專題04大題專攻（三）（概率與統(tǒng)計(jì)大題的思維建模）目錄一宏觀掌握解題通路：概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題重在“辨”——辨析，辨型二微觀優(yōu)化解題細(xì)節(jié)：三招突破概率、統(tǒng)計(jì)大題解題瓶頸第一招：信息巧提取第二招：數(shù)據(jù)巧處理第三招：公式巧變形應(yīng)用體驗(yàn)精選好題做一當(dāng)十一宏觀掌握解題通路：概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題重在“辨”——辨析，辨型(1)準(zhǔn)確弄清問(wèn)題所涉及的事件有什么特點(diǎn),事件之間有什么關(guān)系,如互斥、對(duì)立、獨(dú)立等;(2)理清事件以什么形式發(fā)生,如同時(shí)發(fā)生、至少有幾個(gè)發(fā)生、至多有幾個(gè)發(fā)生、恰有幾個(gè)發(fā)生等;(3)明確抽取方式,如放回還是不放回、抽取有無(wú)順序等;(4)準(zhǔn)確選擇排列組合的方法來(lái)計(jì)算基本事件個(gè)數(shù)和基本事件總數(shù),或根據(jù)概率計(jì)算公式和性質(zhì)來(lái)計(jì)算事件的概率;(5)確定隨機(jī)變量取值并按照屬于超幾何分布還是二項(xiàng)分布求其對(duì)應(yīng)的概率,寫(xiě)出分布列后再求期望;(6)會(huì)套用公式求,的公式求值,再作進(jìn)一步求值與分析1．（2021·福建寧德·高三期中）新高考的數(shù)學(xué)試卷第1至第8題為單選題，第9至第12題為多選題.多選題、、、四個(gè)選項(xiàng)中至少有兩個(gè)選項(xiàng)符合題意，其評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下：全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，選錯(cuò)或不選得0分.在某次考試中，第11、12兩題的難度較大，第11題正確選項(xiàng)為，第12題正確選項(xiàng)為.甲?乙兩位同學(xué)由于考前準(zhǔn)備不足，只能對(duì)這兩道題的選項(xiàng)進(jìn)行隨機(jī)選取，每個(gè)選項(xiàng)是否被選到是等可能的.（1）若甲同學(xué)每題均隨機(jī)選取一項(xiàng)，求甲同學(xué)兩題得分合計(jì)為4分的概率；（2）若甲同學(xué)計(jì)劃每題均隨機(jī)選取一項(xiàng)，乙同學(xué)計(jì)劃每題均隨機(jī)選取兩項(xiàng)，記甲同學(xué)的兩題得分為，乙同學(xué)的兩題得分為，求的期望并判斷誰(shuí)的方案更優(yōu).二微觀優(yōu)化解題細(xì)節(jié)：三招突破概率、統(tǒng)計(jì)大題解題瓶頸第一招：信息巧提取1．（2021·安徽·六安一中模擬預(yù)測(cè)（理））為落實(shí)《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時(shí)代學(xué)校體育工作的意見(jiàn)》，完善學(xué)校體育“健康知識(shí)+基本運(yùn)動(dòng)技能+專項(xiàng)運(yùn)動(dòng)技能”教學(xué)模式，建立“校內(nèi)競(jìng)賽—校級(jí)聯(lián)賽—選拔性競(jìng)賽—國(guó)際交流比賽”為一體的競(jìng)賽體系，構(gòu)建校?縣(區(qū))?地(市)?省?國(guó)家五級(jí)學(xué)校體育競(jìng)賽制度.某校開(kāi)展“陽(yáng)光體育節(jié)活動(dòng)，其中傳統(tǒng)項(xiàng)目定點(diǎn)踢足球”深受同學(xué)們喜愛(ài).其間甲?乙兩人輪流進(jìn)行足球定點(diǎn)踢球比賽(每人各踢一次為一輪)，在相同的條件下，每輪甲?乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為，乙每次踢球命中的概率為，且各次踢球互不影響.（1）經(jīng)過(guò)1輪踢球，記甲的得分為，求的數(shù)學(xué)期望；（2）用表示經(jīng)過(guò)第輪踢球累計(jì)得分后甲得分高于乙得分的概率.求，.2．（2021·廣東·惠來(lái)縣第一中學(xué)高三月考）某商城玩具柜臺(tái)元旦期間促銷，購(gòu)買甲、乙系列的盲盒，并且集齊所有的產(chǎn)品就可以贈(zèng)送元旦禮品．而每個(gè)甲系列盲盒可以開(kāi)出玩偶，，中的一個(gè)，每個(gè)乙系列盲盒可以開(kāi)出玩偶，中的一個(gè)．（1）記事件：一次性購(gòu)買個(gè)甲系列盲盒后集齊，，玩偶；事件：一次性購(gòu)買個(gè)乙系列盲盒后集齊，玩偶；求概率及；（2）禮品店限量出售甲、乙兩個(gè)系列的盲盒，每個(gè)消費(fèi)者每天只有一次購(gòu)買機(jī)會(huì)，且購(gòu)買時(shí)，只能選擇其中一個(gè)系列的一個(gè)盲盒．