專題3.2函數的基本性質1．函數單調性的常用結論（1）若均為區間A上的增(減)函數，則也是區間A上的增(減)函數；（2）若，則與的單調性相同；若，則與的單調性相反；（3）函數在公共定義域內與，的單調性相反；（4）函數在公共定義域內與的單調性相同；（5）奇函數在其關于原點對稱的區間上單調性相同，偶函數在其關于原點對稱的區間上單調性相反；（6）一些重要函數的單調性：①的單調性：在和上單調遞增，在和上單調遞減；②（，）的單調性：在和上單調遞增，在和上單調遞減．2．函數的最值前提設函數的定義域為，如果存在實數滿足條件（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得（3）對于任意的，都有；（4）存在，使得結論為最大值為最小值注意：（1）函數的值域一定存在，而函數的最值不一定存在；（2）若函數的最值存在，則一定是值域中的元素；若函數的值域是開區間，則函數無最值，若函數的值域是閉區間，則閉區間的端點值就是函數的最值.3．函數奇偶性的定義及圖象特點奇偶性定義圖象特點偶函數如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么函數是偶函數圖象關于軸對稱奇函數如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么函數是奇函數圖象關于原點對稱判斷與的關系時，也可以使用如下結論：如果或，則函數為偶函數；如果或，則函數為奇函數．注意：由函數奇偶性的定義可知，函數具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內的任意一個x，也在定義域內（即定義域關于原點對稱）．4．函數奇偶性的幾個重要結論（1）奇函數在關于原點對稱的區間上的單調性相同，偶函數在關于原點對稱的區間上的單調性相反．（2），在它們的公共定義域上有下面的結論：偶函數偶函數偶函數偶函數偶函數偶函數偶函數奇函數不能確定不能確定奇函數偶函數奇函數偶函數不能確定不能確定奇函數偶函數奇函數奇函數奇函數奇函數偶函數奇函數（3）若奇函數的定義域包括，則．（4）若函數是偶函數，則．（5）定義在上的任意函數都可以唯一表示成一個奇函數與一個偶函數之和．（6）若函數的定義域關于原點對稱，則為偶函數，為奇函數，為偶函數．一、單選題1．函數，，則A．函數有最小值，最大值 B．函數有最小值，最大值C．函數有最小值，最大值 D．函數有最小值，最大值【試題來源】安徽省滁州中學2020-2021學年高三上學期10月綜合能力測試（文）【答案】A【分析】求出二次函數的對稱軸，判斷在區間上的單調性，進而可得最值．【解析】對稱軸為，開口向上，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，，當時，，所以函數有最小值，最大值，故選A．2．定義在[－7，7]上的偶函數f(x)在[0，7]上的圖象如下圖，下列說法正確的是A．f(x)僅有一個單調增區間 B．f(x)有兩個單調減區間C．f(x)在其定義域內的最小值是－7 D．f(x)在其定義域內的最大值是7【試題來源】寧夏中衛市第一中學2021-2022學年高一上學期第一次月考數學（A卷）試題【答案】D【分析】利用偶函數的性質，單調性的性質，最值的定義分析判斷即可【解析】對于AB，由于函數為偶函數，其圖象關于軸對稱，所以由圖象可知函數f(x)有3個增區間，3個減區間，所以AB錯誤，對于C，由圖象可知函數的最小值小于，但不等于，所以C錯誤，對于D，由圖象可知函數圖象的最高點的縱坐標為7，所以f(x)在其定義域內的最大值是7，所以D正確，故選D3．若函數y＝f(x)在R上單調遞減，且f(2m－3)>f(－m)，則實數m的取值范圍是A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞)C．(1，＋∞) D．(－∞，1)【試題來源】寧夏中衛市第一中學2021-2022學年高一上學期第一次月考數學（B卷）試題【答案】D【分析】直接利用函數的單調性解不等式即可【解析】因為函數y＝f(x)在R上單調遞減，且f(2m－3)>f(－m)，所以，得，所以實數m的取值范圍是(－∞，1)，故選D4．已知上函數，則“”是“函數為奇函數”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【試題來源】黑龍江省大慶中學20201-2022學年高三上學期第一次月考（文）【答案】B【分析】考慮兩者之間的推出關系后可得正確的選項．【解析】取，則，但，所以函數不是奇函數；故“”推不出“函數為奇函數”，若函數為奇函數，則即，故“函數為奇函數”能推出“”．故選B．