7.4.1二項分布

復習回顧1.兩點分布列X01P1－pp2.二項展開式的通項第項為

情境導入在實際問題中，有許多隨機試驗與擲硬幣試驗具有相同的特征，它們只包含兩個可能結果.例如，檢驗一件產品結果為合格或不合格，飛碟射擊時中靶或脫靶，醫學檢驗結果為陽性或陰性等.1.伯努利試驗：我們將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.顯然，n重伯努利試驗具有如下共同特征：(1)同一個伯努利試驗重復做n次；(2)各次試驗的結果相互獨立.我們把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗.

知識要點2.n重伯努利試驗：【說明】

知識要點在n重伯努利試驗中，“在相同條件下”等價于各次試驗的結果不會受其他試驗結果的影響，即(1)每次試驗是在同樣的條件下進行的;(2)各次試驗中的事件是相互獨立的;(3)每次試驗都只有兩種結果:發生與不發生;(4)每次試驗,某事件發生的概率是相同的.練習1

下面3個隨機試驗是否為n重伯努利試驗?如果是，那么其中的伯努利試驗是什么?對于每個試驗，定義“成功”的事件為A，那么A的概率是多大？重復試驗的次數是多少？1.拋擲一枚質地均勻的硬幣10次.2.某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8，連續射擊3次.3.一批產品的次品率為5%，有放回地隨機抽取20件.隨機試驗是否為n重伯努利試驗伯努利試驗P(A)重復試驗的次數123是是是拋擲一枚質地均勻的硬幣某飛碟運動員進行射擊從一批產品中隨機抽取一件0.50.80.9510320牛刀小試練習2

判斷下面隨機試驗是否為n重伯努利試驗?(1)依次投擲四枚質地不同的硬幣,3次正面向上;(2)某人射擊,擊中目標的概率是穩定的,他連續射擊了10次,其中6次擊中;(3)口袋裝有5個白球,3個紅球,2個黑球,從中依次抽取5個球,恰好抽出4個白球;(4)口袋裝有5個白球,3個紅球,2個黑球,從中有放回的抽取5個球,恰好抽出4個白球不是是是

牛刀小試不是【思考】伯努利試驗和n重伯努利試驗有什么不同?伯努利試驗是一個“有兩個結果的試驗”，只能關注某個事件發生或不發生；

n重伯努利試驗是對一個“有兩個結果的試驗”重復進行了n次，所以關注點是這n次重復試驗中“發生”的次數X.進一步地，因為X是一個離散型隨機變量，所以我們實際關心的是它的概率分布列.問題:飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8.連續3次射擊,中靶次數X的概率分布列是怎樣的？用Ai表示“第i次射擊中靶”(i=1,2,3),用如圖的樹狀圖表示試驗的可能結果:試驗結果X的值32212110新知探究共有23=8種可能結果由分步乘法計數原理,3次獨立重復試驗共有23=8種可能結果,它們兩兩互斥，每個結果都是3個相互獨立事件的積，由概率的加法公式和乘法公式得于是，中靶次數X的分布列為：追問：如果連續射擊4次，類比上面的分析，表示中靶次數X等于2的結果有哪些？寫出中靶次數X的分布列.(2)中靶次數X的分布列為：(1)表示中靶次數X等于2的結果有共六個

知識要點

如果隨機變量X的分布具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X~B(n，p).一般地,在n重伯努利試驗中,設每次試驗中事件A發生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發生的次數，則X的分布列為1.判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關鍵有兩點：一是對立性，即一次試驗中，事件發生與否兩者必有其一；二是重復性，即試驗是獨立重復地進行了n次.

知識要點隨機變量X服從二項分布，記作X~B(n，p)，其分布列為：2.公式的結構特征：實驗總次數n事件A發生的次數事件A發生的概率

知識要點隨機變量X服從二項分布，記作X~B(n，p)，其分布列為：2.公式的結構特征：思考1：二項分布與兩點分布有何關系?

兩點分布是一種特殊的二項分布，即是n=1的二項分布；二項分布可以看做兩點分布的一般形式.

知識要點隨機變量X服從二項分布，記作X~B(n，p)，其分布列為：2.公式的結構特征：思考2：對比二項分布和二項式定理，你能看出他們之間的聯系嗎？如果把p看成b，1-p看成a，則就是二項式[(1-p)+p]n的展開式的通項，由此才稱為二項分布.即例1

將一枚質地均勻的硬幣重復拋擲10次，求：(1)恰好出現5次正面朝上的概率；(2)正面朝上出現的頻率在[0.4，0.6]內的概率.

學以致用解:(2)正面朝上出現的頻率在[0.4,0.6]內等價于4≤X≤6，于是牛刀小試變式1

某射手每次射擊擊中目標的概率是0.8,求這名射手在10次射擊中，(1)恰有8次擊中目標的概率；解:設X為擊中目標的次數,則X~B(10,0.8)(1)在10次射擊中,恰有8次擊中目標的概率為(2)至少有8次擊中目標的概率.(2)

在10次射擊中,至少有8次擊中目標的概率為例2

如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的號碼，求X的分布列.

X的概率分布圖如圖所示：例3甲、乙兩選手進行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對甲更有利?解法1:例3甲、乙兩選手進行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對甲更有利?解法2:牛刀小試變式2

已知諸葛亮解出問題的概率為0.9,三個臭皮匠各自獨立解出問題的概率都為0.6.皮匠中至少一人解出題目即勝出比賽,問臭皮匠團隊和諸葛亮哪個勝出的可能性大?解:設皮匠中解出題目的人數為X,則X~B(3,0.6)

皮匠中至少一人解出題目的概率所以臭皮匠團隊勝出的可能性大牛刀小試變式3

某一中學生心里咨詢中心服務電話接通率為,某班3名同學商定明天分別就同一問題詢問該服務中心,且每人只撥打一次,求他們中成功咨詢的人數X的分布列.解:由題意可知,X~B(3,)所以X分布列為:X0123

P牛刀小試變式4

10件產品有2件次品,連續抽3次,每次抽1件,求：

①不放回抽樣時,抽到次品數X的分布列;②放回的抽樣時,抽到次品數Y的分布列.解:X0123PX012P①②一般地，確定一個二項分布模型的步驟如下：（1）明確伯努利試驗及事件A的意義，確定事件A發生的概率p；（2)確定重復試驗的次數n，并判斷各次試驗的獨立性；（3）設X為n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，則X～B(n，p）.方法歸納新知探究思考:假設隨機變量X服從二項分布B（n,p）,那么X的均值和方差是什么？知識要點一般地，如果X~B(n,p)，那么E(X)=np；

D(X)=np(1-p).牛刀小試練習1

牛刀小試練習2一個袋子里裝有大小相同的3個紅球和2個黃球，每次取1個，從中有放回地取5次，則取到紅球次數X的數學期望是

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3課堂小結1.二項分布的定義：2.確定一個二項分