北師大版九年級上冊數學期中考試試題一、選擇題。（每小題只有一個正確答案）1．方程x（x+5）=0的根是（）A．x=5B．x=﹣5C．x1=0，x2=5D．x1=0，x2=﹣52．關于菱形的性質，下列敘述不正確的是（）A．菱形的四條邊都相等 B．菱形的四個角都相等C．菱形的對角線互相垂直 D．菱形的對角線互相平分3．在△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB的中點，若CD＝5，AC＝8，則BC的長為A．3 B．4 C．5 D．64．一元二次方程25x2+20x＝﹣4的根的情況是（）A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根C．只有一個實數根 D．沒有實數根5．一個口袋中有紅球、白球共10個，這些球除顏色外都相同，將口袋中的球攪拌均勻，從中隨機模出一個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復這一過程，共摸了100次球，發現有78次摸到紅球，則口袋中白球的個數大約有（）A．7個 B．8個 C．2個 D．3個6．如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點，DE∥BC，AD：DB＝1：2，下列結論中錯誤的是（）A． B．C． D．AD?AB＝AE?AC7．在平面直角坐標系中，△OAB各頂點的坐標分別為：O(0，0)，A(1，2)，B(0，3)，以O為位似中心，△OA′B′與△OAB位似，若B點的對應點B′的坐標為(0，﹣6)，則A點的對應點A′坐標為()A．(﹣2，﹣4) B．(﹣4，﹣2)C．(﹣1，﹣4) D．(1，﹣4)8．如圖，已知點O為△ABC的AC邊上的中點，連接BO并延長到D，使得OD＝OB，要使四邊形ABCD為矩形，△ABC中需添加的條件是（）A．AB＝BC B．∠ABC＝90° C．∠BAC＝45° D．∠BCA＝45°9．從n邊形的一個頂點出發，可以作（n﹣3）條對角線，若一個多邊形共有35條對角線，則該多邊形的邊數是（）A．13 B．10 C．8 D．710．如圖，線段AB，CD相交于點E，連接AC，BD，添加下列條件不能使△ACE與△BDE相似的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠D C． D．二、填空題11．若（b+d+3≠0），則＝_____．12．從長為3,5,7,10的四條線段中任意選取三條作為邊,能構成三角形的概率是__________.13．用一條長30cm的繩子圍成一個面積為60cm2的長方形，設長方形的長為xcm，則可列方程為_____．14．如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH均為正方形，且點E、F在對角線AC上，點G、H分別在邊CD、AD上，若AB＝6cm，則正方形EFGH的面積為_____．15．如圖，點P為矩形ABCD的AB邊上一動點，將△ADP沿著DP折疊，點A落在點A'處，連接CA'，已知AB＝10，AD＝6，若以點P，B，C，A'為端點的線段（不再另外連接線段）構成的圖形為直角三角形或特殊的平行四邊形時，AP的長為_____．16．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E是AB中點，連接CE，交BD于點F，若EF＝1，則CF的長是_____．三、解答題17．解方程（1）x（x﹣3）＝x﹣3（2）（x+1）（x﹣3）＝2x+518．三張形狀、大小、質地相同并標有數字0，1，2的卡片，將卡片洗勻后，背面朝上放在桌上，若第一次任意抽取一張（不放回），第二次再抽取一張，用列表法或樹狀圖求兩次所抽取卡片上的數字恰好是方程x2﹣2x＝0的兩根的概率．19．如圖，AB表示一個窗戶的高，AE和BD表示射入室內的光線，窗戶的下端到地面的距離BC＝1.2m．已知某一時刻BC在地面的影長CD＝1.8m，AC在地面的影長CE＝4.8m，求窗戶的高度．20．如圖，在矩形ABCD中，BC＝10，對角線AC與BD相交于點O，CE⊥BD，垂足為E，BE＝3DE，求CE的長．21．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，且E為AD的中點，FC＝3DF，連接EF并延長交BC的延長線于點G．（1）求證：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的邊長為8，求△BEG的面積．22．某水果商場經銷一種高檔水果，原價每千克50元．