專(zhuān)題14押全國(guó)卷（理科）第18題立體幾何命題規(guī)律內(nèi)容關(guān)聯(lián)考點(diǎn)典型考點(diǎn)預(yù)測(cè)１四面體面面垂直的證明與線(xiàn)面角2022全國(guó)乙卷18·12分★★★２四棱錐面面垂直的證明與二面角2021全國(guó)乙卷18·12分３三棱錐面面垂直的證明與二面角2020全國(guó)乙卷20·12分秘籍1空間幾何體表面積的求解方法1.求多面體的表面積時(shí),把各個(gè)面的面積相加即可.2.求旋轉(zhuǎn)體(球除外)的表面積時(shí),將旋轉(zhuǎn)體(球除外)展成平面圖形求其面積,注意弄清楚它們的底面半徑、母線(xiàn)長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開(kāi)圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系.3.求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí),通常將所給幾何體分割或補(bǔ)形成基本的柱、錐、臺(tái)體.先求出這些基本的柱、錐、臺(tái)體的表面積,再通過(guò)求和或作差獲得所求幾何體的表面積.秘籍2空間幾何體體積的求解方法1.公式法:當(dāng)所給幾何體是常見(jiàn)的柱、錐、臺(tái)等規(guī)則的幾何體時(shí),可以直接代入各自幾何體的體積公式進(jìn)行計(jì)算.2.割補(bǔ)法:求不規(guī)則幾何體的體積時(shí),可以將所給幾何體分割成若干個(gè)常見(jiàn)的幾何體,分別求出這些幾何體的體積,從而得出所求幾何體的體積.3.等體積轉(zhuǎn)化法:利用三棱錐的特性,即任意一個(gè)面都可以作為底面,從而進(jìn)行換底換高計(jì)算.此種方法充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想,在運(yùn)用過(guò)程中要充分注意距離之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化.1.【2022全國(guó)乙卷18·12分】如圖,四面體中,,E為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）設(shè),點(diǎn)F在上,當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí),求與平面所成的角的正弦值．【命題意圖】本題考查面面垂直的證明及線(xiàn)面角的計(jì)算,考查直觀(guān)想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等.【解析】（1）因?yàn)?點(diǎn)E為AC中點(diǎn),所以,因?yàn)?所以△ABD≌△CBD,,因?yàn)辄c(diǎn)E為AC中點(diǎn),所以,因?yàn)?所以平面BED,因?yàn)槠矫鍭CE,所以平面ACE平面BED.（2）連接,由（1）知,平面,因?yàn)槠矫?所以,所以,當(dāng)時(shí),最小,即的面積最小.因?yàn)?所以,又因?yàn)?所以是等邊三角形,因?yàn)镋為的中點(diǎn),所以,,因?yàn)?所以,在中,,所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,所以,設(shè),則=,因?yàn)?所以,所以,所以,設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量,則,即,取,則,設(shè)CF與平面ABD所成角為,則.所以CF與平面ABD所成角的正弦值為.【點(diǎn)評(píng)】高考試卷中立體幾何解答題一般有2問(wèn),第一問(wèn)多為線(xiàn)面位置關(guān)系的證明或長(zhǎng)度、面積、體積的計(jì)算,第二問(wèn)多為利用空間向量線(xiàn)面角或二面角（有時(shí)也可不利用空間向量）,在高考中立體幾何解答題一般難度不大,屬于得分題,利用空間向量求空間角,運(yùn)算錯(cuò)誤是失分主要原因.【知識(shí)鏈接】直線(xiàn)與平面所成角的求法設(shè)直線(xiàn)l的方向向量為a,平面α的法向量為n,直線(xiàn)l與平面α所成的角為θ,a與n的夾角為β,則sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).利用空間向量求直線(xiàn)與平面所成的角,可以有兩種方法：①通過(guò)平面的法向量來(lái)求,即求出斜線(xiàn)的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,取其余角就是斜線(xiàn)和平面所成的角；②分別求出斜線(xiàn)和它在平面內(nèi)的射影的方向向量,再轉(zhuǎn)化為求這兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)．注意：直線(xiàn)與平面所成角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).2.【2021全國(guó)乙卷18·12分】如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由已知條件得出，求出的值，即可得出的長(zhǎng)；（2）求出平面、的法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】（1）[方法一]：空間坐標(biāo)系+空間向量法平面，四邊形為矩形，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、，則，，，則，解得，故；[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法如圖，連結(jié)．因底面，且底面，所以．又因?yàn)?，，所以平面．又平面，所以．從而．因?yàn)?，所以．所以，于是．所以．所以．[方法三]：幾何法+三角形面積法如圖，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)N．由[方法二]知．在矩形中，有，所以，即．令，因?yàn)镸為的中點(diǎn)，則，，．由，得，解得，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：空間坐標(biāo)系+空間向量法設(shè)平面的法向量為，則，，由，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，，所以，，因此，二面角的正弦值為.