第二十一章二次根式教材內容1．本單元教學的主要內容：二次根式的概念；二次根式的加減；二次根式的乘除；最簡二次根式．2．本單元在教材中的地位和作用：二次根式是在學完了八年級下冊第十七章《反比例正函數》、第十八章《勾股定理及其應用》等內容的基礎之上繼續學習的，它也是今后學習其他數學知識的基礎．教學目標1．知識與技能（1）理解二次根式的概念．（2）理解（a≥0）是一個非負數，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）．（3）掌握·＝（a≥0，b≥0），=·；=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）．（4）了解最簡二次根式的概念并靈活運用它們對二次根式進行加減．2．過程與方法（1）先提出問題，讓學生探討、分析問題，師生共同歸納，得出概念．再對概念的內涵進行分析，得出幾個重要結論，并運用這些重要結論進行二次根式的計算和化簡．（2）用具體數據探究規律，用不完全歸納法得出二次根式的乘（除）法規定，并運用規定進行計算．（3）利用逆向思維，得出二次根式的乘（除）法規定的逆向等式并運用它進行化簡．（4）通過分析前面的計算和化簡結果，抓住它們的共同特點，給出最簡二次根式的概念．利用最簡二次根式的概念，來對相同的二次根式進行合并，達到對二次根式進行計算和化簡的目的．3．情感、態度與價值觀通過本單元的學習培養學生：利用規定準確計算和化簡的嚴謹的科學精神，經過探索二次根式的重要結論，二次根式的乘除規定，發展學生觀察、分析、發現問題的能力．教學重點1．二次根式（a≥0）的內涵．（a≥0）是一個非負數；（）2＝a（a≥0）；=a（a≥0）及其運用．2．二次根式乘除法的規定及其運用．3．最簡二次根式的概念．4．二次根式的加減運算．教學難點1．對（a≥0）是一個非負數的理解；對等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及應用．2．二次根式的乘法、除法的條件限制．3．利用最簡二次根式的概念把一個二次根式化成最簡二次根式．教學關鍵1．潛移默化地培養學生從具體到一般的推理能力，突出重點，突破難點．2．培養學生利用二次根式的規定和重要結論進行準確計算的能力，培養學生一絲不茍的科學精神．單元課時劃分本單元教學時間約需11課時，具體分配如下：21．1二次根式3課時21．2二次根式的乘法3課時21．3二次根式的加減3課時教學活動、習題課、小結2課時21．1二次根式第一課時教學內容二次根式的概念及其運用教學目標理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意義解答具體題目．提出問題，根據問題給出概念，應用概念解決實際問題．教學重難點關鍵1．重點：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．難點與關鍵：利用“（a≥0）”解決具體問題．教學過程一、復習引入（學生活動）請同學們獨立完成下列三個問題：問題1：已知反比例函數y=，那么它的圖象在第一象限橫、縱坐標相等的點的坐標是___________．問題2：如圖，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB邊的長是__________．問題3：甲射擊6次，各次擊中的環數如下：8、7、9、9、7、8，那么甲這次射擊的方差是S2，那么S=_________．二、探索新知很明顯、、，都是一些正數的算術平方根．像這樣一些正數的算術平方根的式子，我們就把它稱二次根式．因此，一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號．（學生活動）議一議：1．-1有算術平方根嗎？2．0的算術平方根是多少？3．當a<0，有意義嗎？例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．例2．當x是多少時，在實數范圍內有意義？三、鞏固練習教材P練習1、2、3．四、應用拓展例3．當x是多少時，+在實數范圍內有意義？例4(1)已知y=++5，求的值．(2)若+=0，求a2004+b2004的值．五、歸納小結（學生活動，老師點評）本節課要掌握：1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號．2．要使二次根式在實數范圍內有意義，必須滿足被開方數是非負數．六、布置作業1．教材P8復習鞏固1、綜合應用5．21.1二次根式(2)第二課時教學內容1．（a≥0）是一個非負數；2．（）2=a（a≥0）．教學目標理解（a≥0）是一個非負數和（）2=a（a≥0），并利用它們進行計算和化簡．通過復習二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出（a≥0）是一個非負數，用具體數據結合算術平方根的意義導出（）2=a（a≥0）；最后運用結論嚴謹解題．教學重難點關鍵1．重點：（a≥0）是一個非負數；（）2=a（a≥0）及其運用．2．難點、關鍵：用分類思想的方法導出（a≥0）是一個非負數；用探究的方法導出（）2=a（a≥0）．教學過程一、復習引入1．什么叫二次根式？2．當a≥0時，叫什么？當a<0時，有意義嗎？二、探究新知議一議：（學生分組討論，提問解答）（a≥0）是一個什么數呢？老師點評：根據學生討論和上面的練習，我們可以得出（a≥0）是一個非負數．做一做：根據算術平方根的意義填空：（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；（）2=_______．（）2=a（a≥0）例1計算1．（）22．（3）23．（）24．（）2三、鞏固練習計算下列各式的值：（）2（）2（）2（）2（4）2四、應用拓展例2計算1．（）2（x≥0）2．（）23．（）24．（）2例3在實數范圍內分解下列因式:（1）x2-3（2）x4-4(3)2x2-3五、歸納小結本節課應掌握：1．（a≥0）是一個非負數；2．