5．函數在下列區間上是減函數的是A． B．C． D．【試題來源】人教B版（2019）必修第一冊學習幫手第三章（第一課時）【答案】B【分析】求出二次函數的對稱軸，根據二次函數的性質判斷四個選項的正誤即可得正確選項．【解析】的對稱軸為，開口向上的拋物線，所以在上單調遞減，由選項可知，所以在上單調遞減，故選B．6．下列函數中，在區間上為增函數的是A． B．C． D．【試題來源】人教B版（2019）必修第一冊學習幫手第三章（第一課時）【答案】D【分析】根據一次函數、反比例函數和二次函數單調性直接判斷可得結果．【解析】對于A，為上的減函數，A錯誤；對于B，在，上單調遞減，B錯誤；對于C，在上單調遞減，在上單調遞增，C錯誤；對于D，，則在上為增函數，D正確．故選D．7．已知（a，b為常數），且，則A．1 B．C．0 D．不能確定【試題來源】寧夏銀川唐徠回民中學2021-2022學年高一10月月考【答案】B【分析】由解析式判斷是奇函數，從而可得，即可得到答案；【解析】因為是奇函數，所以．故選B8．若定義在R上的奇函數f(x)在(-∞，0]單調遞減，則f（1），f（2），f（3）的大小關系是A．f（1）<f（2）<f（3） B．f（1）<f（3）<f（2）C．f（3）<f（2）<f（1） D．f（3）<f（1）<f（2）【試題來源】寧夏中衛市第一中學2021-2022學年高一上學期第一次月考數學（B卷）試題【答案】C【分析】由函數f(x)的單調性比較f(-1)，f(-2)，f(-3)的大小，再利用奇函數計算變形即得【解析】因函數f(x)在(-∞，0]單調遞減，而-3<-2<-1，于是有f(-3)>f(-2)>f(-1)，又函數f(x)是R上的奇函數，則有-f（3）>-f（2）>-f（1），即f（3）<f（2）<f（1），所以f（1），f（2），f（3）的大小關系是f（3）<f（2）<f（1）．故選C9．下列函數是偶函數且在區間(—∞，0)上為減函數的是A．y=2x B．y=C．y= D．y=【試題來源】福建省福州延安中學2020-2021學年高一上學期期中考試【答案】C【分析】分析給定四個函數的單調性和奇偶性，可得答案．【解析】函數是奇函數，不滿足題意；函數是奇函數，不滿足題意；函數是偶函數，且在區間上為減函數，滿足題意；函數是偶函數，但在區間上為增函數，不滿足題意；故選．10．對于實數a、b，定義符號min{a，b}，其意義為∶當時，min{a，b}=b；當a<b時，min{a，b}=a，例如min{2，－1}=－1，若關于x的函數為y=min{2x－1，－x+5}．則該函數的最大值為A．2 B．3C．4 D．5【試題來源】廣東省佛山市南海區石門中學2021-2022學年高一上學期第一次統測（月考）【答案】B【分析】由題可得，即求．【解析】由題可得，所以當時，．故選B．11．若函數在區間上的最小值為4，則實數的取值集合為A． B．C． D．【試題來源】人教B版（2019）必修第一冊學習幫手第三章檢測【答案】C【分析】求出函數的對稱軸，按對稱軸與區間的關系分類討論求解即可．【解析】函數圖象對稱軸為，當，即時，在上單調遞減，則，解得或，于是得，當時，在上單調遞增，則，解得或，于是得，當時，，即無解，綜上得或，所以實數的取值集合為．故選C.12．定義在R上的偶函數滿足對任意的，有，且，則不等式的解集是．A． B．C． D．【試題來源】四川省成都外國語學校2021-2022學年高一上學期10月月考【答案】C【分析】根據已知可得函數在上單調遞減，由為偶函數，可得在上單調遞增，進而可得，然后利用單調性即可求解不等式．【解析】由對任意的，，，可知函數在上單調遞減，因為為偶函數，所以在上單調遞增，因為，所以，所以當或時，，當時，，不等式可轉化為，所以或，所以或．故選C．13．函數A．是奇函數，在上是增函數 B．是偶函數，在上是減函數C．不是偶函數，在上是增函數 D．是偶函數，且在是增函數【試題來源】四川省成都市樹德中學2021-2022學年高一上學期10月階段性測試【答案】D【分析】由函數奇偶性的定義，分析可得函數是偶函數，因此在上不單調，當時，結合二次函數的性質，即可判斷【解析】函數的定義域為R，且f(－x)＝(－x)2＋|－x|＝x2＋|x|＝f(x)，所以函數是偶函數，所以f(x)＝x2＋|x|在上不單調，故排除ABC；當時，為對稱軸為的開口向上的二次函數，故在是增函數，選項D正確，故選D.14．定義在上的函數，對任意有，則A． B．C． D．【試題來源】四川省遂寧市射洪中學2021-2022學年高一上學期第一次月考【答案】A【分析】由題意，分析可得在上單調遞減，利用單調性即可判斷【解析】由題意，對任意有，故任取，有，即在上單調遞減，由于，故選A.15．