[方法二]：構(gòu)造長(zhǎng)方體法+等體積法如圖，構(gòu)造長(zhǎng)方體，聯(lián)結(jié)，交點(diǎn)記為H，由于，，所以平面．過(guò)H作的垂線(xiàn)，垂足記為G．聯(lián)結(jié)，由三垂線(xiàn)定理可知，故為二面角的平面角．易證四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，聯(lián)結(jié)，．，由等積法解得．在中，，由勾股定理求得．所以，，即二面角的正弦值為．【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一利用空坐標(biāo)系和空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法二利用線(xiàn)面垂直的判定定理，結(jié)合三角形相似進(jìn)行計(jì)算求解，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三主要是在幾何證明的基礎(chǔ)上，利用三角形等面積方法求得.（2）方法一，利用空間坐標(biāo)系和空間向量方法計(jì)算求解二面角問(wèn)題是常用的方法，思路清晰，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法二采用構(gòu)造長(zhǎng)方體方法+等體積轉(zhuǎn)化法，技巧性較強(qiáng)，需注意進(jìn)行嚴(yán)格的論證.20.【2020全國(guó)乙卷20·12分】如圖，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過(guò)B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直線(xiàn)B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）由分別為，的中點(diǎn)，，根據(jù)條件可得，可證，要證平面平面，只需證明平面即可；（2）連接，先求證四邊形是平行四邊形，根據(jù)幾何關(guān)系求得，在截取，由（1）平面，可得為與平面所成角，即可求得答案.【詳解】（1）分別為，的中點(diǎn)，又在中，為中點(diǎn)，則又側(cè)面為矩形，由，平面平面又，且平面，平面，平面又平面，且平面平面又平面平面平面平面平面（2）連接平面，平面平面根據(jù)三棱柱上下底面平行，其面平面，面平面故：四邊形是平行四邊形設(shè)邊長(zhǎng)是()可得：，為的中心，且邊長(zhǎng)為故：解得：在截取，故且四邊形是平行四邊形，由（1）平面故為與平面所成角在，根據(jù)勾股定理可得：直線(xiàn)與平面所成角的正弦值：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了證明線(xiàn)線(xiàn)平行和面面垂直，及其線(xiàn)面角，解題關(guān)鍵是掌握面面垂直轉(zhuǎn)為求證線(xiàn)面垂直的證法和線(xiàn)面角的定義，考查了分析能力和空間想象能力，屬于難題.1．（2023·貴州銅仁·統(tǒng)考二模）如圖，在直三棱柱中，，．(1)試在平面內(nèi)確定一點(diǎn)H，使得平面，并寫(xiě)出證明過(guò)程；(2)若平面與底面所成的銳二面角為60°，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)面垂直和面面垂直的判定定理，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）取棱BC的中點(diǎn)D，連接，AD．在等腰直角△ABC中，，又，平面，故平面．又平面，故平面平面，這兩個(gè)平面的交線(xiàn)為．在中，作，則有平面；（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，．設(shè)平面的法向量，則即可?。扇∑矫娴姆ㄏ蛄浚深}意得．得，平面的一個(gè)法向量為；又平面的法向量，則．所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．2．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）如圖，三棱柱中，側(cè)面為矩形，且為的中點(diǎn)，．(1)證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接與交于點(diǎn)，連接，則，利用線(xiàn)面平行的判定定理即可證明；（2）由已知條件得面，則，由得.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由面得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，由求得，然后利用向量夾角公式求解即可.【詳解】（1）連接與交于點(diǎn)，連接為三棱柱，為平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)又為的中點(diǎn)，則，又平面平面，平面．（2）解法1：，面面，，，即以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，面，則平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的法向量為，則，即令設(shè)平面與平面的夾角為，平面與平面的夾角的余弦值是．解法2：設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)且，點(diǎn)為的中點(diǎn)為矩形，又平面，在中，，可得為等腰直角三角形，其中而點(diǎn)為的中點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)且，又在Rt中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，在中，，且點(diǎn)為的中點(diǎn)且即為平面與平面的夾角在中，．平面與平面的夾角的余弦值是．3．（2023·江蘇·二模）已知矩形，，為的中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿，將和翻折，使點(diǎn)重合，記為點(diǎn)．(1)求證：(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，先利用線(xiàn)面垂直判定定理證得平面，再由線(xiàn)面垂直性質(zhì)得證；（2）先利用線(xiàn)面垂直判定定理證得，可得為直線(xiàn)與平面所成角的平面角，從而得解．