一元二次方程的定義及解-八大題型【知識點1一元二次方程的定義】只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程，叫做一元二次方程.【題型1一元二次方程的識別】【例1】（恩施市期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）①3x2+7＝0：②ax2+bx+c＝0；③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1；④3x?1x=A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【變式1-1】（蓬溪縣期末）下列方程中，一元二次方程有（）①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x2?1x=4；④xA．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式1-2】（滎陽市校級月考）下列方程中，一定是關于x的一元二次方程的有（）①x2＝0；②ax2+bx+c＝0；③a2+a﹣x＝0；④（x+1）2＝2x2﹣9；⑤x2﹣y2＝3．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式1-3】（義馬市期中）下列方程：①y2+2x＝0；②x2＝0；③（x2﹣1）2＝1；④3y2﹣2y＝﹣1；⑤2x2﹣5xy+3y2＝0；⑥ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數）；⑦1x2+1x?2＝0；⑧（x+1）（xA．2 B．3 C．4 D．6【題型2由一元二次方程的定義求字母的取值范圍】【例2】（龍崗區校級期末）關于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，則a的取值范圍是（）A．a≠±1 B．a≠0 C．a為任何實數 D．不存在【變式2-1】（河口縣期末）已知（m﹣2）xn﹣3nx+2＝0是關于x的一元二次方程，則（）A．m≠0，n＝2 B．m≠2，n＝2 C．m≠0，n＝3 D．m≠2，n≠0【變式2-2】（龍江縣期末）若方程ax2+2x﹣1＝2x2是關于x的一元二次方程，則a的取值范圍是．【變式2-3】（湘橋區一模）若方程（m﹣1）x2+m?x＝1是關于x的一元二次方程，則m的取值范圍是．【題型3由一元二次方程的定義求字母的值】【例3】（瑯琊區校級月考）若（m+3）x|m|﹣1﹣（m﹣3）x﹣5＝0是關于x的一元二次方程，則m的值為（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．±2【變式3-1】（望城區期末）若關于x的方程(m?2)xm2?2+4x?7=0A．m≠2 B．m＝±2 C．m＝﹣2 D．m＝2【變式3-2】（太平區期末）已知關于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，則a的值是（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3【變式3-3】（張家港市一模）已知x＝1是關于x的一元二次方程(m+2)xm2?2?3x?2a=0的解，則m﹣1+a的值為【知識點2一元二次方程的一般形式】一般地，任何一個關于x的一元二次方程經過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a，b，c是常數，a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數；【題型4一元二次方程的一般形式】【例4】（雙峰縣期末）將一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式時，它的二次項、一次項系數和常數項分別為（）A．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1 C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1【變式4-1】（黔西南州期末）若（1﹣m）xm2+1+3mx﹣2＝0是關于A．﹣1 B．±1 C．﹣3 D．±3【變式4-2】（花山區校級月考）一元二次方程2x2﹣（a+1）x＝x（x﹣1）﹣1化成一般形式后，二次項系數為1，一次項系數為﹣1，則a的值為（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【變式4-3】（寶山區校級月考）若m2x2﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是關于x的一元二次方程，且不含x的一次項，則m，n＝．【知識點3一元二次方程的解】能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．【題型5由一元二次方程的解求字母的值】【例5】（溫州期中）若關于x的方程x2+2ax+4a＝0有一個根為﹣3，則a的值是（）A．9 B．4.5 C．3 D．﹣3【變式5-1】（五常市期末）若方程8x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣7＝0的一個根為x＝0，則k的值是（）A．7 B．316 C．4 D．﹣7【變式5-2】（海淀區校級期末）若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一個解為x＝0，則k為（）A．±1 B．1 C．