專題7.2等差數列及其前n項和（真題測試）一、單選題1．（2022·全國·高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結構，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【解析】【分析】設，則可得關于的方程，求出其解后可得正確的選項.【詳解】設，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D2．（2021·北京·高考真題）《中國共產黨黨旗黨徽制作和使用的若干規定》指出，中國共產黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規格有五種.這五種規格黨旗的長(單位:cm)成等差數列，對應的寬為(單位:cm),且長與寬之比都相等，已知，，，則A．64 B．96 C．128 D．160【答案】C【解析】【分析】設等差數列公差為，求得，得到，結合黨旗長與寬之比都相等和，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，五種規格黨旗的長(單位:cm)成等差數列，設公差為，因為，，可得，可得，又由長與寬之比都相等，且，可得，所以.故選：C.3．（2020·全國·高考真題（理））北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環，向外每環依次增加9塊，下一層的第一環比上一層的最后一環多9塊，向外每環依次也增加9塊，已知每層環數相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊【答案】C【解析】【分析】第n環天石心塊數為，第一層共有n環，則是以9為首項，9為公差的等差數列，設為的前n項和，由題意可得，解方程即可得到n，進一步得到.【詳解】設第n環天石心塊數為，第一層共有n環，則是以9為首項，9為公差的等差數列，，設為的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數分別為，因為下層比中層多729塊，所以，即即，解得，所以.故選：C4．（2022·吉林·東北師大附中模擬預測（理））數列為等差數列，前項的和為，若，，則當時，的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】分析數列的單調性，計算、，即可得出結論.【詳解】因為，，則，故數列為遞增數列，因為，，且當時，，所以，當時，，所以，滿足當時，的最大值為.故選：C.5.（2022·北京·高考真題）設是公差不為0的無窮等差數列，則“為遞增數列”是“存在正整數，當時，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】設等差數列的公差為，則，利用等差數列的通項公式結合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結論.【詳解】設等差數列的公差為，則，記為不超過的最大整數.若為單調遞增數列，則，若，則當時，；若，則，由可得，取，則當時，，所以，“是遞增數列”“存在正整數，當時，”；若存在正整數，當時，，取且，，假設，令可得，且，當時，，與題設矛盾，假設不成立，則，即數列是遞增數列.所以，“是遞增數列”“存在正整數，當時，”.所以，“是遞增數列”是“存在正整數，當時，”的充分必要條件.故選：C.6．（2021·北京·高考真題）已知是各項均為整數的遞增數列，且，若，則的最大值為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】【分析】使數列首項、遞增幅度均最小，結合等差數列的通項及求和公式求得可能的最大值，然后構造數列滿足條件，即得到的最大值．【詳解】若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，不妨設數列是首項為3，公差為1的等差數列，其前n項和為，則，，所以.對于，，取數列各項為(，,則，所以n的最大值為11．故選：C．7．（2022·海南海口·二模）設公差不為0的等差數列的前n項和為，已知，則（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【解析】【分析】根據等差數列的前項和的性質及等差數列通項公式化簡可得.【詳解】因為，又，所以，所以，即，設等差數列的公差為，則，所以，又，所以，所以．故選：C.8．（2023·全國·高三專題練習）等差數列的首項為正數，其前n項和為.現有下列命題，其中是假命題的有（

）A．若有最大值，則數列的公差小于0B．若，則使的最大的n為18C．若，，則中最大D．若，，則數列中的最小項是第9項【答案】B【解析】【分析】由有最大值可判斷A；由，可得，，利用可判斷BC；，得，，可判斷D.【詳解】對于選項A，∵有最大值，∴等差數列一定有負數項，∴等差數列為遞減數列，故公差小于0，故選項A正確；對于選項B，∵，且，∴，，∴，，則使的最大的n為17，故選項B錯誤；對于選項C，∵，，∴，，故中最大，故選項C正確；對于選項D，∵，，∴，，故數列中的最小項是第9項，故選項D正確.故選：B.二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習）已知等差數列{an}的公差為d，前n項和為Sn，且，則（

