必修1指數函數與對數函數單元教學設計一、分析教學要素1.數學分析：本章內容是在學完函數概念以及函數基本性質后的情況下，較為系統地研究指數函數、對數函數，它是函數內容學習的繼續和深入（第二階段）．基本初等函數(指數函數、對數函數)是高中數學的基礎，是刻畫現實世界變化規律的重要模型，由于我們生活在充滿變化的現實世界中，其中有一類具有重要的運動變化的關系，如GDP的增長問題、人口增長問題、細胞分裂、考古中所用的14C的衰減、藥物在人體內殘留量的變化等，結合實際問題，可以感受觀察、抽象概括并建立數學模型的過程和方法，通過計算工具，感知指數函數、對數函數以及冪函數增長的差異，體會、認識直線上升、指數爆炸、對數增長等不同的函數類型增長的含義．體會函數在數學和其他學科中的重要性，體現數學的應用價值．2.課標分析：《普通高中數學課程標準（2017年版）》本章是在上一章學習函數及其性質的基礎上，具體研究指數函數、對數函數、這三個高中階段重要的函數．這是高中函數學習的第二個階段，目的是使學生在這一階段獲得較為系統的函數知識，并初步培養函數應用意識，為今后的學習打下堅實的基礎，同時使學生對函數的認識由感性上升到理性．可以說這一章起到了承上啟下的重要作用，本章所涉及到的一些重要思想方法，對學生掌握基礎的數學語言，學好高中數學起著重要的作用．3.學情分析：（1）學生已有的知識分析：學生在以前學習中，已經經歷過“數”的擴充過程，由正整數到整數，由整數到有理數，再由有理數到實數，從而形成一個優美的體系，本章繼續體現這樣擴充的思路，實現指數概念的擴充進而進一步研究冪函數概念，依據兩個原則：①數學發展的需要；②基本運算能無限制地進行，把“指數函數、對數函數、冪函數”科學地組織起來，再一次體現充滿在整個數學中的組織化、系統化的精神．4.教材分析：第四章的主要內容是指數函數、對數函數這二種函數模型.本章共分五大節，共16課時.第一大節指數與指數函數分2小節共4課時.該節首先引入整數指數冪和分數指數冪的概念.在初中已經學習了數的開平方、開立方以及二次根式的概念的基礎上，本節復習了正整數指數冪、零指數、負整數指數冪的概念，并且復習了正整數指數冪的運算法則.有了這些知識，本章將指數冪的概念和運算性質逐步擴充到有理指數冪以及實數指數冪.接著通過兩個具體的例子引入了指數函數，并對指數函數的圖象和性質進行了研究.第二大節對數與對數函數分2小節，共5課時，該節首先學習對數和對數的運算法則，然后再學習對數函數及其圖象和性質，對數函數的圖象是在畫指數函數圖象的對應值表的基礎上描繪的，對數函數同指數函數一樣，是以對數概念和運算法則作為基礎講授的.接著，通過對指數函數與對數函數的關系的研究給出了反函數的含義，并對這兩種函數的增長差異進行了比較.第三大節函數的應用（Ⅱ）也安排了4個課時，舉例說明了指數函數、對數函數在經濟學、物理學等領域中的應用.5.重點難點分析：單元教學難點：指數函數和對數函數的性質.單元教學重點：無理指數冪的含義以及指數和對數的關系.6.教學策略分析：為了有效的突破重難點，讓學生提出真問題，開展真研究，而不人為地限定解決問題的思路與方法，不壓縮學生的思維空間，真正做到以知識為載體，以研究為手段，促進學生核心素養的培育和發展．為了提高學生的研究能力，學生以四人一組開展小組合作探究．二、編制單元教學目標1.了解指數函數模型的實際背景2．理解有理數指數冪的含義，通過具體實例了解實數指數冪的意義，掌握冪的運算性質．3．經歷由指數得到對數的過程，理解對數的概念，掌握對數的運算性質．4．經歷由正整數指數函數逐步擴充到實數指數函數的過程，由指數函數的概念、圖象與性質得到對數函數的概念、圖象與性質的過程，并通過具體實例去了解指數函數模型、對數函數模型的實際背景，掌握指數函數和對數函數的概念、圖象以及性質．5．收集現實生活中普遍使用的指數函數和對數函數的模型實例，了解它們的廣泛應用．