（1）連續兩次降價后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經市場調查發現，在進貨價不變的情況下，商場決定采取適當的漲價措施，但商場規定每千克漲價不能超過8元，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現該商場要保證每天盈利6000元，那么每千克應漲價多少元？23．如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點，延長CD到F，使得DF＝DE，連接AF．AF與CE之間有怎樣的關系？請說明理由．24．如圖所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．點D由點A出發沿AB方向向點B勻速運動，同時點E由點B出發沿BC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s．連接DE，設運動時間為t（s）（0＜t＜10），解答下列問題：（1）當t為何值時，△BDE的面積為7.5cm2；（2）在點D，E的運動中，是否存在時間t，使得△BDE與△ABC相似？若存在，請求出對應的時間t；若不存在，請說明理由．參考答案1．D【分析】方程利用兩因式相乘積為0,兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程來求解.【詳解】解：方程x(x+5)=0,可得x=0或x+5=0,解得:=0,或=-5.故選D.【點睛】本題主要考查解一元二次方程-因式分解法.2．B【分析】根據菱形的性質判斷即可．【詳解】解：A、菱形的四條邊都相等，正確不符合題意；B、菱形的四個角不一定相等，錯誤符合題意；C、菱形的對角線互相垂直，正確不符合題意；D、菱形的對角線互相平分，正確不符合題意；故選：B．【點睛】此題主要考查對菱形的性質及判定的理解，關鍵是根據菱形的性質解答．3．D【分析】依據直角三角形的斜邊上中線的性質，即可得到AB的長，再根據勾股定理，即可得到BC的長．【詳解】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB的中點，∴AB＝2CD＝2×5＝10，∴Rt△ABC中，BC＝＝＝6，故選：D．【點睛】此題主要考查了直角三角形的斜邊上中線的性質，解題時注意：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．4．A【分析】根據根的判別式即可求出答案．【詳解】解：原方程化為：25x2+20x+4＝0，∴△＝202﹣16×25＝0，故選：A．【點睛】此題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的判別式，本題屬于基礎題型．5．C【分析】根據利用頻率估計概率可估計摸到紅球的概率，再求出摸到白球的概率，進一步即可求出結果.【詳解】解：∵共摸了100次球，發現有78次摸到紅球，∴摸到紅球的概率估計為0.78，∴摸到白球的概率估計為0.22，∴口袋中白球的個數大約10×0.22≈2個．故選：C．【點睛】本題考查了利用頻率估計概率的知識，屬于常考題型，掌握計算的方法是關鍵.6．D【分析】由DE∥BC，AD：DB＝1：2，可得△ADE∽△ABC，推出，，由此即可判斷錯誤的結論．【詳解】解：∵DE∥BC，AD：DB＝1：2，∴△ADE∽△ABC，∴＝，，，∴A、B、C正確，故選：D．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．7．A【分析】利用已知對應點的坐標變化規律得出位似比為1：2，則可求A'坐標．【詳解】解：∵△OA′B′與△OAB關于O（0，0）成位似圖形，且若B

（0，3）的對應點B′的坐標為（0，-6），

∴OB：OB'=1：2=OA：OA'

∵A（1，2），

∴A'（-2，-4）

故選A．【點睛】此題主要考查了位似變換與坐標與圖形的性質，得出位似比是解題關鍵.8．B【分析】由題意可證四邊形ABCD是平行四邊形，由矩形的判定可求解．【詳解】解：∵點O為△ABC的AC邊上的中點，∴AO＝CO，且OD＝OB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵有一個角為直角的平行四邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形是矩形，∴添加條件為∠ABC＝90°，故選：B．【點睛】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定，熟練掌握矩形的判定是本題的關鍵．9．B【分析】利用多邊形對角線條數公式得出關于n的方程，進而求出即可．