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文檔簡(jiǎn)介
2024-2025學(xué)年廣東省高三(上)開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷
一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求
的。
1.已知M={x|—s譏x《9},N={-2-巳。,勺,則MCN=()
ZZ4。3
A.{-=,0}B.{-J,0}C.{Y,05}D.{-p-^,0)
2.某公司購(gòu)入了400根鋼管擬切割打磨為其他產(chǎn)品,統(tǒng)計(jì)鋼管口徑后得以下頻數(shù)分布表:
鋼管口徑(cm)11.012.514.016.518.520.521.022.0
頻數(shù)26741004046523824
則這批鋼管口徑的中位數(shù)為()
A.14.00cmB.15.25cmC.16.25cmD.16.50cm
3.已知直線k:-m2x+y-1=0,直線%:(2m-3)x+y-3=0,則租=-3是11〃12的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分又不必要條件
4.已知向量3=(2,1),3=⑺一2,爪),若日//九貝!)|三+方|=()
A.5B.3C.<5D.72
5.在平面直角坐標(biāo)系中,將圓C:產(chǎn)+必=1上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的
則得到的新曲線的曲線方程為()
A.1+4y2=1B.9/+1=iC.4/+t=1D.^+9y2=1
9J494〃
6.在AABC中,內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且26(sin24-s譏BcosC)=cs譏2B,若點(diǎn)。在8c邊
上,且力。平分NB4C,貝!)4。=()
b2+c2_be小y/~3bc八b2c2
AB.而c.訴D-^
7.在電子游戲中,若甲,乙,丙通關(guān)的概率分別是|,二',且三人通關(guān)與否相互獨(dú)立,則在甲,乙,丙中
354
恰有兩人通關(guān)的條件下,甲通關(guān)的概率為()
A-B1QAJ)—
入56313D13
8.當(dāng)a>e時(shí),方程e%+%+Inx=Ina+?在[L+8)上根的個(gè)數(shù)為()
A.0B.1C.2D.3
二、多選題:本題共3小題,共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。
9.若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為4,z+25=3+,幣,則()
A.z的實(shí)部為1B.z的虛部為一,百
C.|z|=4D.直線02的傾斜角為目
10.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)F(l,0)是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F的直線交C于M,N兩點(diǎn),P
為C上的動(dòng)點(diǎn)(與M,N均不重合),且點(diǎn)P位于第一象限,過(guò)點(diǎn)P向y軸作垂線,垂足記為點(diǎn)Q,點(diǎn)4(2,5),
則()
A.C:y2=4xB.40PQ+4F0N<180°
C.\PA\+|PQ|的最小值為,右D.A0MN面積的最小值為2
11.已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,則()
A.若/(2)>/(I),則是R上的單調(diào)遞增函數(shù)
B.若/(/)=則f(%)是奇函數(shù)
C.若/Q—x)=/(I+x),且“2—x)=f(2+x),則f(x+2)=/(%)
D.若|/。)|=|/(r)|,則/'(x)是奇函數(shù)或/(尤)是偶函數(shù)
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。
1
12.若2nl+5n=5,則/。出的771X32n)=.
13.函數(shù)/(久)=cos((ox+9)(3>0,^<(P<y),若/'(久)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為[一|4,且/'(0)=~|?則
/⑴=-
14.已知圓臺(tái)的上、下底半徑分別為r和R,若圓臺(tái)外接球的球心在圓臺(tái)外,則圓臺(tái)的高的取值范圍是
若R=2r=2,圓臺(tái)的高為h,且1則圓臺(tái)外接球表面積的最大值為.
四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題13分)
在△4BC中,已知內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a,b,c依次為等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng),設(shè)其
公比為q,且a>1,q>1.
⑴若a=2,qeg,2},求{曲}的前n項(xiàng)和%;
(2)證明:當(dāng)亍=根時(shí),長(zhǎng)度為國(guó)a,Igb,Ige的三條線段可以構(gòu)成三角形.
16.(本小題15分)
已知函數(shù)/'(%)=1%3++2x+bsinx(a,bER).
(1)當(dāng)b=0時(shí),若存在極大值,且存在極小值,求a的取值范圍;
(2)證明:當(dāng)a=26=2時(shí),VxGR,>0.
17.(本小題15分)
如圖,在四棱錐P—2BCD中,P4_L平面2BCD,AB//CD,CD=2AB=2口,PA=BC^AD=1.
(1)求證:平面P8C_L平面PAD;
(2)若就=3DE,求平面P4E與平面PBC的夾角.
18.(本小題17分)
已知雙曲線最一,=l(a>0,b>0)的離心率為竽,焦距為2回
(1)求「的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若過(guò)點(diǎn)(0,-6)作直線,分別交r的左、右兩支于4B兩點(diǎn),交r的漸近線于C,。兩點(diǎn),求器的取值范
圍.
19.(本小題17分)
將4個(gè)面上分別寫有數(shù)字1,2,3,4的一個(gè)正四面體在桌面上連續(xù)獨(dú)立地拋n次(n為正整數(shù)),設(shè)X為與桌
面接觸的數(shù)字為偶數(shù)的次數(shù),p為拋正四面體一次與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)的概率.
(1)當(dāng)n=5時(shí),若正四面體的質(zhì)地是均勻的,求X的數(shù)學(xué)期望和方差;
(2)若正四面體有瑕疵,即
①設(shè)外是拋擲正四面體n次中與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)奇數(shù)次的概率,求證:p“=p+(l-
2p)Pn_iO>2);
②求拋擲正四面體n次中與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)偶數(shù)次的概率.
