不定積分與定積分第三章經濟數學高等職業教育公共基礎課規劃教材01不定積分原函數與不定積分的概念一般地，若有F′（x）=f（x），就有（F（x）+C）′=f（x），若F（x）是f（x）的一個原函數，則F（x）+C是f（x）的全部原函數，其中C為任意常數。若函數F（x）是f（x）在區間I上一個的原函數，則F（x）+C（C為任意常數）稱為f（x）在該區間上的不定積分，記∫f（x）dx。不定積分不定積分【例3.1】不定積分的性質不定積分不定積分的幾何意義：F（x）+C是f（x）的所有原函數，原函數之間的關系可在幾何上表示，把曲線y=F（x）通過上下平移。每條積分曲線在相應點的切線斜率相等，都等于f（x），從而使相應點的切線互相平行。這就是不定積分的幾何意義。不定積分曲線y=F（x）+C的圖像，如圖3-1所示。不定積分不定積分的性質。不定積分求導數基本公式的逆過程，就是求不定積分的基本公式，因而由導數基本公式可得出相應的公式，見表3-1。不定積分求導數基本公式的逆過程，就是求不定積分的基本公式，因而由導數基本公式可得出相應的公式，見表3-1。不定積分【例3.2】不定積分【例3.3】不定積分【例3.4】02不定積分的換元積分法與分部積分法不定積分的換元積分法與分部積分法換元積分法【例3.5】不定積分的換元積分法與分部積分法常用的湊微分的公式見表3-2。不定積分的換元積分法與分部積分法【例3.7】不定積分的換元積分法與分部積分法【例3.8】不定積分的換元積分法與分部積分法【例3.9】不定積分的換元積分法與分部積分法【例3.10】不定積分的換元積分法與分部積分法分部積分法【例3.11】不定積分的換元積分法與分部積分法【例3.12】不定積分的換元積分法與分部積分法【例3.13】不定積分的換元積分法與分部積分法【例3.14】03定積分定積分設函數y=f（x）在區間[a，b]上是非負連續函數，由曲線y=f（x），直線x=a，x=b以及x軸所圍成的平面圖形，稱為曲邊梯形，其中曲線y=f（x）為曲邊，如圖3-2所示。定積分定積分的概念與性質定積分的幾何意義，如圖3-3所示。定積分性質6該性質的幾何意義如圖3-4所示。定積分性質7

該性質的幾何意義如圖3-5所示。定積分定積分的計算【例3.16】定積分【例3.17】定積分【例3.19】04定積分的應用定積分不僅能分析和解決曲邊梯形面積的問題，而且在經濟方面也有著廣泛的應用。本節首先闡述定積分的微元法，然后舉例說明定積分在幾何、經濟上的一些簡單應用。定積分的應用定積分的應用【例3.24】定積分的應用【例3.25】定積分的應用定積分在經濟學上的應用【例3.26】定積分的應用無窮區間的廣義積分【例3.27】定積分的應用【例3.29】05數學家的故事數學家的故事高斯———數學王子卡爾·弗里德里希·高斯（JohannCarlFriedrichGauss）（1777—1855），生于不倫瑞克，卒于哥廷根，德國著名數學家、物理學家、天文學家、大地測量學家。高斯被認為是最重要的數學家，有數學王子的美譽，并被譽為歷史上偉大的數學家之一，和阿基米德、牛頓并列，同享盛名。數學家的故事數學家的故事高斯1777年4月30日生于不倫瑞克的一個工匠家庭。高斯三歲時便能夠糾正他父親的借債賬目的事情，已經成為一個軼事流傳至今。他曾說，他在麥仙翁堆上學會計算。數學家的故事能夠在頭腦中進行復雜的計算，是上帝賜予他一生的天賦。父親格爾恰爾德·迪德里赫對高斯要求極為嚴厲，甚至有些過分。高斯尊重他的父親，并且秉承了其父誠實、謹慎的性格。高斯一生下來，就對一切現象和事物十分好奇，而且決心弄個水落石出，這已經超出了一個孩子能被許可的范圍。在成長過程中，幼年的高斯主要得力于母親和舅舅：高斯的母親羅捷雅、舅舅弗利德里希。