專題18空間幾何題綜合問題（選填題）（體積、面積、角度、距離、軌跡等）空間幾何壓軸題（選填題）主要考查動態軌跡問題和幾何體的相關量的計算（含最值）兩個方面。空間中軌跡問題的解答思路：（1）根據已知條件確定和待求點相關的平行、垂直等關系；（2）用動點的坐標、、z表示相關點的坐標、、，然后代入點的坐標所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點的軌跡方程；（3）根據軌跡形狀即可求解出軌跡的長度等其他量。空間幾何相關最值問題，一般采用轉化的方法來進行，即將側面展開化為平面圖形，即“化折為直”或“化曲為直”來解決，要熟練掌握多面體與旋轉體的側面展開圖的形狀；對于幾何體內部的折線的最值，可采用轉化法，轉化為兩點間的距離，結合勾股定理求解．空間中動線段的距離和的最值問題，可以類比平面中的距離和的最值處理利用對稱性來處理于轉化，另外異面直線間的公垂線段的長度可利用點到平面的距離來處理。一、熱點題型歸納題型1.空間軌跡模型1：根據線線、線面位置關系定軌跡題型2.空間軌跡模型2：根據角度確定軌跡題型3.空間軌跡模型3：根據定長或等長確實軌跡題型4.空間軌跡模型4：翻折中軌跡問題題型5.計算問題1：線線、線面、面面角題型6.計算問題2：體積、面積、周長、距離題型7.計算問題3：體積、面積的最值題型8.計算問題4：距離、周長的最值題型9.計算問題5：線段最值或范圍題型10.計算問題6:截面問題二、最新模考題組練三、十年高考真題練【題型1】空間軌跡模型1：根據線線、線面位置關系定軌跡【解題技巧】平行類：1）線面平行轉化為面面平行得軌跡；2）平行時可利用法向量垂直關系求軌跡垂直類：1）可利用線線線面垂直，轉化為面面垂直，得交線求軌跡；2）利用空間坐標運算求軌跡；3）利用垂直關系轉化為平行關系求軌跡【典例分析】1．（2022·廣東·高三聯考）已知棱長為1的正方體，是的中點，動點在正方體內部或表面上，且平面，則動點的軌跡所形成區域的面積是（）A． B． C． D．2．（2022·成都市高三模擬預測）正方體棱長為3，點E在邊BC上，且滿足BE＝2EC，動點M在正方體表面上運動，并且總保持，則動點M的軌跡的周長為__.【變式演練】1.（2022·湖北·高三期中）如圖，在棱長為1的正方體，點，分別是棱，的中點，是側面內一點（含邊界），若平面，點的軌跡長度為________，三棱錐的體積為________．2.（2022·浙江·高三模擬預測）如圖，在棱長為的正方體中，為棱的中點，與相交于點，是底面內（含邊界）的動點，總有，則動點的軌跡的長度為（）A．B．C．D．3.（2022·廣西·高三模擬預測）《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．在如圖所示的鱉臑中，平面，，，，為的中點，為內的動點(含邊界)，且．當在上時，____，點的軌跡的長度為____．【題型2】空間軌跡模型2：根據角度確定軌跡【解題技巧】1）直線與面成定角，可能是圓錐側面；2）直線與定直線成等角，可能是圓錐側面；3）利用空間坐標系計算求軌跡【典例分析】1.如圖，AB是平面的斜線段，A為斜足，點C滿足，且在平面內運動，則有以下幾個命題：①當時，點C的軌跡是拋物線；②當時，點C的軌跡是一條直線；③當時，點C的軌跡是圓；④當時，點C的軌跡是橢圓；⑤當時，點C的軌跡是雙曲線.其中正確的命題是_____.（將所有正確的命題序號填到橫線上）2.正方體中，，分別為，的中點，是邊上的一個點（包括端點），是平面上一動點，滿足直線與直線夾角與直線與直線的夾角相等，則點所在軌跡為（）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．拋物線或雙曲線【變式演練】1.如圖所示，為長方體，且AB=BC=2，=4，點P為平面上一動點，若，則P點的軌跡為（）A．拋物線 B．橢圓 C．雙曲線 D．圓2.如圖，在直三棱柱中，已知是邊長為1的等邊三角形，，，分別在側面和側面內運動（含邊界），且滿足直線與平面所成的角為30°，點在平面上的射影在內（含邊界）．令直線與平面所成的角為，則的最大值為（）A． B． C． D．【題型3】空間軌跡模型3：根據定長或等長確實軌跡【解題技巧】1）距離，可轉化為在一個平面內的距離關系，借助于圓錐曲線定義或者球和圓的定義等知識求解軌跡；2）利用空間坐標計算求軌跡。【典例分析】1．（2022·江西·模擬預測（理））已知正方體的棱長為3，點P在的內部及其邊界上運動，且，則點P的軌跡長度為(