已知函數的定義域為，且，當時，，且，則不等式的解集為A． B．C． D．【試題來源】安徽省蕪湖市第一中學2021-2022學年高三上學期第一次月考（理）【答案】A【分析】由已知條件可得函數圖象的對稱中心為，且在上單調遞增，則為奇函數，從而將轉化為，再利用其單調性得，從而可求得結果【解析】因為，故函數圖象的對稱中心為，而，，故函數在上單調遞增，故在上單調遞增，故為奇函數，且在上單調遞增，，故選A．16．若函數在區間和上均為增函數，則函數在區間上A．一定是增函數 B．沒有單調性C．不可能是減函數 D．存在減區間【試題來源】人教B版（2019）必修第一冊學習幫手第三章（第一課時）【答案】C【分析】利用函數的單調性分析即可得解．【解析】因為函數在區間和上均為增函數，對于A，符合條件的圖象如圖所示，函數在區間上不是增函數，，但，故A錯誤；對于B，符合條件的圖象如圖所示，函數在區間和上連續，此時在區間上是增函數，故B錯誤；對于CD，函數在區間和上不論是否連續，都不可能是減函數，所以不存在減區間，故C正確，D錯誤；故選C17．設函數，則下列函數中為偶函數的是A． B．C． D．【試題來源】河南省新鄭市2021-2022學年高一上學期第一次階段性檢測【答案】B【分析】化簡各選項中的函數解析式，利用函數奇偶性的定義以及特殊值法可得出結論．【解析】由題意可得，對于A，，設，對任意的，，函數的定義域為，，，，函數不是偶函數；對于B，，設，對任意的，，函數的定義域為，，函數為偶函數；對于C，，設，對任意的，，函數的定義域為，，，，函數不是偶函數；對于D，，設，對任意的，，，，則，函數不是偶函數．故選B．18．已知為奇函數，則等于A．1 B．C． D．【試題來源】廣東省東莞市東莞中學2020-2021學年高一上學期第一次月考【答案】C【解析】因為為奇函數，所以，且，所以．故選C19．已知函數是上的增函數，則a的取值范圍是A． B．C． D．【試題來源】廣東省東莞市東莞中學2020-2021學年高一上學期第一次月考【答案】B【分析】根據二次函數與反比例函數的圖象特征，結合單調性定義可得不等式組，解之即可．【解析】根據題意，若函數是上的增函數，必有，解可得，故選．20．若函數是奇函數，且在上是增函數，又，則解集是A． B．C． D．【試題來源】寧夏銀川唐徠回民中學2021-2022學年高一10月月考【答案】A【分析】因為函數是奇函數，且在上是增函數，又，所以可畫出符合條件的奇函數的圖象，再觀察圖象，即可得到答案；【解析】因為函數是奇函數，且在上是增函數，又，所以可畫出符合條件的奇函數的圖象，如圖所示．因為，所以或，結合圖象，解得．故選A21．以下函數中，在上單調遞減且是偶函數的是A． B．C． D．【試題來源】寧夏中衛市第一中學2021-2022學年高一上學期第一次月考數學（A卷）試題【答案】C【分析】依次判斷各個選項的奇偶性和單調性，即可得解【解析】選項A，定義域為R，為奇函數，錯誤；選項B，定義域為R，為偶函數，但在上單調遞增，錯誤；選項C，定義域為R，為偶函數，為對稱軸為的開口向下的二次函數，故在上單調遞減，正確；選項D，定義域為為奇函數，錯誤．故選C22．已知函數滿足，若函數與圖象的交點為，，…，，則A． B．C． D．【試題來源】寧夏中衛市第一中學2021-2022學年高一上學期第一次月考數學（B卷）試題【答案】B【分析】根據題意可得兩個函數的圖象都關于直線對稱；所以兩個函數的圖象的交點也關于直線對稱，分是偶數和奇數，結合對稱性即可求解．【解析】因為，所以，所以圖象關于直線對稱；的圖象如圖所示：由圖知的圖象關于直線對稱；所以函數與圖象的交點也關于直線對稱，設關于對稱的點的橫坐標為，則，所以當是偶數時，，當是奇數時，，所以，故選B．23．奇函數在定義域上是減函數，若，則的取值范圍是A． B．C． D．【試題來源】人教B版（2019）必修第一冊學習幫手第三章（第二課時）【答案】A【分析】將已知不等式化為，解不等式組即得解．【解析】原不等式可化為，因為函數是奇函數，所以可得．因為函數在定義域（-1，1）上是減函數，所以解得．所以的取值范圍是．故選A．24．已知，設關于的不等式的解集為，若，則實數的取值范圍是A． B．C． D．【試題來源】四川省成都市樹德中學2021-2022學年高一上學期10月階段性測試【答案】A【分析】由題意得在上，函數的圖象應在函數的圖象的下方，分類討論，利用數形結合的方法研究即可求解【解析】，由題意得在上，函數的圖象應在函數的圖象的下方．①當時，顯然不滿足條件．②當時，函數的圖象是把函數的圖象向左平移個單位得到的，函數在上單調遞增，圖象不滿足函數的圖象在函數的圖象下方．③當時，如圖所示：在為減，在為增，的圖象由的圖象向右平移的單位得到，當時的圖象在的圖象下方，發現只需當時成立即可滿足條件，即，結合化簡得故，解得，故此時的范圍為．