高斯很幸運地有一位鼎力支持他成才的母親。當丈夫為此訓斥孩子時，她總是支持高斯，堅決反對頑固的丈夫想把兒子變得跟他一樣無知。數學家的故事數學家的故事弗利德里希富有智慧，為人熱情而又聰明能干，投身于紡織貿易頗有成就。他發現姐姐的兒子聰明伶俐，因此他就把一部分精力花在這位小天才身上，用生動活潑的方式開發高斯的智力。數學家的故事高斯7歲那年開始上學。10歲的時候，他進入了學習數學的班級，這是一個首次創辦的班，孩子們在這之前都沒有聽說過算術這么一門課程。數學教師是布特納，他對高斯的成長也起了一定作用。一天，老師布置了一道題，1+2+3+…，即從1一直加到100等于多少。高斯很快就算出了答案，起初高斯的老師布特納并不相信高斯算出了正確答案：“你一定是算錯了，回去再算算。高斯說出答案就是5050。高斯是這樣算的：1+100=101，2+99=101…1加到100有50組這樣的數，所以50×101=5050。數學家的故事布特納對他刮目相看。他特意從漢堡買了最好的算術書送給高斯，說：“你已經超過了我，我沒有什么東西可以教你了。”1788年，11歲的高斯進入了文科學校，他在新的學校里，所有的功課都極好，特別是古典文學、數學尤為突出。接著，高斯與布特納的助手巴特爾斯建立了真誠的友誼，直到巴特爾斯逝世。他們一起學習，互相幫助，高斯由此開始了真正的數學研究。數學家的故事他的教師們和慈母把他推薦給伯倫瑞克公爵，希望公爵能資助這位聰明的孩子上學。布倫茲維克公爵卡爾·威廉·斐迪南召見了14歲的高斯。這位樸實、聰明但家境貧寒的孩子贏得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意做高斯的資助人，讓他繼續學習。數學家的故事數學家的故事1792年高斯進入布倫茲維克的卡羅琳學院繼續學習。1795年，公爵又為他支付各種費用，送他入德國著名的哥廷根大學。這樣就使得高斯得以按照自己的理想，勤奮地學習和開始進行創造性的研究。數學家的故事1796年高斯19歲，他發現了正十七邊形的尺規作圖法，解決了自歐幾里得以來懸而未決的一個難題。同年，他發表并證明了二次互反律。這是他的得意杰作，一生曾用八種方法證明，稱之為“黃金律”。雖然他的博士論文順利通過了，被授予博士學位，同時獲得了講師職位。公爵為高斯付諸了長篇博士論文的印刷費用，送給他一幢公寓，又為他印刷了《算術研究》，使該書得以在1801年問世；還負擔了高斯的所有生活費用。1799年，高斯完成了博士論文，獲黑爾姆施泰特大學的博士學位，回到家鄉布倫茲維克。但他沒有能成功地吸引學生，因此只能回老家，這時又是公爵伸手救援他。數學家的故事數學家的故事所有這一切，令高斯十分感動。他在博士論文和《算術研究》中，寫下了情真意切的獻詞：“獻給大公”，“你的仁慈，將我從所有煩惱中解放出來，使我能從事這種獨特的研究”。布倫茲維克公爵在高斯的成才過程中起了舉足輕重的作用。不僅如此，這種作用實際上反映了歐洲近代科學發展的一種模式，表明在科學研究社會化以前，私人的資助是科學發展的重要推動因素之一。數學家的故事高斯正處于私人資助科學研究與科學研究社會化的轉變時期。1806年，卡爾·威廉·斐迪南公爵在抵抗拿破侖統帥的法軍時不幸在耶拿戰役陣亡，這給高斯以沉重打擊。他悲痛欲絕，長時間對法國人有一種深深的敵意。大公的去世給高斯帶來了經濟上拮據，德國處于法軍奴役下的不幸，以及第一個妻子的逝世，這一切使得高斯有些心灰意冷。但他是位剛強的漢子，從不向他人透露自己的窘況，也不讓朋友安慰自己的不幸。人們只是在19世紀整理他的未公布于眾的數學手稿時才得知他那時的心態。在一篇討論橢圓函數的手稿中，突然插入了一段細微的鉛筆字：“對我來說，死去也比這樣的生活更好受些。”