）A．d＜0 B．a10＝0 C．S18＜0 D．S8＜S9【答案】BC【解析】【分析】由，得，判斷出A,B選項，再結合，判斷C選項，再根據等式性質判斷D選項【詳解】，，所以B正確又,,,所以A錯誤，故C正確,故D錯誤故選：BC10．（2022·江蘇·南京市寧海中學模擬預測）定義為數列的“優值”．已知某數列的“優值”，前n項和為，下列關于數列的描述正確的有（

）A．數列為等差數列B．數列為遞增數列C．D．，，成等差數列【答案】ABC【解析】【分析】由新定義可得，利用該遞推關系求出數列的通項公式，然后逐一核對四個選項得答案．【詳解】由已知可得，所以，所以時，，得時，，即時，，當時，由知，滿足．所以數列是首項為2，公差為1的等差數列，故A正確，B正確，所以，所以故，故C正確．，，，，，不是等差數列，故D錯誤，故選：ABC．11．（2022·江蘇·南京市江寧高級中學模擬預測）已知兩個等差數列和，其公差分別為和，其前項和分別為和，則下列說法正確的是（）A．若為等差數列，則 B．若為等差數列，則C．若為等差數列，則 D．若，則也為等差數列，且公差為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，利用化簡可得答案；對于B，利用化簡可得答案；對于C，利用化簡可得答案；對于D，根據可得答案.【詳解】對于A，因為為等差數列，所以，即，所以，化簡得，所以，故A正確；對于B，因為為等差數列，所以，所以，所以，故B正確；對于C，因為為等差數列，所以，所以，化簡得，所以或，故C不正確；對于D，因為，且，所以，所以，所以，所以也為等差數列，且公差為，故D正確.故選：ABD12．（2022·福建南平·三模）如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點，其中且.記，如記為，記為，記為，以此類推；設數列的前項和為.則（

）A． B． C．D．【答案】ABD【解析】【分析】由圖觀察可知第圈的個點對應的這項的和為0，則，同時第圈的最后一個點對應坐標為，設在第圈，則圈共有個數，可判斷前圈共有個數，所在點的坐標為，向前推導，則可判斷A，B選項；當時，所在點的坐標為，即可判斷C選項；借助與圖可知，即項之和，對應點的坐標為，，…，，即可求解判斷D選項.【詳解】由題，第一圈從點到點共8個點，由對稱性可知；第二圈從點到點共16個點，由對稱性可知，即，以此類推，可得第圈的個點對應的這項的和為0，即，設在第圈，則，由此可知前圈共有個數，故，則，所在點的坐標為，則，所在點的坐標為，則，所在點的坐標為，則，故A正確；，故B正確；所在點的坐標為，則，所在點的坐標為，則，故C錯誤；，對應點的坐標為，，…，，所以，故D正確.故選：ABD三、填空題13．（2019·全國·高考真題（理））記Sn為等差數列{an}的前n項和，，則___________.【答案】4.【解析】【分析】根據已知求出和的關系，再結合等差數列前n項和公式求得結果.【詳解】因，所以，即，所以．14．（2019·江蘇·高考真題）已知數列是等差數列，是其前n項和.若，則的值是_____.【答案】16.【解析】【分析】由題意首先求得首項和公差，然后求解前8項和即可.【詳解】由題意可得：，解得：，則.15．（2021·福建省華安縣第一中學高三期中）已知數列的前n項和為，，（），則的值為________，的值為________.【答案】

99

4950【解析】【分析】利用數列的遞推關系可知數列的奇數項是首項為，公差為2的等差數列，偶數項是首項為，公差為2的等差數列，利用等差數列的通項公式和前項和公式即可求解.【詳解】將代入得，由①得②，②①得，所以數列的奇數項、偶數項都是以2為公差的等差數列，，

