導數、微分及其應用第二章經濟數學高等職業教育公共基礎課規劃教材01導數的概念兩個實例已知變速直線運動物體的路程s是時間t的函數s=s（t），求該物體在時刻t0的瞬時速度v（t0）。對于變速直線運動，若從t0到t0+Δt這一時間間隔Δt內物體運動的路程為Δs=s（t0+Δt）-s（t0）。導數的概念導數的概念也就是說，變速直線運動物體的瞬時速度就是當時間增量趨于零時，路程函數的增量與時間的增量之比的極限。已知一平面曲線L的方程為y=f（x），P（x0，y0）為該曲線L上的一點，求曲線在該點處的切線斜率。導數的概念圖2-1，實例2。導數的概念上述兩個實例，盡管實際意義不同，但解決它們的數學方法是相同的，都可以歸結為函數改變量與自變量之比，當自變量改變量趨于零時的極限。在自然科學和工程技術中，還有許多問題最終都可以歸結為討論此類數學模型的極限，數學上這種特定的極限叫做函數的導數。導數的概念導數的概念設函數y=f（x）在點x0的某鄰域內有定義，當自變量x在x0處取得增量Δx（Δx≠0）。稱函數y=f（x）在點x0處可導，并稱該極限值為函數y=f（x）在點x0處的導數。若函數y=f（x）在區間I上每一點都可導，則稱y=f（x）在區間I上可導。此時對每一個x∈I，都對應有y=f（x）的一個確定的導數f′（x），這樣的對應就構成了一個新的函數，稱f′（x）為y=f（x）在I上的導函數，也簡稱為導數。導數的概念01基本初等函數的導數公式計算函數的增量Δy；03求極限02計算函數增量與自變量增量的比值Δy/Δx；導數的概念導數的概念前面利用導數的定義推導出了幾個基本初等函數的求導公式。其他基本初等函數求導公式我們不再一一推導，但它們是完成函數求導工作的基本工具。導數的幾何意義由前面討論知，函數y=f（x）在點x0處的導數f′（x0）在幾何上就是曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））的切線斜率。如果曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））的導數存在，則曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））的切線方程是y-f（x0）=f′（x0）（x-x0）。導數的概念導數的概念由解析幾何知道，過切點（x0，f（x0））且與切線垂直的直線稱為曲線y=f（x）在該點的法線。在自然科學和工程技術中，還有許多問題最終都可以歸結為討論此類數學模型的極限，數學上這種特定的極限叫做函數的導數。導數的概念【例2.5】求曲線y=√x在點P（1，1）處的切線方程與法線方程。函數的可導性與連續性的關系導數的概念如果函數y=f（x）在點x0處可導，則函數y=f（x）在點x0處必連續。然而，該定理的逆命題卻不一定成立，即一個函數在某點處連續，但是在該點處不一定可導。02導數的運算法則導數的運算法則前面一節根據導數的定義求出了部分基本初等函數的導數，但對于一般的函數而言，利用定義方法求一個函數的導數往往很困難。本節將給出函數的求導法則，借助這些法則和基本初等函數的導數公式，就能方便地求出常見初等函數的導數。導數的運算法則導數的四則運算法則如果函數u=u（x），v=v（x）都在點x處具有導數，則它們的和、差、積、商都在點x處具有導數。復合函數的求導法則對于復合函數的導數，能否直接利用基本初等函數的導數公式求導呢？求函數y=sin2x的導數，能否直接利用（sinx）′=cosx，得到（sin2x）′=cos2x？導數的運算法則導數的運算法則也就是說，若y是x的復合函數，u是中間變量，那么y對x的導數等于y先對u的導數，再乘以u對x的導數，稱此法則為復合函數的鏈式法則。復合函數求導法則可以推廣到有限次復合情形。隱函數的求導法則導數的運算法則如果變量x、y之間的函數對應關系由一個含x、y的二元方程F（x，y）=0所確定（y沒有解出）。此時x、y的函數關系隱含在方程中，稱這種由二元方程所確定的函數為y對x為隱函數。導數的運算法則相應地，稱由y=f（x）表示的函數為顯函數。把一個隱函數化成顯函數的過程叫做隱函數的顯化。有些隱函數，如方程y3+2siny-x=0所確定的函數，y難以解出。由上例可以得到隱函數求導步驟是：02從一次方程中解出y′即為所求的隱函數y對x的導數。