據可知)'與x之間存在線性相關關系,求出)'與x的線性回歸方程(系數精確到().01);
(II)該公司制定了如下獎勵制度:以Z(單位:萬臺)表示日銷售,當Ze[0,0.13)時,不設獎;當
Ze[0.13,0.15)時,每位員工每日獎勵200元;當Ze[0.15,0.16)時,每位員工每日獎勵30()元;當
Ze[0.16,”)時,每位員工每日獎勵400元.現已知該公司某月份日銷售Z(萬臺)服從正態分布
N(.0.0001)(其中〃是2018年5-12月產品銷售平均數的二十分之一),請你估計每位員工該月(按
30天計算)獲得獎勵金額總數大約多少元.
參考數據:£蒼凹=347,力片=1308,才y=93,參]40々84.50,
/=]i=li=l
__n
X_nxyt-nxy
參考公式:相關系數.二八7、,,,,其回歸直線,=去+g中的人=三-------.
Vki=t八,=i)<='
若隨機變量工服從正態分布則。("一b<xW〃+cr)=0.6826,
P(/z—2cr<x<4+2(T)=0.9544.
22.(10分)已知函數/(x)=一奴+(4-1)1rL*,g(x)=/?—xlnx的最大值為1.
(1)求實數b的值;
⑵當a>1時,討論函數/(x)的單調性;
(3)當a=0時,令尸(x)=2f(x)+g(x)+21nx+2,是否存在區間上〃,“仁(1,+℃),使得函數尸(%)
在區間上上的值域為[%(〃?+2)?(〃+2)]?若存在,求實數k的取值范圍;若不存在,請說明理由.
參考答案
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目
要求的。
1、C
【解析】
【分析】
由二項式系數性質,(。+與”的展開式中所有二項式系數和為2"計算.
【詳解】
2x+?J的二項展開式中二項式系數和為2",2"=32,,〃=5.
故選:C.
【點睛】
本題考查二項式系數的性質,掌握二項式系數性質是解題關鍵.
2、D
【解析】
【分析】
可求出集合A,B,然后進行并集的運算即可.
【詳解】
解:A={x[0<x<2},B={y|j>0);
故選£>.
【點睛】
考查描述法、區間的定義,對數函數的單調性,以及并集的運算.
3、D
【解析】
【分析】
由題知cosa=2y5,又sin(三一2a]=cos2c=2cos,代入計算可得.
5U)
【詳解】
Oo213
由題知cosa—,又sin|——2a=cos2a=2cosa-\=-.
5125
故選:D
【點睛】
本題主要考查了三角函數的定義,誘導公式,二倍角公式的應用求值.
4、D
【解析】
【分析】
由側棱與底面所成角及底面邊長求得正棱錐的高,再利用勾股定理求得球半徑后可得球體積.
【詳解】
如圖,正三棱錐A-6C。中,M是底面ABC。的中心,則AM是正棱錐的高,N
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