（）2=a（a≥0）;反之:a=（）2（a≥0）．六、布置作業1．教材P8復習鞏固2．（1）、（2）P97．21.1二次根式(3)第三課時教學內容＝a（a≥0）教學目標理解=a（a≥0）并利用它進行計算和化簡．通過具體數據的解答，探究=a（a≥0），并利用這個結論解決具體問題．教學重難點關鍵1．重點：＝a（a≥0）．2．難點：探究結論．3．關鍵：講清a≥0時，＝a才成立．教學過程一、復習引入老師口述并板收上兩節課的重要內容；1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式；2．（a≥0）是一個非負數；3．()2＝a（a≥0）．那么，我們猜想當a≥0時，=a是否也成立呢？下面我們就來探究這個問題．二、探究新知（學生活動）填空：=_______；=_______；=______；=________；=________；=_______．因此，一般地：=a（a≥0）例1化簡（1）（2）（3）（4）三、鞏固練習教材P7練習2．四、應用拓展例2填空：當a≥0時，=_____；當a<0時，=_______，并根據這一性質回答下列問題．（1）若=a，則a可以是什么數？（2）若=-a，則a可以是什么數？（3）>a，則a可以是什么數？例3當x>2，化簡-．五、歸納小結本節課應掌握：=a（a≥0）及其運用，同時理解當a<0時，＝－a的應用拓展．六、布置作業1．教材P8習題21．13、4、6、8．21．2二次根式的乘除第一課時教學內容·＝（a≥0，b≥0），反之=·（a≥0，b≥0）及其運用．教學目標理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它們進行計算和化簡由具體數據，發現規律，導出·＝（a≥0，b≥0）并運用它進行計算；利用逆向思維，得出=·（a≥0，b≥0）并運用它進行解題和化簡．教學重難點關鍵重點：·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及它們的運用．難點：發現規律，導出·＝（a≥0，b≥0）．關鍵：要講清（a<0,b<0）=，如=或==×．教學過程一、復習引入（學生活動）請同學們完成下列各題．1．填空（1）×=_______，=______；（2）×=_______，=________．（3）×=________，=_______．參考上面的結果，用“>、<或＝”填空．×_____，×_____，×________2．利用計算器計算填空（1）×______，（2）×______，（3）×______，（4）×______，（5）×______．老師點評（糾正學生練習中的錯誤）二、探索新知（學生活動）讓3、4個同學上臺總結規律．老師點評：（1）被開方數都是正數；（2）兩個二次根式的乘除等于一個二次根式，并且把這兩個二次根式中的數相乘，作為等號另一邊二次根式中的被開方數．一般地，對二次根式的乘法規定為·＝．（a≥0，b≥0）反過來:=·（a≥0，b≥0）例1．計算（1）×（2）×（3）×（4）×例2化簡（1）（2）（3）（4）（5）三、鞏固練習（1）計算（學生練習，老師點評）①×②3×2③·(2)化簡:;;;;教材P11練習全部四、應用拓展例3．判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正：（1）（2）×=4××=4×=4=8五、歸納小結本節課應掌握：（1）·＝=（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及其運用．六、布置作業1．課本P151，4，5，6．（1）（2）．21．2二次根式的乘除第二課時教學內容=（a≥0，b>0），反過來=（a≥0，b>0）及利用它們進行計算和化簡．教學目標理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它們進行運算．利用具體數據，通過學生練習活動，發現規律，歸納出除法規定，并用逆向思維寫出逆向等式及利用它們進行計算和化簡．教學重難點關鍵1．重點：理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它們進行計算和化簡．2．難點關鍵：發現規律，歸納出二次根式的除法規定．教學過程一、復習引入（學生活動）請同學們完成下列各題：1．寫出二次根式的乘法規定及逆向等式．2．填空（1）=________，=_________；（2）=________，=________；（3）=________，=_________；（4）=________，=________．規律：______；______；_______；_______．3．利用計算器計算填空:（1）=_________，（2）=_________，（3）=______，（4）=________．規律：______；_______；_____；_____。每組推薦一名學生上臺闡述運算結果．（老師點評）二、探索新知剛才同學們都練習都很好，上臺的同學也回答得十分準確，根據大家的練習和回答，我們可以得到：一般地，對二次根式的除法規定：=（a≥0，b>0），反過來，=（a≥0，b>0）下面我們利用這個規定來計算和化簡一些題目．例1．計算：（1）（2）（3）（4）分析：上面4小題利用=（a≥0，b>0）便可直接得出答案．例2．化簡：（1）（2）（3）（4）分析：直接利用=（a≥0，b>0）就可以達到化簡之目的．三、鞏固練習教材P14練習1．四、應用拓展例3．已知，且x為偶數，求（1+x）的值．五、歸納小結本節課要掌握=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及其運用．六、布置作業1．教材P15習題21．22、7、8、9．21.2二次根式的乘除(3)第三課時教學內容最簡二次根式的概念及利用最簡二次根式的概念進行二次根式的化簡運算．教學目標理解最簡二次根式的概念，并運用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式．