高二下學期期末測試卷（二）范圍：選修二~選修三說明：1．本試題共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘。2．答題前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、試室號、座位號填寫在答題卷上。3.答題必須使用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷上各題目指定區域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。4．考生必須保持答題卷整潔，考試結束后，將答題卷交回，試卷自己保存。第I卷(選擇題共60分)單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1．（2023春·廣東湛江·高二統考期末）中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還.”其大意為：“有一個人走了里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了天后到達目的地.”則此人第天走了（

）A．里 B．里 C．里 D．里【答案】D【分析】由題意可知，每天走的里數構成以為公比的等比數列，由求出首項，再由等比數列通項公式可求得結果【詳解】解：記每天走的路程里數為，可知是以公比的等比數列，因為，所以，解得，所以，故選：D【點睛】此題考查函數模型的選擇及等比數列的通項公式、等比數列的前項和公式的應用2．（2023秋·廣東廣州·高三廣州市禺山高級中學?？茧A段練習）某科技公司聯歡會進行抽獎活動，袋中裝有標號為1，2，3的大小、質地完全相同的3個小球，每次從袋中隨機摸出1個球，記下它的號碼，放回袋中，這樣連續摸三次.規定“三次記下的號碼都是2”為一等獎.已知小張摸球“三次記下的號碼之和是6”，此時小張能得一等獎的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據古典概型公式，結合條件概率公式進行求解即可.【詳解】因為所有基本事件的個數為，三次抽到的號碼之和為6，包括3次號碼都不一樣，分別是1，2，3，基本事件的個數為；號碼都一樣全是2，基本事件的個數為1，故事件包含的基本事件的個數為，事件包含的基本事件的個數為1，事件包含的基本事件個數為1，所以，，由條件概率公式可得，故選：C．3．（2023春·廣東湛江·高二校考階段練習）定義在R上的可導函數的導函數的圖象如圖所示，以下結論錯誤的是（

）A．是的一個極小值點B．和都是的極大值點C．的單調遞增區間是D．的單調遞減區間是【答案】B【分析】根據導函數的圖象和極值點的定義逐個分析判斷即可【詳解】對于A，由圖象可知，當時，，當時，，所以是的一個極小值點，所以A正確，對于B，由圖可知，當時，，所以在上單調遞增，所以和不是的極值點，所以B錯誤，對于C，當時，，所以的單調遞增區間是，所以C正確，對于D，當時，，所以的單調遞減區間是，所以D正確，故選：B4．（2023春·廣東廣州·高二執信中學校考期中）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知a，b，c成等差數列，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理，以及等差中項的性質得到的關系，然后代入余弦定理中求解.【詳解】因為，故可得，又因為a，b，c成等差數列，即，故可得，由余弦定理可得，故選：A.5．（2023秋·廣東揭陽·高三?？茧A段練習）對任意的，當時，恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將不等式等價變形，構造函數，再借助函數單調性、最值求解作答.【詳解】依題意，，令，，則對任意的，當時，，即有函數在上單調遞減，因此，，，而，則，所以實數的取值范圍是.故選：C6．（2023春·廣東深圳·高二深圳市建文外國語學校?？计谥校┒検降恼归_式中含項的系數是（

）A． B． C． D．15【答案】B【分析】求出二項式的展開式的通項公式，再由x的冪指數為2確定項數，進行計算作答.【詳解】二項式的展開式的通項公式為：，當，即時，，所以展開式中含項的系數是60.故選：B7．（2023秋·廣東佛山·高二大瀝高中?？茧A段練習）某大街在甲、乙、丙三處設有紅綠燈，汽車在這三處遇到綠燈的概率分別是，則汽車在這三處共遇到兩次綠燈的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把汽車在三處遇兩次綠燈的事件M分拆成三個互斥事件的和，再利用互斥事件、對立事件、相互獨立事件的概率公式計算得解.【詳解】汽車在甲、乙、丙三處遇綠燈的事件分別記為A，B，C，則，汽車在三處遇兩次綠燈的事件M，則，且，，互斥，而事件A，B，C相互獨立，則，所以汽車在這三處共遇到兩次綠燈的概率為.故選：D8．（2023秋·廣東清遠·高二統考期末）已知數列{an}的前n項和為，且滿足，若存在實數λ，使不等式對任意n∈N*恒成立，則λ的最大值為（