)A． B． C． D．2．（2022·山東聊城·三模）（多選題）在直四棱柱中，所有棱長均2，，P為的中點，點Q在四邊形內（包括邊界）運動，下列結論中正確的是（

）A．當點Q在線段上運動時，四面體的體積為定值B．若平面，則AQ的最小值為C．若的外心為M，則為定值2D．若，則點Q的軌跡長度為【變式演練】1.已知三棱錐的外接球的半徑為，為等腰直角三角形，若頂點到底面的距離為4，且三棱錐的體積為，則滿足上述條件的頂點的軌跡長度是______．2．（2022·廣東·佛山市模擬預測）如圖，若正方體的棱長為1，點M是正方體的側面上的一個動點（含邊界），P是棱的中點，則下列結論正確的是（

）A．沿正方體的表面從點A到點P的最短路程為B．若保持，則點M在側面內運動路徑的長度為C．三棱錐的體積最大值為D．若M在平面內運動，且，點M的軌跡為拋物線【題型4】空間軌跡模型4：翻折中軌跡問題【解題技巧】1）翻折過程中尋找不變的垂直的關系求軌跡；2）翻折過程中尋找不變的長度關系求軌跡；3）可以利用空間坐標運算求軌跡【典例分析】1．（2022·江西萍鄉·三模（理））如圖，在正方形中，點是邊的中點，將沿翻折到，連接，在翻折到的過程中，下列說法正確的是_________．（將正確說法的序號都寫上）

①點的軌跡為圓弧；②存在某一翻折位置，使得；③棱的中點為，則的長為定值；2.（2022.成都市高三模擬）已知菱形ABCD的邊長為2，.將菱形沿對角線AC折疊成大小為60°的二面角.設E為的中點，F為三棱錐表面上動點，且總滿足，則點F軌跡的長度為________.【變式演練】1.（2022.山西高三一模）已知△ABC的邊長都為2，在邊AB上任取一點D，沿CD將△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD．在平面BCD內過點B作BP⊥平面ACD，垂足為P，那么隨著點D的變化，點P的軌跡長度為（）A． B． C． D．π2.（2022.浙江高三二模）如圖，等腰梯形中，，，，，沿著把折起至，使在平面上的射影恰好落在上．當邊長變化時，點的軌跡長度為（）A． B． C． D．【題型5】計算問題1（線線、線面、面面角）【解題技巧】1）平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移；（2）定（證明）；（3）計算；（4）取舍．2）計算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內的射影，即可確定線面角；（2）在構成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求解，設為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.3）計算二面角，常用方法：（1）向量法：二面角的大小為(),（2）定義法：在棱上任一點，分別在兩個半平面內做棱的垂線，兩垂線所成的角即為二面角的平面角；（3）垂面法：做與棱垂直的平面，交二面角兩個半平面，兩條交線所成的角即為二面角的平面角。若涉及最值和范圍的話需要加入函數或均值處理數據即可。【典例分析】1．（2022·山東·高三專題練習）如圖，在直三棱柱中，已知是邊長為1的等邊三角形，，，分別在側面和側面內運動（含邊界），且滿足直線與平面所成的角為30°，點在平面上的射影在內（含邊界）．令直線與平面所成的角為，則的最大值為（

