第11講正弦定理目標導航目標導航課程標準課標解讀借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握余弦定理、正弦定理。1.能借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系并掌握正弦定理；2.能運用正弦定理與三角形內角和定理解決簡單的解三角形問題。知識精講知識精講知識點01正弦定理1.正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)。2.正弦定理的變形公式（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.（2）sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)(其中R是△ABC外接圓的半徑).【即學即練1】在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據正弦定理即得.【詳解】在中，由正弦定理，∴，，故ABD錯誤，C正確.故選：C.【即學即練2】已知a，b，c分別是的三個內角A，B，C所對的邊，若，，，則a等于（

）．A． B． C． D．1【答案】A【分析】利用正弦定理即可求出的值．【詳解】由正弦定理得，即，解得．故選：A．知識點02三角形面積公式=；=；=；（a、b、c是的三個內角A、B、C所對的邊）。=；=；=；（、、是的邊a、b、c上的高）。=。=（r為三角形內切圓半徑）。【即學即練3】在中，若，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據三角形的面積公式求解即可【詳解】由題意，故選：D【即學即練4】在中，分別是角所對的邊，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理求得，利用面積公式進行求解.【詳解】由正弦定理得：，由面積公式得：.故選：B能力拓展能力拓展考法01利用正弦定理解三角形【典例1】在中，內角、、所對的邊分別為、、．已知，，，．(1)求和的值；(2)求的值．【答案】(1)；或(2)或【分析】（1）根據正弦定理可以求出，由結合條件得到，利用余弦定理求得；（2）利用兩角和的正弦公式和二倍角公式化簡，再根據（1）討論或，從而得到，即可求解.【詳解】（1）因為，，，則由正弦定理得：，即，又，所以為銳角，則，由余弦定理得：，即，解得：或，經檢驗或均能構成三角形，所以：或.（2），由（1）得：當時，則，所以為銳角，則，所以，當時，則，所以，故的值為或.考法02三角形的面積公式【典例2】已知在中，角，，所對的邊分別為，，，向量，，且．(1)求角；(2)若，，求的面積．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用平行向量的坐標關系得，結合正弦定理與角度關系，即可得角；（2）根據余弦定理求得邊長，再利用面積公式求解即可.【詳解】（1）解：因為向量，，且所以，由正弦定理得，又，則，即，又，所以；（2）解：由余弦定理的，整理得，解得或（舍），所以的面積.分層提分分層提分題組A基礎過關練1．在中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理即可求解.【詳解】由，得.故選：B.2．在中，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理和三角形成立的條件求解.【詳解】由正弦定理知，所以，根據三角形成立的條件可知，解得，故選:D.3．在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為（

）A．一個解 B．二個解 C．無解 D．無法確定【答案】B【分析】根據，即可得到答案.【詳解】因為，如圖所示：所以，即，所以三角形解的情況為二個解.故選：B4．在中，已知，則此三角形（

）A．有一解 B．有兩解 C．無解 D．無法判斷有幾解【答案】A【分析】根據給定條件，結合正弦定理計算判斷作答.【詳解】在中，，由正弦定理得，而，有，即A為銳角，所以此三角形有一解．故選：A5．在中，設、、分別是三個內角、、所對的邊，，，面積，則內角的大小為__．【答案】或【分析】由三角形面積公式進行求解即可.【詳解】∵的面積，∴，∵，∴或．故答案為：或.6．在中，若，則的形狀是________．【答案】等腰三角形【分析】首先根據正弦定理角化邊公式得到，即可得到答案.【詳解】由題知：，則為等腰三角形.故答案為：等腰三角形7．在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．，則______．【答案】【分析】根據題中條件，由正弦定理，即可求解.【詳解】因為，所以．又，所以由正弦定理得，故，解得．故答案為：.8．在中，a，b，c分別是角A、B，C的對邊，，．若，求．【答案】【分析】直接由正弦定理可得答案.【詳解】由正弦定理得.9．求解下列問題：(1)在中，若，，，求角B．(2)在中，若，，，求邊c．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用正弦定理求得正確答案.（2）利用正弦定理、三角形的內角和定理求得正確答案.【詳解】（1）由正弦定理得，由于，所以為銳角，所以.（2），由正弦定理得，，解得.10．在中，角、、的對邊分別為、、，且．(1)求角的大小；(2)若，的面積，求的周長．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用正弦定理即可求解；（2）根據三角形的面積公式和余弦定理即可求解.【詳解】（1）因為，由正弦定理得，因為，所以，即，因為，所以.（2），所以，由余弦定理得，所以的周長為．題組B能力提升練1．在中，分別是角所對的邊，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理求得，再利用面積公式進行求解即可.【詳解】由正弦定理得：，由面積公式得：.故選：.2．在中，已知，則是（

