第三節導數與函數的極值、最值【要點歸納】一、極值點與極值1．極小值點與極小值：若函數y＝f(x)在點x＝a的函數值f(a)比它在點x＝a附近其它點的函數值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側f′(x)<0，右側f′(x)>0，就把點a叫做函數y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y＝f(x)的極小值．2．極大值點與極大值：若函數y＝f(x)在點x＝b的函數值f(b)比它在點x＝b附近其它點的函數值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0，就把點b叫做函數y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y＝f(x)的極大值．3．對函數極值概念的理解(1)函數的極值是一個局部性的概念，是僅對某一點的左右兩側附近的點而言的．(2)極值點是函數定義域內的點，而函數定義域的端點絕不是函數的極值點．(3)若f(x)在[a，b]內有極值，則f(x)在[a，b]內絕不是單調函數，即在定義域區間上的單調函數沒有極值．(4)極大值與極小值沒有必然的大小關系．一個函數在其定義域內可以有許多個極小值和極大值，在某一點的極小值可能大于另一點的極大值，即極小值不一定比極大值小，極大值也不一定比極小值大．(如圖所示)(5)若函數f(x)在[a，b]上有極值，它的極值點的分布是有規律的(如圖所示)，相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點，同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點．4．函數極值的求法求函數y＝f(x)的極值的方法是：解方程f′(x)＝0，當f′(x0)＝0時(1)如果在x0附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0，那么，f(x0)是極大值．(2)如果在x0附近的左側f′(x)<0，右側f′(x)>0，那么，f(x0)是極小值．5．極值點與導數的關系(1)可導函數的極值點必須是導數為0的點，但導數為0的點不一定是極值點．(2)不可導點可能是極值點，也可能不是極值點．(3)導數為0是極值點：y＝x2，y′(0)＝0，x＝0是極小值點．(4)導數為0但不是極值點：y＝x3，y′(0)＝0，x＝0不是極值點．(5)不可導點是極值點：y＝|sinx|，x＝0不可導，是極小值點．(6)不可導點不是極值點：y＝xeq\f(1,3)，x＝0不可導，不是極值點．6．求可導函數y＝f(x)極值的步驟(1)求導數f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的所有實數根；(3)對每個實數根進行檢驗，判斷在每個根的左右側，導函數f′(x)的符號如何變化．如果f′(x)的符號由正變負，則f(x0)是極大值；如果f′(x)的符號由負變正，則f(x0)是極小值；如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右側符號不變，則f(x0)不是極值．二、最值點與最值1．函數f(x)在閉區間[a，b]上的最值：假設函數y＝f(x)在閉區間[a，b]上的圖象是一條連續不間斷的曲線，則該函數在[a，b]一定能夠取得最大值與最小值，若函數在[a，b]內是可導的，則該函數的最值必在極值點或區間端點取得．2．求可導函數y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟(1)求f(x)在開區間(a，b)內所有極值點．(2)計算函數f(x)在極值點和端點的函數值，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．3．函數最值的理解(1)函數的最值是一個整體性的概念．函數極值是在局部上對函數值的比較，具有相對性；而函數的最值則是表示函數在整個定義域上的情況，是對整個區間上的函數值的比較．(2)函數在一個閉區間上若存在最大值或最小值，則最大值或最小值只能各有一個，具有唯一性，而極大值和極小值可能多于一個，也可能沒有，例如：常數函數就既沒有極大值也沒有極小值．(3)極值只能在區間內取得，最值則可以在端點處取得，有極值的不一定有最值，有最值的也未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點處取必定是極值．三、常用方法與技巧1．