）A．24 B．18 C． D．【答案】A【分析】先通過遞推公式求出的通項公式，再通過與的關系求出的通項公式，代入不等式即可表達出關于的表達式，再利用作差法即可求出的最大值.【詳解】因為，所以．因為，所以{}是首項為1，公差為1的等差數列，所以，所以，所以（n=1也滿足）．因為，所以，即．令，==，所以，所以，故λ的最大值為．故選：A.二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．（2023春·廣東佛山·高二佛山市第四中學?？计谀┫铝忻}中，正確的命題的序號為（

）A．已知隨機變量服從二項分布，若，則B．將一組數據中的每個數據都加上同一個常數后，方差恒不變C．設隨機變量服從正態分布，若，則D．某人在10次射擊中，擊中目標的次數為，則當時概率最大【答案】BCD【分析】由二項分布的均值與方差公式計算判斷選項A，由方差的性質判斷選項B，由正態分布的對稱性判斷選項C，由二項分布的概率公式列不等式組求解后判斷選項D．【詳解】對于A，，解得，A錯誤；對于B，方差反映的是數據與均值的偏移程度，因此每個數據都加上同一個常數后，每個新數據與新均值的偏移不變，方差恒不變，B正確；對于C，服從正態分布，，C正確；對于D，，則，由，解得，所以．D正確．故選：BCD．10．（2023春·廣東佛山·高二佛山市第四中學校考期末）近期,某市疫情爆發，全國各地紛紛派出醫護人員馳援該市.某醫院派出甲、乙、丙、丁四名醫生奔赴該市的A、B、C、D四個區參加防疫工作，下列選項正確的是（

）A．若四個區都有人去，則共有24種不同的安排方法.B．若恰有一個區無人去，則共有144種不同的安排方法.C．若甲不去A區,乙不去B區，且每區均有人去，則共有18種不同的安排方法.D．若該醫院又計劃向這四個區捐贈18箱防護服(每箱防護服均相同)，且每區至少發放3箱，則共有84種不同的安排方法.【答案】ABD【分析】對于A，直接用全排列公式求解即可；對于B，先選一個區無人去，然后將四名醫生分成3組，再全排，最后用分步乘法計數原理求解即可；對于C，使用間接法求解即可得解；對于D，使用隔板法求解可得結果.【詳解】對于A，若四個區都有人去，則共有24種不同的安排方法.故A正確；對于B，若恰有一個區無人去，則共有種不同的安排方法.故B正確；對于C，若甲不去A區,乙不去B區，且每區均有人去，則共有種不同的安排方法.故C不正確；對于D，若該醫院又計劃向這四個區捐贈18箱防護服(每箱防護服均相同)，且每區至少發放3箱，先每個區發2箱，然后使用3塊隔板將剩下的10箱隔成4份，且隔板不相鄰、不在兩端，則共有種不同的安排方法.故D正確.故選：ABD.11．（2023·廣東深圳·?？级＃┮阎瘮档膱D象關于直線對稱，那么（