01將方程F（x，y）=0兩端對x求導（其中視y為x的函數），得到一個關于y′的一次方程；導數的運算法則高階導數由物理學知識可知，作變速直線運動物體的速度v（t）是路程函數s=s（t）對時間t的導數。即v（t）=s′（t），若速度仍然是時間t的函數，則它對時間t的導數是物體的加速度，即a=v′（t）=[s′（t）]′，于是，加速度是路程函數s=s（t）對時間t的導數的導數，稱為二階導數。導數的運算法則導數的運算法則相應地，把y=f（x）的導數f′（x）叫做函數y=f（x）的一階導數。二階及二階以上的導數統稱為高階導數。由此可見，求高階導數就是多次接連地求導，直到求出對應階為止。03函數的微分微分的概念函數的微分函數的導數反映的是函數相對于自變量變化的快慢程度，它是函數在點x處的變化率。但在實際問題中，當自變量在某一點處取得一個微小改變量Δx時，如何有效計算出函數改變量的值呢？因此我們要引入微分的概念。函數的微分先來研究一個實際問題。一塊正方形金屬薄片受溫度變化影響，其邊長由x0變到x0+Δx，問此薄片的面積改變了多少？如果邊長改變很微小，面積的改變量ΔA可以近似地由2x0Δx代替，而且Δx越趨于0，近似程度越好。基本初等函數的微分公式由函數微分的定義dy=f′（x）dx可知，要求函數y=f（x）的微分。只要求出函數的導數f′（x），再乘以dx即可。因此，由求導公式及求導法則可以得到基本初等函數的微分公式和微分法則。函數的微分函數的微分導數公式：函數的微分微分公式：函數的微分微分的運算法則函數和、差、積、商的微分運算法則。函數的微分由此可知，無論u是自變量還是中間變量，微分形式dy=f′（u）du保持不變。這一性質稱為一階微分形式不變性。利用微分形式不變性，可簡化有關微分運算。函數的微分于是，當|x|是較小的數值時，可以推得以下幾個常見的近似公式：04導數在經濟分析中的應用邊際函數在經濟管理中，常常用邊際這個概念來描述一個經濟量y對于另一個經濟量x的變化問題。一個經濟函數y=f（x）的導數f′（x）稱為該函數的邊際函數。導數在經濟分析中的應用導數在經濟分析中的應用邊際函數值f′（x0）在經濟學中的解釋是：經濟函數f（x）在點x0處，當自變量x再增加（或減少）1個單位量時，經濟函數f（x）增加（或減少）量為f′（x0）。常見的邊際函數有邊際成本、邊際收益和邊際利潤等。導數在經濟分析中的應用它表示當產量為1000件時，再增加（或減少）1件單位產品，總成本增加（或減少）2個單位，即總成本的變化率為2（單位成本/單位產量）。它表明當銷量為20件時，再增加（或減少）1件單位產品，總利潤增加（或減少）12個單位，即總收益的變化率為12（單位收益/單位銷量）。導數在經濟分析中的應用上面討論了邊際函數的問題，其實質是函數的絕對改變量與自變量的比率問題，但在實踐活動中，僅僅研究函數的絕對變化率是不夠的，還需要研究函數的相對變化率。例如，單價分別為50元和500元兩種產品，它們同時漲價10元，顯然價格改變絕對量相同，但與原價相比，前者漲幅為20%，后者漲幅為2%，前者是后者的10倍。為了更準確說明這類問題，下面引入彈性概念。彈性分析我們以需求函數的彈性來說明彈性的經濟意義，設需求函數為Q=Q（P），按函數彈性的意義。由于上式是描述需求Q對價格P的相對變化率，通常稱上式為需求函數在點P的需求價格彈性，簡稱為需求彈性，記做EP。導數在經濟分析中的應用05洛必達法則洛必達法則【例2.28】洛必達法則【例2.29】洛必達法則【例2.30】洛必達法則【例2.31】洛必達法則【例2.33】洛必達法則【例2.34】06函數的單調性與極值函數單調性的判別方法函數的單調性是函數的一個重要性質，在中學階段我們利用函數定義的方法來判別函數的單調性。但對于較復雜的函數往往是很困難的，下面介紹利用導數的符號來判別函數的單調性。函數的單調性與極值函數的單調性與極值一個函數y=f（x）在區間上單調增加（或單調減少），其在直角坐標系中對應的圖像是隨著x值的增大曲線逐漸上升（或下降），對應切線的斜率為正（或負），如圖2-2所示。函數的單調性與極值導數的幾何意義可知，若函數y=f（x）在區間上單調增大，則y=f（x）在此區間內函數圖形是一條上升的曲線。曲線上各點的切線與x軸正向的夾角為銳角，所以其斜率為正，對應導數f′（x）>0。