若函數在區間D上存在最小值和最大值，則不等式在區間D上恒成立；不等式在區間D上恒成立；不等式在區間D上恒成立；不等式在區間D上恒成立；2．若函數在區間D上不存在最大（小）值，且值域為，則不等式在區間D上恒成立．不等式在區間D上恒成立．3．若函數在區間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結論：不等式在區間D上有解；不等式在區間D上有解；不等式在區間D上有解；不等式在區間D上有解；4．若函數在區間D上不存在最大（小）值，如值域為，則對不等式有解問題有以下結論：不等式在區間D上有解不等式在區間D上有解5．對于任意的，總存在，使得；6．對于任意的，總存在，使得；7．若存在，對于任意的，使得；8．若存在，對于任意的，使得；9．對于任意的，使得；10．對于任意的，使得；11．若存在，總存在，使得12．若存在，總存在，使得．【夯實基礎練】1．(2022?高考全國乙卷數學(文))函數在區間的最小值、最大值分別為()A． B．C．D．【解析】，所以在區間和上，即單調遞增；在區間上，即單調遞減，又，，，所以在區間上的最小值為，最大值為.故選：D【答案】D2．(2022?高考全國甲卷數學(文理同題))當時，函數取得最大值，則()A． B． C． D．1【解析】因為函數定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．故選：B.【答案】B3．(2022?北京市一零一中學高三(下)開學檢測)下列函數中，不存在極值點的是()A．y＝x+ B．y＝2C．y＝xlnxD．y＝2x3x【解析】由題意函數，則，所以函數在內單調遞增，在單調遞減，所以函數有兩個極值點和；函數，根據指數函數的圖象與性質可得，當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞增，所以函數在處取得極小值；函數，則，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，當時，函數取得極小值；函數，則，所以函數在上單調遞減，沒有極值點.故選：D【答案】D4．(2022?吉林省實驗中學高三第三次學科診斷)已知函數有且只有一個極值點，則實數的取值范圍為()A． B． C． D．【解析】易知函數的導數，令，得，即．設，則，當時，或，所以函數在區間和上單調遞減，在區間上單調遞增．因為函數有且只有一個極值點，所以直線與函數的圖象有一個交點，作出的圖象如圖所示．由圖得或．當時，恒成立，所以無極值，所以．故選：A【答案】A5．(2022?黑龍江省哈三中高三一模)已知是定義在R上的偶函數，是的導函數，當時，，且，則的解集是()A． B．C． D．【解析】令，因為是定義在R上的偶函數，所以，則，所以函數也是偶函數，，因為當時，，所以當時，，所以函數在上遞增，不等式即為不等式，由，得，所以，所以，解得或，所以的解集是.故選：B.【答案】B6．(2022?黑龍江省大慶鐵人中學高三(上)期中)已知函數與的圖象上存在關于軸對稱的點，則的取值范圍是()A． B．C． D．【解析】由題意在上有解．即在上有解，設()，，當時，，遞減，時，，遞增，所以，又，，所以，所以的范圍是．故選：C．【答案】C7．(2022?黑龍江省高三(下)校際聯合考試)密位制是度量角與弧的常用制度之一，周角的稱為1密位.用密位作為角的度量單位來度量角與弧的制度稱為密位制.在密位制中，采用四個數字來記角的密位，且在百位數字與十位數字之間加一條短線，單位名稱可以省去，如15密位記為“00—15”，1個平角＝30—00，1個周角＝60—00，已知函數，，當取到最大值時對應的x用密位制表示為()A．15—00 B．35—00 C．40—00 D．45—00【解析】由題設，，在時，在時，所以在上遞增，在上遞減，即，故取到最大值時對應的x用密位制表示為40—00.故選：C【答案】C8．(2022?福建省漳州第一中學高三第五次階段考)(多選)已知函數，現給出下列結論，其中正確的是()A．函數有極小值，但無最小值B．函數有極大值，但無最大值C．若方程恰有一個實數根，則D．若方程恰有三個不同實數根，則【解析】由題意得．令，即，解得或．則當或時，，函數在和上單調遞增；當時，，函數在上單調遞減．所以函數在處取得極大值，在處取得極小值．又時，；時．作出函數的大致圖象如下圖所示：因此有極小值，也有最小值，有極大值，但無最大值．若方程恰有一個實數根，則或；若方程恰有三個不同實數根，則．故選：BD【答案】BD9．(2022?重慶市第八中學高三(下)第一次調研檢測)若函數在上存在兩個極值點，則的取值范圍是()A． B．C． D．【解析】由題意可知有兩個不等根．