河北省張家口市尚義縣2024?2025學年高二上學期10月階段測試數學試卷一、單選題（本大題共2小題）1．在空間直角坐標系中，點的坐標為，點關于平面對稱的點是（

）A． B．C． D．2．已知，且與共線，則的坐標是（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共1小題）3．一組樣本數據為6，11，12，16，17，19，31，則錯誤的選項為（

）A．該組數據的極差為25B．該組數據的分位數為17C．該組數據的平均數為16D．若該組數據去掉一個數得到一組新數據，則這兩組數據的平均數可能相等三、單選題（本大題共5小題）4．在三棱柱中，（

）A． B． C． D．5．若空間中有三點，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．6．已知點，又點在平面內，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．如圖，二面角等于是棱上兩點，分別在半平面內，，且，則CD的長等于（

）

A． B． C． D．8．已知四棱錐平面BCDE，底面EBCD是為直角，的直角梯形，如圖所示，且，點為AD的中點，則到直線BC的距離為（

）A． B． C． D．四、多選題（本大題共3小題）9．下列利用方向向量、法向量判斷直線、平面位置關系的結論中，正確的是（

）A．若兩個不重合的平面法向量平行，則這兩個平面平行B．若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行C．兩條不重合直線的方向向量分別是，則D．直線的方向向量，平面的法向量是，則10．下列說法正確的是（

）A．向量與向量共面B．若與共面，則，使得C．若是空間的一個基底，則能構成空間一個基底D．若，則共面，反之不正確11．棱長為1的正方體中，點在棱CD上運動，點在側面上運動，滿足平面，則（

）A．點在側面對角線上 B．點在側面對角線上C．線段PQ的最小值為 D．線段PQ的最小值為五、填空題（本大題共3小題）12．已知平面的一個法向量為，點是平面上的一點，則點到平面的距離為.13．如圖，兩個開關串聯再與開關并聯，在某段時間內每個開關能夠閉合的概率都是能夠閉合的概率為0.7，計算在這段時間內線路正常工作的概率為.

14．空間直角坐標系中，經過點且法向量為的平面方程為，經過點且一個方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問題：現給出平面的方程為，經過的直線的方程為，則當變化時，直線與平面所成角的正弦值最大時，平面的方程為.六、解答題（本大題共5小題）15．在第29個“世界讀書日”到來之際，樹人中學舉辦了讀書知識競賽，現從參加競賽的同學中，選取100名同學并將其成績(百分制，均為整數)分成六組:第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組90,100，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值，并估計這100名學生成績的第85百分位數（保留一位小數）；(2)若先用分層抽樣方法從得分在和的學生中抽取5人，然后再從抽出的5人中任意選取2人，調查其讀書情況，求此2人得分不在同一組的概率.16．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱AP的長為2，且與的夾角都等于在棱PD上，，設，.

(1)試用表示向量；(2)求與的夾角.17．如圖，在長方體中，.

(1)證明：平面；(2)求到平面的距離.18．如圖1，等腰中，底分別為的中點，為的中點，將沿折起到的位置，使得平面平面，如圖2.(1)求證：平面；(2)為線段上靠近的三等分點，求平面與平面夾角的余弦值.19．如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，，且底面，點P、Q分別是棱的中點.(1)在底面內是否存在點，滿足平面?若存在，請說明點的位置，若不存在，請說明理由；(2)設平面交棱于點T，平面將四棱臺分成上，下兩部分，求與平面所成角的正弦值.