6．利用計算工具、比較指數函數、對數函數以及冪函數增長差異；結合實例體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同函數類型增長的含義．7．了解指數y=ax(a>0，且a≠1)與對數函數y=logax(a>0，且a≠1)的圖象關系，初步了解指數函數和對數函數互為反函數的關系．8．引導學生不斷地體驗函數是描述客觀世界變化規律的基本數學模型，體驗指數函數、對數函數、冪函數等與現實世界的密切聯系及其在刻畫現實問題中的作用．9．鼓勵學生運用現代信息技術學習、探索和解決問題．例如，利用科學計算器、計算機畫出指數函數、對數函數和冪函數的圖象，探索、比較它們的變化規律，研究函數的性質．三、設計單元教學過程§4.3.對數及其運算（共2課時）基于以上學習內容分析、學生認知分析和教學目標，按3個課時對本單元教學過程設計如下.1.呈現背景，提出問題為了適應航海事業的發展,需要確定航程和船舶的位置，為了適應天文事業的發展，需要處理觀測行星運動的數據，就是為了解決很多位數的數字繁雜的計算而產生了對數．恩格斯曾把對數的發明與解析幾何學的產生、微積分學的創始并稱為17世紀數學的三大成就，給予很高的評價.本單元對數的定義和運算性質的目的主要是為了學習對數函數．對數概念與指數概念有關，是在指數概念的基礎上定義的，在一般對數定義(a>0,a≠1)之后，給出兩個特殊的對數：一個是當底數時，稱為常用對數，簡記作；另一個是底數(一個無理數)時，稱為自然對數，簡記作．這樣既為學生以后學習或讀有關的科技書給出了初步知識，也使教材大大簡化，只保留到學習對數函數知識夠用即可．分析聯想，尋求方法．對數作為一種運算，由引出，在這個式子中，已知一個數和它的指數，求冪的運算就是指數運算；而已知一個數和它的冪，求指數的運算就是對數運算(而已知指數和冪求這個數的運算就是開方運算)；所以從方程角度來看待的話，這個式子有三個量，知二求一．恰好可以構成以上三種運算，所以引入對數運算是很自然的，也是很重要的，也就完成了對的全面認識對于對數概念的學習，一定要緊緊抓住與指數之間的關系，首先從指數式中理解底數和真數的要求；其次對于對數的性質及零和負數沒有對數的理解，也可以通過指數式來證明、驗證；在理解對數概念后能完成指數式和對數式的互化。對數的定義是對數形式和指數形式互化的依據，而對數形式與指數形式的互化又是解決問題的重要手段．對數作為一種運算，重要的是把握運算法則，以便正確完成各種運算，由于對數與指數在概念上相通，使得對數法則的推導應借助指數運算法則來完成，推導過程又加深了指對關系的認識，自然應成為本節的重點，特別予以關注．3.推理論證，得出結論理解對數的概念，能夠進行對數式與指數式的互化；掌握對數的運算性質，并能理解推導這些法則的依據和過程；掌握對數的換底公式，并能解決有關的化簡、求值、證明問題；能較熟練地運用法則解決問題；滲透應用意識，培養觀察分析、抽象概括能力、歸納總結能力、邏輯推理能力．對數既是一個重要的概念，又是一種重要的運算，而且它是與指數概念緊密相連的．它們是對同一關系從不同角度的刻畫，表示為：當時，．所以指數式中的底數，指數，冪與對數式中的底數，對數，真數的關系可以表示如下：本節的教學重點是對數的定義；對于運算法則的探究，可以通過對具體例子的提出，讓形式的認識由感性上升到理性，由特殊到一般歸納出法則，再利用指數式與對數式的關系完成證明，而其他法則的證明應引導學生利用已證結論完成，強化“用數學”的意識．對運算法則的認識，首先可以類比指數運算法則對照記憶，其次強化法則使用的條件或者說成立的條件是保證左，右兩邊同時都有意義，因此要注意每一個對數式中字母的取值范圍．最后還要讓學生認清對數運算法則可使高一級的運算轉化為低一級的運算，這樣不僅加快了計算速度，也簡化了計算方法，顯示了對數計算的優越性．