）A．函數為奇函數B．函數在上單調遞增C．若，則的最小值為D．函數的圖象向右平移個單位長度得到的圖象，則的最大值為【答案】ACD【分析】根據題意求得，得到，利用三角函數圖象變換，以及三角函數的圖象與性質，結合利用導數求得函數的單調性與最值，逐項判定，即可求解.【詳解】由函數的圖象關于直線對稱，可得，所以，所以，對于A中，由為奇函數，所以A正確；對于B中，由，可得，當時，即，函數單調遞減；當時，即，函數單調遞增，所以在上不是單調函數，所以B錯誤；對于C中，若，則和中，其中一個為最大值，另一個為最小值，則的最小值為半個周期，即，所以C正確；對于D中，把函數的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，則，令，可得，則，令，求得，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，且，可得，所以的最大值為，所以D正確.故選：ACD.12．（2023春·廣東惠州·高二博師高中?？茧A段練習）已知函數，下列說法正確的有（）A．曲線在處的切線方程為B．的單調遞減區間為C．的極大值為D．方程有兩個不同的解【答案】ABC【分析】對于A，利用導數的幾何意義求解即可，對于B，對函數求導后，由導數小于零可求得結果，對于C，求導后求出函數的單調區間，從而可求出函數的極大值，對于D，畫出的圖象，利用圖象求解.【詳解】因為，，所以，對于A，，則在處的切線方程為，所以A正確；對于B，令，解得，所以的單調遞減區間為，所以B正確；對于C，令，得，令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以的極大值為，所以C正確；對于D，由D的解析知在上單調遞增，在上單調遞減，且，當時，，當時，，所以畫出的圖象，如圖，方程解的個數，即的圖象與的交點個數，由圖知只有一個解，所以D錯誤．故選：ABC．第Ⅱ卷(非選擇題共90分)三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．（2023·廣東揭陽·統考）某射擊運動員在練習射擊中，每次射擊命中目標的概率是，則這名運動員在10次射擊中，至少有9次命中的概率是___________．（記，結果用含的代數式表示）【答案】【詳解】試題分析：這名運動員在10次射擊中，至少有9次命中的概率是．考點：二項分布．14．（2023·廣東廣州·統考模擬預測）已知函數，則曲線在點處的切線方程為__________.【答案】【分析】根據題意，求導可得，再由直線的點斜式即可得到結果.【詳解】由題意可得，，則，由直線的點斜式可得，化簡可得.故答案為:15．（2023春·廣東佛山·高二?？茧A段練習）已知數列的前項和為，且，設函數，則___________，___________.【答案】/【分析】根據，作差即可求出的通項公式，再由的解析式及誘導公式得到，再利用倒序相加法求和.【詳解】解：由于，①，當時，所以，當時，，②，①②得：，所以，顯然時也成立，當時，，當時也成立，所以；根據函數，所以，，所以；所以．故答案為：；16．（2023·廣東·統考模擬預測）已知隨機變量，若，則的最小值為___________.【答案】9【分析】由正態分布知識可得，，展開后由均值不等式可得到結果.【詳解】依題意，由正態分布知識可得，，當且僅當且即時等號成立.所以的最小值為9.故答案為：9.四、解答題（本題共6個小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（2023·廣東·高三專題練習）已知數列滿足，.(1)證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；(2)若，數列的前項和，求證：.【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析【分析】（1）根據遞推公式證明為定制，即可證明數列為等比數列，再根據等比數列得通項即可得解；（2）由，得，則，則，再利用裂項相消法求出數列的前項和，即可得證.【詳解】（1）因為，所以，則，又，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，則，所以；（2）由，得，則，所以，所以，所以，因為，所以，所以.18．