數學家的故事慷慨、仁慈的資助人去世了，因此高斯必須找一份合適的工作，以維持一家人的生計。彼得堡科學院不斷暗示他，自從1783年萊昂哈德·歐拉去世后，歐拉在彼得堡科學院的位置一直在等待著像高斯這樣的天才。由于高斯在天文學、數學方面的杰出工作，他的名聲從1802年起就已開始傳遍歐洲。數學家的故事公爵在世時堅決勸阻高斯去俄國，他甚至愿意給高斯增加薪金，為他建立天文臺。為了不使德國失去最偉大的天才，德國著名學者洪堡（B.A.VonHumboldt）聯合其他學者和政界人物，為高斯爭取到了享有特權的哥廷根大學數學和天文學教授，以及哥廷根天文臺臺長的職位。數學家的故事數學家的故事從這時起，除了一次到柏林去參加科學會議以外，他一直住在哥廷根。洪堡等人的努力，不僅使得高斯一家人有了舒適的生活環境，高斯本人可以充分發揮其天才，而且為哥廷根數學學派的創立、德國成為世界科學中心和數學中心創造了條件。同時，這也標志著科學研究社會化的一個良好開端。數學家的故事歐幾里得已經指出，正三邊形、正四邊形、正五邊形、正十五邊形和邊數是上述邊數兩倍的正多邊形的幾何作圖是能夠用圓規和直尺實現的，但從那時起關于這個問題的研究沒有多大進展。高斯在數論的基礎上提出了判斷一給定邊數的正多邊形是否可以幾何作圖的準則。例如，用圓規和直尺可以作圓內接正十七邊形。這樣的發現還是歐幾里得以后的第一個。高斯還將復數引進了數論，開創了復整數算術理論，復整數在高斯以前只是直觀地被引進。高斯是最早懷疑歐幾里得幾何學是自然界和思想中所固有的那些人之一。這些關于數論的工作對代數的現代算術理論（即代數方程的解法）做出了貢獻。1831年（發表于1832年）他給出了一個如何借助于x，y平面上的表示來發展精確的復數理論的詳盡說明。數學家的故事數學家的故事他模型中的一些基本思想被稱做公理，它們是透過純粹邏輯構造整個系統的出發點。在這些公理中，平行線公理一開始就顯得很突出。按照這一公理，通過不在給定直線上的任何點只能作一條與該直線平行的線。數學家的故事不久就有人推測︰這一公理可從其他一些公理推導出來，因而可從公理系統中刪去。但是關于它的所有證明都有錯誤。高斯是最早認識到可能存在一種不適用平行線公理的幾何學的人之一。他逐漸得出革命性的結論︰確實存在這樣的幾何學，其內部相容并且沒有矛盾。但因為與同代人的觀點相背，他不敢發表。當1830年前后匈牙利的波爾約和俄國的羅巴切夫斯基獨立地發表非歐幾何學時，高斯宣稱他大約在30年前就得到同樣的結論。高斯也沒有發表特殊復函數方面的研究成果，可能是因為沒有能從更一般的原理導出它們。數學家的故事1830年前后，極值（極大和極小）原理在高斯的物理問題和數學研究中開始占有重要地位，例如流體保持靜止的條件等問題。這一工作對于能量守恒原理的發展做出了貢獻。從1830年起高斯就與物理學家威廉·愛德華·韋伯密切合作。在探討毛細作用時，他提出了一個數學公式能將流體系統中一切粒子的相互作用、引力以及流體粒子和與它接觸的固體或流體粒子之間的相互作用都考慮在內。數學家的故事由于對地磁學的共同興趣，他們一起建立了一個世界性的系統觀測網。他們在電磁學方面最重要的成果是電報的發展。因為他們的資金有限，所以試驗都是小規模的。高斯的數學研究幾乎遍及所有領域，在數論、代數學、非歐幾何、復變函數和微分幾何等方面都做出了開創性的貢獻。數學家的故事數學家的故事他還把數學應用于天文學、大地測量學和磁學的研究，發明了最小二乘法原理。高斯一生共發表155篇論文，他對待學問十分嚴謹，只是把他自己認為是十分成熟的作品發表出來。高斯首先迷戀上的也是自然數。高斯在1808年談道：“任何一個花過一點功夫研習數論的人，必然會感受到一種特別的激情與狂熱。”數學家的故事高斯把前人證明的缺失一一指出來，然后提出自己的見解，他一生中一共給出了四個不同的