陜西省西安市2024?2025學年高二上學期10月月考數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知，則點A關于平面的對稱點的坐標是（

）A． B． C． D．2．直線l：的一個方向向量為（

）A． B． C． D．3．已知直線的方向向量為，直線的方向向量為，若與的夾角為，則m等于（）A．1 B． C． D．04．已知點，，，若A，B，C三點共線，則a，b的值分別是（

）A．，3 B．，2 C．1，3 D．，25．“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．過點作直線，若直線與連接，兩點的線段總有公共點，則直線的傾斜角范圍為（）A． B．C． D．7．在棱長為的正方體中，為的中點，為的中點，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．8．數學家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.已知的頂點為，，，則該三角形的歐拉線方程為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知，則下列說法正確的是（

）A．是平面的一個法向量 B．四點共面C． D．10．已知直線，直線，則下列結論正確的是（

）A．在軸上的截距為 B．過定點C．若，則或 D．若，則11．如圖，在棱長為2的正方體中，點P是正方體的上底面內（不含邊界）的動點，點Q是棱的中點，則以下命題正確的是（

）

A．三棱錐的體積是定值B．存在點P，使得與所成的角為C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為D．若，則P的軌跡的長度為三、填空題（本大題共3小題）12．已知平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，若，則13．在空間直角坐標系中，點為平面外一點，其中、，若平面的一個法向量為，則點到平面的距離為．14．等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為，M，N分別是的中點，則所成角的余弦值等于．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的三個頂點為.(1)求邊上的高所在直線的一般式方程；(2)求邊上的中線所在直線的一般式方程.16．已知，，求：(1)；(2)與夾角的余弦值．17．已知平行六面體，底面是正方形，，，設．(1)試用表示；(2)求的長度．18．在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．19．如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．

參考答案1．【答案】B【詳解】點A關于平面的對稱點的坐標是，故選：B．2．【答案】B【詳解】由直線方程為，則是直線的一個方向向量.故選：B3．【答案】C【詳解】因為直線的方向向量為，直線的方向向量為，與的夾角為，所以，解得.故選：C4．【答案】D【分析】由A，B，C三點共線，得與共線，然后利用共線向量定理列方程求解即可.【詳解】因為，，，所以，，因為A，B，C三點共線，所以存在實數，使，所以，所以，解得.故選D.5．【答案】C【詳解】若直線與直線互相平行且不重合，則，解得，故.所以“”是“直線與直線互相平行且不重合”的充要條件．故選：C．6．【答案】B【詳解】

設直線的傾斜角為，，當直線的斜率不存在時，，符合，當直線的斜率存在時，設直線的斜率為，因為點，，，則，，因為直線經過點，且與線段總有公共點，所以，因為，又，所以，所以直線的傾斜角范圍為.故選：B.7．【答案】A【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則，，，所以，，所以，，，所以點到直線的距離.故選：A8．【答案】A【詳解】由重心坐標公式可得：重心，即.由，，可知外心在的垂直平分線上，所以設外心，因為，所以，解得，即：，則，故歐拉線方程為：，即：，故選：A.9．【答案】AD【詳解】，所以平面，所以平面，所以是平面的一個法向量，故A正確；設，則，無解，所以四點不共面，故B錯誤；，所以與不平行，故C錯誤；，故D正確；故選：AD.10．【答案】ABD【詳解】由易知，故A正確；由，故B正確；若兩直線平行，則有且，解得，故C錯誤；若兩直線垂直，則有，故D正確.故選：ABD11．【答案】ACD【詳解】對于A，三棱錐的體積等于三棱錐的體積，是定值，A正確；以為坐標原點，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，設，則對于B，，使得與所成的角滿足：，因為，故，故，而，B錯誤；對于C，平面的法向量，所以直線與平面所成角的正弦值為：，因為，故故，而，，故即的取值范圍為，C正確；對于D，，由，可得，化簡可得，在平面內，令，得，令，得，則P的軌跡的長度為，D正確；故選：ACD.12．【答案】【詳解】因為平面的一個法向量為，平面β的一個法向量為，，所以，則，所以，解得，所以.故答案為：.13．【答案】/【詳解】因為、，所以,記平面的一個法向量為，則，解得，故平面的一個法向量為.因為，所以,所以點到平面的距離為.故答案為：.14．【答案】【詳解】設AB=2,作CO⊥面ABDEOH⊥AB，則CH⊥AB，∠CHO為二面角C?AB?D的平面角，，OH=CHcos∠CHO=1，結合等邊三角形ABC與正方形ABDE可知此四棱錐為正四棱錐，故EM,AN所成角的余弦值，15．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因為的三個頂點為，所以直線的斜率為，所以邊上的高所在直線的斜率為，所以直線的方程為，化為一般式方程為；（2）因為，所以的中點為，又因為，所以直線的斜率為，所以直線的點斜式方程為，化為一般式為.16．【答案】(1)，(2)－【分析】（1）根據向量平行，設，進而得到方程組，求出，根據向量垂直得到，求出，從而求出答案；（2）先計算出，，從而利用向量夾角公式求出答案.【詳解】（1）因為，所以設，即，所以，解得，故又，所以，即，解得，于是．（2）由（1）得，，設與的夾角為，因為，所以與夾角的余弦值為.17．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量線性運算，結合幾何體特征確定與的線性關系；（2）由（1），結合空間向量數量積的運算律及已知條件求的長度.【詳解】（1）.（2），，所以.所以.18．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明，根據線面垂直的性質可得，從而可得平面，再根據線面垂直的性質即可得證；（2）以點為原點建立空間直角坐標系，利用向量法即可得出答案.（1）證明：在四邊形中，作于，于，因為，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因為平面，平面，所以，又，所以平面，又因為平面，所以；（2）解：如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，，則，則，設平面的法向量，則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.19．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在直三棱柱中，設點A到平面的距離為h，則，解得，所以點A到平面的距離為；（2）取的中點E,連接AE,如圖