綜上可得的范圍為．故選A．25．若，，則的大小關系是A． B．C． D．大小關系無法判斷【試題來源】安徽省六安市霍邱縣第一中學2021-2022學年高一上學期第一次段考【答案】A【分析】構造函數，由函數單調性性質可知在上單調遞減，根據可得大小關系．【解析】設，則，與均為定義域上的增函數，在上單調遞減，，即，．故選A．26．已知定義在上的奇函數滿足對于任意的都有．若，則A． B．C． D．不能確定【試題來源】四川省成都石室中學2021-2022學年高三上學期10月月考（文）【答案】B【分析】由奇函數定義和已知抽象函數關系式可推導得到的周期為，進而得到．【解析】為定義在上的奇函數，，，是以為周期的周期函數，．故選B．27．已知函數在上的值域為，其中，則實數的取值范圍是A． B．C． D．【試題來源】河南省大聯考2021-2022學年上學期高中畢業班階段性測試（二）文數試題【答案】A【分析】根據函數的單調性及值域得出方程，轉化為有2個不同的根，構造函數根據數形結合求解．【解析】易知函數在上單調遞增，故即關于的方程有兩個不同的實數根．令，易知函數在上單調遞減．在上單調遞增．而，，作出函數的大致圖象如圖所示，觀察可知．故選A28．定義在上的函數是奇函數，且在上是減函數，，則不等式的解集是A． B．C． D．【試題來源】甘肅省嘉峪關市第一中學2020-2021學年高二下學期期末考試（文）【答案】C【分析】由題意可得的圖象是把的圖象向左平移2個單位得到的，作出函數的示意圖，即可得到答案；【解析】由題意可得的圖象是把的圖象向左平移2個單位得到的，故關于點對稱，，，它的單調性示意圖，如圖所示：根據不等式可得，的符號和的符號相反，的解集為，故選C29．若對任意的x，y∈R，不等式x2+y2+xy≥3(x+y-a)恒成立，則實數a的取值范圍為A．a≤-1 B．a≤1C．a≥-1 D．a≥1【試題來源】江蘇省蘇州中學2021-2022學年高一上學期10月質量評估【答案】D【分析】將不等式等價轉化成關于x的一元二次不等式恒成立，再求關于y的另一個不等式恒成立即可得解．【解析】不等式x2+y2+xy≥3(x+y-a)對任意的x，y∈R恒成立，即關于x的一元二次不等式x2+(y-3)x+y2-3y+3a+≥0恒成立，于是得對任意的y∈R恒成立，因此，，，而當時，取最大值1，則，所以實數a的取值范圍為．故選D30．設函數f(x)的定義域為R，f(x)為奇函數，f(x+1)為偶函數，當x∈[1，2]時，f(x)=ax+b，若f(3）=1，則f()=A． B．C． D．【試題來源】江蘇省無錫市第一中學2021-2022學年高三上學期10月階段性質量檢測【答案】B【分析】根據題中函數的性質，先求解出函數的周期，最后求解出函數值即可．【解析】由題意有對稱中心，有對稱軸，則周期，為對稱中心，即；，即，解出，．所以，選項B正確．故選B．31．函數的定義域為，而且與都為奇函數，則下列說法不正確的是A．為周期函數 B．為奇函數C．為奇函數 D．為奇函數【試題來源】安徽省淮北市第一中學2021-2022學年高二上學期10月月考【答案】B【分析】根據題意，結合奇函數的性質，一一判斷即可．【解析】由為奇函數，得①，由為奇函數，得②．對于A選項，令①式中，②式中，得，即，故為周期函數，且周期為4，因此A正確；對于選項B，由A可知，令，得，故不為奇函數，因此B錯；對于選項C，令①式中，得，又因為周期函數，且周期為4，得，故為奇函數，因此C正確；對于選項D，由，得，因，得，又因為周期函數，且周期為4，得，故為奇函數，因此D正確．故選B．32．符號表示不超過的最大整數，如，，定義函數：，則下列命題正確的是A．函數的最大值為，最小值為 B．C．方程有無數個根 D．函數在定義域上是單調遞增函數【試題來源】河南省新鄭市2021-2022學年高一上學期第一次階段性檢測【答案】C【分析】根據新定義函數的概念，做出函數圖象，逐項判斷即可．【解析】作出函數的圖象，對于A項，由圖可知函數無最大值，最小值為，故A錯誤，對于B項，，，所以，故B不正確，對于C項，方程的解為，故C正確，對于D項，在每一個區間上，函數都是增函數，但是在定義域上不是單調遞增，故D錯誤．故選C．33．函數是定義在上的偶函數，且當時，，若對任意，均有則實數的最大值是A． B．C． D．【試題來源】河南省新鄭市2021-2022學年高一上學期第一次階段性檢測【答案】A【分析】根據函數為偶函數，且在上單調遞增，得到，化簡解出即可．【解析】易知，函數在上單調遞增，由，得，又，且函數為偶函數，，兩邊平方化簡，則在恒成立，令，則，即，解得，綜上：的最大值為．故選．34．