﹣1 D．0【變式5-3】（封丘縣期末）關于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+k2﹣1＝0的一個根是0，則k的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．2【題型6由一元二次方程的解求代數式的值】【例6】（開州區期末）已知a是方程2x2﹣x﹣3＝0的一個解，則6a2﹣3a的值為．【變式6-1】（蓮池區期末）若x＝﹣1是關于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一個根，則2022﹣2a+2b的值為．【變式6-2】（盱眙縣期末）若a是方程3x2﹣4x﹣3＝0的一個根，則代數式a2?43a+6的值為．【變式6-3】（桂林模擬）已知m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一個根，則8m﹣2m2+2的值是（）A．4 B．6 C．8 D．10【題型7由一元二次方程的解求代數式的值（降次）】【例7】（遂寧）已知m為方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值為（）A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044【變式7-1】（廬陽區校級期中）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一個根，則﹣a3+2a+2021的值為（）A．2020 B．﹣2020 C．2021 D．﹣2021【變式7-2】（泉州期末）已知實數a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，則a4+a3+8a﹣1的值為（）A．62 B．63 C．64 D．65【變式7-3】（石鼓區期末）已知a是方程x2﹣x﹣1＝0的一個根，則a4﹣3a﹣2的值為．【題型8已知一元二次方程的根求另一方程的根】【例8】（曲靖期末）已知關于x的一元二次方程12022x2+3=2x2+b的根為±3，那么關于y的一元二次方程12022（y2+1）+3＝2（y2+1）+b的解【變式8-1】（啟東市二模）若關于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一個根是x＝2022，則一元二次方程a2（x+2）2+bx+2b＝1必有一根為（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【變式8-2】（淄川區期中）若關于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根為2022，則方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有根為（）A．2022 B．2020 C．2019 D．2021【變式8-3】（泉州期末）若關于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一個根為x＝2021，則方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根為（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022

一元二次方程的定義及解-八大題型（解析版）【知識點1一元二次方程的定義】只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程，叫做一元二次方程.【題型1一元二次方程的識別】【例1】（恩施市期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）①3x2+7＝0：②ax2+bx+c＝0；③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1；④3x?1A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【分析】根據一元二次方程的定義判斷即可，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程．【解答】解：①3x2+7＝0一定是一元二次方程；②ax2+bx+c＝0，當a＝0時不是一元二次方程；③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1整理得，3x﹣9＝0，是一元一次方程；④3x?1x=故選：A．【變式1-1】（蓬溪縣期末）下列方程中，一元二次方程有（）①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x2?1x=4；④A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】本題根據一元二次方程的定義解答．一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數的最高次數是2；（2）二次項系數不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．【解答】解：①符合一元二次方程定義，正確；②方程含有兩個未知數，錯誤；③不是整式方程，錯誤；④符合一元二次方程定義，正確；⑤符合一元二次方程定義，正確．故選：B．【變式1-2】（滎陽市校級月考）下列方程中，一定是關于x的一元二次方程的有（）①x2＝0；②ax2+bx+c＝0；③a2+a﹣x＝0；④（x+1）2＝2x2﹣9；⑤x2﹣y2＝3．