）A． B． C． D．2．（2022·海南高三階段練習）如圖，菱形邊長為，，為邊的中點，將沿折起，使到，且平面平面，連接、，則下列結論中正確的是（

）A．平面面B．三棱錐外接球的表面積為C．二面角的余弦值為D．若在線段上，則異面直線與所成角的范圍是【變式演練】1.（2022·重慶·高三專題練習）在三棱臺中，底面BCD，，，．若A是BD中點，點P在側面內，則直線與AP夾角的正弦值的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江臺州·高三期末）已知在正方體中，點為棱的中點，直線在平面內．若二面角的平面角為，則的最小值為（

）A．B．C．D．3．（2022·江蘇·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，，分別為棱的中點，記直線與平面所成角為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【題型6】計算問題2（體積、面積、周長、距離）【解題技巧】1）等體積轉化法一般情況下是三棱錐才有的特性。2）盡可能尋找在表面的三個點3）利用好“同底等高”和“同底比例高”。4）大多數情況下，可以把不規則幾何體分割為三棱錐+四棱錐5）多從四棱錐底面對角線或者幾何體表面四邊形對角線處尋找分割的“刀口”6）直接求體積，大多數是難度較大。7）利用等體積轉化（或者不等體積轉化），或尋找合適的底面和平行高轉化。【典例分析】1．（2022·浙江高三階段練習）我國古代數學名著《九章算術》中記載的“芻?”指底面為矩形.頂部只有一條棱的五面體.如圖，五面體是一個“芻?”，其中是正三角形，，，則該五面體的體積為（

）A． B． C． D．2.（2022.陜西高三一模）所有的頂點都在兩個平行平面內的多面體叫做擬柱體，這兩個平行的面稱為上下底面，它們之間的距離稱為擬柱體的高．生產實際中，我們經常看到黃沙、碎石、灰肥等堆積成上下底面平行，且都是矩形的形狀，這種近似于棱臺的形體就是一種特殊的擬柱體（如圖所示），已知其高為h，上底面、下底面和中截面（經過高的中點且平行于底面的截面）面積分別為，和，請你用，，，h表示出這種擬柱體的體積V＝______．3．（2022·山東·高三專題練習）在棱長為1的正方體中，點為線段上的動點（包含線段的端點），點，分別為線段，的中點，則下列說法正確的是（

）A．當時，點，，，四點共面B．異面直線與的距離為C．三棱錐的體積為定值D．不存在點，使得【變式演練】1．（2022·江蘇·高三專題練習）祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.即：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．有一個球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的直徑為8，高為2，利用祖暅原理可求得該球形瓷碗的體積為______．2．（2022·浙江·高三期中）在正三棱柱中，，點P滿足，其中，，則（

）A．當時，的周長為定值B．當時，三棱錐的體積為定值C．當時，有且僅有一個點P，使得D．當時，有且僅有一個點P，使得平面【題型7】計算問題3（體積、面積的最值）【典例分析】1．（2022·江西·高三專題練習）在中，，點分別在邊上移動，且，沿將折起來得到棱錐，則該棱錐的體積的最大值是（

）A． B． C． D．2．（2022·重慶·高三專題練習）已知某正四棱錐的體積是，該幾何體的表面積最小值是，我們在繪畫該表面積最小的幾何體的直觀圖時所畫的底面積大小是，則和的值分別是（

）A．3； B．4； C．4； D．3；【變式演練】1．（2022·浙江·高三階段練習）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，，為的中點.過作截面將此四棱錐分成上?下兩部分，記上?下兩部分的體積分別為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2022·廣西·高三專題練習）定義：若，，，為球面上四點，，分別是，的中點，則把以為直徑的球稱為，的“伴隨球”已知，，，是半徑為的球面上四點，，則，的“伴隨球”的直徑取值范圍為______；若，，，不共面，則四面體體積的最大值為______．【題型8】計算問題4（距離、周長的最值）【典例分析】1．（2022·內江高三期中（理））已知四面體的所有棱長均為，分別為棱的中點，為棱上異于的動點．有下列結論：①線段的長度為；

