2024-2025學(xué)年廣東省高三(上)開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知M={x|—s譏x《9}，N={-2-巳。,勺，則MCN=()

ZZ4。3

A.{-=,0}B.{-J,0}C.{Y，05}D.{-p-^,0)

2.某公司購(gòu)入了400根鋼管擬切割打磨為其他產(chǎn)品，統(tǒng)計(jì)鋼管口徑后得以下頻數(shù)分布表:

鋼管口徑(cm)11.012.514.016.518.520.521.022.0

頻數(shù)26741004046523824

則這批鋼管口徑的中位數(shù)為()

A.14.00cmB.15.25cmC.16.25cmD.16.50cm

3.已知直線k：-m2x+y-1=0,直線％：(2m-3)x+y-3=0,則租=-3是11〃12的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

4.已知向量3=(2,1),3=⑺一2,爪)，若日//九貝！)|三+方|=()

A.5B.3C.<5D.72

5.在平面直角坐標(biāo)系中，將圓C：產(chǎn)+必=1上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

則得到的新曲線的曲線方程為()

A.1+4y2=1B.9/+1=iC.4/+t=1D.^+9y2=1

9J494〃

6.在AABC中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且26(sin24-s譏BcosC)=cs譏2B,若點(diǎn)。在8c邊

上，且力。平分NB4C,貝!)4。=()

b2+c2_be小y/~3bc八b2c2

AB.而c.訴D-^

7.在電子游戲中，若甲，乙，丙通關(guān)的概率分別是|,二',且三人通關(guān)與否相互獨(dú)立，則在甲，乙，丙中

354

恰有兩人通關(guān)的條件下，甲通關(guān)的概率為()

A-B1QAJ)—

入56313D13

8.當(dāng)a>e時(shí)，方程e%+%+Inx=Ina+?在［L+8)上根的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為4,z+25=3+，幣，則()

A.z的實(shí)部為1B.z的虛部為一，百

C.|z|=4D.直線02的傾斜角為目

10.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F(l,0)是拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線交C于M,N兩點(diǎn)，P

為C上的動(dòng)點(diǎn)(與M,N均不重合)，且點(diǎn)P位于第一象限，過(guò)點(diǎn)P向y軸作垂線，垂足記為點(diǎn)Q,點(diǎn)4(2,5),

則()

A.C：y2=4xB.40PQ+4F0N<180°

C.\PA\+|PQ|的最小值為，右D.A0MN面積的最小值為2

11.已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,則()

A.若/(2)>/(I),則是R上的單調(diào)遞增函數(shù)

B.若/(/)=則f(%)是奇函數(shù)

C.若/Q—x)=/(I+x),且“2—x)=f(2+x),則f(x+2)=/(%)

D.若|/。)|=|/(r)|，則/'(x)是奇函數(shù)或/(尤)是偶函數(shù)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

1

12.若2nl+5n=5，則/。出的771X32n)=.

13.函數(shù)/(久)=cos((ox+9)(3>0,^<(P<y),若/'(久)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為［一|4，且/'(0)=~|?則

/⑴=-

14.已知圓臺(tái)的上、下底半徑分別為r和R,若圓臺(tái)外接球的球心在圓臺(tái)外，則圓臺(tái)的高的取值范圍是

若R=2r=2,圓臺(tái)的高為h,且1則圓臺(tái)外接球表面積的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

在△4BC中，已知內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a,b,c依次為等比數(shù)列｛an｝的前3項(xiàng)，設(shè)其

公比為q,且a>1,q>1.

⑴若a=2,qeg,2｝,求｛曲｝的前n項(xiàng)和％;

(2)證明：當(dāng)亍=根時(shí)，長(zhǎng)度為國(guó)a,Igb,Ige的三條線段可以構(gòu)成三角形.

16.(本小題15分)

已知函數(shù)/'(%)=1%3++2x+bsinx(a,bER).

(1)當(dāng)b=0時(shí)，若存在極大值，且存在極小值，求a的取值范圍；

(2)證明：當(dāng)a=26=2時(shí)，VxGR,>0.

17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P—2BCD中，P4_L平面2BCD,AB//CD,CD=2AB=2口,PA=BC^AD=1.

(1)求證：平面P8C_L平面PAD；

(2)若就=3DE,求平面P4E與平面PBC的夾角.

18.(本小題17分)

已知雙曲線最一，=l(a>0,b>0)的離心率為竽，焦距為2回

(1)求「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)(0,-6)作直線，分別交r的左、右兩支于4B兩點(diǎn)，交r的漸近線于C,。兩點(diǎn)，求器的取值范

圍.

19.(本小題17分)

將4個(gè)面上分別寫有數(shù)字1,2,3,4的一個(gè)正四面體在桌面上連續(xù)獨(dú)立地拋n次(n為正整數(shù))，設(shè)X為與桌

面接觸的數(shù)字為偶數(shù)的次數(shù)，p為拋正四面體一次與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)的概率.

(1)當(dāng)n=5時(shí)，若正四面體的質(zhì)地是均勻的，求X的數(shù)學(xué)期望和方差；

(2)若正四面體有瑕疵，即

①設(shè)外是拋擲正四面體n次中與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)奇數(shù)次的概率，求證：p“=p+(l-

2p)Pn_iO>2);

②求拋擲正四面體n次中與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)偶數(shù)次的概率.