三、本單元所需教學資源的概述對數既是一個重要的概念，又是一種重要的運算，而且它是與指數概念緊密相連的．它們是對同一關系從不同角度的刻畫，表示為：當時，．所以指數式中的底數，指數，冪與對數式中的底數，對數，真數的關系可以表示如下：本節的教學重點是對數的定義；對數作為一種運算，由引出，在這個式子中，已知一個數和它的指數，求冪的運算就是指數運算；而已知一個數和它的冪，求指數的運算就是對數運算(而已知指數和冪求這個數的運算就是開方運算)；所以從方程角度來看待的話，這個式子有三個量，知二求一．恰好可以構成以上三種運算，所以引入對數運算是很自然的，也是很重要的，也就完成了對的全面認識．對數作為一種運算，重要的是把握運算法則，以便正確完成各種運算，由于對數與指數在概念上相通，使得對數法則的推導應借助指數運算法則來完成，推導過程又加深了指對關系的認識，自然應成為本節的重點，特別予以關注．四、本單元學時建議本單元學時建議安排三學時，即對數的概念、對數的運算性質、對數的換底公式及其推論．例如：三、教學內容安排：教學環節教學內容師生互動設計意圖提出問題為什么學習對數?由指數函數中的細胞分裂問題，引出細胞分裂第次后，細胞的個數；如果知道細胞分裂若干次后的個數為，如何求出分裂次數；這就是已知底數和冪，要求指數的問題；網上查詢對數產生的背景增加學生學習興趣復習引入初中如何認識和學習根式由學生來復習講解根式發揮學生的主動性概念形成(1)如果a(a＞0且a≠1)的b次冪等于N，就是ab＝N，那么數b叫做以a為底N的對數，記作logaN＝b，其中a叫做對數的底數，N叫做真數．（2）對數的性質有：1)1的對數等于零；2)底的對數等于1；3)零和負數沒有對數．（3）通常將以10為底的對數叫做常用對數；以e為底的對數叫做自然對數，log10N可簡記為lgN，logeN簡記為lnN．式子名稱N指數式底數指數冪值對數式底數對數真數可以由學生自己閱讀課文的方式給出定義讓學生理解對數的引出的必要性和合理性概念深化(1)在對數定義中，為什么也要限定a＞0且a≠1?答：因為對數概念源出于指數，對數式logaN＝b是由指數式ab＝N轉化而來，對數的底數就是指數的底數，而ab＝N中要使它對任意實數b都有意義，必須a＞0且a≠1，所以對數式中也必須要求a＞0且a≠1．（2）為什么1的對數等于零，底的對數等于1，零和負數沒有對數？答：當a＞0且a≠1時，a0＝1，即a的零次冪為1，所以0就是以a為底1的對數；a1＝a，即a的1次冪為a，所以1就是以a為底a的對數；在ab＝N中，對任意實數b，都有ab＞0，即N＞0，所以不存在實數b，使ab≤0，即零和負數是沒有對數的．（3）的關系由學生來提出疑問討論方式解答最終轉化成學生的能力應用舉例地震級別定義，離子濃度，噪音分貝單位等學生上網查詢理解數學的應用性歸納總結類比聯想理解新知識討論提升理解第二學時：對數的運算性質教學內容安排教學環節教學內容師生互動設計意圖復習引入練習：已知lg3＝m，lg5＝n，求1003m－2n的值．解：∵lg3＝m，lg5＝n∴10m＝3，10n＝5．∴1003m－2n＝102(3m－2n)＝106m÷104n＝(10m)6÷(10n)4＝36÷54＝鞏固知識，確定教學起點公式形成及深化1．如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．2．對數的運算性質用語言敘述為：兩個正數的積的對數等于這兩個正數的對數的和；兩個正數的商的對數等于這兩個正數的對數的差；一個正數的n次冪的對數等于這個正數的對數的n倍．師生討論1．對數運算性質的實質是什么？答：對數運算性質的實質是可以把乘、除、乘方、開方的運算轉化為對數的加、減、乘運算，從而降低了運算難度，加快了運算速度，簡化了計算方法．2．