通過計算或化簡的結果來提煉出最簡二次根式的概念，并根據它的特點來檢驗最后結果是否滿足最簡二次根式的要求．重難點關鍵1．重點：最簡二次根式的運用．2．難點關鍵：會判斷這個二次根式是否是最簡二次根式．教學過程一、復習引入（學生活動）請同學們完成下列各題（請三位同學上臺板書）1．計算（1），（2），（3）老師點評：=，=，=2．現在我們來看本章引言中的問題：如果兩個電視塔的高分別是h1km，h2km，那么它們的傳播半徑的比是_________．它們的比是．二、探索新知觀察上面計算題1的最后結果，可以發現這些式子中的二次根式有如下兩個特點：1．被開方數不含分母；2．被開方數中不含能開得盡方的因數或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．那么上題中的比是否是最簡二次根式呢？如果不是，把它們化成最簡二次根式．學生分組討論，推薦3～4個人到黑板上板書．老師點評：不是．=.例1．(1);(2);(3)例2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的長．三、鞏固練習教材P14練習2、3四、應用拓展例3．觀察下列各式，通過分母有理數，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式：==-1，==-，同理可得：=-，……從計算結果中找出規律，并利用這一規律計算（+++……）（+1）的值．五、歸納小結本節課應掌握：最簡二次根式的概念及其運用．六、布置作業1．教材P15習題21．23、7、10．2．選用課時作業設計．3.課后作業:《同步訓練》21.3二次根式的加減(1)第一課時教學內容二次根式的加減教學目標理解和掌握二次根式加減的方法．先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式進行加減的方法的理解．再總結經驗，用它來指導根式的計算和化簡．重難點關鍵1．重點：二次根式化簡為最簡根式．2．難點關鍵：會判定是否是最簡二次根式．教學過程一、復習引入學生活動：計算下列各式．（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3教師點評：上面題目的結果，實際上是我們以前所學的同類項合并．同類項合并就是字母不變，系數相加減．二、探索新知學生活動：計算下列各式．（1）2+3（2）2-3+5（3）+2+3（4）3-2+所以，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合并．例1．計算（1）+（2）+例2．計算（1）3-9+3（2）（+）+（-）三、鞏固練習教材P19練習1、2．四、應用拓展例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．五、歸納小結本節課應掌握：（1）不是最簡二次根式的，應化成最簡二次根式；（2）相同的最簡二次根式進行合并．六、布置作業1．教材P21習題21．31、2、3、5．21.3二次根式的加減(2)第二課時教學內容利用二次根式化簡的數學思想解應用題．教學目標運用二次根式、化簡解應用題．通過復習，將二次根式化成被開方數相同的最簡二次根式，進行合并后解應用題．重難點關鍵講清如何解答應用題既是本節課的重點，又是本節課的難點、關鍵點．教學過程一、復習引入上節課，我們已經講了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個步驟：第一步，先將二次根式化成最簡二次根式；第二步，再將被開方數相同的二次根式進行合并，下面我們講三道例題以做鞏固．二、探索新知例1．如圖所示的Rt△ABC中，∠B=90°，點P從點B開始沿BA邊以1厘米/秒的速度向點A移動；同時，點Q也從點B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點C移動．問：幾秒后△PBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結果用最簡二次根式表示）例2．要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精確到0.1m）？三、鞏固練習教材P19練習3四、應用拓展例3．若最簡根式與根式是同類二次根式，求a、b的值．（同類二次根式就是被開方數相同的最簡二次根式）五、歸納小結本節課應掌握運用最簡二次根式的合并原理解決實際問題．六、布置作業1．教材P21習題21．37．21.3二次根式的加減(3)第三課時教學內容含有二次根式的單項式與單項式相乘、相除；多項式與單項式相乘、相除；多項式與多項式相乘、相除；乘法公式的應用．教學目標含有二次根式的式子進行乘除運算和含有二次根式的多項式乘法公式的應用．復習整式運算知識并將該知識運用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等運算．重難點關鍵重點：二次根式的乘除、乘方等運算規律；難點關鍵：由整式運算知識遷移到含二次根式的運算．教學過程一、復習引入學生活動：請同學們完成下列各題:1．計算（1）（2x+y）·zx（2）（2x2y+3xy2）÷xy2．計算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老師點評：這些內容是對八年級上冊整式運算的再現．它主要有（1）單項式×單項式；（2）單項式×多項式；（3）多項式÷單項式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的運用．二、探索新知如果把上面的x、y、z改寫成二次根式呢？以上的運算規律是否仍成立呢？仍成立．整式運算中的x、y、z是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，當然也可以代表二次根式，所以，整式中的運算規律也適用于二次根式．例