）A．直角三角形； B．銳角三角形； C．鈍角三角形； D．等邊三角形．【答案】A【分析】由兩角和的正弦公式化簡已知式后確定角大小，判斷三角形形狀．【詳解】解：由已知，所以，因為，所以，即三角形為直角三角形．故選：A．3．在中，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據正弦定理可得，.根據余弦定理即可求出結果.【詳解】由以及正弦定理可得，.又因為，所以.由余弦定理可得，.故選：A.4．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則角的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據已知條件，結合正弦定理，求出，再結合角的取值范圍，即可求解.【詳解】在中，，由正弦定理可得，所以，即，因為，所以，因為，所以.故選：D.5．在中，若，則的最大值是____．【答案】【分析】利用正弦定理進行角變邊可得，利用余弦定理和角的范圍即可求解【詳解】結合正弦定理得，即，所以，因為，所以，則的最大值是．故答案為：6．在平面直角坐標系xOy中，已知，將OA繞點逆時針旋轉到OC，則的面積為______．【答案】【分析】由題意得，，利用三角形的面積公式即可得解.【詳解】∵，，∴.故答案為：.7．在中，a，b，c分別是內角A，B，C所對邊的長，已知，，，則邊AB的長是______．【答案】8【分析】由得，由得，在中使用正弦定理求出AB.【詳解】因為，，所以，，又因為，所以，又因為，在中由正弦定理得.故答案為：8.8．在中，，，分別是角，，的對邊，且，，．(1)求；(2)求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由余弦定理求得的值；（2）由正弦定理求得的值．【詳解】（1）中，，，，由余弦定理得，，解得.（2）由正弦定理，，∴.9．已知在銳角中，M是的中點，且，．(1)求的值；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由題意有，，在和中，利用正弦定理，可求的值；（2）由求出的值，再利用面積公式求解即可.【詳解】（1）銳角中，M是的中點，且，，如圖所示：∴，，在中，由正弦定理，有，在中，由正弦定理，有，則（2）銳角中，由，∴，有，，∴，所以的面積為10．已知的內角，，的對邊分別為，，，，，.(1)求角；(2)求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據余弦定理進行求解即可；（2）根據正弦定理，結合（1）的結論、三角形面積公式進行求解即可.【詳解】（1）因為，所以由余弦定理可知：；（2）由正弦定理可知：，，，.題組C培優拔尖練1．已知中，，則（

）A．或 B． C． D．或【答案】B【分析】先利用三角函數的基本關系式求得，再利用正弦定理推得為銳角，從而可求得，再利用余弦的和差公式即可求得.【詳解】因為在中，，所以，所以，由正弦定理可得，故，故為銳角，所以，所以.故選：B.2．已知分別為三個內角的對邊，且，則（

）A．3 B． C．6 D．【答案】A【分析】根據正弦定理可得，由三角形內角和、誘導公式及兩角和的正弦公式可得，由三角形內角的范圍可得，再由面積公式即可求解.【詳解】由正弦定理及得.又因為在中，，所以，整理得.因為在，，所以，即.又因為，所以.又，所以.故選:A.3．在中，若，則b等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用兩角和的正弦公式求得，再利用正弦定理求解.【詳解】解：在中，因為，所以，所以，由得．故選：C4．在銳角中，角、、所對的邊分別為、、，已知，且，則（

）A． B．角的取值范圍是C．的取值范圍是 D．的取值范圍是【答案】AD【分析】由正弦定理統一為角可判斷A，由銳角三角形確定角的取值范圍，由正弦定理化為三角函數求取值范圍判斷BD，由確定A的取值范圍即可判斷C.【詳解】因為，所以，，，則，所以或．因為，所以，所以，則，故A正確；因為，所以．因為是銳角三角形，所以，即，解得，所以，則，故B錯誤，D正確；因為，所以，所以，則C錯誤．故選：AD5．在銳角三角形中，角所對的邊分別為，若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由正弦定理將條件轉化為角的關系，判斷A，結合內角和定理和條件及余弦函數的性質判斷B，C，由余弦定理將條件轉化為邊的關系，判斷D.【詳解】因為，由正弦定理可得，所以，又為銳角三角形，所以，，所以，正弦函數在上單調遞增，所以，所以，A正確；因為為銳角三角形，所以，，，所以，，，所以，B正確；因為，所以，所以，所以，因為，所以，C錯誤；因為，由余弦定理可得，所以，所以，D正確，故選：ABD.6．在中，已知，，，于D，則AD的長為______．【答案】【分析】在中，根據正弦定理求出.然后在中，即可求出AD的長.【詳解】由已知可得，.，在中，由正弦定理，可得，.因為，，在中，，所以.故答案為：.7．在中，角所對的邊分別為，①若，則；②若，則一定為等腰三角形；③若，則為直角三角形；④若為銳角三角形，則.以上結論中正確的有___________.（填正確結論的序號）【答案】①③【分析】利用三角形的內角和為結合三角函數的圖像、性質以及正弦定理求解即可.【詳解】①因為，由正弦定理得，所以，正確；②因為，且在中，，所以或，即或，故為等腰三角形或直角三角形，錯誤；③由二倍角公式得，化簡得，由正弦定理得，所以為直角三角形，正確；④若為銳角三角形，則，，當時得，由正弦函數的單調性得，則，與為銳角三角形矛盾，錯誤.故答案為：①③.8．已知的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，，CD平分ACB交AB于點D，且CD=2，2AD=3BD.(1)求C；(2)求的面積.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由余弦定理及正弦定理得，將角轉化為后可求得值；（2）設AD=3x，BD=2x，在及中由正弦定理得，，在中用正弦定理求得，的值，從而求得的面積.【詳解】（1）由及余弦定理得，，又由正弦定理得，由得，即，即，由得，因為0＜C＜π，則.（2）設AD=3x，BD=2x，在中由正弦定理得，，則，在中由正弦定理得，，則，在中由正弦定理得，，則，b=5，所以.9．中，內角的對邊分別為，已知，.(1)求外接圓的直徑；(2)若，求的周長.【答案】(1)；(2)【分析】（1）先利用正弦定理邊角互化結合三角恒等變換求得，進而可得，再利用外接圓的直徑求解即可；（2）由向量數量積的定義可得，再利用余弦定理求的值即可.【詳解】（1）由及正弦定理可得，，因為，，且，所以