【詳解】解：由題意可得：n（n﹣3）＝35，解得：n1＝﹣7（不合題意舍去），n2＝10，答：這個多邊形的邊的條數是10條．故選B．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用以及多邊形的對角線，正確利用多邊形對角線公式得出等式是解題關鍵．10．D【分析】要使△ACE∽△BDE，只需再添加一個對應角相等或其對應邊成比例即可，而對應邊所夾的角則必是其相等的角，否則不能得到其相似．【詳解】解：由圖可得，∠AEC＝∠BED，所以要使△ACE∽△BED，只需再添加一個對應角相等或其對應邊成比例即可，所以題中選項A、B、C均符合題意，而D選項中AC與AE的夾角并不是∠AEC，所以其不能判定兩個三角形相似．故選：D．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定問題，能夠熟練掌握．11．．【分析】利用等比的性質求解．【詳解】解：∵（b+d+3≠0），∴＝．故答案為．【點睛】此題考查了比例線段：靈活應用比例的性質進行計算．12．【分析】列舉出所有等可能的情況數，找出能構成三角形的情況數，即可求出所求概率．【詳解】從長為3，5，7，10的四條線段中任意選取三條作為邊，所有等可能情況有：3，5，7；3，5，10；3，7，10；5，7，10，共4種，其中能構成三角形的情況有：3，5，7；5，7，10，共2種，則P（能構成三角形）=，故答案為．【點睛】此題考查了列表法與樹狀圖法，以及三角形的三邊關系，其中概率=所求情況數與總情況數之比．13．x（15﹣x）＝60．【分析】根據長方形的周長可以用x表示寬的值，然后根據面積公式即可列出方程．【詳解】解：設長方形的長為xcm，則寬為（15﹣x）cm，根據面積為60cm2可得：x（15﹣x）＝60，故答案為x（15﹣x）＝60．【點睛】此題考查了一元二次方程的運用，要掌握運用長方形的面積計算公式S=ab來解題的方法．14．8．【分析】根據正方形的性質和等腰直角三角形的判定和性質定理即可得到結論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，AB＝6cm，∴∠DAC＝∠ACD＝45°，AC＝AB＝6，∵四邊形EFGH為正方形，∴∠HEF＝∠GFE＝90°，∴∠AEH＝∠CFG＝90°，∴△AEH與△CFG是等腰直角三角形，∴AE＝EH，CF＝FG，∵HE＝EF＝FG，∴EF＝AC＝2，∴正方形EFGH的面積為（2）2＝8，故答案為8．【點睛】此題考查了正方形的性質，等腰直角三角形的判定和性質，熟練掌握正方形的性質是解題的關鍵．15．2或6．【分析】分兩種情況討論，由折疊的性質，矩形的性質和勾股定理可求解．【詳解】解：如圖1，當點A'落在CD上，∵將△ADP沿著DP折疊，點A落在點A'處，∴AP＝A'P，AD＝A'D，∠DAP＝∠DA'P＝90°，∴∠PA'C＝90°，且∠B＝∠C＝90°，∴四邊形PBCA'是矩形，∴BC＝A'P＝AP＝6，∴當AP＝6時，四邊形PBCA'是矩形，如圖2，當點P，點A'，點C共線，∵將△ADP沿著DP折疊，點A落在點A'處，∴AP＝A'P，AD＝A'D＝6，∠DAP＝∠DA'P＝90°，∴A'C＝＝＝8，∴PC＝8+A'P＝8+AP，∵PC2＝PB2+BC2，∴（8+AP）2＝（10﹣AP）2+36，∴AP＝2，故答案為2或6．【點睛】此題考查了翻折變換，矩形的判定和性質，勾股定理，利用分類討論解決是本題的關鍵．16．2【分析】利用平行四邊形的性質得到AB=CD，AB∥CD，則BE=AB=CD，再證明△BEF∽△DCF，然后利用相似比可計算出CF的長．【詳解】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵點E是AB中點，∴BEABCD，∵BE∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴，∴CF＝2EF＝2．故答案為：2．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質．在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件．17．（1）x1＝3，x2＝1；（2）x1＝2+2，x2＝2﹣2．【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）先將方程整理為一般式，再利用公式法求解可得．