高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省多校2024-2025學年高一上學期10月聯考數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.或 B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以或，所以.故選：D.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由全稱命題的否定為特稱命題可得，命題“”的否定是.故選：C.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由得，由能推出，但推不出，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.如果，且，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，且，所以或，對于A，當時，故A錯誤；對于B，若，則，此時，故B錯誤；對于C，因為，所以，又因為或，所以不為0，所以，故C錯誤；對于D，因為，且，所以，，故D正確.故選：D.5.已知，，若不等式恒成立，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，恒成立，即恒成立，又因為，當且僅當，即時取等號，所以，所以的最大值為.故選：A.6.已知集合，，若，且，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以，又，所以解得：.故選：D.7.若正實數，滿足，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】∵正實數x，y滿足，，∴，當且僅當取等，設，∴，∴，即，，∴，故最小值為2.故選：A．8.定義運算：.若關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可變形為，即，化簡可得恒成立，所以恒成立，化簡可得，解得，所以實數的取值范圍為.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，，，則下列結論正確的是（）A.若且，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BCD【解析】對于A，不妨令，，滿足，，不滿足，故A錯誤；對于B，，由不等式的性質知，B正確；對于C，由不等式的性質知，若則所以，故C正確；對于D，由不等式的性質知，若，，則，故D正確.故選：BCD.10.若，，，且，則（）A. B.C D.【答案】BD【解析】對于A，由，則，由，當且僅當時等號成立，可得，解得，故A錯誤；對于B，由，當且僅當時，等號成立，則，故B正確；對于C、D，由，由題意以及選項B可知：，且，故C錯誤，D正確.故選：BD.11.設是一個數集，若對任意的，且，都有，，，，則稱是一個數域，例如實數集是一個數域，則下列結論正確的是（）A.數域中必含有0，1兩個數B.集合是一個數域C.有理數集是一個數域D.數域中必含有【答案】ACD【解析】對于A，數域中必須有一個非零元素，令，則，所以任何數域中均含有兩個數，所以選項A正確；對于B，由，而任何數域中均含有兩個數，所以選項B錯誤；對于C，由任何數域中均含有兩個數，數域對加法封閉，所以，所以所有的正整數都在數域中，再由數域對減法封閉，所以，所以所有負整數都在數域中，即所有整數都在數域中；再由數域對除法封閉，整數之間作除法，能得到所有有理數在數域中，即有理數是最小的數域，任何數域都必須包含所有有理數，所以選項C正確；對于D，由任何數域都必須包含所有有理數，而，所以數域中必含有，所以選項D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，.若，則實數____________.【答案】【解析】由題意，，若時，解得，則不成立；若時，解得或，當時，成立，當時，不成立；綜上所述，.13.若命題“，”為假命題，則的取值范圍是______.【答案】或【解析】由題知，原命題“”為假命題，所以命題的否定“”為真命題，即判別式，解得或.14.某中學在校園內開設了“希望之星小市場”，將獲得的利潤捐給希望工程.校學生會通過市場調研得知，某商品的進價為每件20元，設每件售價為元，則每天的銷售件數，要想日利潤最大，售價應定為每件_______________元.（利潤=售價-進價）【答案】30【解析】設日利潤為，則，令，由，則，可得，由二次函數的對稱軸，當時，取得，此時日利潤最大，故當，即時，日利潤最大.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設集合，.（1）若，求；（2）設集合，若的子集有8個，求的取值集合.解：（1）當時，集合，，由集合交集的概念及運算，可得.（2）由（1）知，集合，又由方程，解得或，因為集合，若的子集有8個，可得集合有3個元素，即有3個元素，當時，集合，符合題意；當時，集合，符合題意；當時，集合，符合題意；當且且時，此時，集合，不符合題意，所以實數的取值集合為.16.已知二次函數.（1）指出它的圖象可以由函數的圖象經過怎樣的變換而得到；（2）指出它的圖象的對稱軸，請描述函數值的變化趨勢及最大值或最小值.解：（1）因為，所以函數的圖象由函數的圖象上所有點向右平移個單位長度，向下平移個單位長度可得.（2）由（1）可得函數圖象開口向上，其對稱軸為，當時，函數值隨自變量的增大而減小；當時，函數值隨自變量的增大而增大；當時，函數值取到最小值，為，無最大值.17.已知：關于的不等式的解集為，：不等式的解集為.（1）若，求；（2）若是的必要不充分條件，求的取值范圍.解：（1）由題知：當時，，解得，所以，又，所以，解得，所以，所以.（2）若是的必要不充分條件，則是的真子集，由（1）知，，時，集合，所以，則，又時，，符合是的真子集，時，，符合是的真子集，所以，綜上，實數的取值范圍為.18.（1）當時，求的最小值；（2）已知，，都是正數，且，求證：.解：（1），，，當且僅當，即時，等號成立，故當時，函數的最小值為.（2），且，，當且僅當，即時，等號成立，故.19.設集合是的非空子集，若對任意，，都有，則稱集合具有性質.（1）試判斷集合和是否具有性質，并說明理由；（2）已知集合，若具有性質且恰有4個元素，直接寫出符合條件的集合；（寫出3個即可）（3）已知集合，若具有性質，證明：中的元素個數不大于10.解：（1）對于集合，因為，所以集合不具有性質.對于集合，因為，所以集合具有性質.（2）以下集合符合條件(答出其中任意3個即可)：，，取其中3個，證明：滿足題意，因為，，，，，，則具有性質，同理可