，故答案為：99;

4950.16．（2020·海南·高考真題）將數列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數列{an}，則{an}的前n項和為________．【答案】【解析】【分析】首先判斷出數列與項的特征，從而判斷出兩個數列公共項所構成新數列的首項以及公差，利用等差數列的求和公式求得結果.【詳解】因為數列是以1為首項，以2為公差的等差數列，數列是以1首項，以3為公差的等差數列，所以這兩個數列的公共項所構成的新數列是以1為首項，以6為公差的等差數列，所以的前項和為，故答案為：.四、解答題17．（2023·全國·高三專題練習）已知數列中，，當時，.求證：數列是等差數列.【答案】證明見解析【解析】【分析】利用定義法證明出數列是等差數列.【詳解】當時，，因，顯然，否則，由此可得，矛盾，兩邊同時除以，得，而=1，所以數列是以1為首項，1為公差的等差數列.18．（2019·北京·高考真題（文））設{}是等差數列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數列．（Ⅰ）求{}的通項公式；（Ⅱ）記{}的前n項和為Sn，求Sn的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】(Ⅰ)由題意首先求得數列的公差，然后利用等差數列通項公式可得的通項公式；(Ⅱ)首先求得的表達式，然后結合二次函數的性質可得其最小值.【詳解】（Ⅰ）設等差數列的公差為，因為成等比數列，所以，即，解得，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,所以；當或者時，取到最小值.19．（2016·全國·高考真題（文））等差數列{}中，.（Ⅰ）求{}的通項公式；（Ⅱ）設，求數列的前10項和，其中表示不超過的最大整數，如[0.9]=0,[2.6]=2.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）24.【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據等差數列的通項公式及已知條件求，，從而求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）求，再求數列的前10項和.試題解析：（Ⅰ）設數列的公差為d，由題意有.解得.所以的通項公式為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.當n=1,2,3時，；當n=4,5時，；當n=6,7,8時，；當n=9,10時，.所以數列的前10項和為.20．（2022·全國·高考真題）記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．(1)求的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析【解析】【分析】（1）利用等差數列的通項公式求得，得到，利用和與項的關系得到當時，,進而得：，利用累乘法求得，檢驗對于也成立，得到的通項公式；（2）由（1）的結論，利用裂項求和法得到，進而證得.(1)∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數列，∴,∴,∴當時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；(2)∴21．（2022·安徽·合肥一中模擬預測（文））已知，數列的前n項和為，點在曲線上（）且，.(1)求數列的通項公式；(2)數列的前n項和為，且滿足，確定的值使得數列是等差數列.【答案】(1)(2)1【解析】【分析】（1）根據點在曲線上（），得到，即，利用等差數列的定義求解；（2）由（1）化簡得到，利用等差數列的定義得到，再利用數列通項與前n項和的關系求解.(1)解：因為，且點在曲線上（），所以，即，所以是以1為首項，以4為公差的等差數列，所以，即；(2)由（1）知：，即為，整理得：，所以數列是以為首項，以1為公差的等差數列，則，即，當時，，若是等差數列，則適合上式，令，得，解得.22．（2021·全國·高考真題）已知數列滿足，（1）記，寫出，，并求數列的通項公式；（2）求的前20項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)方法一：由題意結合遞推關系式確定數列的特征，然后求和其通項公式即可；(2)方法二：分組求和，結合等差數列前項和公式即可求得數列的前20項和.【詳解】解：（1）[方法一]【最優解】：顯然為偶數，則，所以，即，且，所以是以2為首項，3為公差的等差數列，于是．[方法二]：奇偶分類討論由題意知，所以．由（為奇數）及（為偶數）可知，數列從第一項起，若為奇數，則其后一項減去該項的差為1，若為偶數，則其后一項減去該項的差為2．所以，則．[方法三]：累加法由題意知數列滿足．所以，，則．所以，數列的通項公式．（2）[方法一]：奇偶分類討