②點到面的距離范圍為；③周長的最小值為；

④的余弦值的取值范圍為．其中正確結論的個數為（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇·高三專題練習）在棱長為2的正方體中，點是對角線上的點（點與不重合），有以下四個結論：①存在點，使得平面平面；②存在點，使得平面；③若的周長為L，則L的最小值為；④若的面積為，則．則正確的結論為（

）A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④【變式演練】1．（2022·河南·模擬預測（文））已知四面體的所有棱長均為，、分別為棱、的中點，為棱上異于、的動點．有下列結論：①線段的長度為；②存在點，滿足平面；③的余弦值的取值范圍為；④周長的最小值為．其中所有正確結論的編號為（

）A．①③ B．①④ C．①②④ D．②③④2．（2022·山西·模擬預測（理））如圖，在直三棱柱中，，點E，F分別是上的動點，當的長度最小時，三棱錐外接球球面上的點到平面的距離的最大值為___________．3．（2022·北京·人大附中模擬預測）已知正方體為對角線上一點（不與點重合），過點作垂直于直線的平面，平面與正方體表面相交形成的多邊形記為，下列結論不正確的是（

）A．只可能為三角形或六邊形B．平面與平面的夾角為定值C．當且僅當為對角線中點時，的周長最大D．當且僅當為對角線中點時，的面積最大【題型9】動態問題（長度、距離）【典例分析】1．（2022·黑龍江·哈師大附中高二開學考試）已知正方體的棱長為分別是棱的中點，動點在正方形（包括邊界）內運動，若面，則線段的長度范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·河南·信陽高中高一期末）我們把底面是正三角形，頂點在底面的射影是正三角形中心的三棱錐稱為正三棱錐.現有一正三棱錐放置在平而上，已知它的底面邊長為2，高，該正三棱錐繞邊在平面上轉動（翻轉），某個時刻它在平面上的射影是等腰直角三角形，則的取值范圍是（

）A.B．C．D．【變式演練】1．（2022·重慶·西南大學附中高一期末）已知正方體的棱長為1，E為中點，F為棱CD上異于端點的動點，若平面BEF截該正方體所得的截面為四邊形，則線段CF的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高三專題練習）如圖，正方體的棱長為，點為棱上一點，點在底面上，且，點為線段的中點，則線段長度的最小值是（

）A． B． C．2 D．61．（2022·天津市西青區楊柳青第一中學高一期末）如圖，矩形中，，為邊的中點.將沿直線翻折成（平面）.若在線段上（點與，不重合），則在翻折過程中，給出下列判斷：①當為線段中點時，為定值；②存在某個位置，使；③當四棱錐體積最大時，點到平面的距離為；④當二面角的大小為時，異面直線與所成角的余弦值為.其中判斷正確的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·四川省內江市第六中學模擬預測（理））如圖，正方形的邊長為為的中點，將沿向上翻折到，連接，在翻折過程中，下列說法中正確的是（

）①四棱錐的體積最大值為②．中點的軌跡長度為③與平面所成角的正弦值之比為④三棱錐的外接球半徑有最小值，沒有最大值A．①③ B．②③ C．①③④ D．①②③3.（吉林省梅河口市第五中學20212022上學期第一次月考）在棱長為1的正方體中，，分別為，的中點，為底面的中心，點在正方體的表面上運動，且滿足，則下列說法正確的是（）A．點可以是棱的中點 B．線段的最大值為C．點的軌跡是平行四邊形 D．點軌跡的長度為4.（湖南省永州市20212022學年高三上學期第一次適應性考試）已知在三棱錐中，為線段的中點，點在(含邊界位置)內，則滿足平面的點的軌跡為（）A．線段，的中點連接而成的線段B．線段的中點與線段靠近點的三等分點連接而成的線段C．線段的中點與線段靠近點的三等分點連接而成的線段D．線段靠近點的三等分點與線段靠近點的三等分點連接而成的線段5.（遼寧省實驗中學20212022學年上學期聯考）已知正六棱柱的棱長均為，點在棱上運動，點在底面內運動，，為的中點，則動點的軌跡與正六棱柱的側面和底面圍成的較小部分的體積為（）A． B． C． D．6．（2022·河南安陽·模擬預測（文））已知球O的體積為，高為1的圓錐內接于球O，經過圓錐頂點的平面截球O和圓錐所得的截面面積分別為，若，則（