通過(guò)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：第一次購(gòu)買盲盒的消費(fèi)者購(gòu)買甲系列的概率為，購(gòu)買乙系列的概率為；而前一次購(gòu)買甲系列的消費(fèi)者下一次購(gòu)買甲系列的概率為，購(gòu)買乙系列的概率為；前一次購(gòu)買乙系列的消費(fèi)者下一次購(gòu)買甲系列的概率為，購(gòu)買乙系列的概率為；如此往復(fù)，記某人第次購(gòu)買甲系列的概率為．①；②若禮品店每賣出一個(gè)甲系列的盲盒可獲利20元，賣出一個(gè)乙系列的盲盒可獲利15元，由樣本估計(jì)總體，若禮品店每天可賣出1000個(gè)盲盒，且買的人之前都已購(gòu)買過(guò)很多次這兩個(gè)系列的盲盒，試估計(jì)該禮品店每天利潤(rùn)為多少元？．第二招：數(shù)據(jù)巧處理1．（2021·江蘇·南京市中華中學(xué)高三月考）某普通高中為了解本校高三年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，對(duì)期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行分析，從中抽取了名學(xué)生的成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（該校全體學(xué)生的成績(jī)均在[60，150]），按下列分組[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]作出頻率分布直方圖.如圖，樣本中分?jǐn)?shù)在[70，90）內(nèi)的所有數(shù)據(jù)是：72，75，77，78，81，82，85，88，89.根據(jù)往年錄取數(shù)據(jù)劃出預(yù)錄分?jǐn)?shù)線，分?jǐn)?shù)區(qū)間與可能被錄取院校層次如表.分?jǐn)?shù)[60，80）[80，120）[120，150）可能被錄取院校層次專科本科自招（1）根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為概率，若在該校高三年級(jí)學(xué)生中任取1人，求此人能被?？圃盒ｄ浫〉母怕剩唬?）在選取的樣本中，從可能錄取為自招和?？苾蓚€(gè)層次的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，用表示所抽取的3名學(xué)生中為?？频娜藬?shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.2．（2021·河南·中牟縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））隨著校運(yùn)會(huì)的臨近，某班甲、乙兩名同學(xué)開(kāi)始記錄自己100米短跑的成績(jī)，他們二人的某10次的成績(jī)（單位：秒）如表：12345678910甲11.612.213.213.914.011.513.114.511.714.3乙12.313.314.311.712.012.813.213.814.112.5（1）請(qǐng)完成如圖的樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖（在答題卡中），并分析甲、乙二人的成績(jī)情況；（2）從甲、乙兩人的10次成績(jī)中各隨機(jī)抽取一次分別記為，，定義隨機(jī)變量，求的分布列和期望．第三招：公式巧變形1．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）近幾年，快遞業(yè)的迅速發(fā)展導(dǎo)致行業(yè)內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)日趨激烈.某快遞網(wǎng)點(diǎn)需了解一天中收發(fā)一件快遞的平均成本(單位：元)與當(dāng)天攬收的快遞件數(shù)(單位：千件)之間的關(guān)系，對(duì)該網(wǎng)點(diǎn)近5天的每日攬件量(單位：千件)與當(dāng)日收發(fā)一件快遞的平均成本(單位；元)(i=1，2，3，4，5)數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.45.160.4152.028300.507表中，.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為關(guān)于的回歸方程類型？并根據(jù)判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)求出關(guān)于的回歸方程；（2）各快遞業(yè)為提高快遞攬收量并實(shí)現(xiàn)總利潤(rùn)的增長(zhǎng)，除了提升服務(wù)質(zhì)量?提高時(shí)效保障外，價(jià)格優(yōu)惠也是重要策略之一.