通州區(qū)2024—2025學(xué)年第一學(xué)期高一年級期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷2024年11月本試卷共4頁，共150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求解一元二次方程解得集合，再求并集即可.【詳解】，又，故.故選：D.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分、必要條件的知識確定正確答案.【詳解】由解得；由解得；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3.命題“存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對值不是正數(shù)”的否定是（）A.存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對值是正數(shù)B.存在無數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對值不是正數(shù)C.任意一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對值都不是正數(shù)D.任意一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對值都是正數(shù)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定判斷即可.【詳解】命題“存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對值不是正數(shù)“的否定命題是：“任意一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對值都是正數(shù)”.故選：D4.已知，且，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)特殊值以及作差比較法來確定正確答案.【詳解】依題意，，且，A選項(xiàng)，若，則，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，若，則，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，若，則，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B5.已知集合，根據(jù)函數(shù)定義，下列給出四個(gè)對應(yīng)法則，能構(gòu)成從到的函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，對于，，，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，對于，，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，對于，，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，對于，集合中任意一個(gè)元素，在集合中都有唯一確定的數(shù)對應(yīng)，所以能構(gòu)成從到的函數(shù).故選：D6.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】把分為和兩種情況，分類討論解不等式即可得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，由得，不等式解集為，當(dāng)時(shí)，由得，不等式無解.綜上得，的解集為.故選：C.7.若函數(shù)fx123321123132則滿足的值為（）A.1 B.3 C.1或2 D.2或3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)表格求函數(shù)值，逐項(xiàng)驗(yàn)證進(jìn)行比較.【詳解】根據(jù)表格可知，，，，所以滿足條件的是或.故選：D8.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t下列說法正確的個(gè)數(shù)為（）①若，則②若在上單調(diào)遞增，在上也單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增③若，則在上不可能為增函數(shù)④若，則在上不可能為奇函數(shù)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求最小值，可判斷①；舉出反例可判斷②；根據(jù)單調(diào)性定義可判斷③；若，則函數(shù)在R上可以為奇函數(shù)，可判斷④.【詳解】對于①：因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故，①正確；對于②：若，則滿足題目要求，但在R上不增函數(shù)，故②錯(cuò)誤；對于③：因?yàn)椋杂蓡握{(diào)性定義可知，在上不可能為增函數(shù)，故③正確；對于④：若，則函數(shù)在R上可以為奇函數(shù)，例如：，滿足，且為奇函數(shù)，故④錯(cuò)誤.綜上可知，①③正確.故選：B9.已知不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用判別式列不等式來求得的取值范圍.【詳解】不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，即不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，所以，解得.故選：A10.設(shè)集合為非空集合，且，若，則，滿足上述條件的集合的個(gè)數(shù)為（）A.12 B.15 C.31 D.32【答案】B【解析】【分析】寫出72在大于3時(shí)的全部因數(shù)，為了滿足題意集合中的元素需要成對出現(xiàn)，所以看作只有4個(gè)元素的集合，求非空子集的個(gè)數(shù)即可得到結(jié)果.【詳解】∵，∴滿足“，則”的的集合是的子集，但3和24，4和18，6和12，8和9需同時(shí)出現(xiàn)，∴將集合看作有4個(gè)元素，求其非空子集個(gè)數(shù)為：.故選：B.第二部分（非選擇題共110分）二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域?yàn)開_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的求法求得正確答案.【詳解】由，解得，所以的定義域?yàn)?故答案為：12.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則的值為______.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)已知條件列方程，從而求得的值.【詳解】依題意，，則，解得或.故答案為：或13.已知全集，集合為的兩個(gè)非空子集，且，則______；滿足的一個(gè)集合為______.【答案】①.②.（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義以及子集定義即可求解.【詳解】由于，，故，，則.故答案為：，（答案不唯一）14.設(shè)集合、是兩個(gè)實(shí)數(shù)集，給出下列三個(gè)結(jié)論：①若，則，使，且；②若，，則；③若，，且“”的充要條件是“”.其中所有正確結(jié)論的序號是__________.【答案】①②【解析】【分析】根據(jù)交集的定義可判斷①的正誤；求出集合、，利用交集的定義求出集合，可判斷②的正誤；對實(shí)數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論，求出集合，根據(jù)集合的包含關(guān)系驗(yàn)證或得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍，可判斷③的正誤.【詳解】對于①，若，則，使，且，①對；對于②，，，則，②對；對于③，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，則，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則或x>1，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則或，要使得，則，此時(shí)，，綜上所述，“”的充要條件是“”，③錯(cuò).