設函數的定義域為，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則A． B．C． D．【試題來源】河南省新鄭市2021-2022學年高一上學期第一次階段性檢測【答案】A【分析】由是奇函數，可得，由是偶函數，可得，令，，結合，可求出的值，然后結已知條件對化簡可求得結果【解析】因為是奇函數，所以①；因為是偶函數，所以②．令，由①得，由②得，因為，所以，令，由①得，所以．從定義入手．，，，，所以．故選．35．定義，已知函數、的定義域都是R，則下列四個命題中為假命題的是A．若、都是奇函數，則函數為奇函數B．若、都是偶函數，則函數為偶函數C．若、都是增函數，則函數為增函數D．若、都是減函數，則函數為減函數【試題來源】上海市進才中學2022屆高三上學期10月月考【答案】A【分析】由已知中：，結合具有奇偶性及單調性的圖象特征，可得答案．【解析】，若、都是奇函數，則函數，不一定是奇函數，如與，可得，的圖象不關于原點對稱，故是假命題；若、都是偶函數，可得它們的圖象關于軸對稱，則函數，為偶函數，故是真命題；若、都是增函數，可得圖象均為上升，則函數，為增函數，故是真命題；若、都是減函數，可得它們的圖象下降，則函數，為減函數，故是真命題．故選．二、多選題1．已知函數，則下列結論中正確的是A． B．若，則C．是偶函數 D．在上單調遞減【試題來源】福建省福州延安中學2020-2021學年高一上學期期中考試【答案】AD【分析】由已知結合分段函數的性質及函數的奇偶性及單調性的定義即可分別判斷．【解析】，，故正確；：若則，又，則，故錯誤；：由可得，，故是奇函數，故錯誤；：結合分段函數的性質及二次函數的性質可知在上單調遞減，故正確．故選．2．已知函數是上的減函數，則實數的取值可以是A．-2 B．1C．2 D．3【試題來源】山西省運城市教育發展聯盟2021-2022學年高一上學期10月月考【答案】CD【分析】由求出的范圍即可得解．【解析】因為函數是上的減函數，所以，解得，故選CD3．若是上的任意函數，則下列敘述正確的是A．是偶函數 B．是偶函數C．是偶函數 D．是偶函數【試題來源】遼寧省營口市第二高級中學2021-2022學年高三上學期第一次月考【答案】ACD【分析】根據偶函數定義依次判斷各個選項即可得到結論．【解析】對于A，令，則，為偶函數，A正確；對于B，令，則，為上的任意函數，與不滿足偶函數定義，B錯誤；對于C，令，則，為偶函數，C正確；對于D，令，則，為偶函數，D正確．故選ACD．4．下列函數中，不滿足“，，都有”的有A． B．C． D．【試題來源】海南省海口市海南昌茂花園學校2022屆高三上學期第一次月考【答案】AC【分析】已知條件轉化為函數在上是減函數．然后根據一次函數、二次函數、反比例函數的性質得出結論．【解析】因為，，都有，即時，，在上是減函數．由一次函數、二次函數、反比例函數的性質知，BD滿足題意，AC不滿足題意．故選AC．5．以下函數中，既是偶函數，又在上單調遞減的函數是A． B．C． D．【試題來源】北京景山學校遠洋分校2022屆高三10月月考【答案】BD【分析】對每一個選項中的函數分別從是否滿足，根據常見的初等函數的單調性判斷在上是否單調遞增，可得出選項．【解析】本題主要考查函數的單調性和函數的奇偶性．A項，對于函數，因為，所以函數不是偶函數．故A項不符合題意．B項，對于函數，因為，所以是偶函數，又在上是單調遞減的，故B項符合題意．C項，對于函數，因為定義域為，，所以函數為偶函數，因為函數，當時，，而，函數在上單調遞增，所以函數在區間上為增函數．故C項不符合題意．D項，對于函數，因為函數，所以函數是偶函數；而在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數在上單調遞減，故D項符合題意．故選BD．6．下列說法正確的是A．是奇函數B．既不是奇函數又不是偶函數C．是偶函數D．既是奇函數又是偶函數【試題來源】福建省廈門市第六中學2020-2021學年高一10月月考【答案】ACD【分析】根據函數奇偶性定義對選項一一分析即可．【解析】對于項，因為，所以是奇函數，正確；對于項，由，得且，關于原點對稱．所以，滿足，故是奇函數，項錯誤；對于項，因為，所以正確；對于項，解得定義域為，且，所以既是奇函數，又是偶函數．故選ACD7．設函數的定義域為，且為偶函數，為奇函數，則以下說法正確的有A．函數的圖象關于直線對稱 B．函數的圖象關于點對稱C．函數的一個周期為4 D．【試題來源】江蘇省蘇州市第十中學2021-2022學年高三上學期10月階段性檢測【答案】ABC【分析】根據為偶函數可判斷關于對稱，根據為奇函數可判斷關于點對稱，化簡可求出周期．