）A．2 B． C． D．7．（2022·江西萍鄉·三模（文））正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點，F在側面上運動，且滿足平面.以下命題中，正確的個數為（

）①側面上存在點，使得；②直線與直線所成角可能為30°；③設正方體棱長為1，則過點E，F，A的平面截正方體所得的截面面積最大為.A．0 B．1 C．2 D．38．（2022·全國·高三專題練習（文））已知長方體中，，M為的中點，N為的中點，過的平面與DM，都平行，則平面截長方體所得截面的面積為（

）A． B． C． D．9．（2022·陜西·交大附中模擬預測（理））在矩形中，，，沿對角線將矩形折成一個大小為的二面角，若，則下列結論中正確結論的個數為（

）①四面體外接球的表面積為②點與點之間的距離為③四面體的體積為④異面直線與所成的角為A． B． C． D．10．（2022·山東·德州市教育科學研究院三模）（多選題）如圖，在正三棱柱中，，，P為線段上的動點，且，則（

）A．存在，使得B．當時，三棱錐的外接球表面積為C．當時，異面直線和所成角的余弦值為D．過且與直線AB和直線所成角都是的直線有三條11.（廣東省六校2022屆高三上學期第三次聯考數學試題）（多選題）如圖的正方體中，棱長為2，點是棱的中點，點在正方體表面上運動.以下命題正確的有（）A．側面上不存在點，使得B．點到面的距離與點到面的距離之比為C．若點滿足平面，則動點的軌跡長度為D．若點到點的距離為，則動點的軌跡長度為12．（2022·全國·高三專題練習）斜線與平面成15°角，斜足為，為在內的射影，為的中點，是內過點的動直線，若上存在點，使，則則的最大值是_______，此時二面角平面角的正弦值是_______13．（2022·重慶八中模擬預測）過正方體的頂點A作直線l，使得l與直線，所成的角均為，若這樣的直線l恰有兩條，則的取值范圍為___________.14．（2022·江西·高三期中（理））如圖，正方體的棱長為1，E，F分別是棱，的中點，過點E，F的平面分別與棱，交于點G，H，給出以下四個命題：①平面EGFH與平面ABCD所成角的最大值為45°；②四邊形EGFH的面積的最小值為1；③四棱錐的體積為定值；④點到平面EGFH的距離的最大值為．其中正確的命題是______．（填序號）15．（2022·全國·高三專題練習）如圖所示，在直三棱柱中，棱柱的側面均為矩形，，，，P是上的一動點，則的最小值為_____.16．（2022·浙江·模擬預測）在棱長為的正方體中，P為側面內的動點，且直線與的夾角為30°，則點P的軌跡長為_____；若點與動點P均在球O表面上，球O的表面積為_____．17．（2022·江蘇無錫·高三期末）正四面體的棱長為，在平面內有一動點，且滿足，則點的軌跡是__________；設直線與直線所成的角為，則的取值范圍為__________.18．（2022·湖南師大附中三模）已知棱長為的正四面體，為的中點，動點滿足，平面經過點，且平面平面，則平面截點的軌跡所形成的圖形的周長為_________.19．（2022·北京·高三專題練習）如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，點O為底面ABCD的中心，點P在側面BB1C1C的邊界及其內部運動.給出下列四個結論：①D1O⊥AC；②存在一點P，D1O∥B1P；③若D1O⊥OP，則