運用對數運算性質時應注意什么？答：運算性質只有當M＞0，N＞0，a＞0且a≠1時才有意義，如log220＝log2［(－4)×(－5)］是成立的，但log2［(－4)×(－5)］＝log2(－4)＋log2(－5)就不成立，這是因為log2(－4)和log2(－5)沒有意義．強調真數大于零使學生掌握對數運算性質和法則說明：上述證明是運用轉化的思想，先通過假設，將對數式化成指數式，并利用冪的運算性質進行恒等變形；然后再根據對數定義將指數式化成對數式①簡易語言表達：“積的對數=對數的和”……②有時逆向運用公式：如③真數的取值范圍必須是：是不成立的是不成立的④對公式容易錯誤記憶，要特別注意：，教學環節［例1］(1)用lg2和lg3表示lg75．(2)用logax，logay，logaz表示loga［例2］求證：(1)lg5＝1－lg2，(2)logab·logba＝1(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)解：(1)lg75＝lg(25×3)＝lg(52×3)＝2lg5＋lg3＝2lg＋lg3＝2(1－lg2)＋lg3＝2－2lg2＋lg3(2)原式＝loga(x4·)－loga＝4logax＋loga(y2z)－loga(xyz3)＝4logax＋(2logay＋logaz)－(logax＋logay＋3logaz)＝logax＋logay－logaz證明：(1)∵lg5＋lg2＝lg10＝1∴lg5＝1－lg2．(2)設logab＝p，則ap＝b∴a＝b∴＝logba∴logab·logba＝·p＝1用已知對數表示未知對數，就是把要表示的對數的真數分解成已知對數的真數的積、商、冪的形式，然后用對數的運算性質．注意運算性質只有在同底的情況下才能運算．第(2)題中沒有指明a、x、y、z的范圍，這時我們就認為是使每個對數符號都有意義的a、x、y、z的最大范圍，即a＞0且a≠1，x＞0，y＞0，z＞0．證明對數等式時，首先考慮運算性質，如果不能運用性質，則應考慮把對數式化成指數式，然后用指數運算性質變形后再化成對數式．應用舉例1、設a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，n∈R且n≠0，則下列等式正確的是()A．loga(M＋N)＝logaM＋logaNB．loga(M－N)＝logaM－logaNC．loga(MN)＝logaM·logaND．loga＝logaM2、下列各等式中正確運用對數運算性質的是()A．lg(x2y)＝(lgx)2＋lgy＋B．lg(x2y)＝(lgx)2＋lgy＋2lgzC．lg(x2y)＝2lgx＋lgy－2lgzD．lg(x2y)＝2lgx＋lgy＋lgz3、求下列各式的值(1)log354－log32＝______；(2)lg1000－lg100＋lg10－lg＝______；(3)log4＋log4＝______；(4)log24·log42＝______．4、用log32表示log96．5、已知a＋b＝lg32＋lg35＋3lg2·lg5，求a3＋b3＋3ab的值．解析：運用冪的運算性質：loga＝logaM＝logaM．解析：lg(x2y)＝lgx2＋lgy＋lgz＝2lgx＋lgy＋lgz解析：(1)原式＝log3＝log327＝3(2)原式＝3－2＋1－(－1)＝3(3)原式＝log44－1＋log4＝－1＋log44＝－1－＝－(4)原式＝log222·log44＝2×＝1．解：∵log96＝log9(2×3)＝log92＋log99＝＋log92令log92＝b，則9b＝2，即(3b)2＝2∴3b＝，∴log3＝b，即b＝log32＝log32．