參考答案

1.X

2.B

32

4.C

5.D

6.C

1.D

8.B

9.AB

10.ABD

11.BC

12-

13一蟲(chóng)

2

14.(0,V/?2-r2)20兀

15.解：(1)因?yàn)樗?<a<b(c,

由題意可知，a+b>c,

所以a+aq>aq2,

所以q2—q—l<0,qN1,

解得，竽，

因?yàn)閝eg,2},

所以q=|，

所以%=生歲=2磯初—

12

n

當(dāng)a=2時(shí)，Sn=4x[(|)-1]；

(2)因?yàn)閍>1,Q>1,

所以0VIga<Igb<Ige,

因?yàn)?=

q

所以(/ga+Igb)-Ige=Igy=1g學(xué)=lg^=lg72>0,

所以加a+Igb>Ige,

所以長(zhǎng)度為匈a,Igb,仞c的三條線段可以構(gòu)成三角形.

1

X3

16.解:(1)當(dāng)6=0時(shí),/(%)3-+^x2+2x,定義域?yàn)镽,

所以f'Q)=x2+ax+2,

因?yàn)椤ň?存在極大值，且存在極小值，

所以「(久)必須有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

所以4=a2-4x2>0,

所以a>或a<

即a的取值范圍是(―8,—2，E)U(2/2+8).

1

(2)證明：當(dāng)a=2b=2時(shí)，/(x)=-%3+%2+2%+sinx,定義域?yàn)镽,

所以/'(%)=/+2%+2+cosx=(%+I)2+(1+cos%),

當(dāng)％ER時(shí)，(％+1)2之0,1+cosx>0,

所以/'(%)>0,

當(dāng)且僅當(dāng)仁荔+呼力時(shí)，取等號(hào)，

因?yàn)椋?二荔+呼ez)無(wú)解，

所以「(支)>0.

17.解：(1)證明：如圖，取CD的中點(diǎn)為G,連結(jié)力G,

因?yàn)镃D=24B=2所以4B=CG,因?yàn)?B〃CD,

所以四邊形力BCG為平行四邊形，

所以4G〃BC,

在三角形ZGD中，因?yàn)锳G==1,AD=1,GD=芋=

所以AG2+4。2=DG2,所以aG_L4。，

所以BC1AD,因?yàn)镻4_L平面ABGD,BCu平面力BCD,

所以PAIBC,因?yàn)镻4CAD=4PAu平面PAD,ADu平面PAD,

所以BC，平面PAD,因?yàn)锽Cu平面PBC,

所以平面P8C1平面PAD.

(2)由AGJ.AD,PAI平面ABC。，得4G,AD,4P兩兩垂直,

分別以4G,AD,4P所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則G(1,O,O),￡)(0,1,0),P(0,0,l),

C(2,-l,0),B(l,—1,0),

因?yàn)楸?3龐,CD=2，2，所以=又所以E為DG的中點(diǎn),

因?yàn)镠D=4G,所以GD14E,又P2_L平面ABC。，GOu平面ABCD,

所以PAIGO,因?yàn)镻ACAE=4,PA,2Eu平面P2E,

所以GD1平面/ME,

所以平面P4E的法向量為旗=(-1,1,0).

又正=(2,-1,-1),而=(1,-1,-1),

設(shè)平面P8C的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

所以E屈=2x-y-z=0,取元=(o,i,_i),

in-PB=x—y—z=0

所以平面PAE與平面PBC夾角的余弦值為：

|cos<n,GD>\~而同-聲成"5'

所以平面24E與平面PBC的夾角為泉

18.解：(1)因?yàn)門：>，=l(a>0,6>0)的離心率為半，焦距為2門，

c_V_6

所以z=彳，

2c=2y/~3,

解得Q=度，c=-/3,所以b=、-q2=1,

所以r的標(biāo)準(zhǔn)方程為4y2=1.

(2)由題意可設(shè)直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為y=kx—l,雙曲線「的漸近線方程為y=士言

不妨設(shè)C,。分別在左、右位置，

XL

y一方，得見(jiàn)=釜

(y=kx—1,y/2k-l

聯(lián)立?=一言，得”品，

iy=kx-1,y^2k+l

所以|CD|="+1比—四|="+k2*|m3—焉1|=號(hào)￥，

x__2_-1

聯(lián)立1萬(wàn)-V=b得(1一2/)/+4"-4=0,

y—kx—1,

設(shè)4(乙，%)，3(久2，%)，

[71[|.4k—4

則》1+X2=—口，/右=口'

(1-2k2*0,

由卜=16k2-4x(1-2k2)x(-4)=16(1-fc2)>0,

r1%2=母<°,

得肥<1,

22

所以=V1+k\xr-x2\=V1+/cxJ(%1+%2)2—4%1%2

16(1-必)

V1+fc2x

\l-2k2\|1-2^|

所以甯=產(chǎn)珥=J2(lf2),

7

CD\xc-xD\*'

又。《好<H)e(1,72],

所以甯的取值范圍為(1,JI].

19.解：(1)因?yàn)檎拿骟w的質(zhì)地是均勻的，p為拋擲正四面體一次與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)的概率，

所以P=3=g，

進(jìn)一步得，X?B(5』)，

1E11E

所以E(X)=np=5X5=弓，D(X)=np(l-p)=5x-x---

ZZZN4;

(2)證明：①因?yàn)閜n是拋正四面體n次中與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)奇數(shù)次的概率，

所以pn_