【詳解】解：（1）∵x（x﹣3）＝x﹣3，∴x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，則（x﹣3）（x﹣1）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，解得x1＝3，x2＝1；（2）將方程整理為一般式得x2﹣4x﹣8＝0，∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣8，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣8）＝48＞0，∴x＝＝2±2，則x1＝2+2，x2＝2﹣2．【點睛】此題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．18．．【分析】根據一元二次方程的根的求解方法，找出符合的數，即可根據概率公式求解．此題是需要兩步完成的事件，所以采用列表法或樹狀圖法都比較簡單．注意此題屬于不放回實驗．【詳解】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖知共有6種等可能結果，其中是方程x2﹣2x＝0的兩根為0和2，則所抽取卡片上的數字恰好是方程x2﹣2x＝0的兩根的概率為＝．【點睛】此題考查了一元二次方程的解法與列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重不漏的列舉出所有可能發生的情況，列舉法適合于兩步完成的事件，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．19．窗戶的高度AB是2.4m．【分析】陽光可認為是一束平行光，由光的直線傳播特性可知透過窗戶后的光線BD與AE仍然平行，由此可得出一對相似三角形，由相似三角形性質可進一步求出AB的長，即窗戶的高度．【詳解】解：∵BD∥AE，∴△CBD∽△CAE，∴＝，∴＝，∴AC＝3.6，∴AB＝AC﹣BC＝2.4m，∴窗戶的高度AB是2.4m．【點睛】此題考查相似三角形性質的應用．解題的關鍵是找出相似的三角形，然后根據對應邊成比例，建立適當的數學模型來解決問題．20．5.【分析】由矩形的性質得出OC＝OB＝OD，得出∠OBC＝∠OCB，由已知條件得出OE＝DE，∠BEC＝90°，由線段垂直平分線的性質得出OC＝CD，得出△OCD為等邊三角形，因此∠OCD＝60°，由三角形的外角性質得出∠EBC＝30°，由含30°角的直角三角形的性質即可得出CE的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OC＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OC＝OB＝OD，∴∠OBC＝∠OCB，∵CE⊥BD，BE＝3ED，∴OE＝DE，∠BEC＝90°，∴OC＝CD，∴OC＝OD＝CD，∴△OCD為等邊三角形，∴∠OCD＝60°，∴∠EBC＝30°，∴CE＝BC＝×10＝5．【點睛】此題考查了矩形的性質、線段垂直平分線的性質、含30°角的直角三角形的性質、三角形的外角性質；熟練掌握矩形的性質，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關鍵．21．（1）詳見解析；（2）80．【分析】（1）根據兩邊成比例夾角相等兩三角形相似證明即可．（2）證明△BAE∽△GEB，利用＝，求出EG即可解決問題．【詳解】（1）證明：設正方形的邊長為4a．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∠A＝∠D＝90°，∵AE＝ED＝2a，DF＝a，CF＝3a，∴＝2，＝2，∴＝，∴△ABE∽△DEF．（2）解：∵△ABE∽△DEF，∴∠AEB＝∠EFD，∵∠EFD+∠DEF＝90°，∴∠AEB+∠DEF＝90°，∴∠BEF＝90°，∵AB＝8，AE＝4，∠A＝90°，∴BE＝＝＝4，∵AE∥∥BG，∴∠AEB＝∠EBG，∵∠A＝∠BEG＝90°，∴△BAE∽△GEB，∴＝，∴＝，∴EG＝8∴EG＝2，∴S△BEG＝?BE?EG＝×4×8＝80．【點睛】此題考查正方形的性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．22．（1）20%；（2）每千克應漲價5元．【分析】（1）設每次下降的百分率為x，根據相等關系列出方程，可求每次下降的百分率；（2）設漲價y元（0＜y≤8），根據總盈余＝每千克盈余×數量，可列方程，可求解．【詳解】解：（1）設每次下降的百分率為x根據題意得：50（1﹣x）2＝32解得：x1＝0.2，x2＝1.8（不合題意舍去）答：每次下降20%（2）設漲價y元（0＜y≤8）6000＝（10+y）（500﹣20y）解得：y1＝5，y2＝10（不合題意舍去）答：每千克應漲價5