故答案為：①②.15.已知函數(shù)若互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】畫出的圖象，根據(jù)對稱性求得的取值范圍.【詳解】畫出的圖象如下圖所示，當(dāng)時(shí)，令，解得，依題意，互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)滿足，不妨設(shè)，由圖可知，而，所以.故答案為：三?解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn).（1）求的值；（2）求在區(qū)間上的最大值；（3）設(shè)函數(shù)，判斷的奇偶性.【答案】（1）（2）（3）為奇函數(shù).【解析】【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的知識求得的解析式，進(jìn)而求得.（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來求得最大值.（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行判斷.【小問1詳解】設(shè)冪函數(shù)，因?yàn)榈膱D象過點(diǎn)，所以，得.所以.所以.【小問2詳解】因?yàn)椋栽趨^(qū)間上單調(diào)遞增.所以在區(qū)間上的最大值為.【小問3詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以.因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?所以為奇函數(shù).17.已知全集，集合.（1）求；（2）再從下面給出的條件①?條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的取值范圍.條件①：；條件②：.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)補(bǔ)集、交集的知識求得正確答案.（2）結(jié)合集合關(guān)系及集合運(yùn)算，根據(jù)所選條件列不等式，由此來求得的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)榧希曰?所以.【小問2詳解】選擇條件①：因?yàn)椋?所以，或.所以，或.因?yàn)椋?所以的取值范圍是.選擇條件②：因?yàn)椋?因?yàn)椋?所以.因?yàn)椋?所以的取值范圍是.18.已知函數(shù).（1）求的值域；（2）設(shè)函數(shù).①當(dāng)時(shí)，求的最小值；②根據(jù)定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞增.【答案】（1）；（2）①2；②證明見解析.【解析】【分析】（1）對二次三項(xiàng)式配方，即可求得函數(shù)值域；（2）①利用基本不等式，即可求得函數(shù)的最小值；②根據(jù)單調(diào)性定義，作差、變形、定號即可證明.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以的值域?yàn)?【小問2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以.①因?yàn)椋?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.所以當(dāng)時(shí)，取到最小值，最小值為2.②任取，且，那么因?yàn)椋裕裕?所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.19.已知二次函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的最小值；（3）求關(guān)于的不等式的解集.【答案】（1）（2）2（3）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法求得正確答案.（2）根據(jù)單調(diào)性、對稱軸列不等式，由此求得的范圍，進(jìn)而求得的最小值.（3）化簡不等式，對進(jìn)行分類討論，由此求得不等式的解集.【小問1詳解】因?yàn)椋坏仁綖?對于方程，解得.所以不等式的解集為.【小問2詳解】因?yàn)椋蚤_口向上.因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以.解得.所以的最小值為2.【小問3詳解】因?yàn)椋裕?當(dāng)，即時(shí)，解得，或；當(dāng)，即時(shí)，解得；當(dāng)，即時(shí)，解得或.綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為或.20.如圖，計(jì)劃靠一面墻建一個(gè)菜園，墻長為20米.用籬笆圍成兩個(gè)相同長方形區(qū)域種植蔬菜（1）若每個(gè)長方形區(qū)域的面積為54平方米，要使籬笆的總長度最小，每個(gè)長方形的長和寬分別是多少米？并求籬笆總長度的最小值；（2）若每個(gè)長方形的長為米，寬為長的一半.籬笆價(jià)格每米為8元，區(qū)域的重建費(fèi)用每平方米為20元.要使總費(fèi)用不超過360元，求的取值范圍.【答案】（1）長和寬分別為9米和6米時(shí)，籬笆總長度最小，且最小值為36米（2）.【解析】【分析】（1）列出總長的表達(dá)式，直接利用基本不等式即可求解最值，（2）根據(jù)題意列出總費(fèi)用，即可根據(jù)不等式求解.【小問1詳解】設(shè)每個(gè)長方形長為米，因?yàn)槊總€(gè)長方形區(qū)域的面積為54平方米，所以寬為米.所以籬笆總長為當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以每個(gè)長方形長和寬分別為9米和6米時(shí)，籬笆總長度最小，且最小值為36米.【小問2詳解】因?yàn)槊總€(gè)長方形的長為米，寬為長的一半，所以每個(gè)長方形的寬為米.所以長方形區(qū)域的面積為平方米，籬笆的總長度為米.所以總費(fèi)用為元.因?yàn)榭傎M(fèi)用不超過360元，所以，解得.因?yàn)椋?所以要使總費(fèi)用不超過360元，的取值范圍是.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，若對于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若對于任意恒成立，求的取值范圍；（3）若存在，使得與同時(shí)成立，求的取值范圍.【答案】（1）或.（2）（3）.【解析】【分析】（1）先求得在區(qū)間上的最大值，由此列不等式來求得的取值范圍.（2）對進(jìn)行分類討論，將問題轉(zhuǎn)化為求在區(qū)間1,2的最小值、在區(qū)間1,2的最大值，由此來求得的取值范圍.（3）對，利用判別式進(jìn)行判斷.對，對進(jìn)行分類討論，由此列不等式來求得的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)椋?因?yàn)閷τ诤愠闪ⅲ葍r(jià)于的最大值.因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的最大值為.所以，即，解得，或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或.【小問2詳解】因?yàn)閷τ谌我夂愠闪ⅲ葍r(jià)于在區(qū)間1,2的最小值在區(qū)間1,2的最大值.因?yàn)椋栽趨^(qū)間1,2的最大值是0.因?yàn)椋詫ΨQ軸.①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間1,2的最小值為.所以，解得.所以的取值范圍是0,1.②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間1,2的最小值為.所以，解得.所以的取值范圍是.③當(dāng)時(shí)，在區(qū)間1,2的最小值為.所以，解得不符合.由①②③得，的取值范圍是0,2.【小問3詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象開口向上，且存在x∈R，使得gx<0所以方程的判別式，解得，或.①當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖趚∈R，使得成立，所以，即.因?yàn)樵?/p>