【解析】若為偶函數，則，所以的圖象關于對稱，故A正確；因為為奇函數，所以，即，則可得的圖象關于點對稱，故B正確，因為，，所以，，則，故函數的一個周期為4，故C正確；由，令，可得，周期為4，無法確定的值，故D錯誤．故選ABC．8．設函數，其中表示中的最小者，說法正確的有A．函數為偶函數 B．當時，有C．當時， D．當時，【試題來源】江蘇省南通市如皋中學2021-2022學年高三上學期第一次階段考試【答案】ABC【分析】根據函數定義寫出分段函數形式，并畫出其函數圖象，即可判斷A的正誤；在上分區間討論的關系，判斷B的正誤；研究上的大小關系，根據對稱性判斷上的情況，判斷C的正誤；令即可知D的正誤．【解析】由題設，，所以其函數圖象如下：由圖知為偶函數，A正確；當時；當時；當時；當時；當時；當時；故B正確；當時；當時，易知；當時，當時，均有，則；當時，則；所以在上恒成立，根據偶函數的對稱性，在上也成立，故C正確；在上，當時，故不成立，故D錯誤．故選ABC9．已知奇函數是定義在上的減函數，且，若，則下列結論一定成立的是A． B．C． D．【試題來源】重慶市第七中學2022屆高三上學期第二次月考【答案】AC【分析】根據奇函數性質得，即得，可判斷A；，根據單調性可得，即可判斷B；先根據定義以及奇函數性質得，再根據函數單調性判斷C；根據定義以及奇函數性質得，即可判斷D．【解析】因為為定義在上的奇函數，所以，因為，所以，故A正確；因為為定義在上的減函數，且，，即．所以，故B不一定成立；因為，所以，所以，因為是定義在上的減函數，所以，所以，即，故C正確，選項D錯誤．故選AC10．是定義在R上的奇函數，是偶函數，當，當時，值域為，則可能的取值為A．13 B．5C．1 D．-13【試題來源】重慶市開州中學2022屆高三上學期10月月考【答案】BC【分析】根據多給條件求得所以的周期為，且關于對稱，可得如圖所示函數圖象，根據圖象進行分析即可得解．【解析】根據題意，函數滿足且，所以，所以，所以的周期為，由當，由為奇函數，當，又關于對稱，可得如下圖象，如若要值域取得，根據答案當時符合題意，此時，故C正確；當，值域也是，故B正確；由圖可知不符題意，結合奇函數性質，故AD錯誤；故選BC11．定義在上的奇函數滿足，且在上是增函數，下面判斷正確的是A．的周期是 B．是函數的最大值C．的圖象關于點對稱 D．在上是減函數【試題來源】山東省菏澤市鄆城第一中學2021-2022學年高三上學期第一次階段性檢測【答案】BD【解析】定義在上的奇函數滿足，所以函數的圖象關于直線對稱，得，即，則．的周期為．所以函數的圖象如下：由圖可得，正確答案為，．故選．12．若函數f（x）＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）為R上的偶函數，當﹣1≤x≤2時，下列說法正確的是A．m＝1 B．m＝2C．fmin（x）＝2 D．fmax（x）＝6【試題來源】2022年高考數學一輪復習舉一反三系列（新高考地區專用）【答案】BCD【分析】根據題意，由偶函數的定義可得f（﹣x）＝f（x），即（m﹣1）x2+（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）＝（m﹣1）x2﹣（m﹣2）x+（m2﹣7m+12），分析可得m的值，結合二次函數的性質分析可得答案．【解析】根據題意，函數f（x）＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）為R上的偶函數，則有f（﹣x）＝f（x），即（m﹣1）x2+（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）＝（m﹣1）x2﹣（m﹣2）x+（m2﹣7m+12），必有m﹣2＝0，即m＝2，則f（x）＝x2+2，為開口向上的二次函數，對稱軸為當﹣1≤x≤2時，其最小值為f（0）＝2，最大值f（2）＝6，故選BCD三、填空題1．函數的單調遞減區間是__________．【試題來源】人教B版（2019）必修第一冊學習幫手第三章（第一課時）【答案】【分析】利用二次函數的性質，判斷單調遞減區間即可．【解析】由題設，二次函數開口向下且對稱軸為，所以在上遞增，上遞減．故函數的單調遞減區間是．故答案為2．函數的單調區間是__________．【試題來源】人教B版（2019）必修第一冊學習幫手第三章（第一課時）【答案】和【分析】根據復合函數的單調性判斷的單調區間即可．【解析】令且，則，因為在、上均為遞增，而在、上均為遞減，所以在、上均為遞減．故函數單調區間為、．故答案為和3．已知一個奇函數的定義域為，則__________．【試題來源】人教B版（2019）必修第一冊學習幫手第三章（第一課時）【答案】－1【分析】根據奇函數的定義域關于原點對稱，與有一個等于1，另一個等于，進而得到結果．