已知該網(wǎng)點(diǎn)每天攬收快遞的件數(shù)(單位：千件)與單件快遞的平均價(jià)格(單位；元)之間的關(guān)系是，收發(fā)一件快遞的利潤(rùn)等于單件的平均價(jià)格減去平均成本，根據(jù)（1）中建立的回歸方程解決以下問(wèn)題：①預(yù)測(cè)該網(wǎng)點(diǎn)某天攬收2000件快遞可獲得的總利潤(rùn)；②單件快遞的平均價(jià)格為何值時(shí)，該網(wǎng)點(diǎn)一天內(nèi)收發(fā)快遞所獲利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.2．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某公司為了了解年研發(fā)資金投人量（單位：億元）對(duì)年銷售額（單位：億元）的影響.對(duì)公司近年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額的數(shù)據(jù)，進(jìn)行了對(duì)比分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①，②，其中、、、均為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).并得到一些統(tǒng)計(jì)量的值.令，，經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù)：2（1）請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合程度更好？（2）①根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；②若下一年銷售額需達(dá)到億元，預(yù)測(cè)下一年的研發(fā)資金投入量是多少億元？附：相關(guān)系數(shù)：，回歸直線中公式分別為：，；參考數(shù)據(jù)：，，.應(yīng)用體驗(yàn)精選好題做一當(dāng)十1．（2021·黑龍江·哈九中高三月考（理））冬奧會(huì)的全稱是冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)，每四年舉辦一屆.第24屆冬奧會(huì)將于2022年在中國(guó)北京和張家口舉行，為了弘揚(yáng)奧林匹克精神，增強(qiáng)學(xué)生的冬奧會(huì)知識(shí)，某市多所中小學(xué)校開(kāi)展了模擬冬奧會(huì)各項(xiàng)比賽的活動(dòng).為了了解學(xué)生在越野滑輪和旱地冰壺兩項(xiàng)中的參與情況，在全市中小學(xué)學(xué)校中隨機(jī)抽取了10所學(xué)校，10所學(xué)校的參與人數(shù)如下：（1）現(xiàn)從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行調(diào)查，求選出的2所學(xué)校參與旱地冰壺人數(shù)在30人以下的概率.（2）某校聘請(qǐng)了一名越野滑輪教練，對(duì)高山滑降、轉(zhuǎn)彎、八字登坡滑行這3個(gè)動(dòng)作進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo).規(guī)定：這3個(gè)動(dòng)作中至少有2個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)”，總考核記為“優(yōu)”.在指導(dǎo)前，該校甲同學(xué)3個(gè)動(dòng)作中每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)”的概率為0.1.在指導(dǎo)后的考核中，甲同學(xué)總考核成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)”.能否認(rèn)為甲同學(xué)在指導(dǎo)后總考核達(dá)到“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化?請(qǐng)說(shuō)明理由.2．（2021·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）品酒師需定期接受酒味鑒別功能測(cè)試，通常采用的測(cè)試方法如下：拿出（且）瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓品酒師品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序．這稱為一輪測(cè)試，根據(jù)一輪測(cè)試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評(píng)分．現(xiàn)分別以，，，…，表示第一次排序時(shí)被排在，，，…，的種酒在第二次排序時(shí)的序號(hào)，并令，則是對(duì)兩次排序的偏離程度的一種描述．下面取研究，假設(shè)在品酒師僅憑隨機(jī)猜測(cè)來(lái)排序的條件下，，，，等可能地為，，，的各種排列，且各輪測(cè)試相互獨(dú)立．（1）直接寫(xiě)出的可能取值，并求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若某品酒師在相繼進(jìn)行的三輪測(cè)試中，都有，則認(rèn)為該品酒師有較好的酒味鑒別功能．