第五章數(shù)列5.1數(shù)列基礎(chǔ)5.1.1數(shù)列的概念課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.若數(shù)列{an}滿意an=2n,則數(shù)列{an}是()A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列C.常數(shù)列 D.搖擺數(shù)列解析∵an+1-an=2n+1-2n=2n>0,∴an+1>an,即{an}是遞增數(shù)列.答案A2.(2024江西高一月考)數(shù)列32,-54,78,-9A.an=(-1)n2B.an=(-1)n2C.an=(-1)n+12D.an=(-1)n+12解析依據(jù)分子、分母還有正負(fù)號(hào)的改變,可知an=(-1)n+1·2n答案D3.(多選)(2024尤溪第五中學(xué)高一月考)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=9-2n,則下列各數(shù)中是{an}的項(xiàng)的是()A.7 B.0 C.3 D.5解析對(duì)于A,7=9-2n,解得n=1,A滿意;對(duì)于B,0=9-2n,解得n=92,B不滿意;對(duì)于C,3=9-2n,解得n=3,C滿意;對(duì)于D,5=9-2n,解得n=2,D滿意.故選ACD答案ACD4.已知數(shù)列-1,14,-19,…,(-1)n1n2,…,則它的第5A.15 B.-15 C.125 D解析由題意知,數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=(-1)n·1n2.當(dāng)n=5時(shí),該項(xiàng)為(-1)5·15答案D5.(2024甘南藏族自治州合作第一中學(xué)高二月考)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=3n+1(n是奇數(shù)),2n-2A.70 B.28 C.20 D.8解析因?yàn)閍n=3所以a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,所以a2·a3=20.故選C.答案C6.(2024上海高二課時(shí)練習(xí))若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=nn2+196(n∈N+),則這個(gè)數(shù)列中的最大項(xiàng)是第解析由題意知,an=nn因?yàn)閚+196n≥2n·當(dāng)且僅當(dāng)n=14時(shí),n+196n有最小值所以當(dāng)n=14時(shí),1n+196答案147.圖①是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教化大會(huì)(簡(jiǎn)稱ICME-7)的會(huì)徽?qǐng)D案,會(huì)徽的主體圖案是由圖②的一連串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,假如把圖②中的直角三角形接著作下去,記OA1,OA2,…,OAn,…的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列{an},則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=.

解析因?yàn)镺A1=1,OA2=2,OA3=3,…,OAn=n,…,所以a1=1,a2=2,a3=3,…,an=n,….答案n8.依據(jù)數(shù)列{an}的前幾項(xiàng),寫(xiě)出下列各數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式:(1)45,1(2)1,3,6,10,15,…;(3)7,77,777,….解(1)留意前4項(xiàng)中有兩項(xiàng)的分子為4,不妨把分子統(tǒng)一為4,即為45,48,411,414,(2)留意6=2×3,10=2×5,15=3×5,再把各項(xiàng)的分子和分母都乘以2,即1×22,2×32,(3)把各項(xiàng)除以7,得1,11,111,…,再乘以9,得9,99,999,…,因而有an=79(10n-1)實(shí)力提升練1.(2024上海高二課時(shí)練習(xí))下列四個(gè)命題:①任何數(shù)列都有通項(xiàng)公式;②給定了一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式就給定了這個(gè)數(shù)列;③給出了數(shù)列的有限項(xiàng)就可唯一確定這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式;④數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an是項(xiàng)數(shù)n的函數(shù).其中正確的有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)解析依據(jù)數(shù)列的表示方法可知,不是任何數(shù)列都有通項(xiàng)公式,例如,π的近似值構(gòu)成的數(shù)列3,3.1,3.14,3.141,…,就沒(méi)有通項(xiàng)公式,所以①錯(cuò)誤;依據(jù)數(shù)列的表示方法可知,②正確;給出了數(shù)列的有限項(xiàng),數(shù)列的通項(xiàng)公式形式不肯定唯一,比如,1,-1,1,-1,…,其通項(xiàng)公式既可以寫(xiě)成an=(-1)n+1,也可以寫(xiě)成an=(-1)n-1,③錯(cuò)誤;依據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的概念可知,④正確.故選B.答案B2.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=log(n+1)(n+2)(n∈N+),則它的前30項(xiàng)之積為()A.15 B.C.6 D.lo解析a1×a2×a3×…×a30=log23×log34×log45×…×log3132=lg3lg2×lg4lg3×…×lg32lg31=lg32lg2=log232答案B3.已知數(shù)列{an}中,an=n2-kn(n∈N+),且{an}單調(diào)遞增,則k的取值范圍是()A.(-∞,2] B.(-∞,3)C.(-∞,2) D.(-∞,3]解析an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k,又{an}單調(diào)遞增,故應(yīng)有an+1-an>0,即2n+1-k>0恒成立,得k<2n+1恒成立,又n∈N+,故只需k<3即可.答案B4.(2024江西高三月考)已知an=n-122n-123(n∈N+),則在數(shù)列{an}的前40項(xiàng)中A.a1,a30 B.a1,a9 C.a10,a9 D.a12,a11解析∵an=n-122n-123∴當(dāng)n<123時(shí),an<1,且單調(diào)遞減,當(dāng)n>123時(shí),an>1,且單調(diào)遞減,∵11<123<12,且n∈N+,∴這個(gè)數(shù)列的前40項(xiàng)中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是a12,a11.故選D.答案D5.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=19-2n,則使an>0成立的最大正整數(shù)n的值為.

解析由an=19-2n>0,得n<192∵n∈N+,∴n≤9.答案96.依據(jù)圖中的5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的改變規(guī)律,試揣測(cè)第n個(gè)圖中有個(gè)點(diǎn).

解析視察圖形可知,第n個(gè)圖有n個(gè)分支,每個(gè)分支上有n-1個(gè)點(diǎn)(不含中心點(diǎn)),再加上中心1個(gè)點(diǎn),則有n(n-1)+1=n2-n+1個(gè)點(diǎn).答案n2-n+17.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-21n2(n(1)0和1是不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)?假如是,求出是第幾項(xiàng);假如不是,說(shuō)明理由.(2)數(shù)列{an}中是否存在連續(xù)且相等的兩項(xiàng)?若存在,分別是第幾項(xiàng)?解(1)令an=0,得n2-21n=0,∴n=21或n=0(舍去),∴0是數(shù)列{an}中的第21項(xiàng).令an=1,得n2-而該方程無(wú)正整數(shù)解,∴1不是數(shù)列{an}中的項(xiàng).(2)假設(shè)存在連續(xù)且相等的兩項(xiàng)是an,an+1,則有an=an+1,即n2解得n=10,所以存在連續(xù)且相等的兩項(xiàng),它們分別是第10項(xiàng)和第11項(xiàng).素養(yǎng)培優(yōu)練(2024江蘇淮陰中學(xué)高一期中)已知數(shù)列{an}中,an=2n+kn,若對(duì)隨意n∈N+,都有an≥a3成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(A.[12,24] B.(12,24]C.[3,12] D.(3,12]解析由題可知,an=2n+kn,對(duì)隨意n∈N+,都有an≥a3成立當(dāng)k≤0