【解析】因為一個奇函數的定義域為，根據奇函數的定義域關于原點對稱，所以與有一個等于1，另一個等于，所以．故答案為－1．4．已知函數為偶函數，且當時，則__________．【試題來源】寧夏中衛市第一中學2021-2022學年高一上學期第一次月考數學（A卷）試題【答案】2【分析】由偶函數可得，代入解析式即得解【解析】由題意，函數為偶函數，故，故答案為25．不等式對恒成立，則實數的取值范圍是__________．【試題來源】北京市第一六一中學2022屆高三10月月考【答案】【分析】轉化為在上恒成立，求出的最小值即可．【解析】依題意，，即在上恒成立，又，所以．故答案為．6．已知函數在定義域（-1，1）上是減函數，且，則的取值范圍是__________．【試題來源】人教B版（2019）必修第一冊學習幫手第三章（第二課時）【答案】【分析】結合定義域和單調性，列出不等式組，求解即可【解析】由題意，函數在定義域（-1，1）上是減函數，且，故，解得，故答案為.7．若是奇函數，當時的解析式是，則當時，的最大值是__________．【試題來源】人教B版（2019）必修第一冊學習幫手第三章（第二課時）【答案】【分析】先利用奇函數的定義求出時的解析式，再結合二次函數的性質求解即可【解析】當時，，因為時，，所以，又為奇函數，所以，所以，因為時，，所以當時，取得最大值．故答案為8．設是上的奇函數，，當時，，則為__________．【試題來源】黑龍江省哈爾濱市第一中學2021-2022學年高三上學期第一次月考數學理試題【答案】【分析】由可得函數的周期為4，再結合函數為奇函數可求的值．【解析】因為，所以，所以，故的周期為4，故，故答案為9．函數的對稱中心是__________．【試題來源】甘肅省蘭州市第一中學2021-2022學年高三上學期第一次月考（10月）（理）【答案】【分析】用分離常數法變形，轉化為反比例函數形式與常數的和后可得對稱中心．【解析】，定義域是，值域是，它的圖象可以看作是由的圖象向右平移個單位，再向上平移個單位得到的，因此對稱中心是．故答案為．10．奇函數滿足：①在內單調遞增；②．則不等式的解集為__________．【試題來源】陜西省西安市長安區第一中學2021-2022學年高一上學期10月月考【答案】【分析】利用奇函數在對稱區間上的單調性，求解不等式即可得出結果．【解析】因為在內單調遞增，且，所以時，；時，；因為為奇函數，所以在內單調遞增，且，所以時，；時，；而或，解得或，所以不等式的解集為，故答案為．11．已知函數在區間上為增函數，則實數a的取值范圍是__________．【試題來源】上海市進才中學2022屆高三上學期10月月考【答案】【分析】首先函數分離常數，根據分數函數的單調性，即可求得實數a的取值范圍．【解析】，因為函數在區間上為增函數，所以，解得．故答案為12．設函數的定義域為，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則__________．【試題來源】湖北省襄陽市第四中學2022屆高三上學期10月考試【答案】【分析】由為奇函數，為偶函數可得為周期為4的周期函數，再由，，聯立可得，結合周期性，代入解析式即得解【解析】由題意，為奇函數，所以，又為偶函數，所以，，，即為周期為4的周期函數，因為為奇函數，故，，又，聯立可得，故當時，，則，故答案為13．已知函數是定義在R上的奇函數，滿足，當，，則__________．【試題來源】遼寧省名校聯盟2021-2022學年高三上學期10月聯合考試【答案】【分析】利用，可證明是周期函數且周期，結合奇偶性，代入解析式，即得解【解析】由，則，故是周期函數且周期，所以，因為是奇函數，所以．故，故答案為.14．設函數的最大值為，最小值為，則__________．【試題來源】陜西省西安市長安區第一中學2021-2022學年高一上學期10月月考【答案】【分析】構造函數，由奇偶性定義可知為奇函數，知，由此可求得結果．【解析】，令，則，為上的奇函數，，即，．故答案為．15．已知函數的定義域為R，是奇函數且，則函數的周期為__________．【試題來源】江蘇省泰州中學2021-2022學年高三上學期第一次月度檢測【答案】6【分析】根據函數是奇函數得，又由已知得，由周期的定義可得答案．【解析】因為函數是奇函數，所以，又，即，所以，所以函數的周期為6，故答案為6．16．已知函數滿足：對任意都有成立，那么實數的取值范圍是__________．【試題來源】河南省新鄭市2021-2022學年高一上學期第一次階段性檢測【答案】【分析】根據題意得到函數在上單調遞增，然后根據分段函數單調性的判斷方法求實數的取值范圍即可．