函數的單調性與極值若函數y=f（x）在區間上單調減小，則y=f（x）在此區間內函數圖形是一條下降的曲線，曲線上各點的切線與x軸正向的夾角為鈍角，所以其斜率為負，對應導數f′（x）<0。由此可見，函數的單調性與其導數的符號有著密切聯系，因此可以通過判定函數導數的正負號來判定函數的增減性。函數的單調性與極值【例2.35】函數的單調性與極值【例2.36】函數的極值函數的極大值和極小值統稱為函數的極值，極大值點和極小值點統稱為極值點。極大值和極小值是函數在一點x0附近的局部性質，函數的極大值不一定大于極小值，函數的極值必定在區間內部取得，在區間端點處不能取得極值。函數的單調性與極值函數的單調性與極值如圖2-3所示，函數的極值通常是在曲線的升降轉折處取得，在點x2、x5處取得極大值，在點x1、x4、x6處取得極小值，它們對應的切線是水平方向，對應的導數值等于零。函數的單調性與極值【例2.38】函數的單調性與極值【例2.39】函數的最大值與最小值函數的單調性與極值設函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，根據閉區間上連續函數的性質可知，函數y=f（x）在閉區間[a，b]上一定有最大值和最小值。這個最大值或最小值只能在區間內部或區間端點處取得。如果最大值或最小值在區間內的某一點x0取得。函數的單調性與極值那么這個最大值或最小值f（x0）必定是函數f（x）的一個極大值或極小值，點x0必定為函數f（x）的穩定點。因此，求出f（x）在區間[a，b]內全部的穩定點和不可導點處對應的函數值。07曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸性與拐點利用函數的單調性和極值，可以知道函數在某區間內的大概情況，但還不能全面地描述函數在區間內的形態特征。因此，研究函數圖像時還要考察它的彎曲方向。曲線的凹凸性與拐點它們在第一象限內都是上升的曲線，但是它們的彎曲情況卻不同，如圖2-4所示。曲線的凹凸性與拐點導數的幾何意義可知，若函數y=f（x）在區間上單調增大，則y=f（x）在此區間內函數圖形是一條上升的曲線。曲線上各點的切線與x軸正向的夾角為銳角，所以其斜率為正，對應導數f′（x）>0。曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸性與拐點定義如果曲線弧上任意一點處的切線總是位于該曲線弧的上方，則稱此曲線弧是凸的，稱區間（a，b）為該曲線的凸區間，如圖2-5所示。如果函數y=f（x）在（a，b）內具有二階導數，當曲線弧是凹的時候，其切線的斜率是逐漸增加的，即函數的導數是單調增加的。當曲線弧是凸的時候，其切線的斜率是逐漸減少的，即函數的導數是單調減小的，根據函數單調性的判別方法，則可以利用二階導數的符號來判斷曲線弧的凹凸性。曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸性與拐點曲線凹凸性的判別及拐點的求法【例2.44】08極值在經濟中的應用極值在經濟中的應用前面我們討論了極值和最值的求法，在實際問題中，如果所討論的函數在所給定區間內只有一個極值點，而實際應用問題中又有最值存在。那么最值就在此極值點處取得，如“利潤最大”、“成本最低”、“用料最省”、“效率最優”等問題，在數學上都可歸結為求某一函數在某個區間內的最大值與最小值問題。極值在經濟中的應用最大利潤問題【例2.46】極值在經濟中的應用【例2.47】極值在經濟中的應用最小平均成本問題【例2.48】極值在經濟中的應用用料最省問題【例2.49】09數學家的故事數學家的故事牛頓——牛人數學家艾薩克·牛頓（IsaacNewton，1643—1727）是英國偉大的數學家、物理學家、天文學家和自然哲學家。其研究領域包括了物理學、數學、天文學、神學、自然哲學和煉金術。數學家的故事數學家的故事牛頓的主要貢獻有發明了微積分，發現了萬有引力定律和經典力學，設計并實際制造了第一架反射式望遠鏡等，被譽為人類歷史上最偉大、最有影響力的科學家。為了紀念牛頓在經典力學方面的杰出成就，“牛頓”后來成為衡量力的大小的物理單位。數學家的故事牛頓于1643年1月4日生于英格蘭林肯郡格蘭瑟姆附近的沃爾索普村。1661年入學英國劍橋大學圣三一學院，1665年獲文學士學位。隨后兩年在家鄉躲避鼠疫，他在此間制定了一