（2023春·廣東韶關·高二?？茧A段練習）已知等差數列的前n項和為，若，.(1)求數列的通項公式；(2)求的最大值及取得最大值時n的值.【答案】(1)(2)當或，取最大值，最大值為30【分析】（1）由條件結合等差數列的通項公式列關于和的方程，解方程求，再求通項公式即可；（2）方法一：求出的表達式，結合二次函數的性質，即可求得結果.方法二：解方程，再解不等式，，由此確定使得最大時的值，再由求和公式求其最大值.【詳解】（1）設等差數列的公差為d，因為，，所以，解得，所以；（2）方法一：因為，，所以當或時取得最大值，最大值為30.方法二：當時，，當時，，當時，，所以當或時取得最大值，又所以最大值為30.19．（2023·廣東珠?！じ呷Ｂ摽茧A段練習）2023年是中國共產主義青年團成立100周年，某市團委決定舉辦一次共青團史知識擂臺賽．該市A縣團委為此舉辦了一場選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加決賽，決賽通過后將代表A縣參加市賽．已知A縣甲、乙、丙3位選手都參加初賽且通過初賽的概率均為，通過初賽后再通過決賽的概率依次為，，，假設他們之間通過與否互不影響．(1)求這3人中至少有1人通過初賽的概率；(2)設這3人中參加市賽的人數為，求的分布列；(3)某品牌商贊助了A縣的這次共青團史知識擂臺賽，提供了兩種獎勵方案：方案1：參加了選拔賽的選手都可參與抽獎，每人抽獎1次，每次中獎的概率均為，且每次抽獎互不影響，中獎一次獎1000元；方案2：參加了選拔賽未進市賽的選手一律獎600元，進入了市賽的選手獎1200元．若品牌商希望給予選手更多的獎勵，試從三人獎金總額的數學期望的角度分析，品牌商選擇哪種方案更好．【答案】(1)(2)分布列見解析(3)品牌商選擇方案2更好【分析】（1）利用對立事件以及相互獨立事件的概率公式進行求解.（2）利用互斥事件、相互獨立事件的概率公式以及離散型隨機變量分布列的寫法求解.（3）利用二項分布以及離散型隨機變量分布列的期望計算進行比較.【詳解】（1）3人都沒通過初賽的概率為，所以這三人中至少有1人通過初賽的概率．（2）依題意可能取值為0，1，2，3．設事件A表示“甲參加市賽”，事件B表示“乙參加市賽”，事件C表示“丙參加市賽”，則，則，，，，所以的分布列為：0123P（3）方案1：設三人中獎人數為X，所獲獎金總額為Y元，則，且，所以元，方案2：記甲、乙、丙三人獲得獎金之和為Z元，方法1：則Z的所有可能取值為1800，2400，3000，3600，由（2）知，Z的分布列為：Z1800240030003600P則，因為，所以從三人獎金總額的數學期望的角度分析，品牌商選擇方案2更好．方法2：由（2）知，，方案2等價于只要參加了選拔賽即獎勵600元，進入了市賽的選手再獎600元．則，因為，所以從三人獎金總額的數學期望的角度分析，品牌商選擇方案2更好．20．（2023春·廣東中山·高二?？茧A段練習）已知函數，的導函數是．(1)討論的單調性；(2)若有兩個極值點a，b．①求的取值范圍；②求證：．【答案】(1)答案見解析(2)①②證明見解析【分析】(1)令，求出，利用導數分別研究函數當m≤0、m>0時的單調性即可；(2)①由(1)知當m>0時的單調性，進而求出m>1，結合零點的存在性定理和、可知在（0,m）與上各有一個零點，即可得出結果；②設，利用導數研究的單調性可得0<a<1<b，結合與的大小關系可得、，即可證明不等式.(1)函數的定義域為，令，則，當m≤0時，，g（x）在上單調遞減，當m>0時，令，令，所以g（x）在（0,m）上單調遞增，在上單調遞減；(2)①由題可知：有兩個零點a，b，由(1)知：m>0，在（0,m）上單調遞增，在上單調遞減，∴，∴m>1．又．，∴在（0,m）與上各有一個零點，∴；②設，則，，∴h（x）在（0,1）上單調遞增，在上單調遞減，又，∴0<a<1<b，令，則，且，所以0<x<1時，x>1時，所以，又，∴，變形得．同理可得：，∴．21．（2023春·廣東汕頭·高三統考開學考試）深受廣大球迷喜愛的某支歐洲足球隊.在對球員的使用上總是進行數據分析，為了考查甲球員對球隊的貢獻，現作如下數據統計：球隊勝球隊負總計甲參加甲未參加總計(1)求、、、、的值，據此能否有的把握認為球隊勝利與甲球員參賽有關；(2)根據以往的數據統計，乙球員能夠勝任前鋒、中鋒、后衛以及守門員四個位置，且出場率分