【解析】由函數單調性定義可得函數在上單調遞增，則根據分段函數單調性的判斷方法，得，解得．故答案為．17．已知定義域為的奇函數，則的解集為__________．【試題來源】河南省新鄭市2021-2022學年高一上學期第一次階段性檢測【答案】【分析】根據奇函數的性質及定義域的對稱性，求得參數a，b的值，求得函數解析式，并判斷單調性．等價于，根據單調性將不等式轉化為自變量的大小關系，結合定義域求得解集．【解析】由題知，，所以恒成立，即．因為奇函數的定義域關于原點對稱，所以，解得，因此，，由單調遞增，單調遞增，易知函數單調遞增，故等價于等價于，即，解得．故答案為.18．若定義在上的奇函數在上單調遞增，且，則不等式解集為__________．【試題來源】上海市曹楊第二中學2022屆高三上學期10月月考【答案】【分析】將原不等式等價變形為，分析函數在、上的單調性，分、兩種情況解原不等式，即可得解．【解析】因為函數為上的奇函數，則，因為，則．因為函數在上為增函數，則該函數在上也為增函數．當時，則，可得；當時，則，可得．綜上所述，不等式的解集為．故答案為．四、雙空題1．函數的單調遞減區間是__________，單調遞增區間是__________．【試題來源】人教B版（2019）必修第一冊學習幫手第三章（第一課時）【答案】【分析】討論、求的解析式，由一次函數的性質判斷增減區間．【解析】當時，，則在上遞增；當時，，則在上遞減；故答案為，．2．已知函數，若函數的圖象關于點成中心對稱，則__________，__________．【試題來源】廣東省東莞市東莞中學2020-2021學年高一上學期第一次月考【答案】【解析】，該函數的圖象關于點成中心對稱，則對任意恒成立，取，得，即①，取，得，即②，由①②得．故答案為；．3．若函數在上的值域為，則__________，__________．【試題來源】備戰2022年高考數學一輪復習考點一遍過（新高考地區專用）【答案】1【分析】根據函數解析式可判斷在上單調遞增，進而可得且，列方程組即可求得的值．【解析】因為函數在上單調遞增，且值域為所以且，解得，，故答案為；．4．已知是上的以為周期的奇函數，則__________，__________．【試題來源】九師聯盟2022屆高三上學期9月質量檢測（文）【答案】【解析】由是上的奇函數，得所以；由，得，從而，得，所以．5．已知，則__________，的單調遞增區間為__________．【試題來源】浙江省寧波市慈溪中學2020-2021學年高一普通班上學期月考【答案】和【分析】令，則，利用換元法即可得的解析式，由二次函數的性質求出的單調區間，結合函數的定義域以及單調性的性質即可得單調遞增區間．【解析】令，則，所以，所以，，由可得且，因為對稱軸為，開口向下，所以在單調遞增，在單調遞減，所以在和單調遞增，所以的單調遞增區間為和，故答案為；和．6．已知函數是定義在R上的奇函數，且當時，則當時，__________；若對任意的，恒有，則實數a的取值范圍是__________．【試題來源】山東省菏澤市東明縣第一中學2021-2022學年高三上學期10月月考【答案】【分析】由當時，，函數是奇函數，可得當時，，從而在R上是單調遞增函數，且滿足，再根據不等式，在，恒成立，利用一次函數的單調性，可得不等式，即可得出答案．【解析】當時，，因為函數是奇函數，所以當x＜0時，f（x）＝﹣x2，所以，所以在R上是單調遞增函數，且滿足，因為不等式在恒成立，所以即在恒成立，即有，即為，可得，故答案為，．7．已知函數奇函數，當時，，則時，__________，若，則的值為__________．【試題來源】海南省三亞市華僑學校2020-2021學年高一上學期期中【答案】【分析】已知時，，根據奇函數的定義求對稱區間上的解析式，根據可求．【解析】設，則，所以，又函數為奇函數，所以，即時，，又，所以，解得．故答案為；五、解答題1．已知函數f(x)＝2x2＋1．（1）用定義證明f(x)是偶函數；（2）用定義證明f(x)在(－∞，0]上是減函數．【試題來源】寧夏中衛市第一中學2021-2022學年高一上學期第一次月考數學（B卷）試題【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）先求得函數f(x)的定義域為R，再對于任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，由此可得證；（2）任取x1，x2∈(－∞，0]，且x1<x2，作差f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)(x1＋x2)，判斷差的符號，可得證．【解析】（1）函數f(x)的定義域為R，對于任意的x∈R，都有f(－x)＝2(－x)2＋1