∴log92＝b＝log32∴log96＝＋log32解：∵a＋b＝(lg2＋lg5)(lg22－lg2lg5＋lg25)＋3lg2·lg5＝lg22－lg2lg5＋lg25＋3lg2lg5＝(lg2＋lg5)2＝1．∴a3＋b3＋3ab＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋3ab＝a2－ab＋b2＋3ab＝(a＋b)2＝1．強化公式及其應用歸納總結1．準確地掌握對數的運算性質是正確地進行對數運算的前提，利用對數運算，可以把通過乘、除、乘方、開方運算得到的積、商、冪的對數轉化為對數的加、減、乘、除運算，從而顯示了利用對數計算的優越性．2．正確地進行對數運算，要注意底和真數的關系，將真數轉化為積、商、冪，并注意對數性質和對數的兩個恒等式的運用．3．掌握對數運算性質的正用、反用，了解運算性質的變形用法．．第三學時：對數的換底公式及其推論教學內容安排教學環節教學內容師生互動設計意圖復習引入(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．學生回答調動學生參與課堂教學的主動性公式推導定義：一般地，如果的b次冪等于N,就是，那么數b叫做以a為底N的對數，記作，a叫做對數的底數，N叫做真數推論：證明：(1)logb＝logab；(2)logab＝．探究：⑴負數與零沒有對數（∵在指數式中N>0）⑵，∵對任意且,都有∴同樣易知：⑶對數恒等式如果把中的b寫成,則有⑷常用對數：我們通常將以10為底的對數叫做常用對數為了簡便,N的常用對數簡記作lgN例如：簡記作lg5;簡記作lg3.5.⑸自然對數：在科學技術中常常使用以無理數e=2.71828……為底的對數，以e為底的對數叫自然對數，為了簡便，N的自然對數簡記作lnN例如：簡記作ln3;簡記作ln10（6）底數的取值范圍；真數的取值范圍證明：(1)設logab＝p，則logab＝np即(an)p＝b∴logb＝p因此loganb＝logab(2)設lgb＝p，lga＝q，則10p＝b，10q＝a∴logab＝即lgab＝初步對公式理解典型例題［例1］求下列各式的值：(1)log84；(2)lg25＋lg8＋lg5·lg20＋lg22．［例2］(1)若lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg；(2)已知log189＝a，18b＝5試用a，b表示log365．［例1］解：(1)log84＝log2322＝(2)lg25＋lg8＋lg5·lg20＋lg22＝lg25＋lg8＋lglg(10×2)＋lg22＝lg100＋(1－lg2)(1＋lg2)＋lg22＝3［例2］解(1)lg＝lg3＝lg3＋lg＝lg3＋lg＝lg3＋(1－lg2)＝0.4771＋(1－0.3010)＝0.8266(2)由18b＝5得log185＝b∴log365＝由指數式和對數式的互化推導出了對數的運算性質，對于對數的運算性質要熟練掌握，并能夠靈活應用，在求值的過程中，要注意公式的正用和逆用．例1(2)利用了換底公式和指數式化為對數式，充分體現了換底公式的作用歸納總結1．將對數運算性質變形出另外幾種表現形式，再推導出對數換底公式后，進行對數運算時更加簡便快捷，同時也提醒我們在進行對數運算過程中，如果運算性質不能直接運用時，可以通過先化成指數式，變形后再化成對數式的方法達到計算的目的．2．如果同底的冪相等，冪指數必定相等，同樣可知如果兩個同底的對數相等，真數也必相等．但在去掉對數符號的同時，一定注明真數大于零．而指數式可以在等式兩邊取對數，這也是常用的解題技巧．學生總結，老師補充調動學生參與課堂教學的主動性§4.4.