求出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率，并據(jù)此解釋該測(cè)試方法的合理性．3．（2021·河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）第24屆冬奧會(huì)將于2022年2月在中國(guó)北京市和張家口巿聯(lián)合舉行．某城市為傳播冬奧文化，舉行冬奧知識(shí)講解員選技大賽．選手需關(guān)注活動(dòng)平臺(tái)微信公眾號(hào)后，進(jìn)行在線答題，滿分為200分．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，有40名選手在線答題總分都在內(nèi)．將得分區(qū)間平均分成5組，得到了如圖所示的頻率分布折線圖．（1）請(qǐng)根據(jù)頻率分布折線圖，畫(huà)出頻率分布直方圖，并估計(jì)這40名選手的平均分；（2）根據(jù)大賽要求，在線答題總分不低于190分的選手進(jìn)入線下集訓(xùn)，線下集訓(xùn)結(jié)束后，進(jìn)行兩輪考核．第一輪為筆試，考試科目為外語(yǔ)和冰雪運(yùn)動(dòng)知識(shí)，每科的筆試成績(jī)從高到低依次有，，，四個(gè)等級(jí)．兩科均不低于，且至少有一科為，才能進(jìn)入第二輪面試，第二輪得到“通過(guò)”的選手將獲得“冬奧知識(shí)講解員”資格．已知總分高于195分的選手在每科筆試中取得，，，的概率分別為，，，；總分不超過(guò)195分的選手在每科筆試中取得，，，的概率分別為，，，；若兩科筆試成績(jī)均為，則無(wú)需參加“面試”，直接獲得“冬奧知識(shí)講解員”資格；若兩科筆試成績(jī)只有一個(gè)，則要參加面試，總分高于195分的選手面試“通過(guò)”的概率為，總分不超過(guò)195分的選手面試“通過(guò)”的概率為．若參加線下集訓(xùn)的選手中有2人總分高于195分，求恰有兩名選手獲得“冬奧知識(shí)講解員”資格的概率．4．（2021·福建龍巖·三模）甲?乙兩人進(jìn)行對(duì)抗比賽，每場(chǎng)比賽均能分出勝負(fù).已知本次比賽的主辦方提供8000元獎(jiǎng)金并規(guī)定：①若有人先贏4場(chǎng)，則先贏4場(chǎng)者獲得全部獎(jiǎng)金同時(shí)比賽終止；②若無(wú)人先贏4場(chǎng)且比賽意外終止，則甲?乙便按照比賽繼續(xù)進(jìn)行各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金.已知每場(chǎng)比賽甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每場(chǎng)比賽相互獨(dú)立.（1）設(shè)每場(chǎng)比賽甲贏的概率為，若比賽進(jìn)行了5場(chǎng)，主辦方?jīng)Q定頒發(fā)獎(jiǎng)金，求甲獲得獎(jiǎng)金的分布列；（2）規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.05，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件，我們可以認(rèn)為該事件不可能發(fā)生，否則認(rèn)為該事件有可能發(fā)生.若本次比賽，且在已進(jìn)行的3場(chǎng)比賽中甲贏2場(chǎng)?乙贏1場(chǎng)，請(qǐng)判斷：比賽繼續(xù)進(jìn)行乙贏得全部獎(jiǎng)金是否有可能發(fā)生，并說(shuō)明理由.5．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））2020年5月28日，十三屆全國(guó)人大三次會(huì)議表決通過(guò)了《中華人民共和國(guó)民法典》，自2021年1月1日起施行.它被稱為“社會(huì)生活的百科全書(shū)”，是新中國(guó)第一部以法典命名的法律，在法律體系中居于基礎(chǔ)性地位，也是市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的基本法.某中學(xué)培養(yǎng)學(xué)生知法懂法，組織全校學(xué)生學(xué)習(xí)《中華人民共和國(guó)民法典》并組織知識(shí)競(jìng)賽.為了解學(xué)習(xí)的效果，現(xiàn)從高一，高二兩個(gè)年級(jí)中各隨機(jī)抽取名學(xué)生的成績(jī)(單位：分)，繪制成如圖所示的莖葉圖：（1）通過(guò)莖葉圖分析哪個(gè)年級(jí)的學(xué)生學(xué)習(xí)效果更好；(不要求計(jì)算，分析并給出結(jié)論)（2）根據(jù)學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，將其分為四個(gè)等級(jí)：測(cè)試成績(jī)(單位：分)等級(jí)合格中等良好優(yōu)秀①?gòu)臉颖局腥稳∶瑢W(xué)的競(jìng)賽成績(jī)，在成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的情況下，求這名同學(xué)來(lái)自同一個(gè)年級(jí)的概率.