參考答案1．【答案】C【詳解】在空間直角坐標系中，關于平面的對稱點的特征為坐標不變，取相反數，因為點的坐標為，所以點關于平面對稱的點是.故選：C.2．【答案】B【詳解】因為，且與共線，所以，解得，所以.故選：B.3．【答案】ACD【詳解】對于A，根據極差定義，該組數據的極差為，故A正確；對于B，因為，所以該組數據的分位數為，故B錯誤；對于C，該組數據的平均數為，故C正確；對于D，若該組數據去掉得到一組新數據，則新數據6，11，12，17，19，31的平均數為，所以這兩組數據的平均數相等，故D正確.故選：ACD.4．【答案】C【詳解】如圖所示根據題意知又因三棱柱，所以可知平面都是矩形，則，所以，根據向量的平行四邊形法則可得故選：C5．【答案】D【詳解】，設平面的一個法向量為，由得，令得，所以，則點到平面的距離為.故選：D.6．【答案】C【詳解】，，由于，所以三點不共線，可得，即可得，解得.故選：C.7．【答案】A【詳解】由二面角的平面角的定義知向量，所以，得，由得，因為，所以，可得.故選：A.8．【答案】A【詳解】由題意知，平面，平面，所以，又，故以為原點，所在的直線分別為軸，建立如圖空間直角坐標系，則，得所以，，記，則，所以F到直線BC的距離為.故選：A9．【答案】ABC【詳解】解：對于A，因為兩個不重合的平面法向量平行，則其中一個平面的法向量也垂直于另一個平面，即可得一平面的法向量垂直于兩個不同平面，所以這兩個平面平行，故正確；對于B，因為兩直線的方向向量不平行，所以這兩直線不平行，故正確；對于C，因為，所以，所以，故正確；對于D，因為，，所以，所以，所以或，故錯誤.故選：ABC.10．【答案】AB【詳解】對于A，令，則，解得，可得，故A正確；對于B，若與共面，則，使得，故B正確；對于C，因為是空間的一個基底，所以不共面，假設共面，則存在實數，使得，即，解得，所以假設成立，所以不能構成空間一個基底，故C錯誤；對于D，若，則共面，反之也正確，故D錯誤.故選：AB.11．【答案】BD【詳解】如圖建立以為坐標原點空間直角坐標系，設，，則，所以因為平面，所以，可得，由可知點在側面對角線上，故A錯誤，B正確；，可得，所以，故當時，，故D正確.故選：BD.12．【答案】【詳解】由題意可知，根據點到平面的距離為.故答案為：13．【答案】0.775/【詳解】由題意，開關在某段時間均正常工作的概率，開關在某段時間正常工作的概率，這段時間內線路正常工作的概率為：.故答案為：0.775.14．【答案】【詳解】由題設知：平面的法向量，直線的方向向量，且平面與直線相交于，所以直線與平面所成角的正弦值為，對于二次函數，其是圖象一條開口向上的拋物線，對稱軸為，當時，函數取到最小值，且最小值為，此時直線l與平面α所成角的正弦值取到最大值，最大值為，對應平面的方程為.故答案為：.15．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得：，解得；因為成績在的頻率為，所以，第百分位數位于，設其為，則，解得，所以，第百分位數約為.（2）由頻率分布直方圖可知：得分在和內的頻率分別為0.04和0.06，采用分層抽樣知，抽取的5人，在內的人數為2人，在內的人數為3人，設分數在[40，50)內的2人為，分數在[50，60)內的3人為，則在這5人中抽取2人的情況有：，，，，，，，，，，共有10種情況，其中得分不在同一組的2人有：，，，，，，有6種情況，所以概率為.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）；（2）因為，，，所以，所以，因為，所以與的夾角為.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在長方體中，以D為坐標原點，向量分別為軸建立空間直角坐標系，

則，所以，，所以，又因，平面，平面，所以平面；（2）設平面的法向量為n=x,y,z，到平面的距離為，由，所以，令，可求得則，所以.18．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為，為的中點，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面；（2）如圖，由（1）知平面，取的中點，連接，則，以為坐標原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，因為，所以，可得，，由得，則，設n=x,y,z為平面則，即，令，則，所以，為平面的一個法向量，所以，由圖可得平面與平面夾角的余弦值為.19．【答案】(1)存在點(2)【詳解