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】利用一元二次方程的定義判斷即可．【解答】解：①x2＝0是一元二次方程，符合題意；②ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程，不符合題意；③a2+a﹣x＝0是二元二次方程，不符合題意；④（x+1）2＝2x2﹣9是一元二次方程，符合題意；⑤x2﹣y2＝3是二元二次方程，不符合題意意．故選：A．【變式1-3】（義馬市期中）下列方程：①y2+2x＝0；②x2＝0；③（x2﹣1）2＝1；④3y2﹣2y＝﹣1；⑤2x2﹣5xy+3y2＝0；⑥ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數）；⑦1x2+1x?2＝0；⑧（xA．2 B．3 C．4 D．6【分析】只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程．【解答】解：①y2+2x＝0含有兩個未知數，不是一元二次方程；②x2＝0是一元二次方程；③（x2﹣1）2＝1，未知數的最高次數是4次，不是一元二次方程；④3y2﹣2y＝﹣1是一元二次方程；⑤2x2﹣5xy+3y2＝0含有兩個未知數，不是一元二次方程；⑥ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數），當a＝0時，不是一元二次方程；⑦1x2+⑧（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，整理后不含未知數，不是一元二次方程．所以屬于一元二次方程的有②④，共2個．故選：A．【題型2由一元二次方程的定義求字母的取值范圍】【例2】（龍崗區校級期末）關于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，則a的取值范圍是（）A．a≠±1 B．a≠0 C．a為任何實數 D．不存在【分析】直接利用一元二次方程的定義分析得出答案．【解答】解：∵關于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，可得a2+1不可能為0，∴a為任何實數．故選：C．【變式2-1】（河口縣期末）已知（m﹣2）xn﹣3nx+2＝0是關于x的一元二次方程，則（）A．m≠0，n＝2 B．m≠2，n＝2 C．m≠0，n＝3 D．m≠2，n≠0【分析】根據一元二次方程的定義列出關于m，n的方程，求出m，n的值即可．【解答】解：∵（m﹣2）xn﹣3nx+2＝0是關于x的一元二次方程，∴m﹣2≠0，n＝2，解得m≠2，n＝2．故選：B．【變式2-2】（龍江縣期末）若方程ax2+2x﹣1＝2x2是關于x的一元二次方程，則a的取值范圍是．【分析】先化成一元二次方程的一般形式，根據一元二次方程的定義得出a﹣2≠0，求出即可．【解答】解：ax2+2x﹣1＝2x2，（a﹣2）x2+2x﹣1＝0，∵關于x的方程ax2+2x﹣1＝2x2是一元二次方程，∴a﹣2≠0，即a≠2，故答案為：a≠2．【變式2-3】（湘橋區一模）若方程（m﹣1）x2+m?x＝1是關于x的一元二次方程，則m的取值范圍是【分析】直接利用一元二次方程的定義得出關于m的不等式，進而得出答案．【解答】解：∵方程（m﹣1）x2+m?x＝1是關于x的一元二次方程，∴m≥0且m﹣1≠0，∴m≥0且m≠1，故答案為：m≥0且m≠1．【題型3由一元二次方程的定義求字母的值】【例3】（瑯琊區校級月考）若（m+3）x|m|﹣1﹣（m﹣3）x﹣5＝0是關于x的一元二次方程，則m的值為（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．±2【分析】根據一元二次方程的定義即可求出答案．【解答】解：由題意可知：|m|?1=2m+3≠0，解得：m＝3，故選：A．【變式3-1】（望城區期末）若關于x的方程(m?2)xm2A．m≠2 B．m＝±2 C．m＝﹣2 D．m＝2【分析】只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程．【解答】解：∵關于x的方程(m?2)xm2∴m?2≠0m2?2=2解得：m＝﹣2．故選：C．【變式3-2】（太平區期末）已知關于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，則a的值是（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3【分析】根據一元二次方程的定義得出a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，再求出a即可．【解答】解：∵關于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，∴a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，解得：a＝﹣1，故選：A．【變式3-3】（張家港市一模）已知x＝1是關于x的一元二次方程(m+2)xm2?2?3x?2a=0的解，則m﹣1+a【分析】根據一元二次方程的定義可得m的值，再將x＝1代入原方程即可得出a的值，然后代入所求式子計算即可．【解答】解：由題意得：m+2≠0m解得m＝2，故關于x的一元二次方程為4x2﹣3x﹣2a＝0，因為x＝1是關于x的一元二次方程(m+2)xm2所以4﹣3﹣2a＝0，解得a=12，所以m﹣1+a=2?1+故答案為：1．