②現(xiàn)從樣本中成績(jī)?yōu)榱己玫膶W(xué)生中隨機(jī)抽取人座談，記為抽到高二年級(jí)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.6．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））某電影制片廠從2011年至2020年生產(chǎn)的科教影片、動(dòng)畫(huà)影片、紀(jì)錄影片的時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘）如圖所示.（1）從2011年至2020年中任選一年，求此年動(dòng)畫(huà)影片時(shí)長(zhǎng)大于紀(jì)錄影片時(shí)長(zhǎng)的概率；（2）從2011年至2020年中任選兩年，設(shè)為選出的兩年中動(dòng)畫(huà)影片時(shí)長(zhǎng)大于紀(jì)錄影片時(shí)長(zhǎng)的年數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）將2011年至2020年生產(chǎn)的科教影片、動(dòng)畫(huà)影片、紀(jì)錄影片時(shí)長(zhǎng)的方差分別記為，試比較的大小.（只需寫(xiě)出結(jié)論）7．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某動(dòng)植物園游客行走示意圖如圖所示，每位游客進(jìn)園后選擇其中任意一條路線行走是等可能的.現(xiàn)有，，，，,5名游客結(jié)伴進(jìn)園游玩，并按箭頭方向入園后各自開(kāi)始自由行走，同時(shí)約定最后到出口集合.（Ⅰ）求游客經(jīng)過(guò)游樂(lè)場(chǎng)的概率；（Ⅱ）若這5名游客中恰有名游客經(jīng)過(guò)游樂(lè)場(chǎng)，求隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.8．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）全球化時(shí)代，中國(guó)企業(yè)靠什么在激烈的競(jìng)爭(zhēng)中成為世界一流企業(yè)呢？由人民日?qǐng)?bào)社指導(dǎo)，《中國(guó)經(jīng)濟(jì)周刊》主辦的第十八屆中國(guó)經(jīng)濟(jì)論壇在人民日?qǐng)?bào)社舉行，就中國(guó)企業(yè)如何提升全球行業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力進(jìn)行了研討.數(shù)據(jù)顯示，某企業(yè)近年加大了科技研發(fā)資金的投入，其科技投入(百萬(wàn)元)與收益(百萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：科技投入1234567收益19202231405070根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，甲認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在指數(shù)型曲線的周圍，據(jù)此他對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了一些初步處理.如下表：514012391492134130其中，.（1）請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程(系數(shù)精確到)；（2）①乙認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在直線的周圍，并計(jì)算得回歸方程為，以及該回歸模型的決定系數(shù)(即相關(guān)指數(shù))，試比較甲乙兩人所建立的模型，誰(shuí)的擬合效果更好？②由①所得的結(jié)論，計(jì)算該企業(yè)欲使收益達(dá)到億元，科技投入的費(fèi)用至少要多少百萬(wàn)元？(精確到)附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為，，決定系數(shù)：.參考數(shù)據(jù)：.（2021·廣東寶安·高三月考）近年來(lái)，明代著名醫(yī)藥學(xué)家李時(shí)珍故鄉(xiāng)黃岡市蘄春縣大力發(fā)展大健康產(chǎn)業(yè)，蘄艾產(chǎn)業(yè)化種植已經(jīng)成為該縣脫貧攻堅(jiān)的主要產(chǎn)業(yè)之一，已知蘄艾的株高y(單位：cm)與一定范圍內(nèi)的溫度x(單位：℃)有關(guān)，現(xiàn)收集了蘄艾的13組觀測(cè)數(shù)據(jù)，得到如下的散點(diǎn)圖：現(xiàn)根據(jù)散點(diǎn)圖利用或建立y關(guān)于x的回歸方程，令，得到如下數(shù)據(jù)