方程，，有一根．中，另一根滿足方程()，令，，，所以在上單調遞增．所以，，即．所以．故選：C．【答案】C10．(2022?西北工業大學附屬中學高三第六次適應性訓練)若函數(為常數)存在兩條均過原點的切線，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．【解析】由題意得，設切點坐標為：，則過原點的切線斜率：，整理得：，，存在兩條過原點的切線，，，存在兩個不同解，設，，則問題等價于與存在兩個不同的交點又，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，，的大致圖象如下：若與存在兩個不同的交點，則，解得：故選：B【答案】B11．(2022?四川省綿陽中學實驗學校模擬)若函數在處有極值10，則(

)A．6 B． C．或15 D．6或【解析】，，又時有極值10，，解得或，當時，，此時在處無極值，不符合題意，經檢驗，時滿足題意，，故選：B【答案】B12．(2022?四川省綿陽二模)若是函數的極大值點，則實數的取值范圍是(

)A． B． C． D．【解析】，若時，當時，；當時，；則在上單調遞減；在上單調遞增.所以當時，取得極小值，與條件不符合,故滿足題意.當時，由可得或；由可得所以在上單調遞增；在上單調遞減，在上單調遞增.所以當時，取得極大值，滿足條件.當時，由可得或；由可得所以在上單調遞增；在上單調遞減，在上單調遞增.所以當時，取得極小值，不滿足條件.當時，在上恒成立，即在上單調遞增.此時無極值.綜上所述：滿足條件故選：A【答案】A13．(2022?吉林省東北師范大學附屬中學高三第二次摸底考試)函數既有極大值，又有極小值，則的取值范圍是_________．【解析】，，因為函數既有極大值，又有極小值，所以，即，，解得或，故的取值范圍為，故答案為：.【答案】14．(2022?華南師范大學附屬中學高三(上)綜合測試)當時，不等式成立，則實數的取值范圍是___________.【解析】當時，，令，則，當時，，當時，，因此，在上單調遞減，在上單調遞增，當時，，因當時，不等式成立，則有，所以實數的取值范圍是.故答案為：【答案】15．(2022?江蘇省徐州模擬)函數的最小值為_____________．【解析】由題可知，函數為偶函數，時，，當時，，在單調遞增，此時；當時，，即恒成立.∴故答案為：1.【答案】16．(2022?河北省模擬)已知，函數在上的最小值為1，則__________．【解析】由題意得，當，即時，，在上遞增，故，解得；當，即時，當時，，遞減，當時，，遞增，故，解得，不符合，舍去，綜上，.故答案為：1【答案】117．(2022?重慶市育才中學高三第五次適應性考試)已知函數(a∈R).(1)當a＝2時，求f(x)的單調區間；(2)若f(x)在區間(－3,1)內存在兩個極值點，求a的取值范圍.【解析】(1)當a＝2時，由.令，得或，故在，上遞增；令，得，故在上遞減.綜上所述，f(x)在，上遞增；在上遞減.(2)由題設，由題意知：y＝a與在(－3,1)內有兩個交點.由，，則在(－3,1)上遞增.而，，則在(－3,0)上，在(0,1)上，所以在(－3,0)上遞減，在(0,1)上遞增由g(－3)＝6－，g(0)＝1，g(1)＝2e－2，且g(－3)＞g(1).故1＜a＜2e－2時，y＝a與g(x)＝的圖象有兩個交點.即f(x)在(－3,1)上存在兩個極值點時，a的取值范圍為(1,2e－2).【答案】(1)在(,－1)，(ln2,)上遞增；在(－1,ln2)上遞減；(2)(1,2e－2).18．(2022?遼寧省名校高三第四次聯考)已知函數為偶函數.(1)求的值；(2)設函數，是否存在實數，使得函數在區間上的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【解析】(1)由題意知函數的定義域為，因為為偶函數，所以對任意的恒成立，即對任意的恒成立，即對任意的恒成立，即對任意的恒成立，所以，解得.(2)由(1)知所以，令，則，其對稱軸為，①當，即時，在上單調遞減，所以，由，解得，此時不滿足，此時不存在符合題意的值；②當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，由，解得或，又，所以；③當，即時，在上單調遞增，所以，由，解得，不滿足，此時不存在符合題意的值.綜上所述，存在，使得函數在區間上的最小值為.【答案】(1)；(2)存在，.19．(2022?長春外國語學校高三(下)期初考試)已知函數.(1)當時，討論的單調性；(2)設，若關于的不等式在上有解，求的取值范圍.【解析】(1)由題意知，，令，當時，恒成立，∴當時，，即；當時