參考答案
1.X
2.B
32
4.C
5.D
6.C
1.D
8.B
9.AB
10.ABD
11.BC
12-
13一蟲(chóng)
2
14.(0,V/?2-r2)20兀
15.解:(1)因?yàn)樗?<a<b(c,
由題意可知,a+b>c,
所以a+aq>aq2,
所以q2—q—l<0,qN1,
解得,竽,
因?yàn)閝eg,2},
所以q=|,
所以%=生歲=2磯初—
12
n
當(dāng)a=2時(shí),Sn=4x[(|)-1];
(2)因?yàn)閍>1,Q>1,
所以0VIga<Igb<Ige,
因?yàn)?=
q
所以(/ga+Igb)-Ige=Igy=1g學(xué)=lg^=lg72>0,
所以加a+Igb>Ige,
所以長(zhǎng)度為匈a,Igb,仞c的三條線段可以構(gòu)成三角形.
1
X3
16.解:(1)當(dāng)6=0時(shí),/(%)3-+^x2+2x,定義域?yàn)镽,
所以f'Q)=x2+ax+2,
因?yàn)椤ň?存在極大值,且存在極小值,
所以「(久)必須有兩個(gè)不同的零點(diǎn),
所以4=a2-4x2>0,
所以a>或a<
即a的取值范圍是(―8,—2,E)U(2/2+8).
1
(2)證明:當(dāng)a=2b=2時(shí),/(x)=-%3+%2+2%+sinx,定義域?yàn)镽,
所以/'(%)=/+2%+2+cosx=(%+I)2+(1+cos%),
當(dāng)%ER時(shí),(%+1)2之0,1+cosx>0,
所以/'(%)>0,
當(dāng)且僅當(dāng)仁荔+呼力時(shí),取等號(hào),
因?yàn)椋?二荔+呼ez)無(wú)解,
所以「(支)>0.
17.解:(1)證明:如圖,取CD的中點(diǎn)為G,連結(jié)力G,
因?yàn)镃D=24B=2所以4B=CG,因?yàn)?B〃CD,
所以四邊形力BCG為平行四邊形,
所以4G〃BC,
在三角形ZGD中,因?yàn)锳G==1,AD=1,GD=芋=
所以AG2+4。2=DG2,所以aG_L4。,
所以BC1AD,因?yàn)镻4_L平面ABGD,BCu平面力BCD,
所以PAIBC,因?yàn)镻4CAD=4PAu平面PAD,ADu平面PAD,
所以BC,平面PAD,因?yàn)锽Cu平面PBC,
所以平面P8C1平面PAD.
(2)由AGJ.AD,PAI平面ABC。,得4G,AD,4P兩兩垂直,
分別以4G,AD,4P所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則G(1,O,O),£)(0,1,0),P(0,0,l),
C(2,-l,0),B(l,—1,0),
因?yàn)楸?3龐,CD=2,2,所以=又所以E為DG的中點(diǎn),
因?yàn)镠D=4G,所以GD14E,又P2_L平面ABC。,GOu平面ABCD,
所以PAIGO,因?yàn)镻ACAE=4,PA,2Eu平面P2E,
所以GD1平面/ME,
所以平面P4E的法向量為旗=(-1,1,0).
又正=(2,-1,-1),而=(1,-1,-1),
設(shè)平面P8C的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),
所以E屈=2x-y-z=0,取元=(o,i,_i),
in-PB=x—y—z=0
所以平面PAE與平面PBC夾角的余弦值為:
|cos<n,GD>\~而同-聲成"5'
所以平面24E與平面PBC的夾角為泉
18.解:(1)因?yàn)門:>,=l(a>0,6>0)的離心率為半,焦距為2門,
c_V_6
所以z=彳,
2c=2y/~3,
解得Q=度,c=-/3,所以b=、-q2=1,
所以r的標(biāo)準(zhǔn)方程為4y2=1.
(2)由題意可設(shè)直線/的斜率存在,設(shè)直線/的方程為y=kx—l,雙曲線「的漸近線方程為y=士言
不妨設(shè)C,。分別在左、右位置,
XL
y一方,得見(jiàn)=釜
(y=kx—1,y/2k-l
聯(lián)立?=一言,得”品,
iy=kx-1,y^2k+l
所以|CD|="+1比—四|="+k2*|m3—焉1|=號(hào)¥,
x__2_-1
聯(lián)立1萬(wàn)-V=b得(1一2/)/+4"-4=0,
y—kx—1,
設(shè)4(乙,%),3(久2,%),
[71[|.4k—4
則》1+X2=—口,/右=口'
(1-2k2*0,
由卜=16k2-4x(1-2k2)x(-4)=16(1-fc2)>0,
r1%2=母<°,
得肥<1,
22
所以=V1+k\xr-x2\=V1+/cxJ(%1+%2)2—4%1%2
16(1-必)
V1+fc2x
\l-2k2\|1-2^|
所以甯=產(chǎn)珥=J2(lf2),
7
CD\xc-xD\*'
又。《好<H)e(1,72],
所以甯的取值范圍為(1,JI].
19.解:(1)因?yàn)檎拿骟w的質(zhì)地是均勻的,p為拋擲正四面體一次與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)的概率,
所以P=3=g,
進(jìn)一步得,X?B(5』),
1E11E
所以E(X)=np=5X5=弓,D(X)=np(l-p)=5x-x---
ZZZN4;
(2)證明:①因?yàn)閜n是拋正四面體n次中與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)奇數(shù)次的概率,
所以pn_
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