對數函數教學設計方案教學設計對數函數是數學中常見的、經典的函數模型之一；在統計數據的處理尤其是時間序列數據、經濟數據的處理中，利用對數函數的性質經常利用對數變換的手段消除數據的異方差；對數函數是中學數學中的一個非常重要的基本函數模型，是幫助學生深刻理解函數概念和函數圖象的載體；由于學生在前幾節課已經學習了指數運算、指數函數和對數運算，已經初步了解對數運算是指數運算的逆運算，因此從指數函數的解析式變換出對數函數解析式已無任何困難，但是在講授時需要通過具體例子讓學生理解為什么要建立對數函數模型；引導學生根據函數定義分析對數函數關系和變量關系的差異，即所表達的兩變量x和y之間的關系相同，但是如果確定自變量和因變量以后，它們所表示的函數關系不同，從而從更深層次理解函數的概念；對數函數及其圖象有許多良好的性質，經常成為中學數學中構造綜合問題的工具；作為一種函數模型，學生對對數函數作用的理解可能不如一次、二次函數模型來得直觀，因此理解引入對數函數關系可能有一定困難；不同底數的對數函數圖象的分布之間的關系與同一個對數函數的內部變化趨勢的區別對于初學者來說有一定困難.對數函數是學生學習函數以來遇到的第一個自然定義域受運算規則限制而解析式本身又不易看出的函數，因此對這一新的運算符號的理解和應用，影響著學生對對數函數自然定義域的理解程度，因此需要反復強調和練習，形成熟能生巧的技能.3.應注意的問題（1）對數函數的引入與過渡教材有了明顯的變化，教師在教學中應充分重視.（2）在畫函數圖象時，有條件的學校可以讓學生利用計算器或計算機，這樣既可以節約時間，又可以增強學生的學習興趣.（3）在探究活動中，有條件的學校可以利用《幾何畫板》等軟件.（4）對數函數的圖象和性質應用舉例中例2明顯多了對數不等式的解法，過渡教材沒有，應對對數不等式的解法重點強調并落實.（5）分類有助于處理大量繁雜的事物，從而有條理地思考，因此，在讓學生觀察對數函數圖象并總結其單調性和特殊點時，建議引導學生按不同的底數進行適當的分類.4.教學流程圖從對數函數的實際背景引入課題從對數函數的實際背景引入課題構建對數函數的概念畫對數函數的圖象探索對數函數的性質課堂小結與作業5.教學過程1）問題情境1：考古學家通過提取附著在出土文物、古遺址上死亡生物體的殘留物，利用估算出土文物或古遺址的年代，那么，對應關系（）能否構成函數？（為引出對數函數概念作準備）（教師組織學生思考、討論所提出的問題，引導學生從函數定義出發解釋實際問題中變量之間的關系.學生思考、討論后推舉代表回答問題.）2）給出對數函數的定義3）問題情境2：你能類比前面討論指數函數的思路，提出研究對數函數的方法嗎？（教師引導學生回顧指數函數的一些性質，讓學生能明確函數圖象在研究函數性質中的作用，注意從特殊到一般和數形結合思想方法的應用，滲透概括能力的培養.）4）問題情境3：如何在同一平面坐標系中畫出數函數和的圖象？（學生獨立畫圖，互相交流.教師課堂巡視，個別輔導，展示畫得較好的部分學生的圖象.）5）問題情境4：從圖象中你能發現函數和的圖象有什么關系？可否利用的圖象畫出的圖象？（教師投影展示課本圖3-3，讓學生觀察圖象，發表自己的發現，在教師引導下概括出借助對稱性畫圖象的方法.）6）探究活動：選取函數的若干個不同的值，在同一平面畫坐標系內作出相應對數函數的圖象，觀察圖象，你能發現它們有何共同特征？（分組動手作圖，討論研究，為歸納對數函數的性質作鋪墊）7）問題情境5：你能利用對數函數的圖象歸納出對數函數性質嗎？（學生通過上述探究活動，觀察圖象，得出性質，相互交流，形成對對數函數性質的認識，滲透從特殊到一般的思想方法.）11）教師引導學生對本課進行小結.12）課后作業：練習B第1、2題四、教學資源建議教材、教參、多媒體計算機、幾何畫板、直尺五、課時建議1課時.若課時緊，可以在習題課上再落實部分對數函數的圖象和性質應用舉例.六、教學方法與學習指導策略采用啟發式講授法.觀察、分析、歸納、抽象、概括，自主探究、合作交流的教學方法，通過各種教學媒體（如計算機或計算器），調動學生參