【知識點2一元二次方程的一般形式】一般地，任何一個關于x的一元二次方程經過整理，都能化成如下形式ax種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫做一次項；【題型4一元二次方程的一般形式】【例4】（雙峰縣期末）將一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式時，它的二次項、一次項系數和常數項分別為（）A．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1 C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1【分析】根據一元二次方程的一般形式，ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數，a≠0）判斷即可．【解答】解：將一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式為：2x2+3x﹣1＝0，∴它的二次項、一次項系數和常數項分別為：2x2，3，﹣1，故選：B．【變式4-1】（黔西南州期末）若（1﹣m）xm2+1+3A．﹣1 B．±1 C．﹣3 D．±3【分析】先根據一元二次方程的定義求m，再求系數．【解答】解：由題意得：1?m≠0m解得：m＝﹣1．∴該方程的一次項系數為：3m＝﹣3．故選：C．【變式4-2】（花山區校級月考）一元二次方程2x2﹣（a+1）x＝x（x﹣1）﹣1化成一般形式后，二次項系數為1，一次項系數為﹣1，則a的值為（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【分析】方程整理為一般系數，根據二次項系數為1，一次項系數為﹣1，即可確定出a的值．【解答】解：方程整理得：x2﹣ax+1＝0，∵結果一次項系數為﹣1，∴﹣a＝﹣1，即a＝1．故選：B．【變式4-3】（寶山區校級月考）若m2x2﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是關于x的一元二次方程，且不含x的一次項，則m，n＝．【分析】先將已知方程整理為一元二次方程的一般形式，然后根據一元二次方程的定義得到：二次項系數不為0；結合不含x的一次項知，一次項系數為0．【解答】解：由m2x2﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0知，（m2﹣4）x2+（n﹣7）x+4＝0．根據題意知，m2﹣4≠0，n﹣7＝0，解得m≠±2，n＝7．故答案是：≠±2，7．【知識點3一元二次方程的解】能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．【題型5由一元二次方程的解求字母的值】【例5】（溫州期中）若關于x的方程x2+2ax+4a＝0有一個根為﹣3，則a的值是（）A．9 B．4.5 C．3 D．﹣3【分析】把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，然后解關于a的一次方程即可．【解答】解：把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，解得a＝4.5．故選：B．【變式5-1】（五常市期末）若方程8x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣7＝0的一個根為x＝0，則k的值是（）A．7 B．316 C．4 【分析】把x＝0代入方程中，就可以求出k的值．【解答】解：∵方程8x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣7＝0的一個根為0，∴把x＝0代入此方程，有：﹣k﹣7＝0，∴k＝﹣7．故選：D．【變式5-2】（海淀區校級期末）若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一個解為x＝0，則k為（）A．±1 B．1 C．﹣1 D．0【分析】把x＝0代入方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0得方程k2﹣1＝0，解關于k的方程，然后利用一元二次方程的定義確定k的值．【解答】解：把x＝0代入方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0得方程k2﹣1＝0，解得k1＝1，k2＝﹣1，而k﹣1≠0，所以k＝﹣1．故選：C．【變式5-3】（封丘縣期末）關于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+k2﹣1＝0的一個根是0，則k的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．2【分析】把x＝0代入方程計算即可求出k的值．【解答】解：把x＝0代入方程得：k2﹣1＝0，解得：k＝1或k＝﹣1，故選：C．【題型6由一元二次方程的解求代數式的值】【例6】（開州區期末）已知a是方程2x2﹣x﹣3＝0的一個解，則6a2﹣3a的值為9．【分析】把x＝a代入方程求得a2﹣a的值，然后根據6a2﹣3a＝3（2a2﹣a）即可求解．【解答】解：把x＝a代入方程得：2a2﹣a﹣3＝0，則2a2﹣a＝3，則6a2﹣3a＝3（2a2﹣a）＝9．故答案是：9．【變式6-1】（蓮池區期末）若x＝﹣1是關于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一個根，則2022﹣2a+2b的值為．