【詳解】（1）已知矩形，沿，將和翻折，使點(diǎn)重合，記為點(diǎn)，可得，取的中點(diǎn)，連接，，，，，又，，，平面，，；（2），，，，又四邊形為矩形，，，，為直線(xiàn)與平面所成角的平面角，，即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．4．（2023·內(nèi)蒙古通遼·校考二模）如圖，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱，是延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且（1）求證：直線(xiàn)平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）證明四邊形是平行四邊形，得即可證明；（2）過(guò)作于，連結(jié)，得是二面角的平面角.在中，計(jì)算即可求解【詳解】（1），又，∴四邊形是平行四邊形，∴又平面，平面，∴直線(xiàn)平面（2）過(guò)作于，連結(jié)，∵平面是二面角的平面角.∵是的中點(diǎn)，在中，∴即二面角的大小為【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面平行的判定，考查二面角的求法，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題5．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）已知三棱錐中，△是邊長(zhǎng)為3的正三角形，與平面所成角的余弦值為．(1)求證：；(2)求二面角的平面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)為，連接，由正四面體的性質(zhì)得，再由線(xiàn)面垂直的判定及性質(zhì)證明結(jié)論；（2）取中點(diǎn)為，連接，由正四面體的性質(zhì)和二面角的定義知為所求二面角的平面角，進(jìn)而求其正弦值.【詳解】（1）如圖所示，取中點(diǎn)為，連接，O為△BCD的中心，因?yàn)椤魇沁呴L(zhǎng)為3的正三角形，，則面，又與平面所成角的余弦值為，所以，即，即三棱錐是正四面體，所以，又平面，所以平面，又平面，所以．（2）如圖所示，取中點(diǎn)為，連接，由（1）知：三棱錐是正四面體，則，所以二面角的平面角為，另一方面，，所以由余弦定理得，所以，所以二面角的平面角的正弦值．6．（2023·四川廣安·統(tǒng)考二模）如圖，在三棱錐中，為的內(nèi)心，直線(xiàn)與交于，，.(1)證明：平面平面；(2)若，，，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）設(shè)平面，垂足為，作于，于，連接，先證明，從而可證得，從而可得點(diǎn)為的內(nèi)心，即兩點(diǎn)重合，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；（2）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用等面積法求得內(nèi)切圓的半徑，再利用勾股定理求得，即可得的坐標(biāo)，再利用向量法求解即可.【詳解】（1）設(shè)平面，垂足為，作于，于，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，在和中，因?yàn)?，所以，所以，在和中，，所以，所以，即點(diǎn)到的距離相等，同理點(diǎn)到的距離相等，所以點(diǎn)為的內(nèi)心，所以?xún)牲c(diǎn)重合，所以平面，又因平面，所以平面平面；（2）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則即，解得，故，則，則，設(shè)平面的法向量，則，可取，設(shè)平面的法向量，則，可取，則，由圖可得二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.7．（2023·吉林延邊·統(tǒng)考二模）如圖1，在中，，分別為，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，.將沿折起到的位置，使得平面平面，如圖2.（1）求證：.（2）求直線(xiàn)和平面所成角的正弦值.（3）線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)和所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）存在，.【分析】（1）推導(dǎo)出，，從而，進(jìn)而，由此得到平面，從而能證明；（2）取中點(diǎn)，連接，，再由，，建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量能求出直線(xiàn)和平面所成角的正弦值；（3）線(xiàn)段上存在點(diǎn)適合題意，設(shè)，其中，利用向量法能求出線(xiàn)段上存在點(diǎn)適合題意，且.【詳解】（1）因?yàn)樵谥?，，分別為，的中點(diǎn)，所以，.所以，又為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面，所以平面，所?（2）取的中點(diǎn)，連接，所以.由（1）得，.如圖建立空間直角坐標(biāo)系.由題意得，，，，.所以，，.設(shè)平面的法向量為.則即令，則，，所以.設(shè)直線(xiàn)和平面所成的角為，則.故所求角的正弦值為.（3）線(xiàn)段上存在點(diǎn)適合題意.設(shè)，其中.設(shè)，則有，所以，，，從而，所以，又，所以令，整理得.解得.所以線(xiàn)段上存在點(diǎn)適合題意，且.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和線(xiàn)面角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.8．（2023·陜西西安·統(tǒng)考二模）在如圖所示的多面體中，平面，四邊形為矩形.(1)求證：平面平面；(2)若，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【分析】（1）由線(xiàn)面平行的判定證平面、平面，再由面面平行的判定證結(jié)論；（2）證兩兩相互垂直，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系并求面法向量、，應(yīng)用向量夾角坐標(biāo)表示求線(xiàn)面角.