【分析】把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）得a﹣b＝1，再把2022﹣2a+2b變形為2022﹣2（a﹣b），然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）得a﹣b﹣1＝0，∴a﹣b＝1，∴2022﹣2a+2b＝2022﹣2（a﹣b）＝2022﹣2×1＝2022﹣2＝2020．故答案為：2020．【變式6-2】（盱眙縣期末）若a是方程3x2﹣4x﹣3＝0的一個根，則代數式a2?43a+6的值為【分析】根據方程解的定義得到3a2﹣4a﹣3＝0，變形得到a2?43a＝1，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：根據題意得3a2﹣4a﹣6＝0，∴a2?43a＝1，∴a2?43a+6＝1+6＝7．故答案為：7．【變式6-3】（桂林模擬）已知m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一個根，則8m﹣2m2+2的值是（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】先利用一元二次方程根的定義得到m2﹣4m＝﹣2，再把8m﹣2m2+2變形為﹣2（m2﹣4m）+2，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一個根，∴m2﹣4m+2＝0，∴m2﹣4m＝﹣2，∴8m﹣2m2+2＝﹣2（m2﹣4m）+2＝﹣2×（﹣2）+2＝6．故選：B．【題型7由一元二次方程的解求代數式的值（降次）】【例7】（遂寧）已知m為方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值為（）A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044【分析】將方程的根代入方程，化簡得m2+3m＝2022，將代數式變形，整體代入求值即可．【解答】解：∵m為方程x2+3x﹣2022＝0的根，∴m2+3m﹣2022＝0，∴m2+3m＝2022，∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣3m﹣2022m+2022＝m（m2+3m）﹣（m2+3m）﹣2022m+2022＝2022m﹣2022﹣2022m+2022＝0．故選：B．【變式7-1】（廬陽區校級期中）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一個根，則﹣a3+2a+2021的值為（）A．2020 B．﹣2020 C．2021 D．﹣2021【分析】先利用一元二次方程解的定義得到a2＝a+1，再用a表示a3得到a3＝2a+1，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一個根，∴a2﹣a﹣1＝0，∴a2＝a+1，∴a3＝a（a+1）＝a2+a＝a+1+a＝2a+1，∴﹣a3+2a+2021＝﹣（2a+1）+2a+2021＝﹣2a﹣1+2a+2021＝2020．故選：A．【變式7-2】（泉州期末）已知實數a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，則a4+a3+8a﹣1的值為（）A．62 B．63 C．64 D．65【分析】把方程的解代入方程得到關于a的等式，然后利用等式對代數式進行化簡求值．【解答】解：∵a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的一個根，∴a2+a﹣8＝0∴a2+a＝8，∴a4+a3+8a﹣1＝a2（a2+a）+8a﹣1＝8a2+8a﹣1＝64﹣1＝63，故選：B．【變式7-3】（石鼓區期末）已知a是方程x2﹣x﹣1＝0的一個根，則a4﹣3a﹣2的值為．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數的值．即用這個數代替未知數所得式子仍然成立．【解答】解：把x＝a代入方程可得，a2﹣a﹣1＝0，即a2＝a+1，∴a4﹣3a﹣2＝（a2）2﹣3a﹣2＝（a+1）2﹣3a﹣2＝a2﹣a﹣1＝0．【題型8已知一元二次方程的根求另一方程的根】【例8】（曲靖期末）已知關于x的一元二次方程12022x2+3=2x2+b的根為±3，那么關于y的一元二次方程12022（y2+1）+3＝2（y2+1）+【分析】根據關于x的一元二次方程12022x2+3=2x2+b的兩個根為±3，可得y【解答】解：∵關于x的一元二次方程12022x2∴關于y的一元二次方程12022（y2+1）+3＝2（y2+1）+b可得y2+1＝x2＝9，解得y＝﹣22和22．故答案為：﹣22和22．【變式8-1】（啟東市二模）若關于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一個根是x＝2022，則一元二次方程a2（x+2）2+bx+2bA．2020 B．2021 C．2022 D．2023【分析】一元二次方程a2（x+2）2+bx+2b＝1變形為a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0，由于關于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一個根是x＝2022，則關于（x+2）的一元二次方程a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0的一個根是x＝2022，于是可判斷一元二次方程a2（x+2）2+bx+2b＝1必有一根為2020．【解答】解：一元二次方程a